[PPT] - 2 - 3 t r e e s , A A t r e e s , B - t r e e PowerPoint Presentation

SLIDE 1

2

3

t r e e s , A A t r e e s , B

t

r e e s

SLIDE 2

A n n

u

n c e m e n t

C

n

s u l t a t i

n

t i m e s – 1

1

2 , r

m

E S 6 1 !

Mo

n d a y 9

t h

Ma y

Tiu

r s d a y 1 2

t h

Ma y

Tiu

r s d a y 1 9

t h

Ma y

Mo

n d a y 2 3

r d

Ma y

N

p

l a n – j u s t c

m

e a n d a s k q u e s t i

n

s P . S . d

n

' t f

r

g e t t h e r e a r e e x e r c i s e s

n

t h e w e b s i t e !

SLIDE 3

2

3

t r e e s

I n a b i n a r y t r e e , e a c h n

d

e h a s t w

c

h i l d r e n I n a 2

3

t r e e , e a c h n

d

e h a s e i t h e r 2 c h i l d r e n ( a 2

n
d

e )

r

3 ( a 3

n
d

e ) A 2

n
d

e i s a n

r

m a l B S T n

d

e :

O

n e d a t a v a l u e x , w h i c h i s g r e a t e r t h a n a l l v a l u e s i n t h e l e f t s u b t r e e a n d l e s s t h a n a l l v a l u e s i n t h e r i g h t s u b t r e e

A 3

n
d

e i s d i fg e r e n t :

T

w

d

a t a v a l u e s x a n d y

A

l l t h e v a l u e s i n t h e l e f t s u b t r e e a r e l e s s t h a n x

A

l l t h e v a l u e s i n t h e m i d d l e s u b t r e e a r e b e t w e e n x a n d y

A

l l t h e v a l u e s i n t h e r i g h t s u b t r e e a r e g r e a t e r t h a n y

SLIDE 4

2

3

t r e e s

A n e x a m p l e

f

a 2

3

t r e e :

SLIDE 5

W h y 2

3

t r e e s ?

Wi t h a 2

3

t r e e w e c a n m a i n t a i n t h e i n v a r i a n t :

Tie

t r e e i s a l w a y s p e r f e c t l y b a l a n c e d !

I n v a r i a n t : a l l c h i l d r e n

f

e a c h n

d

e a l w a y s h a v e t h e s a m e h e i g h t

I

n p a r t i c u l a r , a n y n

n
l

e a f 2

n
d

e h a s 2 c h i l d r e n

A

n y n

n
l

e a f 3

n
d

e h a s 3 c h i l d r e n

Tii s w a s n ' t p

s

s i b l e w i t h b i n a r y s e a r c h t r e e s

SLIDE 6

W h i c h

f

t h e s e a r e 2

3

t r e e s ?

7 2 1 11 5 1 71 9 1 5 9 1 3 7 2 1 11 5 1 71 9 1 5 9 7 2 1 11 5 1 71 9 1 9 1 3 7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 4 3

SLIDE 7

W h i c h

f

t h e s e a r e 2

3

t r e e s ?

7 2 1 11 5 1 71 9 1 5 9 1 3 7 2 1 11 5 1 71 9 1 5 9 7 2 1 11 5 1 71 9 1 9 1 3 7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 4 3 O n l y t h i s

n

e ( w h y ? )

SLIDE 8

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

T

i

n s e r t a v a l u e ( e . g . 4 ) i n t

a

2

3

t r e e , w e s t a r t b y d

i

n g a n

r

m a l i n s e r t i

n

. . .

7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 5 9 1 3 4 W e b r

k

e t h e b a l a n c e i n v a r i a n t !

SLIDE 9

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

T

fj

x t h e b a l a n c e i n v a r i a n t , w e a b s

r

b t h e b a d n

d

e i n t

i

t s p a r e n t !

7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 4 4 g

t

a b s

r

b e d i n t

5

SLIDE 10

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

N

w

s u p p

s

e w e w a n t t

i

n s e r t 3 . W e ' l l a b s

r

b i t i n t

i

t s p a r e n t a s b e f

r

e . . .

7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 4 3

SLIDE 11

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

W e g e t a 4

n
d

e , w h i c h i s n

t

a l l

w

e d ! W e fj x t h i s b y a m e t h

d

c a l l e d s p l i t t i n g .

7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 4 3

SLIDE 12

S p l i t t i n g a 4

n
d

e

T

g

e t r i d

f

a 4

n
d

e , w e s p l i t i t i n t

s

e v e r a l 2

n
d

e s ! Tii s c r e a t e s a n e x t r a l e v e l i n t h e t r e e . W e w i l l fj x t h i s b y a b s

r

b i n g t h e r e d n

d

e i n t

i

t s p a r e n t .

x y z A B C D y x z A B C D

SLIDE 13

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

A f t e r s p l i t t i n g , w e a b s

r

b t h e “ e x t r a l e v e l ” n

d

e i n t

i

t s p a r e n t .

7 2 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 4 3 A b s

r

b 4 i n t

2

.

SLIDE 14

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

W e r e s t

r

e d t h e i n v a r i a n t ! L e t ' s t r y i n s e r t i n g 1 8 .

7 1 1 1 5 1 7 1 9 1 9 1 3 5 2 4 3

SLIDE 15

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

F i r s t a d d a n d a b s

r

b . W e g

t

a 4

n
d

e , s p l i t i t .

7 1 1 1 5 1 9 1 3 5 2 4 3 1 7 1 8 1 9

SLIDE 16

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

A b s

r

b t h e e x t r a n

d

e i n t

t

h e p a r e n t .

7 1 1 1 5 1 9 1 3 5 2 4 3 1 7 1 8 1 9

SLIDE 17

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

W e g

t

a 4

n
d

e a g a i n , s

s

p l i t a n d a b s

r

b .

7 1 9 1 3 5 2 4 3 1 7 1 1 1 5 1 8 1 9 1 5 w i l l b e a b s

r

b e d

SLIDE 18

I n s e r t i

n

i n t

a

2

3

t r e e

D

n

e ! ( I f w e i n s e r t e v e n m

r

e , e v e n t u a l l y t h e r

t

w i l l s p l i t , w h i c h a d d s a n e w l e v e l t

t

h e t r e e . )

1 9 1 3 5 2 4 3 1 7 1 1 7 1 5 1 8 1 9

SLIDE 19

2

3

i n s e r t i

n

a l g

r

i t h m

I n s e r t t h e n e w n

d

e i n t

t

h e t r e e Tie n a l t e r n a t e 2 s t e p s :

a

b s

r

b t h e n

d

e i n t

i

t s p a r e n t , m

v

e u p t

t

h e p a r e n t

i

f t h e n

d

e i s a 4

n
d

e , s p l i t i t i n t

2
n
d

e s

S t

p
n

c e y

u

d

n

' t n e e d t

s

p l i t

SLIDE 20

2

3

t r e e s , s u m m a r y

2

3

t r e e s d

n
t

u s e r

t

a t i

n

, u n l i k e b a l a n c e d B S T s – i n s t e a d , t h e y k e e p t h e t r e e p e r f e c t l y b a l a n c e d

I

n v a r i a n t m a i n t a i n e d u s i n g a b s

r

p t i

n

( t

r

e m

v

e u n w a n t e d n

d

e s ) a n d s p l i t t i n g ( t

e

l i m i n a t e 4

n
d

e s )

C

m

p l e x i t y i s O ( l

g

n ) , a s t r e e i s p e r f e c t l y b a l a n c e d C

n

c e p t u a l l y m u c h s i m p l e r t h a n A V L t r e e s ! B u t i m p l e m e n t a t i

n

i s r e a l l y a n n

y

i n g : (

S

e e T w

Tir

e e . h s

SLIDE 21

A A t r e e s

SLIDE 22

A A t r e e s

A A t r e e s i m p l e m e n t a 2

3

t r e e u s i n g a B S T ! A 2

n
d

e b e c

m

e s a B S T n

d

e A 3

n
d

e b e c

m

e s t w

B

S T n

d

e s : W e ' l l a l w a y s t r a n s l a t e a 3

n
d

e i n t

a

n

d

e a n d i t s r i g h t c h i l d

x y C A B x y A B C

SLIDE 23

A A t r e e s , t h e p l a n

A n A A t r e e i s r e a l l y a 2

3

t r e e , b u t w e s t

r

e i t i n a b i n a r y s e a r c h t r e e

A

b i t l i k e w h a t w e d i d f

r

b i n a r y h e a p s

W e ' l l n e e d t

a

d d e x t r a i n f

r

m a t i

n

t

t

h e n

d

e s , a n d i n v a r i a n t s , s

t

h a t :

A

n y A A t r e e m u s t c

r

r e s p

n

d t

a

2

3

t r e e

W

e c a n t e l l w h e t h e r e a c h n

d

e i n t h e t r e e i s a 2

n
d

e ,

r

p a r t

f

a 3

n
d

e

Tie n w e c a n a d a p t 2

3

i n s e r t i

n

t

A

A t r e e s !

F
r

s e a r c h i n g , w e c a n j u s t u s e B S T s e a r c h

SLIDE 24

A A t r e e s

W e s t

r

e w i t h e a c h n

d

e a l e v e l , w h i c h i s t h e h e i g h t

f

t h e c

r

r e s p

n

d i n g 2

3

t r e e n

d

e N

t

i c e t h a t x a n d y h a v e t h e s a m e l e v e l . Tia t ' s h

w

w e c a n t e l l t h e y r e p r e s e n t a 3

n
d

e . O u r i n v a r i a n t w i l l t a l k a b

u

t l e v e l s .

x y C A B x y A B C k + 1 k k k k + 1 k + 1 k k k

SLIDE 25

A A t r e e s

I f a n

d

e h a s t h e s a m e l e v e l a s i t s p a r e n t , w e ' l l d r a w t h e m n e x t t

e

a c h

t

h e r . Tii s e m p h a s i s e s t h e l e v e l s i n t h e t r e e .

x y C A B x y A B C k + 1 k k k k + 1 k + 1 k k k

SLIDE 26

2

3

t r e e s a s A A t r e e s

H e r e w a s t h e 2

3

t r e e f r

m

b e f

r

e . . .

1 9 1 3 5 2 4 3 1 7 1 1 7 1 5 1 8 1 9

SLIDE 27

2

3

t r e e s a s A A t r e e s

. . . a n d h e r e i s t h e c

r

r e s p

n

d i n g A A t r e e ! W e c a n i d e n t i f y t h e 2

a

n d 3

n
d

e s b y l

k

i n g a t t h e l e v e l

f

t h e n

d

e s ( h

w

? )

7 1 5 2 4 1 3 5 1 1 9 1 3 1 7 1 9 1 8 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3

SLIDE 28

A A t r e e s

W e c a n t r a n s l a t e a 2

3

t r e e t

a

n A A t r e e A n d , b y l

k

i n g a t t h e l e v e l s , w e c a n g

t

h e

t

h e r w a y

I

f a n

d

e h a s t h e s a m e l e v e l a s i t s r i g h t c h i l d , t h e t w

n
d

e s t

g

e t h e r m a k e a 3

n
d

e

O

t h e r w i s e i t ' s a 2

n
d

e

N

w

w e n e e d a n i n v a r i a n t t

c

h e c k t h a t :

W

e

n

l y h a v e 2

n
d

e s a n d 3

n
d

e s

Tie

l e v e l s m a t c h t h e h e i g h t s i n t h e 2

3

t r e e

Tie

2

3

t r e e i s p e r f e c t l y b a l a n c e d

SLIDE 29

A A t r e e i n v a r i a n t , a fj r s t a t t e m p t

A n A A t r e e

n

l y c

n

t a i n s s u b t r e e s

f

t h e f

l

l

w

i n g s h a p e : N

t

i c e t h a t t h e l e v e l

f

x / y m u s t b e e x a c t l y

n

e m

r

e t h a n t h e l e v e l

f

A / B / C ( w e c

n

s i d e r n u l l t

h

a v e a l e v e l

f

– t h i s m e a n s a l e a f m u s t h a v e a l e v e l

f

1 )

x y A B C k k k k + 1 k + 1 x A B k k k + 1

SLIDE 30

A A t r e e i n v a r i a n t , p a r t 1

I t t u r n s

u

t t

b

e b e t t e r t

b

r e a k t h i s i n v a r i a n t i n t

p

i e c e s , s

t

h a t i t s a y s s

m

e t h i n g a b

u

t e a c h B S T n

d

e F i r s t , t h e l e v e l

f

a c h i l d n

d

e i n t h e B S T m u s t b e e i t h e r :

e

q u a l t

t

h e l e v e l

f

i t s p a r e n t ,

r
o

n e l e s s t h a n t h e l e v e l

f

i t s p a r e n t

( w h e r e t h e l e v e l

f

n u l l i s )

SLIDE 31

A A t r e e i n v a r i a n t , p a r t 2

I f a n

d

e h a s t h e s a m e l e v e l a s i t s c h i l d , i t m u s t b e t h e r

t
f

a 3

n
d

e . S

w

e c a n s a y :

A

n

d

e ' s l e v e l m u s t b e g r e a t e r t h a n i t s l e f t c h i l d : l e v e l ( n

d

e ) > l e v e l ( n

d

e . l e f t )

A

n d a l s

g

r e a t e r t h a n i t s r i g h t

r

i g h t g r a n c h i l d : l e v e l ( n

d

e ) > l e v e l ( n

d

e . r i g h t . r i g h t )

x y A B C

SLIDE 32

A A t r e e – n

t

a l l

w

e d

x y A B C x y A B C z D

B a d : m a l f

r

m e d 3

n
d

e ( l e f t c h i l d a t s a m e h e i g h t ) B a d : 4

n
d

e ( r i g h t g r a n d c h i l d a t s a m e h e i g h t ) W e ' l l g e t t h e s e t r e e s d u r i n g i n s e r t i

n

!

SLIDE 33

A A t r e e i n v a r i a n t , s u m m a r y

W e c

n

s i d e r t h e l e v e l

f

n u l l t

b

e F

r

e a c h n

d

e i n t h e t r e e , t h e f

l

l

w

i n g m u s t h

l

d :

Tie

n

d

e ' s c h i l d r e n m u s t h a v e a l e v e l e i t h e r e q u a l t

r
n

e l e s s t h a n t h e n

d

e i t s e l f

l

e v e l ( n

d

e ) > l e v e l ( n

d

e . l e f t ) ( x y n

t

a l l

w

e d ) ←

l

e v e l ( n

d

e ) > l e v e l ( n

d

e . r i g h t . r i g h t ) ( x y z n

t

a l l

w

e d ) → →

Tii s i m p l i e s t h a t a n y l e a f n

d

e h a s a l e v e l

f

1 W e a l s

h

a v e t h e n

r

m a l B S T i n v a r i a n t !

SLIDE 34

W h y i s t h i s n

t

a n A A t r e e ?

7 1 5 2 4 1 3 5 1 1 9 1 7 1 9 1 8 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 ' s r i g h t c h i l d ( n u l l ) h a s l e v e l , s h

u

l d b e 1

r

2

SLIDE 35

W h y i s t h i s n

t

a n A A t r e e ?

7 1 5 2 4 1 3 5 1 1 9 1 3 1 7 1 9 1 8 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 7 i s l e f t c h i l d

f

1 5 , h a s s a m e l e v e l

SLIDE 36

W h y i s t h i s n

t

a n A A t r e e ?

7 1 5 2 4 1 3 5 1 1 9 1 3 1 7 1 9 1 8 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 C h i l d r e n

f

7 a n d 1 5 h a v e t

s

m a l l l e v e l

SLIDE 37

W h y i s t h i s n

t

a n A A t r e e ?

7 1 5 2 4 1 3 5 1 1 9 1 3 1 7 1 9 1 8 1 1 1 1 2 2 L e a f n

d

e s h a v e l e f t c h i l d n u l l ( h e i g h t ) , s

t

h e i r h e i g h t s h

u

l d b e 1

SLIDE 38

A A t r e e i n s e r t i

n

T

i

n s e r t i n t

a

n A A t r e e , w e s t a r t w i t h a n

r

m a l B S T i n s e r t i

n

. Tie n e w n

d

e i s a l e a f s

w

e g i v e i t a l e v e l

f

1 . N

t

e t h a t i t s p a r e n t a l s

h

a s l e v e l 1 ( w h y ? ) I f w e a r e l u c k y t h e p a r e n t w a s a 2

n
d

e a n d w e i n s e r t i n t

t

h e r i g h t

f

i t , g i v i n g a 3

n
d

e : O t h e r w i s e , t h e i n v a r i a n t i s b r

k

e n . B u t t h e r e a r e

n

l y t w

w

a y s i t c a n b r e a k !

x y x

SLIDE 39

C a s e 1 : s k e w

x y A B C x y A B C

H e r e , w e h a v e i n s e r t e d i n t

t

h e l e f t

f

a 2

n
d

e , b r e a k i n g t h e i n v a r i a n t . W e c a n fj x i t b y d

i

n g a r i g h t r

t

a t i

n

! Tii s

p

e r a t i

n

i s c a l l e d s k e w . W e d

i

t w h e n e v e r t h e n e w n

d

e i s t h e l e f t c h i l d

f

i t s p a r e n t .

k k k k k k k + 1 k + 1 k + 1 k + 1

SLIDE 40

C a s e 2 : s p l i t

x y A B C z D

H e r e , i n s e r t i

n

c r e a t e d a 4

n
d

e . W e c a n s p l i t i t i n t

2
n
d

e s ! N

t

i c e t h a t y ' s l e v e l i n c r e a s e s – m a y b r e a k t h e i n v a r i a n t

n

e l e v e l u p . S

c
n

t i n u e u p r e c u r s i v e l y !

x y A B C z D k k k k k k k k k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 k + 2

SLIDE 41

A l l

t

h e r c a s e s : s k e w a n d s p l i t

I n s e r t i

n

c a n a l s

c

r e a t e a 4

n
d

e l i k e t h i s : B u t , i f w e d

a

s k e w , t h i s t u r n s i n t

t

h e p r e v i

u

s k i n d

f

4

n
d

e ! T

c
v

e r a l l t h e c a s e s w e j u s t h a v e t

:

fj r s t s k e w i f t h e l e f t c h i l d i s b a d , t h e n s p l i t i f t h e r i g h t g r a n d c h i l d i s b a d

x y A B C z D

SLIDE 42

E x a m p l e : t h e q u i c k b r

w

n f

x

. . .

I n s e r t “ q u i c k ” i n t

“

t h e ”

t h e q u i c k 1 1 L e f t c h i l d a t s a m e l e v e l ! S k e w t

fj

x i t ( r

t

a t e r i g h t ) t h e q u i c k 1 1

SLIDE 43

E x a m p l e : t h e q u i c k b r

w

n f

x

. . .

I n s e r t “ b r

w

n ”

t h e q u i c k 1 1 b r

w

n 1 t h e q u i c k 1 1 b r

w

n 1 s k e w s p l i t A f t e r s k e w i n g , w e g e t a 4

n
d

e ! S p l i t i t t h e q u i c k 2 1 b r

w

n 1

SLIDE 44

E x a m p l e : t h e q u i c k b r

w

n f

x

. . .

I n s e r t “ f

x

”

t h e q u i c k 2 1 b r

w

n 1 f

x 1

SLIDE 45

I n s e r t “ j u m p s ”

t h e q u i c k 2 1 b r

w

n 1 f

x 1j

u m p s 1 t h e q u i c k 2 1 b r

w

n 1 f

x

2 j u m p s 1 s p l i t “ b r

w

n ” S p l i t m

v

e s “ f

x

” u p

SLIDE 46

E x a m p l e : t h e q u i c k b r

w

n f

x

. . .

I n s e r t “ j u m p s ”

t h e q u i c k 2 1 b r

w

n 1 f

x

2 j u m p s 1 s k e w t h e q u i c k 2 1 b r

w

n 1 f

x

2 j u m p s 1

SLIDE 47

A A t r e e s – l

k

i n g b a c k

Tie r e a r e

n

l y t w

w

a y s t h a t i n s e r t i

n

c a n b r e a k t h e i n v a r i a n t

Ma

k i n g a l e f t c h i l d w i t h t h e s a m e h e i g h t a s i t s p a r e n t – s k e w i t

Ma

k i n g a 4

n
d

e – s p l i t i t

Wh y s k e w t h e n s p l i t ? B e c a u s e s k e w i n g e n s u r e s t h e r e ' s

n

l y

n

e p

s

s i b l e w a y t

r

e p r e s e n t a 4

n
d

e Wh e n w e s p l i t , t h e l e v e l

f

t h e t

p

n

d

e i n c r e a s e s – t h i s c

r

r e s p

n

d s t

a

b s

r

p t i

n

i n a 2

3

t r e e

SLIDE 48

A A t r e e s – i m p l e m e n t a t i

n

Tie l e v e l i s s t

r

e d a s p a r t

f

e a c h n

d

e . L

k

i n g a t t h e d i a g r a m s , t h e l e v e l c h a n g e s w h e n y

u

d

a

s p l i t – s

m

a k e s u r e t

d
t

h i s E a s i e s t w a y t

i

m p l e m e n t i t : h a v e s e p a r a t e f u n c t i

n

s f

r

s k e w a n d s p l i t , c a l l t h e m f r

m

i n s e r t . B u t fj r s t s k e w t h e n s p l i t , t

t

a k e c a r e

f

t h i s c a s e :

x y A B C z D

SLIDE 49

A A v e r s u s A V L t r e e s

A A t r e e s h a v e a w e a k e r i n v a r i a n t t h a n A V L t r e e s ( l e s s b a l a n c e d ) – b u t s t i l l O ( l

g

n ) r u n n i n g t i m e A d v a n t a g e : l e s s w

r

k t

m

a i n t a i n t h e i n v a r i a n t ( t

p
d
w

n i n s e r t i

n

– n

n

e e d t

g
u

p t r e e a f t e r w a r d s ) , s

i

n s e r t i

n

a n d d e l e t i

n

a r e c h e a p e r D i s a d v a n t a g e : l

k

u p w i l l b e s l

w

e r i f t h e t r e e i s l e s s b a l a n c e d

B

u t n

d

i fg e r e n c e i n p r a c t i c e

SLIDE 50

B

t

r e e s

B

t

r e e s g e n e r a l i s e 2

3

t r e e s :

I

n a B

t

r e e

f
r

d e r k , a n

d

e c a n h a v e k c h i l d r e n

E

a c h n

n
r
t

n

d

e m u s t b e a t l e a s t h a l f

f

u l l

A

2

3

t r e e i s a B

t

r e e

f
r

d e r 3

I n s e r t i

n

a l s

b

a s e d

n

s p l i t t i n g !

10 10 22 22 30 30 40 40 13 13 15 15 18 18 20 20 32 32 35 35 38 38 5 5 7 7 8 8 26 26 27 27 42 42 46 46

SLIDE 51

W h y B

t

r e e s

B

t

r e e s a r e u s e d f

r

d i s k s t

r

a g e i n d a t a b a s e s :

H

a r d d r i v e s r e a d d a t a i n b l

c

k s

f

t y p i c a l l y ~ 4 K B

F
r

g

d

p e r f

r

m a n c e , y

u

w a n t t

m

i n i m i s e t h e n u m b e r

f

b l

c

k s r e a d

Tii

s m e a n s y

u

w a n t : 1 t r e e n

d

e = 1 b l

c

k

B
t

r e e s w i t h k a b

u

t 1 2 4 a c h i e v e t h i s

10 10 22 22 30 30 40 40 13 13 15 15 18 18 20 20 32 32 35 35 38 38 5 5 7 7 8 8 26 26 27 27 42 42 46 46

SLIDE 52

R e d

b

l a c k t r e e s ( n

t
n

e x a m )

I n s t e a d

f

2

3

t r e e s , w e c a n u s e 2

3
4

t r e e s

2
n
d

e , 3

n
d

e s a n d 4

n
d

e s (

r

B

t

r e e w i t h k = 4 )

Tie r e ' s a m

r

e e ffjc i e n t i n s e r t i

n

a l g

r

i t h m f

r

t h e m , c a l l e d t

p
d
w

n i n s e r t i

n

!

S

e e Wi k i p e d i a p a g e f

r

m

r

e i n f

r

m a t i

n

W e c a n i m p l e m e n t t h e m u s i n g B S T s , u s i n g t h e s a m e i d e a s a s A A t r e e s . Tii s i s c a l l e d a r e d

b

l a c k t r e e , t h e f a s t e s t b a l a n c e d B S T

G

e t s c

m

p l i c a t e d b e c a u s e

f

l

t

s

f

c a s e s

SLIDE 53

S u m m a r y

2

3

t r e e s : a l l

w

2

r

3 c h i l d r e n p e r n

d

e

P
s

s i b l e t

k

e e p p e r f e c t l y b a l a n c e d

S

l i g h t l y a n n

y

i n g t

i

m p l e m e n t

A A t r e e s – 2

3

t r e e s i m p l e m e n t e d u s i n g a B S T

S

i m i l a r p e r f

r

m a n c e t

A

V L t r e e s , b u t m u c h s i m p l e r

F

e w e r c a s e s t

c
n

s i d e r , b e c a u s e t h e i n v a r i a n t c a n

n

l y b r e a k i n t w

w

a y s

B

t

r e e s : g e n e r a l i s e 2

3

t r e e s t

k

c h i l d r e n

I

f k i s b i g , t h e h e i g h t i s v e r y s m a l l – u s e f u l f

r
n
d