x 0 E x P sin = E x E = x Q, y L 2 Cylindrically - - PowerPoint PPT Presentation

Lecture ¡8 ¡

Uniformly ¡charged ¡rod, ¡Q, ¡L, ¡with ¡charge ¡density ¡ ∆Q

∆y = λ = Q L ∴ ∆Q = λ∆y

∆Q, ∆y

α x ρ

β

−L 2 L 2

∆E

P

∆Ex ∆Ey

Find ¡E ¡at ¡P: ¡

sin α = ∆Ex ∆E = x ρ

Cylindrically ¡symmetric ¡E-­‑field: ¡ At ¡the ¡end ¡replace ¡x ¡with ¡r ¡ ¡ ¡

x

Ex

P

α

α1

α + ∆α

∆α

α2 Uniformly ¡charged ¡rod ¡con1nued... ¡

Ey = Σk(λ∆y) ρ2 sin α − → kλ Z dy ρ2 sin α

∆E = k(λ∆y) ρ2 , ∆Ex = ∆E sin α

Change variable ∆y → ∆α

I.D. ¡

Ex = kλ Z α2

α1

dα x sin α = kλ x (− cos α)

• α2

α1

= kλ x (cos α1 − cos α2)

dy ρ2 = dα x

P

α

α1 α1

π − α1

r1 = s x2 + ✓L 2 ◆

r

Uniformly ¡charged ¡rod ¡con1nued... ¡

symmetry α2 = π − α1

cos α1 − cos α2 = 2 cos α1 = 2L/2 ρ1 = L ρ1

∴ Ex = kλ x1 · L ρ1 = kQ x1ρ1

(see ¡pg ¡634) ¡

Derive ¡Math ¡ID: ¡ Change ¡of ¡Variable ¡in ¡IntegraAon: ¡ Math ¡ID: ¡

P

y

α

x

tan α = x (−y)

d dαLHS = d dα tan α = 1 cos2 α = 1 ⇣

y ρ

⌘2 = ρ2 y2

d dαRHS = d dα x (−y) = (−x) d dα 1 y = (−x) ✓ − 1 y2 ◆ dy dα = x y2 dy dα

d dαLHS = d dαRHS ρ2 y2 = x y2 dy dα

∴ dy ρ2 = dα x

dy ρ2 = dα x

Back ¡to ¡Electric ¡Field ¡at ¡P: ¡ Er = kQ r q r2 + L

2

2 Farfield : r L 2 Nearfield : r ⌧ L 2 Er = kQ r2 (as expected) Er = kQ r L

2

• Later ¡we ¡will ¡see ¡for ¡Gauss ¡Law ¡
• ne ¡finds ¡the ¡near ¡field ¡is ¡given ¡

by: ¡

• 2⇡✏0r

Check: ¡ RHS = 1 4⇡✏0 · Q

rL 2

= 1 2⇡✏0 · r

• Ch. ¡16 ¡Hw1.003 ¡

F rod

drop = (−q)Erod −

+ qErod

+

< 0

Er = 2kλ r

• F rod

drop

• = q 2k

r

• −

1 1 − ✏ + 1 1 + ✏

• −(1 + ✏) + (1 − ✏) = −2✏

= −2s/2 r = −s r

• F rod

drop

• 2kqλ

r · s r ∝ 1 r2