ADJOINT APPROACH TO ACCELERATOR LATTICE DESIGN* T.M. - - PowerPoint PPT Presentation

ADJOINT ¡APPROACH ¡ ¡TO ¡ ACCELERATOR ¡LATTICE ¡DESIGN* ¡ ¡

T.M. ¡Antonsen, ¡I. ¡Haber, ¡B. ¡L. ¡Beaudoin ¡ Ins6tute ¡for ¡Research ¡in ¡Electronics ¡and ¡ Applied ¡Physics ¡ University ¡of ¡Maryland ¡

* ¡Supported ¡by ¡US ¡DoE ¡under ¡grant ¡DESC0010301 ¡ ¡ ¡

Op6miza6on ¡of ¡Focusing ¡Magnets ¡in ¡ Accelerator ¡LaNces ¡ ¡

The ¡University ¡of ¡Maryland ¡Electron ¡Ring ¡

UMER ¡is ¡a ¡fully ¡func8onal ¡electron ¡storage ¡ring ¡

UMER ¡Systems ¡and ¡Layout ¡

§ ¡167 ¡Magnets, ¡power ¡supplies ¡& ¡ ¡ ¡ ¡ ¡controls. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ x ¡ x ¡ x’=dx/ds ¡ x’=dx/ds ¡ Transverse ¡ Phase ¡space ¡ Want ¡to ¡avoid ¡ trajectories ¡outside ¡ here ¡

Goal: ¡Develop ¡an ¡efficient ¡approach ¡to ¡compu6ng ¡ the ¡parameter ¡gradient ¡of ¡a ¡Figure ¡of ¡Merit ¡

Direct ¡Approach: ¡ ¡ ¡Vary ¡individually ¡strength ¡and ¡posi6on ¡of ¡each ¡magnet ¡ ¡ ¡Evaluate ¡a ¡Figure ¡of ¡Merit ¡(FoM) ¡ ¡Many ¡computa6ons ¡( ¡ ¡≈ ¡Number ¡of ¡parameters) ¡ ¡ ¡ Adjoint ¡Approach: ¡ ¡For ¡a ¡given ¡Figure ¡of ¡Merit, ¡solve ¡a ¡related ¡problem ¡for ¡the ¡ ¡sensi6vity ¡of ¡the ¡FoM ¡to ¡all ¡parameters ¡( ¡single ¡computa6on) ¡

V ¡ V ¡ Receiving ¡ Sending ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Reciprocity ¡of ¡ Antenna ¡Receiving ¡ and ¡Sending ¡Pa`erns ¡

Adjoint ¡Treatment ¡Electron ¡ Gun ¡

K ¡ A ¡ C ¡ K ¡ A ¡ C ¡ Problem ¡#1 ¡ Change ¡in ¡Metric ¡–δFoM, ¡ ¡e.g. ¡RMS ¡ ¡beam ¡radius ¡

δΦA(x)

Due ¡to ¡wall ¡displacement ¡ Reverse ¡and ¡perturb ¡electron ¡ coordinates, ¡ depends ¡on ¡metric ¡

δFoM ∝ dA

∫

δEnδΦA

The ¡sensi6vity ¡func6on ¡ Problem ¡#2 ¡

δEn Calculate ¡and ¡record ¡change ¡in ¡

normal ¡E. ¡ Electrons ¡run ¡backwards ¡ ¡T. ¡Antonsen, ¡D. ¡Chernin, ¡J. ¡Pe6llo, ¡ Physics ¡of ¡Plasmas ¡26, ¡013109 ¡(2019) ¡ cathode ¡ anode ¡ Parameters: ¡shape ¡of ¡the ¡anode, ¡ ¡Figure ¡of ¡merit: ¡RMS ¡beam ¡radius ¡

Governing ¡Equa6ons ¡

dx j dt = ∂H ∂p dpj dt = −∂H ∂x

Equations of motion for N particles j=1,N Accumulate charge and current density Solve

! −∇2Φ = 4πρ, −∇2A = 4π c j

Iterates until converged

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Michelle: Petillo, J; Eppley, K; Panagos, D; et al., IEEE TPS 30, 1238-1264 (2002).

! ρ(x)= I j dt δ

Tj

∫

j

∑

(x − x j(t)), j(x)= I j dt ! x jδ

Tj

∫

j

∑

(x − x j(t))

! [δ x j

(X )(t),δpj (X )(t)]

! [δ x j

(Y )(t),δpj (Y )(t)]

Reference Solution + Two Linearized Solutions

! x j ,p j

( )→ x j ,p j ( )+ δx j ,δp j ( )

!Φ(x)→ Φ(x)+δΦ(x)

!ρ(x)→ ρ(x)+δρ(x)

Two Linearized Solutions Subject to different BC’s Generalized Green’s Theorem true adjoint

Reference ¡Solu6on ¡ Perturba6on ¡ ¡T. ¡Antonsen, ¡D. ¡Chernin, ¡J. ¡Pe6llo, ¡2018 ¡arXiv:1807.07898, ¡ ¡ Physics ¡of ¡Plasmas ¡26, ¡013109 ¡(2019) ¡

! I j

j

∑

δp j

(X )⋅δx j (Y ) −δp j (Y )⋅δx j (X )

( )

L

= − q 4π d2xδφ(X )n⋅∇δφ(Y ) +

B

∫

q d3x

∫

δjm

(X )⋅δA(Y )

!+ X

( )↔ Y ( )

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

Adjoint ¡Rela6on ¡

Z=0 ¡ Z=L ¡

! I j I

j

∑

δp j

(X )⋅δx j (Y ) −δp j (Y )⋅δx j (X )

( )

L

=

! − q 4πI d2xδφ(X )n⋅∇δφ(Y ) −

B

∫

X

( )↔ Y ( )

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

Difference ¡of ¡symplec6c ¡ areas ¡entering ¡and ¡leaving ¡ Changes ¡in ¡field ¡flux ¡on ¡ boundary ¡ Beam ¡Par6cles ¡ Simula6on ¡boundary ¡

SensiFvity ¡of ¡Beam ¡Radius ¡to ¡ Electrode ¡Shape ¡

! I j I

j

∑

δp j

(X )⋅δx j (Y ) −δp j (Y )⋅δx j (X )

( )0

L

= − qε0 I d2xδφ(X )n⋅∇δφ(Y ) +

B

∫

q d3x

∫

δjm ⋅δA(Y ) Change in symplectic area Particles perturbed and run backwards

! −λ I j I

j

∑

δx j

(X )⋅x⊥ j = − λ

2δ x⊥

2

Sensitivity to changes Sensitivity to changes in electrode position Appropriate choice of perturbed coordinates ¡T. ¡Antonsen, ¡D. ¡Chernin, ¡J. ¡ Pe6llo, ¡Physics ¡of ¡Plasmas ¡ 26, ¡013109 ¡(2019) ¡

Circular ¡Accelerators-­‑Periodicity ¡

Need ¡to ¡maintain ¡ periodicity ¡of ¡distribu6on, ¡ not ¡individual ¡orbits ¡

! I j I

j

∑

δp j

(X )⋅δx j (Y ) −δp j (Y )⋅δx j (X )

( )

L

= − q 4πI d2xδφ(X )n⋅∇δφ(Y ) +

B

∫

q d3x

∫

δjm

(X )⋅δA(Y ) +

X

( )↔ Y ( )

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

Pick ¡nonperiodic ¡ adjoint ¡coordinate ¡ perturba6ons ¡to ¡realize ¡ desired ¡FoM ¡

z=0, ¡z=L ¡

Progress/Problems ¡-­‑ ¡Circular ¡ Accelerators ¡

• 1. Finding ¡a ¡periodic ¡reference ¡solu6on ¡
• 2. Construc6ng ¡nonperiodic ¡adjoint ¡solu6on ¡to ¡give ¡desired ¡FoM ¡
• 3. Achieved ¡for ¡moment ¡(envelope) ¡Eqs. ¡

b(z) ¡ a(z) ¡ z ¡

! d2 dz2 a(z)= kx(z)a+ K a+b + ε 2 a

Quadrupole ¡ Focusing ¡ Space ¡Charge ¡ Emmi`ance ¡ Hamiltonian ¡System ¡

WARP: ¡A. ¡Friedman, ¡et ¡al., ¡ IEEE ¡Trans. ¡Plasma ¡Sci. ¡42(5), ¡ 1321 ¡(2014). ¡ ¡

Sensi6vity ¡to ¡Change ¡in ¡Quadrupole ¡ Focusing ¡Strength ¡ ¡

Figure ¡of ¡Merit ¡effec6ve ¡ phase ¡space ¡area ¡

! F = 1 2 da dz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

2

+ db dz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

2

+ λ −2 a2 +b2

( )

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

z=L

! δF = 1 ε2 dz

L

∫

kx

(1)aa(2) +k y (1)bb(2)

( )

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

Change ¡in ¡Figure ¡of ¡Merit ¡

Reference ¡focusing ¡profile ¡

Change ¡in ¡focusing ¡strength ¡

Conclusion ¡

Adjoint ¡determina6on ¡of ¡magnet ¡sensi6vity ¡func6on ¡can ¡be ¡ realized ¡using ¡generalized ¡Green’s ¡Theorem ¡ ¡ Sensi6vity ¡func6on ¡based ¡on ¡envelope ¡equa6ons ¡calculated ¡ ¡ Next ¡step ¡is ¡to ¡treat ¡the ¡par6cle ¡case ¡