SLIDE 1
Hassan ¡Hijazi ¡ ¡
AUSSOIS ¡2012 ¡
INVEX ¡FORMULATIONS ¡IN ¡ ¡ INTEGER ¡PROGRAMMING ¡
09/01/2012 ¡
Convex functions
1 ¡
q Convex ¡opHmizaHon: ¡
- Any ¡staHonary ¡point ¡is ¡opHmal ¡
INVEX FORMULATIONS IN INTEGER PROGRAMMING Hassan Hijazi - - PowerPoint PPT Presentation
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INVEX FORMULATIONS IN INTEGER PROGRAMMING Hassan Hijazi 09/01/2012 AUSSOIS 2012 Convex functions 1 q Convex opHmizaHon: Any staHonary point is opHmal
SLIDE 2
SLIDE 3
Invex functions
2 ¡
- 1
- 0,75
- 0,5
- 0,25
0,25 0,5 0,75 1 1,25
- 0,25
0,25 0,5 0,75 1
SLIDE 4
Definition (Hanson 1981)
4 ¡
SLIDE 5
Simple characterization
5 ¡
SLIDE 6
Constrained Optimization
6 ¡
We ¡need ¡to ¡look ¡at ¡the ¡Lagrangian ¡funcHon: ¡
SLIDE 7
¨ Modeling ¡disjuncHve ¡constraints ¡
featuring ¡unbounded ¡variables ¡
¨ Invex ¡formulaHons ¡for ¡a ¡facility ¡
locaHon ¡problem ¡
Invex formulations in Integer Programs
7 ¡
SLIDE 8
Unbounded disjunction
8 ¡
¨ How ¡to ¡formulate ¡the ¡constraint: ¡
¡
¨ x ¡must ¡remain ¡unbounded! ¡
Ø Now, ¡we ¡only ¡need ¡to ¡model: ¡
SLIDE 9
Unbounded disjunction
9 ¡
z ¡ y ¡
SLIDE 10
The big-M formulation
10 ¡
y ¡ z ¡
SLIDE 11
Convex hull formulation
11 ¡
SLIDE 12
Lifting
12 ¡
z ¡ y ¡ ϒ
SLIDE 13
A second order cone constraint
13 ¡
SLIDE 14
Cplex
14 ¡
CPLEX ¡12.2.0.0: ¡best ¡soluGon ¡found, ¡primal-‑dual ¡infeasible; ¡objecGve ¡ 3.749997256 ¡ 50 ¡barrier ¡iteraGons ¡ No ¡basis. ¡ x ¡= ¡3.75 ¡ ¡
SLIDE 15
A hidden hypothesis: constraint qualification
15 ¡
If ¡a ¡point ¡x* ¡ ¡saHsfies ¡a ¡constraint ¡qualificaHon ¡condiHon, ¡it ¡is ¡
- pHmal ¡if ¡and ¡only ¡if ¡it ¡saHsfies ¡the ¡KKT ¡condiHons. ¡
¡ q ¡ ¡LICQ: ¡the ¡gradients ¡of ¡the ¡acHve ¡inequality ¡constraints ¡and ¡the ¡ gradients ¡of ¡the ¡equality ¡constraints ¡are ¡linearly ¡independent ¡at ¡ x*. ¡ ¡ q Slater ¡condiGons: ¡there ¡exists ¡a ¡point ¡x’ ¡such ¡that ¡gi(x’) ¡< ¡0 ¡for ¡ all ¡gi ¡acHve ¡in ¡x*. ¡ ¡
SLIDE 16
A hidden hypothesis: constraint qualification
16 ¡
SLIDE 17
Invex formulation
17 ¡
z ¡ y ¡ ϒ
SLIDE 18
Invex formulation
18 ¡
SLIDE 19
It ¡works! ¡
19 ¡
Using ¡IPOPT ¡open ¡source ¡solver, ¡ ¡ Interior ¡point ¡method ¡
SLIDE 20
With Ipopt
20 ¡
Total ¡CPU ¡secs ¡in ¡IPOPT ¡(w/o ¡funcGon ¡evaluaGons) ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0.003 ¡ Total ¡CPU ¡secs ¡in ¡NLP ¡funcGon ¡evaluaGons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0.000 ¡ ¡ EXIT: ¡OpGmal ¡SoluGon ¡Found. ¡ Ipopt ¡3.8.3: ¡OpGmal ¡SoluGon ¡Found ¡ x ¡= ¡4 ¡ gamma ¡= ¡0 ¡ y ¡= ¡0 ¡ z ¡= ¡0 ¡
SLIDE 21
Concentrator placement in Smart Energy Grids
21 ¡
Concentrator ¡ Smart ¡meter ¡
SLIDE 22
Mathematical modeling
22 ¡
SLIDE 23
Mathematical modeling
23 ¡
SLIDE 24
Mathematical modeling
24 ¡
SLIDE 25
Mathematical modeling
25 ¡
SLIDE 26
Mathematical modeling
26 ¡
SLIDE 27
Mathematical modeling
27 ¡
SLIDE 28
Example
28 ¡
minimize ¡cost: ¡100*z1 ¡+ ¡100*z2 ¡+ ¡25*x11 ¡+ ¡35*x12 ¡+ ¡50*x21 ¡+ ¡35*x22; ¡ ¡ subject ¡to ¡demand1: ¡1 ¡-‑ ¡x11 ¡-‑ ¡x12 ¡<= ¡0; ¡ subject ¡to ¡demand2: ¡1 ¡-‑ ¡x21 ¡-‑ ¡x22 ¡<= ¡0; ¡ ¡ subject ¡to ¡open11: ¡ ¡x11 ¡<= ¡z1; ¡ subject ¡to ¡open12: ¡ ¡x12<= ¡z2; ¡ subject ¡to ¡open21: ¡ ¡x21 ¡<= ¡z1; ¡ subject ¡to ¡open22: ¡ ¡x22 ¡<= ¡z2; ¡ ¡ subject ¡to ¡capacity1: ¡x11 ¡+ ¡x21 ¡<= ¡1; ¡ subject ¡to ¡capacity2: ¡x12 ¡+ ¡x22 ¡<= ¡1; ¡ ¡ xij ¡ ¡{0,1}^4 ¡ zi ¡{0,1}^2 ¡
SLIDE 29
LP relaxation
29 ¡
CPLEX ¡12.2.0.0: ¡opGmal ¡soluGon; ¡objecGve ¡172.5 ¡ 4 ¡dual ¡simplex ¡iteraGons ¡(0 ¡in ¡phase ¡I) ¡ z1 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ z2 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x11 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x12 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x21 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x22 ¡= ¡0.5 ¡
SLIDE 30
Example
30 ¡
minimize ¡cost: ¡100*z1^2 ¡+ ¡100*z2^2 ¡+ ¡25*y11 ¡+ ¡35*y12 ¡+ ¡50*y21 ¡+ ¡35*y22; ¡ ¡ subject ¡to ¡demand1: ¡1 ¡-‑ ¡x11 ¡-‑ ¡x12 ¡<= ¡0; ¡ subject ¡to ¡demand2: ¡1 ¡-‑ ¡x21 ¡-‑ ¡x22 ¡<= ¡0; ¡ ¡ subject ¡to ¡open11: ¡ ¡x11 ¡<= ¡z1*y11; ¡ subject ¡to ¡open12: ¡ ¡x12<= ¡z2*y12; ¡ subject ¡to ¡open21: ¡ ¡x21 ¡<= ¡z1*y21; ¡ subject ¡to ¡open22: ¡ ¡x22 ¡<= ¡z2*y22; ¡ ¡ subject ¡to ¡capacity1: ¡x11 ¡+ ¡x21 ¡<= ¡1; ¡ subject ¡to ¡capacity2: ¡x12 ¡+ ¡x22 ¡<= ¡1; ¡ ¡ xij ¡ ¡{0,1}^4 ¡ ¡yij ¡>= ¡0 ¡ zi ¡{0,1}^2 ¡
An ¡invex ¡Program! ¡
SLIDE 31
Invex relaxation
31 ¡
ObjecGve...............: ¡ ¡ ¡168.859 ¡ Ipopt ¡3.8.3: ¡OpGmal ¡SoluGon ¡Found ¡ ¡ z1 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ z2 ¡= ¡0.559344 ¡ ¡ x11 ¡= ¡1 ¡ ¡ x12 ¡= ¡4.55569e-‑09 ¡ ¡ x21 ¡= ¡5.02689e-‑09 ¡ ¡ x22 ¡= ¡1 ¡
SLIDE 32
Finding a feasible solution
|I| ¡ |J| ¡ Bonmin’s ¡best ¡ Invex ¡ rdata1 ¡ ¡15 ¡ 250 ¡ 2300 ¡ 39 ¡ rdata2 ¡ ¡20 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 43 ¡ rdata3 ¡ ¡30 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 120 ¡ rdata4 ¡ ¡40 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 150 ¡ rdata5 ¡ 100 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 300 ¡
32 ¡
Bonmin ¡1.5 ¡using ¡CBC-‑IPOPT, ¡Hme ¡limit ¡= ¡3000 ¡sec ¡
SLIDE 33
33 ¡