tts strt s tr - - PowerPoint PPT Presentation

❉❡ ❋✐♥❡tt✐✬s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛s ❛ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❧✐♠✐t

❘❛❞❜♦✉❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆✐❥♠❡❣❡♥ ❇❛rt ❏❛❝♦❜s✱ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙❛♠ ❙t❛t♦♥ ✭❖①❢♦r❞✮

❜❛rt❅❝s✳r✉✳♥❧ ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵

❉❡ ❋✐♥❡tt✐✬s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛s ❛ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❧✐♠✐t

❘❛❞❜♦✉❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆✐❥♠❡❣❡♥ ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵

❇❛rt ❏❛❝♦❜s✱ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙❛♠ ❙t❛t♦♥ ✭❖①❢♦r❞✮ ❜❛rt❅❝s✳r✉✳♥❧

P❛❣❡ ✶ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐

❖✉t❧✐♥❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

P❛❣❡ ✷ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐

❲❤❡r❡ ✇❡ ❛r❡✱ s♦ ❢❛r

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

Pó❧②❛✬s ✉r♥✱ s❡tt✐♥❣

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✉r♥ ✇✐t❤ b ❜❧❛❝❦ ❜❛❧❧s ❛♥❞ w ✇❤✐t❡ ❜❛❧❧s✳ ❉r❛✇ ❛ ❜❛❧❧✱ ♥♦t❡ ✐ts ❝♦❧♦✉r✱ ❛♥❞ r❡♣❧❛❝❡ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ♦♥❡ ❡①tr❛ ❜❛❧❧ ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦✉r✳ ❘❡♣❡❛t✦ ◮ ❉❡✜♥❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ Xi = ✵ ✐s t❤❡ i✲t❤ ❞r❛✇ ✐s ✇❤✐t❡❀ Xi = ✶ ✐❢ t❤❡ ❞r❛✇ ❜❧❛❝❦✳ ❚❤✐s ②✐❡❧❞s X✶, X✷, X✸, . . . ◮ ▲❡t pn ❜❡ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ X✶, . . . , Xn✳ ◮ ❋❛❝t✿ pn ✐s ❡①❝❤❛♥❣❡❛❜❧❡✱ ✐✳❡✳ st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✳ ❊✳❣✳ p✺(✶, ✶, ✵, ✵, ✵) = p✺(✵, ✶, ✵, ✶, ✵)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉❡ ❋✐♥❡tt✐✱ ❜✐♥❛r② ❢♦r♠✮

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ✭❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ ♠❡❛s✉r❡ µ ♦♥ [✵, ✶] s✉❝❤ t❤❛t✿ pn(x✶, . . . , xn) =

• xt · (✶ − x)n−tµ( ❞x)

✇❤❡r❡ t :=

i xi.

P❛❣❡ ✸ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❖✉r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✴ ✐♥s✐❣❤ts ✴ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s

◮ ❯r♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ♠✉❧t✐s❡t ◮ ❉r❛✇✐♥❣ ✐s ❛ ❝♦❛❧❣❡❜r❛ ♦♥ s✉❝❤ ♠✉❧✐ts❡ts ◮ ■t❡r❛t❡❞ ❞r❛✇✐♥❣ ②✐❡❧❞s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ♠✉❧t✐s❡t ♦❢ ❝♦❧♦✉r❡❞ ❜❛❧❧s

• r❡❝❛❧❧ t❤❛t ♦♥❧② t♦t❛❧s t ❛r❡ r❡❧❡✈❛♥t ✐♥ ❞❡ ❋✐♥❡tt✐
• st❛❜✐❧✐t② ✉♥❞❡r ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ✐s ❜✉✐❧t ✐♥t♦ ♠✉❧t✐s❡t ❢♦r♠❛❧✐s♠
• ✐♥❞❡❡❞✱ ♦r❞❡r ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ✐s ✐rr❡❧❡✈❛♥t ✐♥ ❛ ♠✉❧t✐s❡t ✖ ♦♥❧②

♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t✐❡s ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦✉♥t ◮ ❚❤❡s❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦♥ ♠✉❧t✐s❡ts ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥❡ ❢♦r ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❝❤❛✐♥

• s✉❜t❧❡ ♣♦✐♥t✿ ❝♦♥❡ ✐♥ ❑❧❡✐s❧✐ ❝❛t❡❣♦r②

◮ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐✬s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ µ ❛r✐s❡s ❜❡❝❛✉s❡ [✵, ✶] ✐s ❧✐♠✐t ❝♦♥❡ ◮ ■♥❢♦r♠❛❧ ✐❞❡❛ ❜❡❤✐♥❞ ✏❞❡ ❋✐♥❡tt✐✑✿

• ❝♦♥s✐st❡♥t ❞✐s❝r❡t❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r✐s❡ ❢r♦♠ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥❡
• ❤❡r❡✿ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❑❧❡✐s❧✐ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♠♦♥❛❞

❤❛s ❧✐♠✐t ✐♥ ❑❧❡✐s❧✐ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♠♦♥❛❞ ✭●✐r②✮

P❛❣❡ ✹ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❲❤❡r❡ ✇❡ ❛r❡✱ s♦ ❢❛r

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

▼✉❧t✐s❡ts

◮ ❆ ♠✉❧t✐s❡t ✐s ❛ s❡t ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❡❧❡♠❡♥ts ♠❛② ♦❝❝✉r ♠✉❧t✐♣❧❡ t✐♠❡s ◮ ❈♦♥✈❡♥✐❡♥t ♥♦t❛t✐♦♥ ❛s ❢♦r♠❛❧ s✉♠

i ni| xi ✱ ✇❤❡r❡ ni ∈ N ✐s t❤❡

♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ♦❢ ❡❧❡♠❡♥t xi ∈ X✱ ❧✐❦❡ ✐♥ ❛ ❝♦❧♦r ♠✐① ✭♦r ✉r♥✮✿ ✸| R + ✺| G + ✷| B ◮ ▼✉❧t✐s❡ts ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ s✉♣♣♦rt✿ M(X) := {ϕ: X → N | s✉♣♣(ϕ) ✐s ✜♥✐t❡} ✇❤❡r❡ s✉♣♣(ϕ) = {x ∈ X | ϕ(x) = ✵}✳ ◮ ❚❤✐s ✐s ❢✉♥❝t♦r✐❛❧✿ ❢♦r f : X → Y ♦♥❡ ❣❡ts M(f ): M(X) → M(Y ) ✇✐t❤✿ M(f )

i ni| xi

• :=

i ni| f (xi) .

◮ ❚❤✐s M: ❙❡ts → ❙❡ts ✐s ✐♥ ❢❛❝t ❛ ♠♦♥❛❞✳

P❛❣❡ ✺ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

▼✉❧t✐s❡ts✱ ❝♦♥t✐♥✉❡❞

◮ ❏✉st t♦ r❡❝❛❧❧✱ M(X) ✐s t❤❡ ❢r❡❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞ ♦♥ t❤❡ s❡t X

• ❛❞❞✐t✐♦♥ ✐s ♣♦✐♥t✲✇✐s❡❀ ❡♠♣t② ♠✉❧t✐s❡t ✐s ③❡r♦✲❡❧❡♠❡♥t

◮ ❲❡ s❤❛❧❧ ✇r✐t❡ M∗(X) ❢♦r t❤❡ s✉❜s❡t ♦❢ ♥♦♥✲❡♠♣t② ♠✉❧t✐s❡ts✿ M∗(X) := {ϕ: X → N | s✉♣♣(ϕ) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ✫ ✜♥✐t❡} = {ϕ ∈ M(X) |

x ϕ(x) = ✵}

◮ ❋♦r K ∈ N ✇❡ ✇r✐t❡ M[K](X) ❢♦r t❤❡ s✉❜s❡t ♦❢ ♠✉❧t✐s❡ts ♦✈❡r X ✇✐t❤ K ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ t♦t❛❧✳ ❚❤✉s✿ M[K](X) := {ϕ ∈ M(X) |

x ϕ(x) = K}.

◮ ❊①❛♠♣❧❡✿ ✸| R + ✺| G + ✷| B ❤❛s ✶✵ ❡❧❡♠❡♥ts✱ ✐✳❡✳ ✐s ✐♥ M[✶✵]({R, G, B})

P❛❣❡ ✻ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

❉✐s❝r❡t❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

◮ ❆ ✭✜♥✐t❡✱ ❞✐s❝r❡t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✮ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❡❧❡♠❡♥ts ◮ ■t✬s ✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦r♠❛❧ ❝♦♥✈❡① s✉♠

i ri| xi ✱ ✇❤❡r❡ ri ∈ [✵, ✶] ✐s t❤❡

♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ♦❢ ❡❧❡♠❡♥t xi ∈ X✱ ✇❤❡r❡

i ri = ✶✳

• s✉❝❤ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ ❛ st❛t❡
• ♥♦t✐❝❡ t❤❛t D(✷) ∼

= [✵, ✶]✱ ✇❤❡r❡ ✷ = {✵, ✶}✳ ◮ ❆❣❛✐♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ♠♦♥❛❞ D: ❙❡ts → ❙❡ts

• ✇❡ ❝❛❧❧ ❛ ❑❧❡✐s❧✐ ♠❛♣ f : X → D(Y ) ❛ ❝❤❛♥♥❡❧
• ♥♦t❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❝✐r❝❧❡✲♦♥✲❛rr♦✇✿ X → Y ✳

◮ ❋♦r f : X → Y ❛♥❞ ω ∈ D(X) ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ st❛t❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ f ≫ ω✱ ❣✐✈✐♥❣ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ Y ✿

• f ≫ ω
• (y) :=
• x∈X

ω(x) · f (x)(y).

P❛❣❡ ✼ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

❇✐♥♦♠✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✱ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧

◮ ❘❡❝❛❧❧✿ ❢♦r tr✐❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r ∈ [✵, ✶]✱ t❤❡ ❜✐♥♦♠✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ k ♦✉t ♦❢ K s✉❝❝❡s❢✉❧ tr✐❛❧s✳ ◮ ❍❡r❡ ✐t ✐s ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❜✐♥♦♠[K]: [✵, ✶] → {✵, ✶, . . . , K} ✇✐t❤✿ ❜✐♥♦♠[K](r) :=

• ✵≤k≤K

K

k

• · r k · (✶ − r)K−k

k

• ◮ ◆♦t❡✿ k s✉❝❝❡ss❡s ♦✉t ♦❢ K ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ❛ ♠✉❧t✐s❡t

k| ✶ + (K − k)| ✵ ✐♥ M[K](✷)✱ ❢♦r ✷ = {✵, ✶}✳ ◮ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✿ {✵, ✶, . . . , K}

∼ =

M[K](✷) k ✤ k| ✶ + (K − k)| ✵ ◮ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ❜✐♥♦♠[K]: D(✷) → M[K](✷) ❚❤✐s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛❧✐s❡s ❡❛s✐❧② t♦ t❤❡ ♠✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❝❛s❡✳

P❛❣❡ ✽ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

▼✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

◮ ❚❤❡ ❜✐♥♦♠✐❛❧ ❝❛s❡ ✐♥✈♦❧✈❡s ❛ tr✐❛❧ ✇✐t❤ t✇♦ ♦✉t❝♦♠❡s✳ ■♥ t❤❡ ♠✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❝❛s❡ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ◮ ◆❛t✉r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✴❣❡♥❡r❛❧✐s❛t✐♦♥ ❛s ❝❤❛♥♥❡❧✿ D(X)

• ♠✉❧♥♦♠[K]

M[K](X). ◮ ❲✐t❤ ❢♦r♠✉❧❛✿ ♠✉❧♥♦♠[K]

i ri| xi

• ❞✐str✐❜✉t✐♦♥
• =
• ki,

iki=K

K!

• i ki! ·
• ir ki

i

• ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
• i ki| xi
• ♠✉❧t✐s❡t
• ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦✈❡r ♠✉❧t✐s❡ts

P❛❣❡ ✾ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

◮ ❋♦r ❛ ♠❡❛s✉r❛❜❧❡ s♣❛❝❡ X = (X, ΣX) ❛ ✭❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧② ❛❞❞✐t✐✈❡ ♠❛♣ ω: ΣX → [✵, ✶] ✇✐t❤ ω(X) = ✶✳ ◮ ❖♥❡ ✇r✐t❡s G(X) ❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ s✉❝❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

• ✐t ❢♦r♠s t❤❡ ●✐r② ♠♦♥❛❞
• ❢♦r ❛ s❡t X✱ ❛s ❞✐s❝r❡t❡ ♠❡❛s✉r❛❜❧❡ s♣❛❝❡✿ D(X) ֒

→ G(X)

• t❤✐s ❣✐✈❡s ❛♥ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❑❧❡✐s✐ ❝❛t❡❣♦r✐❡s

◮ ❲❡ ✉s❡ ❝♦♥t✐♥♦✉s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦♥❧② ♦♥ [✵, ✶]

P❛❣❡ ✶✵ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

❲❤❡r❡ ✇❡ ❛r❡✱ s♦ ❢❛r

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

❉r❛✇✐♥❣ ❢r♦♠ ❛♥ ✉r♥

◮ ❆♥ ✉r♥ ✇✐t❤ K ✐t❡♠s ✐♥ t♦t❛❧ ❢r♦♠ ❛ s❡t X ✐s ❛ ♠✉❧t✐s❡t ✐♥ M[K](X) ◮ ❉r❛✇✐♥❣✲❛♥❞✲❞❡❧❡t✐♥❣ ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t ②✐❡❧❞s ❛ ❝❤❛♥♥❡❧✿ M[K + ✶](X)

❉❉

D

• M[K](X)
• ϕ ✤

x∈X

ϕ(x) K + ✶

• ϕ − ✶| x
• ◮ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✿

❉❉

• ✸| R + ✺| G + ✷| B
• =

✸ ✶✵

• ✷| R + ✺| G + ✷| B
• +

✺ ✶✵

• ✸| R + ✹| G + ✷| B
• +

✷ ✶✵

• ✸| R + ✺| G + ✶| B
• ◮ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❞✐❛❣r❛♠ ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s✿

✶ = M[✵](X) M[✶](X)

• ❉❉
• M[✷](X)
• ❉❉
• · · ·
• ❉❉
• P❛❣❡ ✶✶ ♦❢ ✶✾

❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s

▼✉❧t✐♥♦♠✐❛❧s ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥❡ ▲❡♠♠❛

❚❤❡ ♠✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥❡ ❢♦r t❤❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❞r❛✇✲❛♥❞✲❞❡❧❡t❡ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ❛s ✐♥✿ M[✵](X) · · ·

• ❉❉
• M[K](X)
• ❉❉
• M[K + ✶](X)
• ❉❉
• · · ·
• ❉❉
• D(X)
• ♠✉❧♥♦♠[K]
• ♠✉❧♥♦♠[K+✶]

· · ·

• ♠✉❧♥♦♠[✵]
• ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❛ ♠❛tt❡r ♦❢ ✉♥♣❛❝❦✐♥❣ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✿ ❑❧❡✐s❧✐

❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ ♠✉❧t✐♥♦♠✐❛❧s✱ ❞r❛✇✲❛♥❞✲❞❡❧❡t❡✳

P❛❣❡ ✶✷ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s

❉❡ ❋✐♥❡tt✐✬s t❤❡♦r❡♠✱ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ ❧✐♠✐t ❢♦r♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❉❡ ❋✐♥❡tt✐✱ ❜✐♥❛r② ✈❡rs✐♦♥✮

❋♦r X = ✷✱ t❤❡ ❝♦♥❡ ♦❢ ❜✐♥♦♥♦♠✐❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s ❢♦r♠s ❛ ❧✐♠✐t ✐♥ t❤❡ ❑❧❡✐s❧✐ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ G✱ ✇✐t❤ ❛♣❡① D(✷) ∼ = [✵, ✶]✱ ❛s ✐♥✿ M[✵](✷) · · ·

• ❉❉
• M[K](✷)
• ❉❉
• M[K + ✶](✷)
• ❉❉
• · · ·
• ❉❉
• [✵, ✶]
• ❜✐♥♦♠[K]
• ❜✐♥♦♠[K+✶]

· · ·

• ❜✐♥♦♠[✵]
• ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✉s❡s ❍❛✉s❞♦r✛✬s ♠♦♠❡♥ts t❤❡♦r❡♠✿ ❛ ♠❡❛s✉r❡ µ ♦♥ [✵, ✶] ❝❛♥

❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ s❡q✉❡♥❝❡✱ ❢♦r♠✐♥❣ ✐ts ♠♦♠❡♥ts mK = ✶

✵ xKµ( ❞x)✳ ❆ ❝♦♥❡ ②✐❡❧❞s s✉❝❤ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ s❡q✉❡♥❝❡✳

P❛❣❡ ✶✸ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s

❇❛❝❦ t♦ t❤❡ Pó❧②❛✬s ✉r♥ ❡①❛♠♣❧❡

◮ ❆ Pó❧②❛ ✉r♥ ✐s ❛ ♠✉❧t✐s❡t b| ✶ + w| ✵ ✐♥ M(✷)

• ✇❡ ❛ss✉♠❡ ✐t ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ t❤❛t ✐s✱ b + w > ✵

◮ ❉r❛✇✐♥❣✲❛♥❞✲r❡❝♦r❞✐♥❣ t❤❡ ❞r❛✇s K t✐♠❡s ②✐❡❧❞s ❛ ❝❤❛♥♥❡❧✿ M∗(✷)

• ♣♦❧[K] M[K](✷)

◮ ❚❤❡s❡ ♣♦❧[K] ❝❤❛♥♥❡❧s ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥❡ ❢♦r t❤❡ ❞r❛✇✲❛♥❞✲❞❡❧❡t❡ ❞✐❛❣r❛♠ ◮ ❇② ❞❡ ❋✐♥❡tt✐✱ t❤✐s ❣✐✈❡ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♠❡❞✐❛t✐♥❣ ♠❛♣ M∗(✷) → G([✵, ✶])

• ✐t ✐s t❤❡ ❜❡t❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❜❡t❛: M∗(✷) → [✵, ✶]
• ❊①♣❧✐❝✐t❧②✱ ❢♦r ❛ ♠❡❛s✉r❛❜❧❡ s✉❜s❡t M ⊆ [✵, ✶]✱

❜❡t❛

• b| ✶ + w| ✵
• (M) =
• M

xb · (✶ − x)w B(b, w) ❞x

• ❚❤✐s ❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❢♦r Pó❧②❛ ✐s ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥❀ ✇❤❛t✬s ♥❡✇ ✐s t❤❛t ✐t

✐s ♠❡❞✐❛t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❧✐♠✐t ❝♦♥❡ ♦❢ ❜✐♥♦♠✐❛❧s

P❛❣❡ ✶✹ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s

❲❤❡r❡ ✇❡ ❛r❡✱ s♦ ❢❛r

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

❈♦❛❧❣❡❜r❛s

◮ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛ ❝♦❛❧❣❡❜r❛ ❢♦r ❛♥ ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r F : C → C ✐s ❛ ♠❛♣ c : X → F(X)✳ ❆ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ✐s ❛ ♠❛♣ f : X → Y ✇✐t❤✿ F(X)

F(f )

F(Y ) X

f

• c
• Y

d

• ◮ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❝♦❛❧❣❡❜r❛s c : X → D(✷ × X) ❢♦r F = D(✷ × −)✳

◮ ❈❛❧❧ s✉❝❤ ❛ ❝♦❛❧❣❡❜r❛ ❡①❝❤❛♥❣❡❛❜❧❡ ✐❢✿ ✷ × X

✐❞⊗c

• ✷ × ✷ × X

s✇❛♣×✐❞ ∼ =

X

c

• c
• ✷ × X

✐❞⊗c

• ✷ × ✷ × X

P❛❣❡ ✶✺ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❚❤❡ Pó❧②❛ ❝♦❛❧❣❡❜r❛

❚❤❡ s❡tt✐♥❣ ♦❢ t❤❡ Pó❧②❛ ✉r♥ ❣✐✈❡s ❛ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✿ M∗(✷)

♣♦❧

D

• ✷ × M∗(✷)
• b| ✶ + w| ✵

✤

• b

b + w

• ✶, (b + ✶)| ✶ + w| ✵
• +

w b + w

• ✵, b| ✶ + (w + ✶)| ✵
• ❚❤✐s ❝♦❛❧❣❡❜r❛ ✐s ❡①❝❤❛♥❣❡❛❜❧❡

P❛❣❡ ✶✻ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

■t❡r❛t✐♥❣ t❤❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛

❊❛❝❤ ❝♦❛❧❣❡❜r❛ c : X → ✷ × X ❣✐✈❡s cK : X → M[K](✷) ✈✐❛ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✿ X

• c

✷ × X

• ✐❞⊗c ✷ × ✷ × X
• · · ·
• ✷K × X

π✶

• ✷K

❛❝❝✉♠✉❧❛t❡

• M[K](✷)

◮ ❚❤❡s❡ ♠❛♣s cK : X → M[K](✷) ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥❡ ❢♦r t❤❡ ❞r❛✇✲❛♥❞✲❞❡❧❡t❡ ❝❤❛✐♥ ❉❉ : M[K + ✶](✷) → M[K](✷) ◮ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ♥♦✇ ❣✐✈❡s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♠❡❞✐❛t✐♥❣ c : X → [✵, ✶]

P❛❣❡ ✶✼ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✜♥❛❧✐t②

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✿ [✵, ✶]

❜❡r♥

D

• ✷ × [✵, ✶]
• r ✤

r

• ✶, r
• + (✶ − r)
• ✵, r
• ■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t ✐t ✐s ❡①❝❤❛♥❣❡❛❜❧❡✳

❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❇❡r♥♦✉✐❧❧✐ ❝♦❛❧❣❡❜r❛ ✐s t❤❡ ✜♥❛❧ ❡①❝❤❛♥❣❡❛❜❧❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✿ ✷ × X

• ✐❞⊗c

✷ × [✵, ✶] X

• c
• c

[✵, ✶]

• ❜❡r♥
• P❛❣❡ ✶✽ ♦❢ ✶✾

❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❲❤❡r❡ ✇❡ ❛r❡✱ s♦ ❢❛r

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❈♦♥❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

❈♦♥❝❧✉❞✐♥❣ r❡♠❛r❦s

◮ ▼❛✐♥ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥✿ ♥❡✇✱ ♠♦❞❡r♥ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦♥ ♦❧❞✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❡s✉❧t ♦❢ ❞❡ ❋✐♥❡tt✐ ✭❢r♦♠ ✶✾✸✵s✮

• ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ✐♥ ❛①✐♦♠❛t✐❝✴s②♥t❤❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

◮ ❆❝❝❡♣t❡❞ ❢♦r ❈♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ✭❈▼❈❙✬✷✵✮

• ❜✉t t❤❡ ✇♦r❦s❤♦♣ ♥❡✈❡r ❤❛♣♣❡♥❡❞
• t❤❡ ♣❛♣❡r ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛t ❛r①✐✈✳♦r❣✴❛❜s✴✷✵✵✸✳✵✶✾✻✹

◮ ❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♠✉❧t✐s❡ts ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧ ✐♥ ❜❛s✐❝ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❡♦r② ✖ ❡s♣✳ ❛❧s♦ ✐♥ ❧❡❛r♥✐♥❣ ◮ ❈❤❛♥♥❡❧✲❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ❢r✉✐t❢✉❧✱ ❛❧s♦ ❢♦r ♠❛♥② ♦t❤❡r t♦♣✐❝s ✐♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✿ ❇❛②❡s✐❛♥ ♥❡t✇♦r❦s✱ ❧♦❣✐❝✱ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♣r✐♦rs✱ ❡t❝✳ ◮ P♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❢♦r ✏❞❡ ❋✐♥❡tt✐ ❛s ❧✐♠✐t✑ ❜❡②♦♥❞ t❤❡ ❜✐♥❛r② ❝❛s❡✿

• ✈✐❛ ✏♠✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ❍❛✉s❞♦r✛ ♠♦♠❡♥ts✑ ✭❑❧❡✐❜❡r ✫ ❙t♦②❛♥♦✈✱ ❏▼❆✬✶✸✮
• ✈✐❛ P♦❧✐s❤ s♣❛❝❡s ✭❉❛❤❧q✈✐st✱ ❉❛♥♦s✱ ●❛r♥✐❡r✱ ❈♦♥❝✉r✬✶✻✮

P❛❣❡ ✶✾ ♦❢ ✶✾ ❏❛❝♦❜s ❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✺✲✽ ❏✉♥❡ ✷✵✷✵ ❉❡ ❋✐♥❡tt✐ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s