generalizing von neumann s approach to thermalization
play

Generalizing von Neumanns approach to thermalization Peter Reimann - PowerPoint PPT Presentation

Generalizing von Neumanns approach to thermalization Peter Reimann Universit at Bielefeld Summit of equilibrium Statistical Mechanics (Feynman) can = Z 1 e H S Should follow from microcanonical formalism for isolated


  1. Generalizing von Neumann’s approach to thermalization Peter Reimann Universit¨ at Bielefeld “Summit” of equilibrium Statistical Mechanics (Feynman) ρ can = Z − 1 e − βH S Should follow from microcanonical formalism for isolated systems .

  2. Generalizing von Neumann’s approach to thermalization [ v. Neumann, Z. Phys. 57, 30 (1929); Tasaki, PRL 80, 1373 (1998); Goldstein, Lebowitz, Tumulka, Zangh ` ı, PRL 96, 050403 (2006) ] “Summit” of equilibrium Statistical Mechanics (Feynman) ρ can = Z − 1 e − βH S Should follow from microcanonical formalism for isolated systems .

  3. Generalizing von Neumann’s approach to thermalization [ v. Neumann, Z. Phys. 57, 30 (1929); Tasaki, PRL 80, 1373 (1998); Goldstein, Lebowitz, Tumulka, Zangh ` ı, PRL 96, 050403 (2006) ] “Summit” of equilibrium Statistical Mechanics (Feynman) ρ can = Z − 1 e − βH S Should follow from microcanonical formalism for isolated systems .

  4. Generalizing von Neumann’s approach to thermalization [ v. Neumann, Z. Phys. 57, 30 (1929); Tasaki, PRL 80, 1373 (1998); Goldstein, Lebowitz, Tumulka, Zangh ` ı, PRL 96, 050403 (2006) ] “Summit” of equilibrium Statistical Mechanics (Feynman) ρ can = Z − 1 e − βH S Should follow from microcanonical formalism for isolated systems ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� system ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� total ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� system ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� bath ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ���������������������������������� ����������������������������������

  5. General framework • Model: Isolated system (macroscopic, finite, bath(s) incorporated) Hamiltonian H , eigenvalues E n , eigenvectors | n � System states ρ ( t ) (mixed or pure) Observables A = A † , expectation values Tr { ρ ( t ) A } • Evolution: standard QM, no further approximation/postulate/hypothesis: ρ ( t ) = U t ρ (0) U † t , U t := exp {− iHt/ � } ⇒ n e − i [ E m − E n ] t/ � � m | ρ (0) | n � � n | A | m � Tr { ρ ( t ) A } = � m,n Theorem: Any ρ ( t ) returns arbitrarily “near” to ρ (0) !

  6. General framework • Model: Isolated system (macroscopic, finite, bath(s) incorporated) Hamiltonian H , eigenvalues E n , eigenvectors | n � System states ρ ( t ) (mixed or pure) Observables A = A † , expectation values Tr { ρ ( t ) A } • Evolution: standard QM, no further approximation/postulate/hypothesis: ρ ( t ) = U t ρ (0) U † t , U t := exp {− iHt/ � } ⇒ n e − i [ E m − E n ] t/ � � m | ρ (0) | n � � n | A | m � Tr { ρ ( t ) A } = � m,n Theorem: Any ρ ( t ) returns arbitrarily “near” to ρ (0) !

  7. Microcanonical setup • Focus on E n ∈ [ E, E + ∆ E ] ( energy window ) Without loss of generality: n = 1 , ..., D For systems with f degrees of freedom: D ≈ 10 O ( f ) e.g. f ≈ 10 23 D Defs.: P := | n �� n | projector onto energy shell H � n =1 Defs.: ρ mic := P/D ( microcanonical ensemble ) • Focus on ρ (0) with ρ nn (0) = 0 if E n �∈ [ E, E + ∆ E ] ⇒ ρ ( t ) = Pρ ( t ) P for all t ⇒ Tr { ρ ( t ) A } = Tr { ρ ( t ) PAP } ⇒ Without loss of generality A = PAP ⇒ focus on restrictions of A , ρ ( t ), H , ... to H from now on. • Task: Show for arbitrary ρ (0) : H → H that Tr { ρ ( t ) A } → Tr { ρ mic A }

  8. Microcanonical setup • Focus on E n ∈ [ E, E + ∆ E ] ( energy window ) Without loss of generality: n = 1 , ..., D For systems with f degrees of freedom: D ≈ 10 O ( f ) e.g. f ≈ 10 23 D Defs.: P := | n �� n | projector onto energy shell H � n =1 Defs.: ρ mic := P/D ( microcanonical ensemble ) • Focus on ρ (0) with ρ nn (0) = 0 if E n �∈ [ E, E + ∆ E ] ⇒ ρ ( t ) = Pρ ( t ) P for all t ⇒ Tr { ρ ( t ) A } = Tr { ρ ( t ) PAP } ⇒ Without loss of generality A = PAP ⇒ focus on restrictions of A , ρ ( t ), H , ... to H from now on. • Task: Show for arbitrary ρ (0) : H → H that Tr { ρ ( t ) A } → Tr { ρ mic A }

  9. Microcanonical setup • Focus on E n ∈ [ E, E + ∆ E ] ( energy window ) Without loss of generality: n = 1 , ..., D For systems with f degrees of freedom: D ≈ 10 O ( f ) e.g. f ≈ 10 23 D Defs.: P := | n �� n | projector onto energy shell H � n =1 Defs.: ρ mic := P/D ( microcanonical ensemble ) • Focus on ρ (0) with ρ nn (0) = 0 if E n �∈ [ E, E + ∆ E ] ⇒ ρ ( t ) = Pρ ( t ) P for all t ⇒ Tr { ρ ( t ) A } = Tr { ρ ( t ) PAP } ⇒ Without loss of generality A = PAP ⇒ focus on restrictions of A , ρ ( t ), H , ... to H from now on. • Task: Show for arbitrary ρ (0) : H → H that Tr { ρ ( t ) A } → Tr { ρ mic A }

  10. Range and resolution of A = measurement device with range ∆ A ˆ A (finite number of eigenvalues) Expectation values Tr { ρ ( t ) A } can only be determined with some finite accuracy δ A (resolution limit) “reasonable”, say > 10 − 20 Assumption: δ A/ ∆ A ∆ A (range) δA (resolution) . A

  11. Technical conditions: generic H 1. Non-degeneracy condition: E m � = E n unless m = n 2. Non-resonance condition: E m − E n � = E j − E k unless m = j and n = k (or m = n and j = k ) • “quantum ergodicity” and “quantum mixing” (?) • Originally due to von Neumann, by now commonly accepted • Weaker conditions still ok

  12. Key point of von Neumann’s approach Consider unitary trafo U between eigenvectors of H and A Key assumption: the actual U is “typical” among all possible U : H → H Formalization: µ U ( X ) := fraction (normalized Haar measure) of all U exhibiting property X (eigenvalues of H and A kept fixed, eigenbases related via U ) Key assumption: If µ U ( X ) ≪ 1 then it is “overwhelmingly unlikely” that the actual H and A will exhibit property X • Common lore of random matrix theory. • No randomness in the real system.

Download Presentation
Download Policy: The content available on the website is offered to you 'AS IS' for your personal information and use only. It cannot be commercialized, licensed, or distributed on other websites without prior consent from the author. To download a presentation, simply click this link. If you encounter any difficulties during the download process, it's possible that the publisher has removed the file from their server.

Recommend


More recommend