Electromagne,c duality anomaly Adrian del Rio Vega (in - - PowerPoint PPT Presentation
Electromagne,c duality anomaly Adrian del Rio Vega (in collabora1on with I. Agullo and J. Navarro-Salas, arXiv:1607.08879) Department of Theore.cal
Department ¡of ¡Theore.cal ¡Physics, ¡IFIC. ¡University ¡of ¡Valencia. ¡ ‘’V ¡Postgraduate ¡Mee1ng ¡On ¡Theore1cal ¡Physics” ¡Oviedo, ¡2016. ¡
dimensions ¡are ¡manifestly ¡invariant ¡under ¡the ¡exchange ¡of ¡the ¡electric ¡ and ¡magne1c ¡fields, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡
A ¡duality ¡transforma1on ¡takes ¡one ¡solu1on ¡of ¡Maxwell ¡equa1ons ¡and ¡produces ¡ another ¡one ¡
µ⌫ = Fµ⌫ cos θ + ?F µ⌫ sin θ
?F µ⌫ → ?F 0 µ⌫ = ?F µ⌫ cos θ − Fµ⌫ sin θ
?F µ⌫ = 0
~ E ← → ~ B
Tµ⌫ = 1 2 [FµF
⌫ + ?F µ ?F ⌫]
(Zi ¡is ¡a ¡non-‑local ¡func1onal ¡of ¡Ai ¡, ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) ¡
level ¡of ¡the ¡basic ¡dynamical ¡variables ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡for ¡an ¡arbitrary ¡space-‑1me ¡ background ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Deser, ¡Teitelboim ¡(1976)]. ¡
¡ ¡
Ai
(M, gµν)
F = dA
G = dZ
jµ
D = 1
2 [A⌫
?F µ⌫ − 2F µ⌫Z⌫ − ?Gµ⌫Z⌫] ,
SM[A] = −1 4 Z d4x√−gFµνF µν ,
D ⇡ 0
Physically, ¡it ¡measures ¡(in ¡Minkowski) ¡the ¡net ¡difference ¡among ¡right-‑handed ¡ and ¡le\-‑handed ¡circularly ¡polarized ¡photons ¡[Calkin ¡(1965)]. ¡
QD = 1 2 Z d3x √ h (Ai Bi − EiZi)
QD = 2 Z d3k h a†
R(~
k)aR(~ k) − a†
L(~
k)aL(~ k) i
δH = θ{QD, H} ≈ 0 ,
¡
symmetry ¡due ¡to ¡space1me ¡curvature. ¡ ¡ ¡ ¡
gravita1onal ¡backgrounds. ¡ ¡
Di = 0 ??
Physical ¡observables ¡are ¡generally ¡given ¡by ¡(ill-‑defined) ¡composite ¡operators ¡of ¡ the ¡field. ¡Need ¡of ¡renormaliza1on. ¡
¡
Renormaliza1on ¡subtrac1ons ¡do ¡not ¡necessarily ¡respect ¡the ¡equa1ons ¡of ¡mo1on. ¡ Some ¡examples ¡are ¡
iγµ(x)rµψ(x) = 0
⇤ + 1 6R
hφ ⇤ + 1 6R
3R2
hrµjµ
Di = hZνrµF µνi
?Rµ⌫
¡ Conformal ¡anomaly: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Chiral ¡anomaly: ¡
⌦ T µ
µ
↵ = hφ ⇤ + 1 6R
1 2880π2 ⇤R RµνRµν + 1 3R2
5 i = 2h ¯
ψiγµγ5rµψi = 1 192π2 Rµ⌫
?Rµ⌫
Dolgov ¡et ¡al ¡(1987): ¡ ¡ ¡ Agullo, ¡Landete, ¡Navarro-‑Salas ¡(2014) ¡[in ¡a ¡spa1ally ¡flat ¡FLRW ¡scenario]: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ If ¡the ¡symmetry ¡exists ¡and ¡leaves ¡the ¡vacuum ¡state ¡invariant, ¡these ¡values ¡should ¡ be ¡invariant ¡under ¡the ¡exchange ¡of ¡E ¡and ¡B, ¡but ¡they ¡are ¡not. ¡ ¡
¡ ¡ ¡
hFµνF µνi = 2 h ~ B2(x) ~ E2(x) i = 1 480⇡2 9RαβRαβ + 23 6 R2 + 4⇤R
?F µ⌫i = 4h ~
E · ~ Bi = 1 48⇡2 R↵
?R↵
Di
This ¡resembles ¡the ¡corresponding ¡expression ¡for ¡the ¡spin ¡½ ¡chiral ¡ ¡current. ¡It ¡ suggests ¡dealing ¡with ¡a ¡similar ¡formalism. ¡
A±,i = 1 2 [Ai ± iZi]
hrµjµ
5 i = lim m→0 2imh ¯
ψγ5ψi Circular ¡polariza1on ¡variables: ¡ hrµjµ
Di = lim m→0 m2hZiAii = lim m→0 im2h ~
A2
+ ~
A2
−i = lim m→0 im2 ⌦¯
Ψ5Ψ ↵
A ¡massless ¡Dirac ¡field ¡is ¡described ¡in ¡terms ¡of ¡two ¡(decoupled) ¡fundamental ¡spinors ¡ sa1sfying ¡Weyl ¡equa1ons ¡ ¡ ¡ ¡ The ¡ ac1on ¡ of ¡ a ¡ massless ¡ Dirac ¡ field ¡ inmersed ¡ in ¡ either ¡ an ¡ electromagne1c ¡ or ¡ gravita1onal ¡background ¡remains ¡invariant ¡under ¡an ¡infinitesimal ¡chiral ¡rota1on: ¡ ¡ ¡ ¡ Noether’s ¡Thm ¡leads ¡to ¡the ¡conserva1on ¡of ¡the ¡net ¡difference ¡between ¡right ¡and ¡le\ ¡ chiral ¡par1cles ¡ ¡
ψ = ✓ u+ u− ◆
iσµrµu+ = 0 i¯ σµrµu− = 0
ψ → eiθγ5ψ = ✓ eiθu+ e−iθu− ◆
u+ ∼ (1/2, 0) u− ∼ (0, 1/2)
S[ψ] = Z d4xpg i ¯ ψγµrµψ ,
Q = Z d3x √ h h u†
+u+ − u† −u−
i
¡ At ¡the ¡quantum ¡level, ¡however, ¡this ¡is ¡no ¡longer ¡conserved: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Adler, ¡Bell, ¡Jackiw ¡(1969)] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Kimura ¡(1969)] ¡ ¡ ¡ From ¡the ¡mathema1cal ¡point ¡of ¡view, ¡the ¡anomaly ¡is ¡understood ¡as ¡a ¡local ¡realiza1on ¡
hrµjµi / e2Fµ⌫
?F µ⌫
hrµjµi / Rµ⌫⇢
?Rµ⌫⇢
Z d4xpg hrµjµi = 2[n(1/2, 0) n(0, 1/2)]
[Eguchi ¡et ¡al ¡(1980); ¡Christensen, ¡Duff ¡(1978)] ¡
In ¡absence ¡of ¡sources ¡Maxwell ¡EOM ¡decouple ¡in ¡terms ¡of ¡2 ¡spinors: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Introduce ¡complex ¡poten1als, ¡and ¡fix ¡the ¡radia1on ¡gauge: ¡iden,cal ¡EOM ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Generalize ¡to ¡a ¡general ¡spaceime ¡by ¡taking ¡the ¡connec1on-‑compa1bility ¡condi1on: ¡
~ H± ≡ 1 2[ ~ E ± i ~ B]
(αa)b
i∂aHi + = 0
(¯ αa)b
i∂aHi − = 0
~ r · ~ H± = 0 i @ @t ~ H± = ±~ r ⇥ ~ H±
~ H± ⌘ i ~ r ⇥ ~ A±
H+ ∼ (1, 0) H− ∼ (0, 1)
~ r · ~ A± = 0
(αa)b
i∂aAi + = 0
(¯ αa)b
i∂aAi − = 0
rβ(αµ)ν
i(x) = 0
αab
i ↔ σµ A0A
In ¡this ¡language, ¡a ¡duality ¡transforma1on ¡resembles ¡a ¡conven1onal ¡chiral ¡rota1on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ These ¡variables ¡describe ¡right ¡/ ¡le\ ¡handed ¡(circularly ¡polarized) ¡radia1on. ¡
βµrµΨ(x) = 0 ,
βµ ≡ i ✓ ¯ αµ −αµ ◆
Ψ ≡ ✓ A i
+
iA− i ◆ ,
✓ Ai
+
iA− i ◆ → eiθβ5 ✓ Ai
+
iA− i ◆ = ✓ e−iθAi
+
eiθiA− i ◆
quantum ¡effec1ve ¡ac1on ¡W ¡ ¡Gauge ¡fixing: ¡ ¡
invariant ¡ not ¡necessarily ¡invariant!! ¡
S[A0] = S[A] Z d4xpgθ(x)rµjµ
D
dµ[A]
dµ[A] = Y
x
(−g)1/2 det[DµDµ]1/2D ¯ Ψ(x)DΨ(x)Dω(x)DA0
¡
K(τ; x, x0) ≡
1
X
n=0
eiτλ2
n Ψn(x) Ψ†
n(x0)
hrµjµ
Di = 2`−2 ∞
X
n=0
(Ψ†
n5Ψn)
hrµjµ
Di = 2`−2 lim τ→0 Tr[5K(⌧; x, x)]
βµrµΨn(x) = λnΨn(x)
UV-‑divergent ¡
D ¯ Ψ0(x)DΨ0(x) = JD ¯ Ψ(x)DΨ(x)
hrµjµ
Di =
1 24π2 Rµ⌫
?Rµ⌫
¡
K(⌧; x, x) ∼ i`2 16⇡2
∞
X
k=0
(i⌧)k−2Ek(x)
E2(x) = 1 72R2 − 1 180RµνRµν + 1 180RαβµνRαβµν
− 1 30⇤R + 1 12WµνW µν + 1 2Q2 − 1 6RQ + 1 6⇤Q,
E0(x) = I, E1(x) = 1 6R I − Q,
… ¡
(⇤ + Q)Ψ(x) = 0
Final ¡result: ¡
¡ ¡
hQ(Σ2)i hQ(Σ1)i = 1 24⇡2 Z t2
t1
dt Z d3~ xpgRµ⌫↵
?Rµ⌫↵
Gravity ¡dis1nguishes ¡right ¡and ¡le\ ¡photons: ¡ different ¡Bogoloubov ¡coefficients ¡
hQD(Σ1)i ⇠ 2 Z d3k hD a†
R(~
k)aR(~ k) E
a†
L(~
k)aL(~ k) Ei ⇡ 0
hQD(Σ2)i ⇠ 2 Z d3k hD A†
R(~
k)AR(~ k) E
A†
L(~
k)AL(~ k) Ei = 2 Z d3k ⇥ |R|2 |L|2⇤ 6= 0
¡ ¡
hQ(Σ2)i hQ(Σ1)i = 1 24⇡2 Z t2
t1
dt Z d3~ xpgRµ⌫↵
?Rµ⌫↵
The ¡presence ¡of ¡photons ¡ini1ally ¡may ¡ probably ¡s,mulate ¡this ¡effect! ¡ Earth ¡
¡ ¡ ¡
polariza1on ¡and ¡lensing ¡ Rota1ng ¡black ¡holes ¡
symmetry ¡when ¡a ¡non-‑trivial ¡space1me ¡is ¡considered. ¡
to ¡measure ¡net ¡polariza,on ¡induced ¡by ¡gravita,onal ¡dynamics. ¡
signature ¡theorem. ¡ ¡ ¡
Z d4xpg hrµjµ
Di = 2[n(1, 0) n(0, 1)]
~, G