a bayesian inversion approach to recovering material
play

A Bayesian inversion approach to recovering material parameters in - PowerPoint PPT Presentation


  1. �������������������������������������������������������������������� ��������������� ���������������� ������������������� ����������������������������� ������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������� ������������ � ������������������ ����������� ������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������� ������������������� ��������������� ������������������� ����������������� ����������������������������������������������������� ������������������������ ���������������������� ���������������������� ������������ ���������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������� ���������� � � ����� ����������� ������������ ������������������������� �������������������� � ������������ ��������� ���������� ������ ����������������� ������������� ������������������������������� ���� ������������ ������� ���������� ��� ���������� ���������� �������� ���������� ����������� �������������������������������� ��������������������� A Bayesian inversion approach to recovering material parameters in hyperelastic solids using dolfin- adjoint Jack S. Hale, Patrick E. Farrell, Stéphane P. A. Bordas 1

  2. Overview • Why? • Bayesian approach to inversion. • Relate classical optimisation techniques to the Bayesian inversion approach. • Example problem: sparse surface observations of a solid block. • Use dolfin-adjoint and petsc4py to solve the problem. • Dealing with high-dimensional posterior covariance. 2

  3. Why? 3

  4. 4

  5. 5

  6. 6

  7. 7

  8. Q: What can we infer about the parameters inside the domain, just from displacement observations on the outside? Q: Which parameters am I most uncertain about? 8

  9. 9

  10. Bayesian Approach • Deterministic event - totally predictable. • Random event - unpredictable. • Bayesian approach to inverse problems: • The world is unpredictable. • Consider everything as a random variable. 10

  11. Terminology • Observation. Displacements. y • Parameter. Material property. x • Parameter-to-observable map. Finite deformation f ( x ) hyperelasticity. 11

  12. Bayes Theorem π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) Goal : Given the observations, find the posterior distribution of the unknown parameters. 12

  13. Three step plan 1. Construct the prior. � 2. Construct the likelihood. 3. Calculate/explore the posterior. 13

  14. Constructing a prior (with DOLFIN) Must reflect our subjective belief about the unknown parameter. Difficulty: � How to transfer qualitative information to quantitative. 14

  15. � Simple example involving a PDE solve: Smoothing Prior https://bitbucket.org/snippets/jackhale/rk6xA � 15

  16. Reminder… Let x 0 ∈ R n and Γ ∈ R n × n be a symmetric positive definite matrix. A multivariate Gaussian random variable X with mean x 0 and covariance Γ is a random variable with the probability density: � � 1 − 1 � � 2( x − x 0 ) T Γ − 1 ( x − x 0 ) π ( x ) = exp . 2 π | Γ | When X follows a multivariate Gaussian, we use the following notation: X ∼ N ( x 0 , Γ ) . 16

  17. Qualitative : I think my parameter is smooth and is probably around zero at the boundary. 17

  18. Imagine a parameter related to a physical quantity in 1-dimensional space. Often, the value of parameter at a point is related to the value of the parameters next to it. X i = 1 2( X i − 1 + X i +1 ) + W j With: W = N (0 , γ 2 I ) A X = W 18

  19. mesh = UnitIntervalMesh(160) V = FunctionSpace(mesh, “CG”, 1) u = TrialFunction(V) v = TestFunction(V) ... a = (1.0 / 2.0) * h * inner(grad(u), grad(v)) * dx class W(Expression): def eval(self, value, x): value[0] = np.random.normal() ... W = interpolate(W(), V) A = assemble(A) ... 19

  20. Boundary conditions 1. Dirichlet: set to zero. 2. Extend definition of Laplacian outside domain. 20

  21. values = np . array([1.0, - 0.5], dtype = np . float_) rows = np . array([0], dtype = np . uintp) cols = np . array([0, 1], \ dtype = np . uintp) A . setrow(0, cols, values) cols = np . array([V . dim() - 1, V . dim() - 2], \ dtype = np . uintp) A . setrow(V . dim() - 1, cols, values) A . apply("insert") 21

  22. � diag( γ 2 A − 1 A − T ) Std( X, X ) = 22

  23. � diag( γ 2 A − 1 A − T ) Std( X, X ) = 23

  24. 24

  25. Exploring the posterior 25

  26. x MAP = arg max x ∈ R n π posterior ( x | y ) x MAP cov( x | y ) x CM 26

  27. � x CM = R n x π posterior ( x | y ) dx x MAP cov( x | y ) x CM 27

  28. � R n ( x − x cm )( x − x cm ) T π posterior ( x | y ) dx ∈ R n × n cov( x | y ) = x MAP cov( x | y ) x CM 28

  29. OK, but how can we use dolfin-adjoint to do this? Aim: Connect Bayesian approach to classical optimisation techniques. 29

  30. π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) x MAP = arg max x ∈ R n π posterior ( x | y ) x MAP cov( x | y ) x CM 30

  31. Assumptions 1. I think my parameter is Gaussian (prior). 2. My parameter to observable map is linear and my noise model is Gaussian. X ∼ N ( x 0 , Γ prior ) , X ∈ R n Y = AX + E, Y ∈ R m , A ∈ R m × n E ∼ N (0 , Γ noise ) , Y ∈ R m 31

  32. Plug it in… π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) − 1 − 1 � � � � 2( y − A x ) T Γ − 1 2( x − x 0 ) T Γ − 1 π posterior ( x | y ) ∝ exp noise ( y − A x ) × exp prior ( x − x 0 ) 32

Download Presentation
Download Policy: The content available on the website is offered to you 'AS IS' for your personal information and use only. It cannot be commercialized, licensed, or distributed on other websites without prior consent from the author. To download a presentation, simply click this link. If you encounter any difficulties during the download process, it's possible that the publisher has removed the file from their server.

Recommend


More recommend