Credal Networks under Epistemic Irrelevance: Theory and - - PowerPoint PPT Presentation

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

Bayesian ¡

§ Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Bayesian ¡networks: ¡variables ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

Xs

Bayesian ¡networks: ¡variables ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Bayesian ¡networks: ¡graphical ¡structure ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡ § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

Bayesian ¡networks: ¡graphical ¡structure ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Bayesian ¡networks: ¡graphical ¡structure ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡ § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

Bayesian ¡networks: ¡graphical ¡structure ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Bayesian ¡networks: ¡graphical ¡structure ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Bayesian ¡networks: ¡local ¡models ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡ § Local ¡uncertainty ¡models ¡ § Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

§ Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

Bayesian ¡networks: ¡local ¡models ¡

§ Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ Example: ¡ X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

pscxP (s) p4cx{2,3}

§ Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

Bayesian ¡networks: ¡local ¡models ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Bayesian ¡networks: ¡local ¡models ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

Bayesian ¡networks: ¡independence ¡

§ Independence ¡assumpLons ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ pscxP (s) § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

Bayesian ¡networks: ¡independence ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ pscxP (s) ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

Bayesian ¡networks: ¡independence ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Bayesian ¡networks: ¡independence ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

Bayesian ¡networks: ¡basic ¡setup ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ pscxP (s) ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

Bayesian ¡networks: ¡the ¡global ¡model ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s)) = pscxP (s)(xs)

Bayesian ¡networks: ¡the ¡global ¡model ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ pscxP (s) ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s)) = pscxP (s)(xs)

Bayesian ¡networks: ¡the ¡global ¡model ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ pscxP (s) ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s)) = pscxP (s)(xs)

Bayesian ¡networks: ¡the ¡global ¡model ¡

p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s)) = pscxP (s)(xs) p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs)

Bayesian ¡networks: ¡the ¡global ¡model ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs)

Bayesian ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S)

Bayesian ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S)

Bayesian ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S) Decision ¡making ¡

X6 ¡ X5 ¡ X1 ¡ X2 ¡ X8 ¡ X9 ¡ X3 ¡ X4 ¡ X7 ¡ Evidence ¡nodes ¡ Query ¡nodes ¡

Bayesian ¡networks: ¡inference ¡

p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE)

Bayesian ¡networks: ¡inference ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

A ¡real ¡medical ¡example ¡

Bayesian ¡networks: ¡examples ¡

A ¡real ¡example ¡from ¡ automobile ¡ ¡ insurance ¡

Bayesian ¡networks: ¡examples ¡

A ¡real ¡example ¡in ¡ adverLsement, ¡ ¡ used ¡to ¡opLmise ¡and ¡ individualise ¡the ¡ adverLsments ¡that ¡ are ¡shown ¡on ¡ websites ¡

Bayesian ¡networks: ¡examples ¡

Bayesian ¡networks: ¡in ¡a ¡perfect ¡world… ¡

§ Local ¡uncertainty ¡models: ¡ mass ¡funcLons ¡ X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

pscxP (s)

What ¡if ¡we ¡don’t ¡ know ¡them ¡exactly? ¡

Bayesian ¡networks: ¡in ¡a ¡perfect ¡world… ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

A ¡real ¡medical ¡example ¡

Bayesian ¡networks: ¡in ¡a ¡perfect ¡world… ¡

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

Bayesian ¡

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡

Credal ¡networks: ¡credal ¡sets ¡

§ Local ¡uncertainty ¡models: ¡ credal ¡sets ¡ § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡credal ¡sets ¡

Flu ¡ Muscle ¡Pain ¡ CongesLon ¡ Hayfever ¡ Itchy ¡nose ¡ Season ¡

Credal ¡networks: ¡independence? ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ credal ¡sets ¡ § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

? ¡

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡ FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡complete ¡independence ¡

§ Independence ¡assumpLons: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ credal ¡sets ¡ ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

pscxP (s)

∈

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡ FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡complete ¡independence ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs)

∈ FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S)

∈

? ¡

FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S)

∈

Lower ¡and ¡ upper ¡bounds! ¡ FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S) Decision ¡making ¡

∈

? ¡

FscxP (s) Lower ¡and ¡ upper ¡bounds! ¡

Credal ¡networks: ¡inference ¡

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs) p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S) Decision ¡making ¡

∈

MulLple ¡ decisions! ¡ Lower ¡and ¡ upper ¡bounds! ¡ FscxP (s)

A ¡real ¡medical ¡example ¡

Credal ¡networks: ¡inference ¡

Credal ¡networks: ¡in ¡a ¡perfect ¡world… ¡

Are ¡you ¡sure ¡they ¡ are ¡completely ¡ independent? ¡ § Independence ¡assumpLons: ¡ ∀s ∈ G: I(N(s), s |P(s)) Maybe ¡they ¡are ¡almost ¡ independent? ¡ What ¡does ¡ `almost’ ¡ mean? ¡

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

Credal ¡networks: ¡epistemic ¡irrelevance ¡

§ Epistemic ¡irrelevance: ¡ § Local ¡uncertainty ¡models: ¡ credal ¡sets ¡ § Variables ¡Xs ¡take ¡values ¡xs ¡in ¡ a ¡finite ¡non-­‑empty ¡set ¡ ¡ ¡

Xs

§ Graphical ¡structure: ¡DAG ¡

∀s ∈ G: P(s), D(s), N(s)

X2 ¡ X1 ¡ X4 ¡ X6 ¡ X7 ¡ X5 ¡ X3 ¡ X8 ¡ ∀s ∈ G: IR(N(s), s |P(s)) FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡epistemic ¡irrelevance ¡

§ Epistemic ¡irrelevance: ¡ ∀s ∈ G: IR(N(s), s |P(s))

FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡epistemic ¡irrelevance ¡

∈

p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s))

∈

Almost ¡independence! ¡

FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡epistemic ¡irrelevance ¡

∈

p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s))

∈

Almost ¡independence! ¡ What ¡is ¡ independence? ¡ What ¡is ¡ probability? ¡ What ¡is ¡ uncertainty? ¡

FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡epistemic ¡irrelevance ¡

What ¡is ¡ independence? ¡ What ¡is ¡ probability? ¡ What ¡is ¡ uncertainty? ¡

DscxP (s),xN(s) = DscxP (s) MscxP (s),xN(s) = MscxP (s) P scxP (s),xN(s) = P scxP (s) FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡epistemic ¡irrelevance ¡

∈

p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s))

∈

Almost ¡independence! ¡

FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

Credal ¡networks: ¡the ¡global ¡model? ¡

∈

p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s))

∈

FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

p(xG) = Y

s2G

pscxP (s)(xs)

∈ FscxP (s)

? ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension ¡

∈

p(xscxP (s), xN(s)) = p(xscxP (s))

∈

FscxP (s),xN(s) = FscxP (s)

the ¡set ¡of ¡all ¡global ¡probability ¡ mass ¡funcLons ¡that ¡are ¡compaLble ¡ with ¡our ¡assessments ¡

p(xQcxE) = p(xQ∪E) p(xE) p(xS) = X

xG\S

p(xS, xG\S) Decision ¡making ¡ MulLple ¡ decisions! ¡ Lower ¡and ¡ upper ¡bounds! ¡

? ¡ ? ¡ ? ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension: ¡inference? ¡

the ¡set ¡of ¡all ¡global ¡probability ¡ mass ¡funcLons ¡that ¡are ¡compaLble ¡ with ¡our ¡assessments ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension ¡

The ¡global ¡model ¡can ¡be ¡described ¡in ¡terms ¡of ¡ linear ¡constraints ¡

Inference ¡can ¡be ¡performed ¡ using ¡linear ¡programming ¡ techniques ¡ (Cozman, ¡2000) ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension ¡

The ¡global ¡model ¡can ¡be ¡described ¡in ¡terms ¡of ¡ linear ¡constraints ¡

Inference ¡can ¡be ¡performed ¡ using ¡linear ¡programming ¡ techniques ¡ (Cozman, ¡2000) ¡

§ Equally ¡simple ¡representaLons ¡in ¡terms ¡

• f ¡three ¡other ¡frameworks! ¡

§ Without ¡a ¡posiLvity ¡assumpLon! ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension ¡

The ¡global ¡model ¡can ¡be ¡described ¡in ¡terms ¡of ¡ linear ¡constraints ¡

Inference ¡can ¡be ¡performed ¡ using ¡linear ¡programming ¡ techniques ¡ (Cozman, ¡2000) ¡ # ¡constraints ¡is ¡exponenGal ¡ ¡in ¡the ¡size ¡of ¡the ¡network! ¡

§ Equally ¡simple ¡representaLons ¡in ¡terms ¡

• f ¡three ¡other ¡frameworks! ¡

§ Without ¡a ¡posiLvity ¡assumpLon! ¡

Jasper ¡De ¡Bock ¡ Credal ¡Networks ¡under ¡ Epistemic ¡Irrelevance: ¡ Theory ¡and ¡Algorithms ¡

13 ¡May ¡2015, ¡Ghent, ¡Belgium ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension ¡

TheoreGcal ¡properGes ¡ § ConnecLons ¡with ¡marginal ¡ and ¡independent ¡natural ¡ extension ¡ § MarginalisaLon ¡properLes ¡ § AD-­‑separaLon ¡implies ¡ ¡ epistemic ¡irrelevance ¡ § … ¡

The ¡irrelevant ¡natural ¡extension ¡

Inference ¡algorithms ¡ § For ¡recursively ¡ decomposable ¡networks, ¡ inference ¡is ¡very ¡efficient! ¡ § Non-­‑decomposable ¡networks ¡ ¡ can ¡also ¡be ¡dealt ¡with ¡(on ¡a ¡case ¡by ¡case ¡basis) ¡ § Complex ¡types ¡of ¡inference ¡are ¡possible! ¡ § … ¡

For ¡trees: ¡(Cooman ¡et ¡al., ¡2010) ¡

Cosa ¡si ¡può ¡fare ¡ con ¡esso? ¡

Scan ¡and ¡apply ¡ OpGcal ¡Character ¡ RecogniGon ¡ soNware ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

Scan ¡and ¡apply ¡ OpGcal ¡Character ¡ RecogniGon ¡ soNware ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

DOCTORAAT ¡ DOCTQRAAT ¡

Scan ¡and ¡apply ¡ OpGcal ¡Character ¡ RecogniGon ¡ soNware ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

Bayesian ¡or ¡credal ¡networks ¡ Correct ¡errors ¡ DOCTORAAT ¡ DOCTQRAAT ¡

X4 ¡ X6 ¡ X5 ¡ X1 ¡ X2 ¡ X3 ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

X4 ¡ X6 ¡ X5 ¡ X2 ¡ X3 ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

Evidence ¡nodes ¡ Query ¡nodes ¡

X1 ¡

H ¡ T ¡ F ¡ H ¡ E ¡ T ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

? ¡ ? ¡ ? ¡ H ¡ T ¡ F ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

? ¡ ? ¡ ? ¡ H ¡ T ¡ F ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

p1 p2cx1 p3cx2 p4cx1 p5cx2 p6cx3

Bayesian ¡ network ¡

? ¡ ? ¡ ? ¡ H ¡ T ¡ F ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

Credal ¡ network ¡

F1 F2cx1 F4cx1 F5cx2 F3cx2 F6cx3

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

La ¡Divina ¡Commedia ¡

Data ¡is ¡scarce ¡(or ¡expensive) ¡ Obtaining ¡accurate ¡ probabiliLes ¡is ¡unrealisLc ¡

• riginal ¡

VITA ¡

correctly ¡read ¡ digital ¡

VITA ¡

SoluGon ¡Bayesian ¡network ¡

VITA ¡ VITA ¡

SoluGon(s) ¡credal ¡network ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

CON ¡ CCN ¡ CON ¡ CON ¡

• riginal ¡

incorrectly ¡read ¡ digital ¡ SoluGon ¡Bayesian ¡network ¡ SoluGon(s) ¡credal ¡network ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

• riginal ¡

incorrectly ¡read ¡ digital ¡ SoluGon ¡Bayesian ¡network ¡ SoluGon(s) ¡credal ¡network ¡

CHE ¡ CNE ¡ ONE ¡ CBE ¡ ¡ ¡CHE ¡ CNE ¡ ¡ ¡CZE ¡ ¡ ONE ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

• riginal ¡

correctly ¡read ¡ SoluGon ¡Bayesian ¡network ¡ SoluGon(s) ¡credal ¡network ¡

EH ¡ EN ¡ CH ¡ EH ¡ EN ¡ EH ¡

digital ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

TOTAL ¡ Credal ¡network ¡ Includes ¡correct ¡answer ¡ Only ¡wrong ¡answers ¡ Bayesian ¡network ¡ Correct ¡answer ¡ Wrong ¡answer ¡ TOTAL ¡ OCR ¡correct ¡ OCR ¡wrong ¡ OCR ¡ Bayesian ¡or ¡credal ¡networks ¡

An ¡applicaGon: ¡correcGng ¡OCR ¡errors ¡

TOTAL ¡ Credal ¡network ¡ Includes ¡correct ¡answer ¡ Only ¡wrong ¡answers ¡ Bayesian ¡network ¡ Correct ¡answer ¡ Wrong ¡answer ¡ TOTAL ¡ OCR ¡correct ¡ OCR ¡wrong ¡ Words ¡for ¡which ¡the ¡credal ¡network ¡suggests ¡mulLple ¡answers ¡

Cosa ¡si ¡può ¡fare ¡ con ¡esso? ¡

Ci ¡sono ¡ domande? ¡