Chapter 6 Reduction of Multiple Sub-Systems - - PowerPoint PPT Presentation

▶
chapter 6
SMART_READER_LITE
LIVE PREVIEW

Chapter 6 Reduction of Multiple Sub-Systems - - PowerPoint PPT Presentation

Oct 23, 2023 334 likes •1.03k views

Chapter 6 Reduction of Multiple Sub-Systems 5 2547 1 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

slide-1
SLIDE 1

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 1 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Chapter 6

Reduction of Multiple Sub-Systems

slide-2
SLIDE 2

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 2 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Outline

  • Block diagram
  • Signal flow graph
slide-3
SLIDE 3

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 3 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Components of a block diagram for a linear, time-invariant system

Signals

slide-4
SLIDE 4

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 4 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

System

slide-5
SLIDE 5

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 5 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Summing Junction

slide-6
SLIDE 6

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 6 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Pickoff point

slide-7
SLIDE 7

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 7 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

  • a. Cascaded subsystems
  • b. equivalent transfer function
slide-8
SLIDE 8

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 8 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

  • a. Parallel subsystems
  • b. equivalent transfer function
slide-9
SLIDE 9

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 9 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Feedback Control System

slide-10
SLIDE 10

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 10 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Eliminating single feedback loops

slide-11
SLIDE 11

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 11 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Moving a block to the left past a summing junction

slide-12
SLIDE 12

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 12 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Moving a block to the right past a summing junction

slide-13
SLIDE 13

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 13 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Moving a block to the left past a pickoff point

slide-14
SLIDE 14

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 14 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Moving a block to left past a pickoff point

G(s) R(s) Y(s) G(s) 1/G(s) R(s) Y(s) Y(s)

slide-15
SLIDE 15

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 15 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Moving a block to the right past a pickoff point

slide-16
SLIDE 16

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 16 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Moving a block to right past a pick-off point

G(s) R(s) Y(s) G(s) G(s) R(s) Y(s) Y(s)

slide-17
SLIDE 17

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 17 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Example

Y(s) G2 G3 H2 H1 G1 + + + +

  • R(s)
slide-18
SLIDE 18

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 18 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Step 1: move block to summing junction

Y(s) G2 G3 H2 H1 G1 + + + +

  • R(s)
slide-19
SLIDE 19

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 19 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Result

Y(s) 1/G2 G3 H2 H1 G1 + + + +

  • R(s)

G2

slide-20
SLIDE 20

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 20 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Step 2: summing each block

Y(s) G2/(1+G2H2) H1 G1+G3/G2 +

  • R(s)
slide-21
SLIDE 21

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 21 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Step 3: Answer

Y(s) R(s)

G1G2G3 1G2H 2G1G 2H 1G3H 1

slide-22
SLIDE 22

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 22 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

slide-23
SLIDE 23

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 23 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

slide-24
SLIDE 24

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 24 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Example 5.1 (Nise)

slide-25
SLIDE 25

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 25 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Example 5.2 (Nise)

slide-26
SLIDE 26

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 26 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal-Flow Graphs

Signal-flow graph components: a. System; b. signal;

  • c. interconnection of systems and signals
slide-27
SLIDE 27

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 27 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Building signal-flow graphs

Cascaded system nodes and cascaded system signal-flow graph

slide-28
SLIDE 28

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 28 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Building signal-flow graphs

Parallel system nodes and parallel system signal-flow graph

slide-29
SLIDE 29

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 29 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Building signal-flow graphs

Feedback system nodes feedback system signal-flow graph

slide-30
SLIDE 30

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 30 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Example 5.3 Building signal-flow graphs from the system below

slide-31
SLIDE 31

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 31 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal-flow graph development of Ex. 5.2

Signal nodes

slide-32
SLIDE 32

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 32 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal-flow graph development of Ex. 5.2

Signal-flow graph

slide-33
SLIDE 33

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 33 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Simplified signal-flow graph

Signal-flow graph development of Ex. 5.2

slide-34
SLIDE 34

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 34 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Single Flow Graph Definitions

Node : Nodes on a signal flow graph represent system variables. Branch : Branches are unidirectional paths that connect the nodes. An arrow is assigned to indicate the direction of cause and effect. Input node : An input node has only out going branches.

slide-35
SLIDE 35

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 35 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Single Flow Graph Definitions

Output node : An output node has only incoming branches. Path : A path is continuous connection of branches with arrows in the same direction. Loop : A loop is path that starts and ends on the same node with all other nodes in the loop touched only once. Common node : A common node is a node that is contained in two or more loops.

slide-36
SLIDE 36

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 36 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Single Flow Graph Definitions

Non-touching loop : Non-touching loops are loops that no common nodes Forward path : A forward path starts at an input node, ends at an output node, and touches no node more than

  • nce. A forward path may traverse one or more

feedback branches in proceeding from input to

  • utput

node.

slide-37
SLIDE 37

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 37 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Single Flow Graph Definitions

Gains : Gains for paths and loops are defined as the products of branch gains for the paths or loops.

slide-38
SLIDE 38

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 38 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Mason’s Rule

Signal-flow graph for demonstrating Mason’s rule

slide-39
SLIDE 39

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 39 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal-flow graph for an example

slide-40
SLIDE 40

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 40 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Mason’s formula for transfer function

C s Rs=

∑

k

T k k

k=number of forward path T k=the kth forward−path gain

slide-41
SLIDE 41

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 41 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

=1− loop gain nontouching−loop gains taken two at atime− nontouching−loop gains taken three at atime nontouching−loop gainstaken four at atime−⋯ k=− loop gain terms in that touchthe kth forward path.In other word ,k is formed by eliminating formthose loop gain that touch the kth forward path

slide-42
SLIDE 42

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 42 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Example 1

slide-43
SLIDE 43

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 43 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

T 1=G1G2 L1=−G2H2 L2=−G1G2H1 L3=−G3H1 T 2=G3

Loop gain Forward path gain

slide-44
SLIDE 44

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 44 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

=1−[L1L2L3] =1G2H2G1G2H1G3H1 Y s Rs=T 11T 22  G s= G1G2G3 1G2H2G1G2H1G3H1

slide-45
SLIDE 45

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 45 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

To find ∆k

Using same formula for ∆but excluding single loops  (and combinations of there) that touch the kth path.

slide-46
SLIDE 46

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 46 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Example 2

Y(s) G2 G3 H2 H1 G1 + + + +

  • R(s) +

H3

slide-47
SLIDE 47

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 47 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal flow graph of Example 2

slide-48
SLIDE 48

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 48 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

SOLUTION

L1=−G1G2H1 L2=−G1G2H3 L3=−G2H2 L4=−G3H1 Loop gain

slide-49
SLIDE 49

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 49 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

T 1=G1G2 T 2=G3

Forward path gain

=1−[L1L2L3L4][L2L4] =1G1G2H1G1G2H3G2H2G3H1G1G2G3H1H3

1=1 2=1−L2

=1G1G2H3

slide-50
SLIDE 50

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 50 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Y s Rs=T k k 

Y s Rs= G1G2G31G1G2H3 1G1G2H1G1G2H3G2H2G3H1G1G2H1H3

Transfer function

slide-51
SLIDE 51

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 51 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal-Flow Graphs of State Equation

x

. 1=2x1−5x23x32r

x

. 2=−6x1−2x22x35r

x

. 3=x1−3x2−4x37r

y=−4x16x29x3

slide-52
SLIDE 52

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 52 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Stages of development of a signal-flow graph

(a) Place nodes (b) Interconnect state variables and derivatives

slide-53
SLIDE 53

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 53 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

(c) Form dx1/dt

Stages of development of a signal-flow graph

slide-54
SLIDE 54

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 54 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Stages of development of a signal-flow graph

(d) form dx2/dt

slide-55
SLIDE 55

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 55 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Stages of development of a signal-flow graph

(e) form dx3/dt

slide-56
SLIDE 56

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 56 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

(f) form output

Stages of development of a signal-flow graph

slide-57
SLIDE 57

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 57 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Alternative Representations in State Space

Representation of system as cascaded first-order systems

C s Rs= 24 s2s3s4

slide-58
SLIDE 58

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 58 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Ci s Ri s= 1 sai saiC is=Ris dc it  dt ai c it=r it  dc it  dt =−ai c itr it 

slide-59
SLIDE 59

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 59 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

  • a. First-order subsystem;
  • b. signal-flow graph for a system
slide-60
SLIDE 60

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 60 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

C s Rs= 24 s2s3s4

= 12 s2− 24 s3 12 s4

Signal-flow representation for parallel form

slide-61
SLIDE 61

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 61 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Signal-flow representation for parallel form

slide-62
SLIDE 62

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 62 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Controller Canonical Form

C s Rs= s

27s2

s39s226s24

[

x

. 1

x

. 2

x

. 3]

=[ 1 1 −24 −26 −9][ x1 x2 x3] [ 1] y=[2 7 1][ x1 x2 x3]

slide-63
SLIDE 63

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 63 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

(a) phase-variable form (b) controller canonical form

Signal-flow graph for controller canonical form variables

slide-64
SLIDE 64

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 64 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Observer Canonical Form

C s Rs= 1 s  7 s

2 2

s

3

19 s 26 s

2 24

s

3

x

.

=[ −9 1 −26 1 −24 0]x[ 1 7 2]r

y=[1 0]x

slide-65
SLIDE 65

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 65 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

(a) planning (b) implementation

Signal-flow graph for observer canonical form variables

slide-66
SLIDE 66

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 66 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

Similarity Transformations

State-space forms for C(s)/R(s) = (s+ 3)/[(s+ 4)(s+ 6)]. Note: y = c(t)

slide-67
SLIDE 67

ผเรยบเรยง ธเนศ เคารพาพงศ แกไข 5 พฤศจกายน 2547 หนา 67 240-209 : Reduction of Multiple Sub-Systems

State-space transformations