5 2020 - PowerPoint PPT Presentation

0 linzuoquan@pku.edu.cn 1 数理逻辑 讲义，第 5 版， 2020 年 北京大学 信息与计算科学系 林作铨 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 4 2 一阶逻辑：证明论 4.1 形式系统 4.2 等价和替换 4.3 前束范式 4.4 完全性定理 4.5 模型 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 278 形式系统 等价和替换 前束范式 完全性定理 模型 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

279 4 等价和替换 定义 ( A ↔ B ) 表示 ∼ (( A → B ) →∼ ( B → A )) 命题 4.16 对 L 中任意公式 A ， B ， ⊢ K ( A ↔ B ) 当且仅 当 ⊢ K ( A → B ) 且 ⊢ K ( B → A ) ♢ 证 （ ⇒ ）若 ⊢ K ( A ↔ B ) ，即 ⊢ K ∼ (( A → B ) →∼ ( B → A )) 易验重言式 和 ( ∼ (( A → B ) →∼ ( B → A )) → ( A → B )) ( ∼ (( A → B ) →∼ ( B → A )) → ( B → A )) 由 命题 4.4 ，它们都是 K 中定理，用 MP 得 ⊢ K ( A → B ) 且 ⊢ K ( B → A ) （ ⇐ ）若 ⊢ K ( A → B ) 且 ⊢ K ( B → A ) 易验重言式 ( A → B ) → (( B → A ) →∼ (( A → B ) →∼ ( B → A ))) 由 命题 4.4 ，它是 K 中定理，用两次 MP 得 ⊢ K ( A ↔ B ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

280 4 定义 4.17 ( 可证等价 ) 若 L 中的公式 A ， B 满足 ⊢ K A ↔ B ，则称 A 和 B 是 可证等价的 （ provably equivalent ） ♢ 推论 4.18 对 L 中任意公式 A ， B ， C ，若 A 和 B ， B 和 C 分别是可证等价 的，则 A 和 C 也是可证等价的 ♢ 证 应用 命题 4.16 和 HS 规则 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

281 4 令 A ( x i ) 为 L 中一个公式，其中 x i 自由出现（可能不只一次） ， 对任何变元 x j ，用 A ( x j ) （或 A ( x i / x j ) ）表示对 A ( x i ) 中 x i 的每个自由 出现都用 x j 替换所得的公式 命题 4.19 ( 变元换名 ) 若 x i 在 A ( x i ) 中自由出现，且 x j 是不在 A ( x i ) 中自由或约束出现的变 元，则 ⊢ K (( ∀ x i ) A ( x i ) ↔ ( ∀ x j ) A ( x j )) ♢ 注 可选择一个适当的变元替换一个特定的约束变元，替换所得的公式与原 公式是可证等价的 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

282 ( K 5 ) 4 ( 1 ) ( 4 ) ( 1 )( 2 ) MP ( 2 ) ( 3 ) 证 x j 是对 x i 在 A ( x i ) 中自由的，且 x i 是对 x j 在 A ( x j ) 中自由的 构造如下演绎 假设 ( ∀ x i ) A ( x i ) ( ∀ x i ) A ( x i ) → A ( x j ) A ( x j ) ( 3 ) 概括规则 ( ∀ x j ) A ( x j ) ( ∀ x i ) A ( x i ) ⊢ K ( ∀ x j ) A ( x j ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 283 证 ( 续 ) 由于 x j 不在 ( ∀ x i ) A ( x i ) 中自由出现，由演绎定理 ⊢ K (( ∀ x i ) A ( x i ) → ( ∀ x j ) A ( x j )) 反之，同理可证 ⊢ K (( ∀ x j ) A ( x j ) → ( ∀ x i ) A ( x i )) 据 命题 4.16 ⊢ K (( ∀ x i ) A ( x i ) ↔ ( ∀ x j ) A ( x j )) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

284 4 命题 4.20 令 A 是 L 中公式， y 1 , · · · , y n 是 A 中自由变元，则 ⊢ K A 当且仅当 ⊢ K ( ∀ y 1 ) · · · ( ∀ y n ) A ♢ 证 （ ⇒ ）设 ⊢ K A （对 A 中自由变元个数 n 归纳） A 中没有自由变元的情况是平凡的 考虑 n = 1 ， A 只有一个自由变元 y 1 若 ⊢ K A ( y 1 ) （概括规则） ⊢ K ( ∀ y 1 ) A ( y 1 ) 令 n > 1 ，假设对 L 中所有包含 n - 1 个自由变元的公式结论都成立 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 285 证 ( 续 ) 考虑 ( ∀ y n ) A ，有 n - 1 个自由变元 由 ⊢ K A （概括规则） ⊢ K ( ∀ y n ) A 由归纳假设 ⊢ K ( ∀ y 1 ) · · · ( ∀ y n ) A （ ⇐ ）设 ⊢ K ( ∀ y 1 ) · · · ( ∀ y n ) A ，欲证 ⊢ K A 应用 ( K 5 ) ，并对 n 进行类似归纳 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

286 4 定义 4.21 ( 全称闭式 ) 令 A 是 L 的一个只包含自由变元 y 1 , · · · , y n 的公式， 则 ( ∀ y 1 ) · · · ( ∀ y n ) A 称为 A 的 全称闭式 （ universal closure ） ，记作 A ′ ♢ 注 命题 4.20 表明： ⊢ K A 当且仅当 ⊢ K A ′ 但 A 和 A ′ 并不是可证等价的 ⊢ K A ′ → A 但 ̸⊢ K A → A ′ （例 4.8 ） 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

287 4 命题 4.22 令 A ， B 是 L 中公式，设 B 0 是通过用 B 替换 A 0 中 A 的一次或 多次出现所得的公式，则 ⊢ K (( A ↔ B ) ′ → ( A 0 ↔ B 0 )) ♢ 证 （基始）由 A 0 （必）含 A 作为子公式 A 0 含最少连接符和量词 A 0 就是 A B 0 就是 B ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( A ↔ B ) （定义 4.21 注） ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( A 0 ↔ B 0 ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 288 证 ( 续 ) （归纳）假设 A 0 含 A 作为严格子公式，对所有比 A 0 短且含 A 作为 子公式的公式所欲证的结论成立 (1) A 0 是 ∼ C 0 ，则 B 0 是 ∼ D 0 ， D 0 是用 B 替换 C 0 中 A 的结果 C 0 含有比 A 0 少的连接符和量词 ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ D 0 ) （归纳假设） 通过演算（ ⊢ ( C 0 ↔ D 0 ) → ( ∼ C 0 ↔∼ D 0 ) ） ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( ∼ C 0 ↔∼ D 0 ) （ HS ） ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( A 0 ↔ B 0 ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

289 4 证 ( 续 ) (2) A 0 是 C 0 → D 0 ，则 B 0 是 E 0 → F 0 ， E 0 , F 0 是用 B 分别替 换 C 0 , D 0 中 A 的结果 C 0 , D 0 含有比 A 0 少的连接符和量词 ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ E 0 ) ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( D 0 ↔ F 0 ) （归纳假设） 通过演算可得 ⊢ ( A ↔ B ) ′ → (( C 0 → D 0 ) ↔ ( E 0 → F 0 )) ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( A 0 ↔ B 0 ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

290 4 证 ( 续 ) （演算） ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ E 0 ) 已知 ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( D 0 ↔ F 0 ) ⊢ ( A ↔ B ) ′ → (( C 0 → D 0 ) ↔ ( E 0 → F 0 )) 证明 据演绎定理（及其逆） ，只需证 {( A ↔ B ) ′ , C 0 → D 0 } ⊢ E 0 → F 0 （类似地， {( A ↔ B ) ′ , E 0 → F 0 } ⊢ C 0 → D 0 ） 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

291 ( 6 ) 4 ( 6 )( 9 ) HS ( 10 ) ( 9 ) ( 1 )( 7 ) MP ( 8 ) ( 1 ) ( 4 )( 5 ) HS ( 7 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 1 )( 2 ) MP ( 3 ) 证 ( 续 ) ( A ↔ B ) ′ ( A ↔ B ) ′ → ( D 0 ↔ F 0 ) D 0 ↔ F 0 命题 4.16 D 0 → F 0 C 0 → D 0 C 0 → F 0 ( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ E 0 ) E 0 ↔ C 0 命题 4.16 E 0 → C 0 E 0 → F 0 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

292 4 证 ( 续 ) (3) A 0 是 ∀ x i C 0 ，则 B 0 是 ∀ x i D 0 ， D 0 是用 B 替换 C 0 中 A 的结果 C 0 含有比 A 0 少的连接符和量词 ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ D 0 ) （归纳假设） 由概括规则 ⊢ ∀ x i (( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ D 0 )) x i 不自由出现在 ( A ↔ B ) ′ ，由（ K 6 ） ⊢ ∀ x i (( A ↔ B ) ′ → ( C 0 ↔ D 0 )) → (( A ↔ B ) ′ → ∀ x i ( C 0 ↔ D 0 )) 用 MP ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ∀ x i ( C 0 ↔ D 0 ) 通过演算可得 ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( ∀ x i C 0 ↔ ∀ x i D 0 ) ⊢ ( A ↔ B ) ′ → ( A 0 ↔ B 0 ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

293 4 推论 4.23 令 A , B , A 0 , B 0 如同 命题 4.22 所述 若 ⊢ K ( A ↔ B ) ，则 ⊢ K ( A 0 ↔ B 0 ) ♢ 证 设 ⊢ K ( A ↔ B ) （命题 4.20 ） ⊢ K ( A ↔ B ) ′ ⊢ K (( A ↔ B ) ′ → ( A 0 ↔ B 0 )) （命题 4.22 ） 用 MP ⊢ K ( A 0 ↔ B 0 ) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

294 4 推论 4.24 若 x j 不在 A ( x i ) 中出现， B 0 是通过用 ( ∀ x j ) A ( x j ) 替换 A 0 中 的 ( ∀ x i ) A ( x i ) 的一次或多次出现所得的公式，则 ⊢ K ( A 0 ↔ B 0 ) ♢ 证 据 命题 4.19 和 推论 4.23 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 295 形式系统 等价和替换 前束范式 完全性定理 模型 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 296 前束范式 范式：析取范式 DNF 和合取范式 CNF 前束范式（ prenex form ） ：考虑量词的排列 命题 4.25 令 A ， B 是 L 的公式 (1) 若 x i 不在 A 中自由出现，则 ⊢ K (( ∀ x i )( A → B ) ↔ ( A → ( ∀ x i ) B )) ⊢ K (( ∃ x i )( A → B ) ↔ ( A → ( ∃ x i ) B )) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 297 命题 ( 续 ) (2) 若 x i 不在 B 中自由出现，则 ⊢ K (( ∀ x i )( A → B ) ↔ (( ∃ x i ) A → B )) ⊢ K (( ∃ x i )( A → B ) ↔ (( ∀ x i ) A → B )) ♢ 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

4 298 证 ( K 6 ) 的实例 ⊢ K (( ∀ x i )( A → B ) → ( A → ( ∀ x i ) B )) 例 4.13 ⊢ K (( A → ( ∀ x i ) B ) → ( ∀ x i )( A → B )) 从 例 4.14 （ ⊢ ∀ x i ( A → B ) → ( ∃ x i A → ∃ x i B ) ）可推出 ⊢ K (( ∀ x i )( A → B ) → (( ∃ x i ) A → B )) 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑

299 ( 1 )( 3 ) MP 4 ( 8 ) ( 2 )( 6 ) MP ( 7 ) ( 4 )( 5 ) MP ( 1 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) 证 ( 续 ) 假设 ( ∀ x i )( A → B ) 假设 ( ∼ B ) ( K 4 ) 或 ( K 5 ) ( ∀ x i )( A → B ) → ( A → B ) ( A → B ) 重言式 ( A → B ) → ( ∼ B →∼ A ) ( ∼ B →∼ A ) ∼ A ( 7 ) 概括 ( ∀ x i )( ∼ A ) 由此可得 {( ∀ x i )( A → B ), ( ∼ B )} ⊢ K ( ∀ x i )( ∼ A ) 因 x i 不在 B 中自由出现，由演绎定理 北京大学 信息与计算科学系 数理逻辑