A Theory of Coding for Chip- to-Chip Communica6on Amin - PowerPoint PPT Presentation

A ¡Theory ¡of ¡Coding ¡for ¡Chip-­‑ to-­‑Chip ¡Communica6on Amin ¡Shokrollahi ¡ and ¡the ¡engineering ¡team ¡of ¡Kandou Dagstuhl - August 2016

The ¡Problem Dagstuhl - August 2016

Chip-­‑to-­‑Chip ¡Communica6on Chip 1 Chip 2 Communica)on ¡ wires Dagstuhl - August 2016

Abundant…. Dagstuhl - August 2016

Noise Chip 1 Chip 2 Noise ¡scales ¡badly ¡with ¡frequency ¡of ¡transmission: ¡ Example: ¡-­‑40dB ¡at ¡frequency ¡ f, ¡ -­‑90dB ¡at ¡2 f Signal ¡strength ¡ Signal ¡strength ¡ drops ¡to ¡~1% ¡ drops ¡to ¡ ¡~0.003% Dagstuhl - August 2016

Power Supercomputers Data centers Internal traffic in Giga- 1E+12 4E+11 bits per second Power in Mega-Watts 20000 8000 Mul6ply ¡by ¡4 ¡in ¡every ¡genera6on ¡(~2 ¡years) ¡ Very ¡par6ally ¡offset ¡by ¡Moore’s ¡law Dagstuhl - August 2016

Point ¡in ¡Case “While ¡CPU’s ¡doubled ¡performance ¡every ¡two ¡years, ¡ evolu6on ¡from ¡1 ¡GigE ¡to ¡10GigE ¡took ¡12 ¡years, ¡and ¡WAN ¡ routers ¡increased ¡throughput ¡only ¡4-­‑fold ¡during ¡the ¡same ¡ 6me ¡period.” ¡[6] Andy ¡Bechtolsheim, ¡2012 Dagstuhl - August 2016

Capacity ~20x 450 Throughput per wire (Gbps) 400 350 300 250 200 150 100 50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Today Std dev of noise (mV) Dagstuhl - August 2016

Channel ¡is ¡NOT ¡Similar ¡to…. Or ¡any ¡channel ¡with ¡a ¡lot ¡of ¡“random” ¡noise Dagstuhl - August 2016

Noise Deterministic Random SSO Ref Xtlk EMI CM ISI Thermal Almost ¡all ¡noise ¡is ¡determinis6c ¡ but ¡resources ¡are ¡6ght Dagstuhl - August 2016

Rule ¡of ¡Thousands Throughput Energy/bit Recovery ¡)me/bit Wireless Mbps nJ nano-­‑second Chip-­‑to-­‑Chip Gbps pJ pico-­‑second Hardly ¡any ¡power ¡or ¡6me ¡to ¡recover ¡a ¡transmiaed ¡bit Dagstuhl - August 2016

Differen6al ¡Signaling Driver ~ x Comparator b + Transmission ¡line sgn( x-­‑ y) ~ -b - y Transmits ¡one ¡bit ¡per ¡ a ¡pair ¡of ¡wires Dagstuhl - August 2016

Chordal ¡Codes Brief ¡intro ¡into ¡theory Dagstuhl - August 2016

Chordal ¡Codes Codewords ¡(signals) Comparators ¡(central ¡hyperplanes) Opera6onal ¡constraints Dagstuhl - August 2016

Parameters ( C , Λ ) is ( n, N, I )-CC. • n is called the number of wires • log 2 ( N ) /n is the rate or the pin-e ffi ciency #bits ¡per ¡wire • | Λ | is called the detection complexity . Dagstuhl - August 2016

Electronics: ¡Comparators ¡ Efficient, ¡High-­‑Speed ¡Electronic ¡Circuits x + Referenced ¡comparators sgn( x -­‑ Ref ) - Ref Dagstuhl - August 2016

Electronics: ¡Comparators ¡ Efficient, ¡High-­‑Speed ¡Electronic ¡Circuits x + Differen6al ¡comparators sgn( x − y ) - y • Circuit ¡should ¡not ¡have ¡any ¡gain. ¡ • Therefore, ¡only ¡convex ¡combina6ons ¡ allowed. x 1 + Convex ¡combina6on x k ⇣P k ⌘ i =1 a i x i − P m Mul6-­‑Input ¡comparators ¡ ¡ j =1 b j y j sgn y 1 (MIC) - Convex ¡combina6on y m Dagstuhl - August 2016

Geometry: ¡ ¡ x 1 + x k ⇣P k ⌘ i =1 a i x i − P m j =1 b j y j sgn y 1 Central ¡Hyperplanes - y m + + + • A MIC corresponds to a central hyperplane + -­‑ • Each hyperplane subdivides space into two halves + -­‑ • Each codeword should ideally lie on one side or another -­‑ -­‑ • Not all codewords should lie on the same side -­‑ Dagstuhl - August 2016

Transmission ¡Chain Analog ¡drivers ¡ MIC’s ¡create ¡a ¡ Digital ¡encoder ¡ transmit ¡codeword ¡ sequence ¡of ¡bits ¡ selects ¡unique ¡ on ¡collec6on ¡of ¡ from ¡received ¡wire ¡ codeword wires values Digital ¡decoder ¡ Input ¡bits ¡enter ¡the ¡ recreates ¡bits ¡from ¡ transmission ¡system MIC ¡values c 0 + b 0 - b 0 c 1 + - b 1 b 1 + - Decoder Encoder MIC’s + - + - + - + - • MIC-signature of a codeword is sequence of outputs of MIC’s. • Necessary: Every codeword has unique MIC signature. Dagstuhl - August 2016

Chordal ¡Codes No ¡gain Unique ¡MIC ¡signature ¡ Dis6nguishability Dagstuhl - August 2016

First ¡Bound Given n and | Λ | , determine the largest N . What ¡is ¡the ¡largest ¡rate ¡for ¡a ¡given ¡detec6on ¡complexity? n − 1 ✓ | Λ | ◆ X (1 + ( − 1) n − 1 − i ) N ≤ i i =0 Zaslavsky’s ¡Formula ¡for ¡the ¡max ¡number ¡of ¡chambers ¡ of ¡an ¡arrangement ¡of ¡central ¡hyperplanes Dagstuhl - August 2016

Unbounded ¡Rate n − 1 ✓ | Λ | ◆ X (1 + ( − 1) n − 1 − i ) N ≤ i i =0 | Λ | = cn = ⇒ Rate ∼ 1 + log 2 ( c ) But: ¡ • Asympto6c ¡results ¡are ¡not ¡really ¡relevant ¡ • Didn’t ¡take ¡into ¡account ¡noise Dagstuhl - August 2016

Small ¡Chambers ¡ Suscep6bility ¡to ¡Noise ERROR Dagstuhl - August 2016

Noise: ¡Common ¡Mode a a + x b b + x c c + x Common mode noise d d + x e e + x • Bad ¡for ¡signal ¡integrity ¡ • Common ¡mode ¡should ¡be ¡rejected ¡at ¡receiver ¡ Means ¡that ¡comparators ¡should ¡evaluate ¡to ¡0 ¡on ¡vector ¡ ¡(1,1,1,...,1) ¡ • Codewords ¡should ¡have ¡no ¡common ¡mode ¡component ¡ Common ¡mode ¡component ¡is ¡along ¡vector ¡(1,1,1,...,1) ¡ Means ¡that ¡the ¡sum ¡of ¡the ¡values ¡on ¡the ¡wires ¡should ¡be ¡constant. Dagstuhl - August 2016

Noise: ¡Inter-­‑Symbol ¡Interference Error Leads ¡to ¡errors Dagstuhl - August 2016

Geometric ¡Interpreta6on Dagstuhl - August 2016

Chordal ¡Codes Common ¡mode ¡resilience ISI ¡resilience Dagstuhl - August 2016

Parameters ( C , Λ ) is ( n, N, I )-CC. • n is called the number of wires • log 2 ( N ) /n is the rate or the pin-e ffi ciency #bits ¡per ¡wires The ¡fewer ¡comparators ¡the ¡ • | Λ | is called the detection complexity . beaer ¡(for ¡power/area) • I is called the ISI-ratio (if equality holds for some λ , c, c 0 ). Small ¡ I ¡means ¡beaer ¡resilience ¡to ¡ISI Ali ¡Horma6 ¡[14,15] Dagstuhl - August 2016

Fundamental ¡Problem Given n and N , determine smallest I such that there is a ( n, N, I )-CC. Alternatively Given n and I , determine largest N such that there is a ( n, N, I )-CC. Dagstuhl - August 2016

Examples ¡ Differen6al ¡Signaling Same ¡distance Same ¡magnitude ISIR ¡= ¡1 ¡ (2,2,1)-­‑CC Dagstuhl - August 2016

Examples ¡ 3 ¡Wires 2x ¡magnitude ¡ ra6o ISIR ¡= ¡2 ¡ (3,6,2)-­‑CC Dagstuhl - August 2016

Bounds Obvious Every ¡comparator ¡gives ¡at ¡most ¡one ¡bit ¡of ¡informa6on Dagstuhl - August 2016

Construc6ons Some, ¡not ¡all…. Dagstuhl - August 2016

Tampering ¡Process What if sum of coordinates is not zero? Start with any set of codewords and comparators. • Construct ( n − 1) × n -matrix with – All rows orthogonal – Row-sum = 0 for all rows • c ∈ C : c · A . • λ ∈ Λ : λ · A . Tampering ¡process Dagstuhl - August 2016

Example ✓ 1 ◆ 0 − 1 1 1 − 1 2 2 Dagstuhl - August 2016

Linear ¡Chordal ¡Codes Scaling, ¡so ¡ coordinates ¡are ¡ between ¡±1 Apply tampering process to C = 1 m ( ± 1 , ± 1 , . . . , ± 1) · A • Vertices of the hypercube and Λ = scaled versions of rows of A • The coordinate axes.   1 − 1 1 − 1 C = 1 3( ± 1 , ± 1 , ± 1) · 1 1 − 1 − 1 C = ( ± 1) · (1 , − 1)   1 − 1 − 1 1 Λ = { (1 , − 1) } Λ = { (1 , − 1 , 1 , − 1) / 2 , (1 , 1 , − 1 , − 1) / 2 , (1 , − 1 , − 1 , 1) / 2 } Differen6al ENRZ Dagstuhl - August 2016

Op6mal ¡Chordal ¡Codes • Op6mal ¡number ¡of ¡comparators ¡ • Op6mal ¡number ¡of ¡codewords Dagstuhl - August 2016

Examples 0 0 0 0 Phantom CNRZ-­‑5 Dagstuhl - August 2016

Other ¡ISI ¡Ra6os ⇒ N ≤ (1 + I ) n − 1 . • Conjecture: ( n, N, I )-CC = • Max rate . log 2 (1 + I ) • Can show rate ∼ log 2 (1 + I ) for integer I . Dagstuhl - August 2016

Construc6on ¡Methods ¡ Relaxa6on • Define stripe around every hyperplane – Codewords inside a stripe are “inactive” for that hyperplane (and vice versa) – Codewords outside stripe are “active” for that hyperplane (and vice versa) • Any two codewords are separated by at least one active hyperplane • For ISI-ratio only active hyperplanes are considered Dagstuhl - August 2016

Relaxa6on • ISI-ratio without relaxation = ∞ • Inactive pairs: lines and incident points • Any two points separated by mutually active line √ • New ISI-ratio = (1 + 5) / 2. Dagstuhl - August 2016