Web-geometric approach to models of fuzzy logic Milan Petr k Peter - PowerPoint PPT Presentation

Web-geometric approach to models of fuzzy logic Milan Petr´ ık Peter Sarkoci Department of Mathematics and Descriptive Geometry Faculty of Civil Engineering, Slovak University of Technology Radlinsk´ eho 11, 813 68 Bratislava, Slovakia Mathematical Structures for Non-standard Logics, Prague, Czech Republic, 2009 1 / 17

Outline 1 Definitions 2 Rectangles and relations 3 Associativity of local togmas 4 Corollaries 2 / 17

Definitions magma ( G , ∗ ) . . . a set G with an operation ∗ : G × G → G togma ( G , ∗ , ≤ ) (totally ordered magma) ( G , ∗ ) ... magma ( G , ≤ ) ... chain ∀ x , y , z ∈ G : x ≤ y ⇒ x ∗ z ≤ y ∗ z monoid ( G , ∗ , 1 , ≤ ) ( G , ∗ ) ... magma ∗ ... associative 1 ... neutral element tomonoid ( G , ∗ , 1 , ≤ ) (totally ordered monoid) ( G , ∗ , 1 ) ... monoid ( G , ≤ ) ... chain 3 / 17

Definitions ( A , ≤ A ) , ( B , ≤ B ) . . . chains f : A → B . . . non-decreasing surjection we define inverse of f : f − 1 : B → P ( A ): y �→ { x ∈ A | f ( x ) = y } we extend f to sets: � f ( M ) = f ( x ) for some M ⊆ A x ∈ M f ( f − 1 ( x )) = x ∀ x ∈ A 4 / 17

Definitions ( G , ∗ , ≤ ) . . . togma left section at v ∈ G : v g : G → G : x �→ x ∗ v right section at u ∈ G : g u : G → G : y �→ u ∗ y local operation ⊛ at ( u , v ) ∈ G 2 : ⊛ : ( x , y ) �→ v g − 1 ( x ) ∗ g − 1 u ( y ) ⊛ is defined on H ⊆ G ⇔ ∀ x , y ∈ H : x ⊛ y makes sense ⊛ is closed on H ⊆ G ⇔ ∀ x , y ∈ H : x ⊛ y ⊆ H ⊛ is single-valued on H ⊆ G ⇔ ∀ x , y ∈ H : x ⊛ y is a singleton 5 / 17

Definitions Definition of local togma ( G , ∗ , ≤ ) . . . togma ( H , ⊛ , ≤ ) . . . local togma of ( G , ∗ , ≤ ) at ( u , v ) ∈ G 2 on H ⊆ G if ⊛ is the local operation at ( u , v ) and ⊛ is defined, closed, and single-valued on H 6 / 17

Computing x ⊛ y = v g − 1 ( x ) ∗ g u − 1 ( y ) : ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ G ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ G 7 / 17

Computing x ⊛ y = v g − 1 ( x ) ∗ g u − 1 ( y ) : ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ v ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ G ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ u G 7 / 17

Computing x ⊛ y = v g − 1 ( x ) ∗ g u − 1 ( y ) : v g � � � � � � � � ������������������� ������������������� � � � � � � � � ����������������� ����������������� � � � � � � � � � � ����������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � ����������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � ����������������� ����������������� � � � � � � � � v � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � G � � ������� ������� ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � � � ����������������� ����������������� � � ������� ������� � � � � � � � � � � � � g u � � � � � � � � � � u G 7 / 17