A New Holographic Model of Spacelike Singulari7es Gary - - PowerPoint PPT Presentation

A ¡New ¡Holographic ¡Model ¡ ¡

• f ¡Spacelike ¡Singulari7es ¡

Gary ¡Horowitz ¡ UC ¡Santa ¡Barbara ¡

Gauge/gravity ¡duality ¡is ¡a ¡powerful ¡tool ¡to ¡try ¡to ¡ understand ¡physics ¡near ¡spacelike ¡singulari7es. ¡ ¡ It ¡maps ¡the ¡problem ¡into ¡a ¡problem ¡in ¡ordinary ¡QFT. ¡ ¡ We ¡will ¡focus ¡on ¡cosmological ¡singulari7es. ¡ ¡ We ¡need ¡to ¡construct ¡asympto7cally ¡AdS ¡solu7ons ¡ which ¡evolve ¡into ¡(or ¡from) ¡a ¡singularity ¡that ¡ extends ¡all ¡the ¡way ¡out ¡to ¡infinity. ¡

Outline ¡

Discuss ¡two ¡examples ¡of ¡cosmological ¡singulari7es ¡ in ¡AdS ¡and ¡what ¡is ¡know ¡about ¡the ¡dual ¡CFT ¡ descrip7on: ¡ ¡ 1) Review ¡older ¡work ¡with ¡Hertog ¡(2005) ¡ 2) Work ¡in ¡progress ¡with ¡Hertog ¡and ¡Engelhardt ¡

First ¡holographic ¡model ¡of ¡a ¡ cosmological ¡singularity ¡

Hertog ¡and ¡GH, ¡hep-­‑th/0406134, ¡hep-­‑th/0503071 ¡

Consider ¡gravity ¡in ¡AdS4 ¡coupled ¡to ¡a ¡scalar ¡with ¡ poten7al ¡V(φ) ¡having ¡m2 ¡= ¡-­‑2. ¡One ¡example ¡ coming ¡from ¡a ¡trunca7on ¡of ¡N ¡= ¡8 ¡SUGRA ¡is: ¡ ¡ ¡ Solu7ons ¡must ¡approach ¡ ds2 = −(r2 + 1)dt2 + dr2 r2 + 1 + r2dΩ V (φ) = −2 − cosh √ 2φ

In ¡all ¡asympto7cally ¡AdS ¡solu7ons, ¡the ¡scalar ¡field ¡ falls ¡off ¡like ¡ If ¡α=0 ¡or ¡β=0, ¡AdS ¡is ¡stable. ¡Consider ¡a ¡new ¡ boundary ¡condi7on ¡β=kα2 ¡ ¡(Hertog ¡and ¡Maeda). ¡This ¡is ¡ also ¡invariant ¡under ¡all ¡asympto7c ¡AdS ¡symmetries. ¡ Claim: ¡For ¡all ¡nonzero ¡k, ¡there ¡are ¡solu7ons ¡that ¡ evolve ¡to ¡a ¡big ¡crunch. ¡

Start ¡by ¡solving ¡the ¡Euclidean ¡field ¡equa7ons ¡with ¡ SO(4) ¡symmetry ¡ Get ¡ODE’s. ¡Pick ¡φ ¡at ¡the ¡origin ¡and ¡integrate ¡out. ¡ Asympto7cally ¡find ¡

Define ¡k ¡by ¡β= ¡kα2. ¡ ¡φ ¡decays ¡monotonically: ¡ ¡ ¡ ¡ Restric7ng ¡to ¡the ¡equator ¡of ¡the ¡three-­‑sphere, ¡we ¡ get ¡ini7al ¡data ¡for ¡a ¡Lorentzian ¡solu7on. ¡The ¡ evolu7on ¡of ¡this ¡ini7al ¡data ¡can ¡be ¡obtained ¡by ¡ analy7c ¡con7nua7on. ¡ ¡

(Coleman ¡and ¡De ¡Luccia, ¡1980) ¡

φ ρ ¡

The ¡Euclidean ¡origin ¡becomes ¡a ¡Lorentzian ¡

• lightcone. ¡Outside ¡the ¡lightcone ¡everything ¡is ¡

smooth ¡and ¡bounded. ¡Inside ¡the ¡lightcone ¡the ¡ solu7on ¡evolves ¡like ¡an ¡open ¡FRW ¡universe: ¡ The ¡field ¡equa7ons ¡imply ¡that ¡the ¡scale ¡factor ¡ vanishes ¡in ¡finite ¡7me, ¡producing ¡a ¡big ¡crunch. ¡

Big ¡crunch ¡ Big ¡bang ¡ Time ¡symmetric ¡ ini7al ¡data ¡ Asympto7c ¡AdS ¡ This ¡looks ¡like ¡Schwarzschild ¡AdS, ¡but: ¡ (1) Infinity ¡is ¡not ¡complete. ¡ ¡ (2) “Horizon” ¡is ¡just ¡the ¡lightcone ¡of ¡the ¡origin. ¡

CFT ¡Descrip7on ¡

This ¡is ¡the ¡2+1 ¡theory ¡on ¡a ¡stack ¡of ¡M ¡2-­‑branes ¡

(Aharony, ¡Bergman, ¡Jafferis, ¡and ¡Maldacena, ¡2008). ¡The ¡

theory ¡contains ¡eight ¡scalars. ¡With ¡β=0 ¡boundary ¡ condi7ons, ¡the ¡bulk ¡scalar ¡φ ¡is ¡dual ¡to ¡the ¡dimension ¡

• ne ¡operator ¡

Our ¡new ¡boundary ¡condi7on ¡corresponds ¡to ¡adding ¡ to ¡the ¡field ¡theory ¡ac7on ¡the ¡term ¡(Wiken; ¡Sever ¡and ¡

Shomer): ¡

CFT ¡is ¡like ¡a ¡3D ¡field ¡theory ¡with ¡poten7al ¡ This ¡field ¡theory ¡is ¡sick: ¡ϕ ¡rolls ¡down ¡the ¡poten7al ¡ and ¡reaches ¡infinity ¡in ¡finite ¡7me. ¡This ¡is ¡the ¡analog ¡

• f ¡evolving ¡to ¡the ¡singularity ¡in ¡the ¡bulk. ¡

V ¡

ϕ ¡

start ¡here ¡

Update ¡

Maldacena ¡(1012.0274) ¡pointed ¡out ¡that ¡if ¡we ¡use ¡ dS3 ¡slices ¡near ¡infinity, ¡then ¡φ ¡is ¡constant ¡on ¡each ¡

• slice. ¡ ¡So ¡if ¡we ¡view ¡the ¡dual ¡theory ¡as ¡living ¡on ¡de ¡

Siker ¡space, ¡then ¡our ¡solu7ons ¡exist ¡with ¡ boundary ¡condi7on ¡β ¡= ¡const. ¡

¡

This ¡corresponds ¡to ¡adding ¡a ¡single ¡trace ¡operator ¡ O ¡to ¡the ¡CFT ¡on ¡de ¡Siker. ¡This ¡is ¡like ¡a ¡mass ¡term. ¡

¡

Field ¡theory ¡remains ¡well ¡defined! ¡ ¡

Any ¡renormalizable ¡but ¡not ¡conformal ¡deforma7on ¡

• f ¡the ¡QFT ¡on ¡dS3 ¡will ¡be ¡dual ¡to ¡a ¡crunch ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

(Harlow ¡and ¡Susskind, ¡1012.5302). ¡ ¡

¡ Problem ¡now ¡is ¡how ¡to ¡describe ¡the ¡region ¡near ¡ the ¡singularity ¡in ¡the ¡dual ¡theory. ¡ ¡ If ¡you ¡rescale ¡back ¡to ¡sta7c ¡cylinder, ¡the ¡mass ¡ deforma7on ¡becomes ¡7me ¡dependent ¡and ¡blows ¡ up ¡when ¡the ¡singularity ¡hits ¡the ¡boundary ¡

(Barbon ¡and ¡Rabinovici, ¡1102.3015). ¡ ¡

(Engelhardt, ¡Hertog, ¡GH, ¡to ¡appear) ¡

A ¡new ¡holographic ¡model ¡of ¡ cosmological ¡singulari7es ¡ ¡

The ¡new ¡model ¡has ¡the ¡advantage ¡that ¡

¡

1) The ¡dual ¡CFT ¡is ¡well ¡defined ¡ 2) One ¡can ¡access ¡the ¡region ¡near ¡the ¡ singularity ¡by ¡boundary ¡operators. ¡

The ¡bulk ¡solu7on ¡

Now ¡work ¡with ¡a ¡5D ¡bulk ¡and ¡no ¡scalar. ¡Solu7ons ¡to ¡ Einstein’s ¡equa7on ¡can ¡be ¡obtained ¡by ¡star7ng ¡with ¡ AdS5 ¡

¡ ¡ ¡

and ¡replacing ¡ημν ¡with ¡any ¡Ricci ¡flat ¡metric. ¡We ¡will ¡ use ¡the ¡Kasner ¡metric: ¡

ds2 = −dt2 + t2p1dx2

1 + t2p2dx2 2 + t2p3dx2 3

X

i

pi = 1 = X

i

p2

i

ds2 = 1 z2 (ηµνdxµdxν + dz2)

Lesng ¡t ¡= ¡eτ ¡, ¡the ¡boundary ¡metric ¡becomes ¡an ¡ anisotropic ¡version ¡of ¡de ¡Siker ¡in ¡flat ¡slicing ¡ ¡ ¡ ¡ Our ¡bulk ¡solu7on ¡has ¡a ¡dila7on ¡symmetry ¡ ¡ ¡ which ¡acts ¡on ¡each ¡surface ¡of ¡constant ¡t/z. ¡ ds2 = −dτ 2 + X

i

e−2(1−pi)τdx2

i

ds2 = t2 z2 ✓−dt2 + t2p1dx2

1 + t2p2dx2 2 + t2p3dx2 3 + dz2

t2 ◆ z → λz, t → λt, xi → λ(1−pi)xi

t ¡= ¡0 ¡singularity ¡ z ¡= ¡0 ¡ boundary ¡ at ¡infinity ¡ t/z ¡small ¡ t/z ¡= ¡1 ¡ t/z ¡large ¡

Calcula7ng ¡two-­‑point ¡func7on ¡

The ¡two ¡point ¡func7on ¡of ¡an ¡operator ¡in ¡the ¡CFT ¡ with ¡large ¡dimension ¡Δ ¡can ¡be ¡calculated ¡using ¡ spacelike ¡geodesics ¡in ¡the ¡bulk ¡with ¡endpoints ¡on ¡ the ¡boundary ¡(see ¡also ¡Hubeny’s ¡talk): ¡ ¡ ¡ where ¡Lreg ¡is ¡the ¡regulated ¡length ¡of ¡the ¡geodesic. ¡ hψ| O (x) O (x0) |ψi = eLreg(x,x0)∆

¡ ¡ ¡-­‑x0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x0 ¡

x1 ¡ x2 ¡= ¡x3 ¡= ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡t ¡= ¡1 ¡

O O

Bulk ¡geodesics ¡effec7vely ¡travel ¡in ¡3D ¡space7me ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Using ¡x ¡as ¡a ¡parameter ¡along ¡the ¡geodesic, ¡t(x) ¡ sa7sfies ¡ ¡ ¡ ¡ By ¡symmetry, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡so ¡ ¡ for ¡p1 ¡< ¡0, ¡geodesics ¡bend ¡toward ¡the ¡singularity ¡ and ¡for ¡p1 ¡> ¡0 ¡they ¡bend ¡away. ¡ ¡ ds2 = 1 z2 (−dt2 + t2p1dx2 + dz2) t(x)t00(x) = p1[2t0(x)2 − t(x)2p1] t0(0) = 0

p1 ¡> ¡0 ¡ p1 ¡< ¡0 ¡ t ¡= ¡0 ¡singularity ¡ boundary ¡ at ¡infinity ¡

Length ¡of ¡geodesics ¡

Using ¡t ¡as ¡the ¡parameter, ¡the ¡geodesic ¡is ¡given ¡by ¡X(t), ¡ Z(t). ¡Its ¡length ¡is ¡ ¡ ¡ ¡ δ ¡L/δ ¡X ¡= ¡0 ¡implies ¡ ¡ ¡ So ¡ ¡ ¡

L = Z 1 Z h −1 + t2p1 ˙ X2 + ˙ Z2i1/2 dt t2p1 ˙ X Z[· · · ]1/2 = const L ∝ Z t2p1 ˙ X Z2 dt

Simple ¡example ¡1: ¡Pure ¡AdS ¡

In ¡pure ¡AdS, ¡the ¡geodesics ¡stay ¡on ¡a ¡constant ¡7me ¡

• surface. ¡With ¡UV ¡cut-­‑off ¡z ¡= ¡ε, ¡their ¡length ¡is ¡

¡ ¡ ¡ We ¡regulate ¡this ¡by ¡dropping ¡the ¡last ¡term. ¡So ¡ ¡ ¡ ¡ as ¡expected ¡for ¡a ¡CFT. ¡

L = 2 ln ✓2x0 ✏ ◆ = 2 ln(Lbdy) − 2 ln ✏, hO(x0)O(x0)i = L−2∆

bdy

2: ¡Isotropic ¡de ¡Siker ¡

Bulk ¡is ¡again ¡pure ¡AdS ¡wriken ¡in ¡the ¡form ¡ ¡ ¡ ¡ With ¡Hτ ¡= ¡ln(Ht), ¡the ¡boundary ¡metric ¡is ¡ ¡ ¡ Geodesics ¡are ¡the ¡same, ¡but ¡cut-­‑off ¡is ¡now ¡δ ¡= ¡ε/H ¡ and ¡Lbdy ¡= ¡2x0/H, ¡so ¡effect ¡of ¡H ¡cancels ¡out. ¡

ds2 = H2t2 z2 ✓−dt2 + dxidxi + dz2 H2t2 ◆ ds2 = −dτ 2 + e−2Hτdxidxi L = 2 ln ✓2x0 H H ✏ ◆ = 2 ln Lbdy − 2 ln

hO(x0)O(x0)i = L−2∆

bdy

So ¡in ¡de ¡Siker ¡space: ¡ ¡ ¡ just ¡like ¡flat ¡space. ¡ ¡It ¡is ¡ ¡ independent ¡of ¡the ¡Hubble ¡constant. ¡

The ¡case ¡p1 ¡= ¡-­‑1/4 ¡

Recall: ¡ ¡ Geodesic ¡equa7on ¡can ¡be ¡solved ¡analy7cally ¡using ¡ w ¡= ¡t1/2 ¡as ¡the ¡parameter: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ c ¡fixes ¡the ¡boundary ¡separa7on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Z(1) ¡= ¡0, ¡so ¡Lbdy ¡= ¡2 ¡X(1) ¡ ¡

ds2 = 1 z2 (−dt2 + t−1/2dx2 + dz2) X(w) = 4 15 √ c + w(8c2 − 4cw + 3w2) Z(w) = 4 3 ⇥ c(1 − w)[(3c − 1)(w + 1) − w2)] ⇤1/2

Fixing ¡(real) ¡Lbdy, ¡there ¡are ¡5 ¡(complex) ¡values ¡for ¡c. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ The ¡geodesic ¡turns ¡around ¡when ¡X ¡= ¡0, ¡i.e., ¡w ¡= ¡-­‑c. ¡ For ¡Re(c) ¡> ¡0, ¡geodesic ¡hits ¡the ¡singularity ¡at ¡w ¡= ¡0. ¡ ¡

1.0 0.5 0.5 1.0 Rec⇥ 1 2 3 4 5

Lbdy

Blue: ¡real ¡c ¡ Red ¡and ¡green: ¡ complex ¡c ¡

¡0 ¡> ¡c ¡> ¡-­‑.6 ¡ t ¡= ¡0 ¡singularity ¡ boundary ¡ at ¡infinity ¡ c ¡< ¡-­‑.6 ¡

When ¡there ¡are ¡two ¡real ¡ geodesics ¡with ¡c ¡< ¡0: ¡

For ¡Re ¡c ¡< ¡0, ¡the ¡regulated ¡length ¡is: ¡ ¡ ¡ ¡ For ¡c ¡close ¡to ¡-­‑1, ¡Lbdy ¡≈ ¡(1+c)1/2 ¡is ¡small ¡and ¡ Lreg ¡= ¡2 ¡ln ¡Lbdy, ¡just ¡as ¡in ¡pure ¡AdS. ¡ ¡ As ¡c ¡-­‑> ¡0, ¡Lreg ¡again ¡diverges, ¡even ¡though ¡Lbdy ¡-­‑> ¡8/5. ¡ This ¡is ¡when ¡a ¡second ¡real ¡geodesic ¡is ¡possible. ¡ ¡ At ¡c ¡= ¡0, ¡the ¡geodesic ¡is ¡null ¡and ¡lies ¡en7rely ¡on ¡the ¡

• boundary. ¡Lbdy ¡= ¡ ¡8/5 ¡is ¡the ¡horizon ¡size. ¡

For ¡c ¡≈ ¡0, ¡the ¡geodesics ¡get ¡very ¡close ¡to ¡the ¡

• singularity. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Lreg = ln  −16 9 c(1 + c)(2c − 1)2

This ¡predicts ¡a ¡pole ¡in ¡the ¡2pt ¡func7on ¡at ¡ the ¡horizon ¡size. ¡ ¡ Why ¡is ¡it ¡there? ¡

¡

Possible ¡interpreta7on: ¡The ¡ini7al ¡state ¡(dual ¡to ¡the ¡ bulk ¡singularity) ¡has ¡excita7ons ¡that ¡were ¡pair ¡created ¡ at ¡past ¡infinity. ¡

I-

¡

Is ¡the ¡pole ¡at ¡the ¡horizon ¡size ¡physical? ¡

Hubeny ¡et ¡al ¡hep-­‑th/0306170 ¡found ¡a ¡pole ¡in ¡a ¡2pt ¡ func7on ¡in ¡the ¡theory ¡dual ¡to ¡Schwarzschild ¡AdS ¡ corresponding ¡to ¡an ¡almost ¡null ¡bulk ¡geodesic ¡that ¡ bounces ¡off ¡the ¡singularity. ¡ ¡ They ¡concluded ¡that ¡it ¡was ¡not ¡physical, ¡and ¡could ¡

• nly ¡be ¡seen ¡by ¡analy7cally ¡con7nuing ¡the ¡2pt ¡

func7on ¡to ¡a ¡second ¡Riemann ¡sheet. ¡

Differences ¡from ¡the ¡BH ¡case ¡

• They ¡were ¡in ¡a ¡thermal ¡state ¡and ¡had ¡QFT ¡

arguments ¡that ¡2pt ¡func7on ¡could ¡not ¡diverge ¡

• Our ¡pole ¡corresponds ¡to ¡a ¡null ¡geodesic ¡on ¡

the ¡boundary ¡(not ¡bulk) ¡

• They ¡had ¡3 ¡real ¡geodesics ¡which ¡coincided ¡

(parameterized ¡by ¡t) ¡and ¡Lreg ¡≈ ¡t4/3. ¡In ¡our ¡case ¡ there ¡are ¡only ¡two ¡and: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Lreg ¡= ¡A ¡+ ¡B(L0 ¡– ¡Lbdy) ¡± ¡C(L0 ¡– ¡Lbdy) ¡3/2 ¡ ¡

1.0 0.5 0.5 1.0 Rec⇥ 1 2 3 4 5

Lbdy

L0 ¡

2 4 6 8 Lbdy 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

ReeLreg⇥

The ¡geodesic ¡with ¡smallest ¡|c| ¡dominates ¡ whenever ¡it ¡exists ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ For ¡large ¡Lbdy: ¡ ¡Lbdy ¡≈ ¡c5/2, ¡and ¡Lreg ¡≈ ¡ln ¡c4 ¡ ¡≈ ¡ln ¡Lbdy

8/5, ¡

so ¡ ¡

hOOi ⇡ L

− 8∆

5

bdy

Solu7ons ¡with ¡Re ¡c ¡> ¡0 ¡are ¡unphysical ¡

• For ¡small ¡Lbdy, ¡they ¡do ¡not ¡reproduce ¡the ¡

correct ¡flat ¡space ¡limit. ¡

• For ¡large ¡Lbdy, ¡complex ¡solu7ons ¡with ¡Re ¡c ¡> ¡0 ¡

would ¡predict ¡2pt ¡func7on ¡grows ¡with ¡

• distance. ¡
• Real ¡solu7ons ¡with ¡Re ¡c ¡> ¡0 ¡predict ¡a ¡pole ¡in ¡

the ¡2pt ¡func7on ¡at ¡c ¡= ¡½. ¡This ¡corresponds ¡to ¡ geodesics ¡becoming ¡null ¡in ¡the ¡bulk. ¡

The ¡case ¡p1 ¡= ¡1/3 ¡

Now: ¡

¡

It ¡is ¡convenient ¡to ¡parameterize ¡the ¡geodesics ¡by ¡ ¡ w ¡= ¡t2/3. ¡The ¡solu7ons ¡are ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ As ¡before: ¡Z(1) ¡= ¡0, ¡so ¡Lbdy ¡= ¡2 ¡X(1). ¡ ¡ ¡

Z(w) = r 3 − 3w2 + c(w3 − 1) c ds2 = 1 z2 (−dt2 + t2/3dx2 + dz2) X(w) = −3 c √ 1 + cw

Now ¡there ¡are ¡only ¡two ¡values ¡of ¡c ¡for ¡each ¡Lbdy: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

c = 6(3 ± q 9 + L2

bdy)

L2

bdy

.

and ¡they ¡are ¡both ¡

• real. ¡The ¡turning ¡

point ¡is ¡w ¡=-­‑1/c. ¡ ¡

1.0 0.5 0.5 1.0 c 20 40 60

Lbdy

Geodesics ¡with ¡c ¡> ¡0 ¡again ¡do ¡not ¡contribute: ¡ ¡ ¡ 1) They ¡do ¡not ¡give ¡the ¡correct ¡flat ¡space ¡ limit ¡for ¡small ¡Lbdy, ¡whereas ¡c ¡≈ ¡-­‑1 ¡does. ¡ ¡ 2) Lreg ¡diverges ¡at ¡c ¡= ¡33/2 ¡due ¡to ¡a ¡null ¡ geodesic ¡in ¡the ¡bulk. ¡

Only ¡one ¡geodesic ¡contributes ¡for ¡each ¡Lbdy, ¡so ¡a‚er ¡ regula7ng ¡the ¡length ¡as ¡before: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Asympto7cally, ¡we ¡can ¡expand ¡about ¡c ¡= ¡0 ¡and ¡find ¡ ¡

L = 3 ln(Lbdy) + ln( 2 27)

2 4 6 8 10 Lbdy 0.2 0.4 0.6 0.8

eLreg

So ¡the ¡two ¡point ¡func7on ¡now ¡falls ¡off ¡faster ¡than ¡in ¡ flat ¡space: ¡ ¡ ¡ The ¡solu7ons ¡we ¡have ¡examined ¡for ¡p1 ¡= ¡-­‑1/4, ¡0, ¡1/3 ¡ lead ¡us ¡to ¡conjecture ¡that ¡for ¡general ¡p1: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ The ¡fall-­‑off ¡of ¡the ¡2pt ¡func7on ¡depends ¡directly ¡on ¡ the ¡rate ¡of ¡expansion ¡in ¡that ¡direc7on. ¡ ¡

hO(x0)O(x0)i ⇡ L−3∆

bdy

hO(x0)O(x0)i ⇡ L

−

2∆ 1−p1

bdy

Possible ¡interpreta7ons ¡

• Under ¡RG ¡flow, ¡the ¡dimension ¡of ¡operators ¡can ¡
• change. ¡Holographically, ¡this ¡is ¡seen, ¡e.g., ¡when ¡bulk ¡

flows ¡to ¡an ¡IR ¡AdS ¡which ¡is ¡different ¡from ¡the ¡UV ¡

• AdS. ¡Can ¡we ¡get ¡different ¡dimensions ¡in ¡different ¡

direc7ons? ¡

• Perhaps ¡this ¡is ¡due ¡to ¡par7cle ¡crea7on: ¡Our ¡CFT ¡is ¡on ¡

a ¡background ¡with ¡7me ¡dependent ¡Weyl ¡curvature, ¡ so ¡there ¡will ¡be ¡par7cle ¡crea7on. ¡This ¡will ¡depend ¡on ¡ the ¡expansion ¡rate. ¡

In ¡isotropic ¡dS, ¡the ¡contrac7ng ¡phase ¡can ¡be ¡ smoothly ¡extended ¡across ¡a ¡null ¡surface ¡into ¡an ¡ expanding ¡phase. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ In ¡the ¡anisotropic ¡case, ¡the ¡surface ¡t ¡= ¡ ¡τ ¡= ¡∞ ¡is ¡

• singular. ¡Can ¡avoid ¡this ¡by ¡changing ¡pi ¡at ¡late ¡7me ¡so ¡

that ¡they ¡all ¡agree. ¡This ¡will ¡only ¡change ¡the ¡bulk ¡ solu7on ¡to ¡the ¡future ¡of ¡this ¡late ¡7me. ¡

t, ¡τ ¡= ¡const ¡ t, ¡τ ¡= ¡∞ ¡ ¡ I- I+

¡

Summary ¡

• 1. We ¡have ¡constructed ¡a ¡holographic ¡dual ¡of ¡a ¡

cosmological ¡singularity ¡which ¡is ¡N=4 ¡SYM ¡on ¡ an ¡anisotropic ¡de ¡Siker ¡space7me. ¡

• 2. In ¡some ¡direc7ons ¡the ¡2pt ¡func7on ¡has ¡a ¡

pole ¡at ¡the ¡horizon ¡scale. ¡

• 3. The ¡asympto7c ¡behavior ¡of ¡the ¡2pt ¡func7on ¡

depends ¡on ¡the ¡expansion ¡rate ¡in ¡that ¡

• direc7on. ¡

To ¡Do: ¡

• 1. Check ¡other ¡values ¡of ¡p1. ¡
• 2. Let ¡endpoints ¡of ¡geodesics ¡have ¡different ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

(t, ¡x2, ¡x3) ¡

• 3. Calculate ¡expecta7on ¡values ¡of ¡Wilson ¡loops ¡

(extremal ¡2-­‑surfaces) ¡

• 4. Calculate ¡entanglement ¡entropy ¡(extremal ¡3-­‑

surfaces) ¡

Specula7ve ¡Conclusion ¡

Turning ¡our ¡model ¡upside ¡down, ¡we ¡have ¡a ¡CFT ¡on ¡ an ¡expanding ¡(anisotropic) ¡de ¡Siker ¡space ¡similar ¡to ¡ standard ¡models ¡of ¡infla7on. ¡

¡

Modes ¡at ¡subhorizon ¡scale ¡are ¡in ¡their ¡ground ¡state ¡ and ¡are ¡highly ¡excited ¡at ¡superhorizon ¡scale. ¡

¡

It ¡appears ¡that ¡signatures ¡of ¡the ¡quantum ¡nature ¡of ¡ spacelike ¡singulari7es ¡can ¡be ¡found ¡in ¡the ¡classical ¡ long-­‑wavelength ¡features ¡predicted ¡by ¡the ¡ boundary ¡wave ¡func7on. ¡