trrr qt - - PDF document

❊♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ❋✐♥❛♥❝❡✱ ❍♦♠❡ ❊q✉✐t②✱ ❛♥❞ ▼♦♥❡t❛r② P♦❧✐❝②∗

P❛✉❧ ❏❛❝❦s♦♥

❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈❛❧✐❢♦r♥✐❛✱ ■r✈✐♥❡

❋❧♦r✐❛♥ ▼❛❞✐s♦♥

❈❧❛r❡♠♦♥t ▼❝❑❡♥♥❛ ❈♦❧❧❡❣❡

❏❛♥✉❛r② ✶✵✱ ✷✵✷✵

❆❜str❛❝t ❲❡ ♠♦❞❡❧ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡ ✉s✐♥❣ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡②✱ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞s✱ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✱ ❛♥❞ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s✳ ❚❤❡ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r ✐s ♦✈❡r✲ t❤❡✲❝♦✉♥t❡r✱ ✇❤❡r❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❚❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♥♥❡❧ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♠✐♥❛❧ ❛♥❞ r❡❛❧ ❛ss❡ts ✉s❡❞ t♦ ✜♥❛♥❝❡ ✐♥✈❡st♠❡♥ts✱ ❛♥❞ ❞❡❝❧✐♥❡s ✐♥ t❤❡ ❡①t❡♥t t♦ ✇❤✐❝❤ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ❛❝❝❡♣t❡❞ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✳ ❆ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❯✳❙✳ ❡❝♦♥♦♠② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥ts t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡s ♥♦✈❡❧ ✐♥s✐❣❤ts ♦♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✵ ❛♥❞ ✷✵✶✻✳

❏❊▲ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥✿ ❊✷✷✱ ❊✹✵✱ ❊✺✷✱ ●✸✶✱ ❘✸✶ ❑❡②✇♦r❞s✿ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡✱ ♠♦♥❡②✱ ❤♦✉s✐♥❣✱ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✱ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②

∗❲❡ ❛r❡ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❣r❛t❡❢✉❧ t♦ ●✉✐❧❧❛✉♠❡ ❘♦❝❤❡t❡❛✉ ❛♥❞ ❆❧❡❦s❛♥❞❡r ❇❡r❡♥st❡♥ ❢♦r t❤❡✐r ❡①t❡♥s✐✈❡ ❛❞✈✐❝❡ ❛♥❞ s✉♣♣♦rt✳ ❙♣❡❝✐❛❧

t❤❛♥❦s ❛❧s♦ ❣♦ t♦ ❘❛♥❞❛❧❧ ❲r✐❣❤t✱ ❈❤r✐st♦♣❤❡r ❲❛❧❧❡r✱ ❉❛✈✐❞ ❆♥❞♦❧❢❛tt♦✱ ❋❡r♥❛♥❞♦ ▼❛rt✐♥✱ P❡❞r♦ ●♦♠✐s✲P♦rq✉❡r❛s✱ ❊❞ ◆♦s❛❧✱ ❛♥❞ ❈②r✐❧ ▼♦♥♥❡t ❢♦r ♦✉r ❢r✉✐t❢✉❧ ❞✐s❝✉ss✐♦♥s ❛t t❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❇❡r♥ ❛♥❞ t❤❡ ❋❘❇ ♦❢ ❙t✳ ▲♦✉✐s✳ ❋✉rt❤❡r ✇❡ t❤❛♥❦ t❤❡ ♣❛rt✐❝✐♣❛♥ts ♦❢ t❤❡ ✷✵✶✽ ❙✉♠♠❡r ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ▼♦♥❡②✱ ❇❛♥❦✐♥❣✱ P❛②♠❡♥ts ❛♥❞ ❋✐♥❛♥❝❡ ❛t t❤❡ ❋❘❇ ♦❢ ❙t✳ ▲♦✉✐s✱ t❤❡ ❋✐❢t❤ ▼❛❝r♦ ▼❛rr❛❦❡❝❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ❛t ❯♥✐✈❡rs✐té ❈❛❞✐ ❆②②❛❞✱ t❤❡ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❚❤❡♦r② ❘❡❛❞✐♥❣ ●r♦✉♣ ❛t t❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❇❛s❡❧✱ t❤❡ ❯❈■ ▼❛❝r♦ ❘❡❛❞✐♥❣ ●r♦✉♣✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛rt✐❝✐♣❛♥ts ❛t t❤❡ 4th ▼❛❝r♦ ▼❛rr❛❦❡s❤ P❤✳❉✳ ✇♦r❦s❤♦♣ ❢♦r t❤❡✐r ❝♦♠♠❡♥ts ❛♥❞ t❤♦✉❣❤t❢✉❧ q✉❡st✐♦♥s✳ ❚❤✐s ♣❛♣❡r ✇❛s ♣r❡✈✐♦✉s❧② t✐t❧❡❞ ✏❈♦r♣♦r❛t❡ ❋✐♥❛♥❝❡✱ ❍♦♠❡ ❊q✉✐t②✱ ❛♥❞ ▼♦♥❡t❛r② P♦❧✐❝②✑✳ ❆❧❧ ❡rr♦rs ❛r❡ ♦✉r ♦✇♥✳ ❊♠❛✐❧s✿ ♣❥❛❝❦s♦✶❅✉❝✐✳❡❞✉❀ ✢♦♠❛❞✐s♦♥❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠✳

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❚❤✐s ♣❛♣❡r ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♠♦♥❡t❛r② s❡❛r❝❤ ♠♦❞❡❧ s✉❜❥❡❝t t♦ ❝♦♠♠✐t♠❡♥t ❛♥❞ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r✐❝t✐♦♥s t♦ st✉❞② ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❯♥✐t❡❞ ❙t❛t❡s✳ ❈❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✜♥❛♥❝❡❞ ✐♥t❡r♥❛❧❧② ✉s✐♥❣ s❛✈✐♥❣s ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t✱ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧❧② t❤r♦✉❣❤ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s ❛♥❞ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r ❝♦❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❝r❡❞✐t✳ ❚❤❡ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r ✐s ♦✈❡r✲t❤❡✲❝♦✉♥t❡r✱ ✇❤❡r❡ ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡✱ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ t❤❡ r❡❛❧ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ■t ✐s ✇❡❧❧ ❞♦❝✉♠❡♥t❡❞ t❤❛t ❛♣❛rt ❢r♦♠ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s✱ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ✐s ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ t♦ s❡❝✉r❡ ❧♦❛♥s ❛♥❞ ❧✐♥❡s ♦❢ ❝r❡❞✐t ✭❍❊▲s ❛♥❞ ❍❊▲❖❈s✮ ✇❤❡♥ ♠❛r❦❡ts ❛r❡ ✐♠♣❡r❢❡❝t✳✶ ❲❤✐❧❡ ❛ ❢❛✐r s❤❛r❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❧♦❛♥s ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ✜♥❛♥❝❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ✭●r❡❡♥s♣❛♥ ❛♥❞ ❑❡♥♥❡❞②✱ ✷✵✵✼✮✱ t❤❡② ❢✉rt❤❡r ✜♥❞ ❤✐❣❤ ❞❡♠❛♥❞ ❛♠♦♥❣ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❢❛❝✐♥❣ ❝❛♣✐t❛❧ ❡①♣❡♥❞✐t✉r❡s✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❆♥♥✉❛❧ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❊♥tr❡♣r❡♥❡✉rs✱ ✐♥ ✷✵✶✻✱ r♦✉❣❤❧② ✻✳✸✪ ♦❢ ❛❧❧ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐♥ t❤❡ ❯✳❙✳ r❡♣♦rt❡❞ t♦ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s t♦ st❛rt ♦r ❛❝q✉✐r❡ t❤❡✐r ❜✉s✐♥❡ss✳✷ ❚❤❡ ♠♦st ♣r♦♠✐♥❡♥t ❝♦♠♣❡t✐♥❣ ♠❡❛♥s ♦❢ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ✇❡r❡ s❛✈✐♥❣s✱ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦s ❧♦❛♥s✱ ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞s✱ ✉s❡❞ ❜② ✼✸✳✶✪✱ ✶✻✳✺✪✱ ❛♥❞ ✶✹✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ ❢♦✉r ♠❛✐♥ ❢✉♥❞✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ♦❢ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐♥ t❤❡ ❯♥✐t❡❞ ❙t❛t❡s✳

❋✉♥❞✐♥❣ ❙♦✉r❝❡ ✪✲✉s❡❞ ❙❛✈✐♥❣s ✼✸✳✶✪ ❈r❡❞✐t ❝❛r❞s ✶✹✪ ❚r❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s ✶✻✳✺✪ ❍♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s ✻✳✸✪ ❚❛❜❧❡ ✶✿ ❊♥tr❡♣r❡♥❡✉rs✬ ♣r✐♠❛r② ❢✉♥❞✐♥❣ s♦✉r❝❡s ✲ ❆♥♥✉❛❧ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❊♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✭✷✵✶✻✮

❚❤❡ ❧✐♠✐t❡❞ s♦✉r❝❡s ♦❢ ❡①t❡r♥❛❧ ❢✉♥❞✐♥❣✱ ❛s ♦♣♣♦s❡❞ t♦ ❧❛r❣❡r ❝♦r♣♦r❛t✐♦♥s ✇❤♦ ❝❛♥ ✐ss✉❡ ❡q✉✐t② ❛♥❞ ❞❡❜t ♦♥ ✐♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ♠❛r❦❡ts✱ ♠❛❦❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❤✐❣❤❧② s✉s❝❡♣t✐❜❧❡ t♦ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t ❛♥❞ ❢r✐❝t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r✳ ❘❡❝❡♥t ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❙♠❛❧❧ ❇✉s✐♥❡ss ❈r❡❞✐t ❙✉r✈❡②✱ ❛s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✷✱ s❤♦✇s t❤❛t ✐♥ ✷✵✶✼✱ ✷✷✪ ♦❢ ❛❧❧ ❛♣♣❧✐❝❛♥ts ❞✐❞ ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ ❛ ❧♦❛♥ ❛t ❛❧❧ ✭❡①t❡♥s✐✈❡ ♠❛r❣✐♥✮✱ ✇❤✐❧❡ ✼✽✪ r❡❝❡✐✈❡❞ s♦♠❡ ♦r ❛❧❧ t❤❡ ❢✉♥❞✐♥❣ ❛♣♣❧✐❡❞ ❢♦r ✭✐♥t❡♥s✐✈❡ ♠❛r❣✐♥✮✳ ❚❤❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡s t❤❡s❡ ♠❛r❣✐♥s t❤r♦✉❣❤ s❡❛r❝❤ ❢r✐❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ❧❛tt❡r ❤✐❣❤❧✐❣❤ts t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐♥ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ s❡❝t♦r✱ ❜❛❝❦✐♥❣ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧

✶❚❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♠❡ ❛s ❛ s✉r♣r✐s❡ s✐♥❝❡ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡❛r❧② ✺✵✪ ♦❢ ❛ ❤♦✉s❡❤♦❧❞✬s ♥❡t ✇❡❛❧t❤ ❛♥❞ ✐s ❛♠♦♥❣st

t❤❡ ♠♦st ✈❛❧✉❛❜❧❡ ❛ss❡t ❛♥ ❛✈❡r❛❣❡ ❤♦✉s❡❤♦❧❞ ❤♦❧❞s ✕ ■❛❝♦✈✐❡❧❧♦ ✭✷✵✶✶✮✳

✷❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❤❡ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❈♦♥s✉♠❡r ❋✐♥❛♥❝❡s✱ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✶ ❛♥❞ ✷✵✶✻✱ ✶✷✪ ♦❢ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✜♥❛♥❝❡❞ ❡①✲

♣❡♥❞✐t✉r❡s t❤r♦✉❣❤ ❍❊▲s✱ ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ❛ ✺✷✪ ✭✼✹✪✮ ❤✐❣❤❡r ❛✈❡r❛❣❡ ✉s❡ ✭❛♠♦✉♥t ❜♦rr♦✇❡❞✮ ❛♠♦♥❣ s❡❧❢✲❡♠♣❧♦②❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ❤♦✉s❡❤♦❧❞s ✇♦r❦✐♥❣ ❢♦r s♦♠❡♦♥❡ ❡❧s❡✳

✶

r❡s✉❧ts ❜② ❙❝❤♠❛❧③ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✼✮ ❛♥❞ ❈♦rr❛❞✐♥ ❛♥❞ P♦♣♦✈ ✭✷✵✶✺✮ ❛♠♦♥❣ ♦t❤❡rs ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ r❡❧❛t❡❞ ❧✐t❡r❛t✉r❡✳

❈r❡❞✐t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡s ❆❧❧ ✜r♠s ❆❧❧ ✭✶✵✵✪✮ ✹✻✪ ▼♦st ✭> 50%✮ ✶✷✪ ❙♦♠❡ ✭< 50%✮ ✷✵✪ ◆♦♥❡ ✭✵✪✮ ✷✷✪ ❚❛❜❧❡ ✷✿ ❚♦t❛❧ ❢✉♥❞✐♥❣ r❡❝❡✐✈❡❞ ✲ ❙♠❛❧❧ ❇✉s✐♥❡ss ❈r❡❞✐t ❙✉r✈❡② ✭✷✵✶✼✮

◆❡①t t♦ t❤❡ ❢r✐❝t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r✱ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❛✛❡❝ts t❤❡ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ❧❛♥❞s❝❛♣❡ ♦❢ ✜r♠s✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s t✇♦❢♦❧❞✳ ❉✐r❡❝t❧②✱ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ t❛① ♦♥ s❛✈✐♥❣s✱ ♦r ✐♥❞✐r❡❝t❧②✱ ✈✐❛ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ ♥♦♠✐♥❛❧ t♦ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s✱ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ❧❡♥❞✐♥❣ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ♦❢ ❜❛♥❦s✳ ❯s✐♥❣ ❛ ♠♦♥❡t❛r② s❡❛r❝❤ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ ♦✉r ♠♦❞❡❧ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❡♥❝♦♠♣❛ss t❤✐s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡ ♥♦r♠❛t✐✈❡ st❛t❡♠❡♥ts ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❚❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ✐s ✐♥✜♥✐t❡ ❤♦r✐③♦♥ ❛♥❞ ❞r❛✇s ❢r♦♠ ❘♦❝❤❡t❡❛✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ❛ ❢r✐❝t✐♦♥❧❡ss ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t✳ ❯♥❞❡r ✉♥❝❡rt❛✐♥t② r❡❣❛r❞✐♥❣ ❢✉t✉r❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ✜♥❛♥❝✲ ✐♥❣ ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s✱ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❝❤♦♦s❡ t♦ ❢✉♥❞ ❝❛♣✐t❛❧ ❡①♣❡♥❞✐t✉r❡s ✉s✐♥❣ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ✭✜❛t ♠♦♥❡② ❛♥❞ ✉♥s❡❝✉r❡❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t✮ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ✭❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✮✳ ❈♦♥tr❛r② t♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ t❤❡ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r ✐s ♦✈❡r✲t❤❡✲❝♦✉♥t❡r ❛♥❞ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❧♦❛♥ ❝♦♥tr❛❝t ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ ❜❛♥❦s ❛♥❞ ❡♥✲ tr❡♣r❡♥❡✉rs✳✸ ❋r✐❝t✐♦♥s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❛ ❧❛❝❦ ♦❢ ❝♦♠♠✐t♠❡♥t ❛♥❞ r❡❝♦r❞ ❦❡❡♣✐♥❣ ♠❛❦❡ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❡ss❡♥t✐❛❧ ❢♦r ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s t♦ ❜❡ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✱ ✇❤❡r❡ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❜❡t✇❡❡♥ tr❛✲ ❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s s❡❝✉r❡❞ ❜② ❝❧❛✐♠s ♦♥ ❢✉t✉r❡ ♣r♦✜ts ❛♥❞ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s s❡❝✉r❡❞ ❜② r❡❛❧ ❡st❛t❡✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ❡♥❞♦✇s ❤♦✉s✐♥❣ ✇✐t❤ ❛ ❧✐q✉✐❞✐t② ♣r❡♠✐✉♠✱ ❛❞❞✐♥❣ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r♦❧❡ ♥❡①t t♦ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈❡s✱ ✉♥❞❡r♣✐♥♥✐♥❣ ✐ts ❛❜✐❧✐t② t♦ ❢❛❝✐❧✐t❛t❡ tr❛❞❡ ✇❤❡♥ ❝r❡❞✐t ♠❛r❦❡ts ❛r❡ ✐♠♣❡r❢❡❝t✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❜❛♥❦s ❡①t❡♥❞s t❤❡ s✉♣♣❧② ♦❢ ✭♦✉ts✐❞❡✮ ✜❛t ♠♦♥❡② ❜② tr❛❞❡❛❜❧❡ ❜❛♥❦ ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s ✭✐♥s✐❞❡ ♠♦♥❡②✮✱ ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❖✉ts✐❞❡ ♠♦♥❡② ❤❛s t✇♦ r♦❧❡s ✐♥ ♦✉r ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❋✐rst✱ ✐t s❡r✈❡s ❛s ✐♥s✉r❛♥❝❡ ❛❣❛✐♥st t✐❣❤t❡♥❡❞ ❜♦rr♦✇✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ t❤❡ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r✱ ❛♥❞ s❡❝♦♥❞✱ ✐t ✐s ✉s❡❞ ❛s ❛ str❛t❡❣✐❝ ❞❡✈✐❝❡ t♦ ❞❡♠♦♥str❛t❡ ❵s❦✐♥ ✐♥ t❤❡ ❣❛♠❡✬✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs t♦ ♦❜t❛✐♥ ♠♦r❡ ❢❛✈♦r❛❜❧❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ ✇❤❡♥ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❛ ❜❛♥❦✳✹ ❚❤✐s ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ♠❛❦❡s ♦✉ts✐❞❡ ♠♦♥❡② ❛♥❞ r❡❛❧ ❡st❛t❡ ✐♠♣❡r❢❡❝t s✉❜st✐t✉t❡s✱ ❞✐r❡❝t❧② ❛✛❡❝t✐♥❣ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ♦❢ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✳

✸■♥ ❞♦✐♥❣ s♦✱ ✇❡ r❡❧② ♦♥ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ♦❢ ▼♦r❛ ✭✷✵✶✹✮✱ r❡❧❛t✐♥❣ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ✐♥ ❧♦❛♥ r❛t❡s t♦ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ✐♥

❜❛♥❦s✬ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✳

✹❚❤❡ ❢♦r♠❡r ✐s ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ ❇❛t❡s ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ❙á♥❝❤❡③ ❛♥❞ ❨✉r❞❛❣✉❧ ✭✷✵✶✸✮✱ ❛♥❞ ❈❛♠♣❡❧❧♦ ✭✷✵✶✺✮ ♦♥ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❧✐q✉✐❞✐t②

♠❛♥❛❣❡♠❡♥t✱ ✇❤❡r❡ ✜❛t ♠♦♥❡② s❡r✈❡s ❛s ❛♥ ✐♥s✉r❛♥❝❡ ❛❣❛✐♥st t❤❡ r✐s❦ ♦❢ ✐❞✐♦s②♥❝r❛t✐❝ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s✳

✷

❘❡❧②✐♥❣ ♦♥ s❛✐❞ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❛♥❞ t❤❡ t✇♦ r♦❧❡s ♦❢ ♦✉ts✐❞❡ ♠♦♥❡②✱ t❤❡ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣r♦✈✐❞❡s ♥♦✈❡❧ ✐♥s✐❣❤ts ♦♥ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ t❤❡ r❡❛❧ ❡✛❡❝ts ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ✉s❡❞✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❤❛✐r❝✉ts ❛♣♣❧✐❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✳ ■❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ♣❧❡❞❣❡❛❜❧❡✱ t❤❡ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦r ✜❛t ♠♦♥❡② ✐s ❧♦✇✱ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ■❢✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ❜❛r❡❧② ❛❝❝❡♣t❡❞ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❛♥❞ ❝❛♣✐t❛❧ ✐s ♣r✐♠❛r✐❧② ✜♥❛♥❝❡❞ t❤r♦✉❣❤ ✐♥t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ❛♥❞ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✱ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s str♦♥❣✳ ❚❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✲ t❤r♦✉❣❤ ✉♥❞❡r♣✐♥s t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛♥❞ ❤✐❣❤❧✐❣❤ts t❤❡ ❝❧♦s❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ s❡❝t♦r✱ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t✱ ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳

• ✐✈❡♥ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ tr❛❝t❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ✐s ❧✐♠✐t❡❞✳ ❚❤✉s✱

t♦ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✱ ✇❡ ❝❛❧✐❜r❛t❡ t❤❡ ♠♦❞❡❧ t♦ t❤❡ ❯✳❙✳ ❡❝♦♥♦♠② ❢♦r ✷✵✵✵✲ ✷✵✶✻✳ ■♥ ❞♦✐♥❣ s♦✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ r❡s♣♦♥s❡ t♦ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ ❝❛♣t✉r✐♥❣ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❱❛r②✐♥❣ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❛❧❧♦✇s t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t✐❛❧ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ❝❛❧✐❜r❛t❡❞ r❡s✉❧ts ❝♦♥✜r♠ t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ♦✉t❝♦♠❡s✳ ❋♦r ❡①❛♠✲ ♣❧❡✱ ❛t ❛ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ♦❢ 0.05 ✭❛s s❡❡♥ ✐♥ ✷✵✵✼✮✱ ✐❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ❞❡♥✐❡❞ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✱ ❛ ♦♥❡ ♣❡r❝❡♥t ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❞❡❝r❡❛s❡s ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❜② ✼✳✶✪✳ ❚❤❡ ❧❛r❣❡r t❤❡ s❤❛r❡ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✜♥❛♥❝❡❞ ❜② ✜❛t ♠♦♥❡②✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❧♦✇❡r t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ t❤❡ str♦♥❣❡r t❤❡ r❡❛❧ ❡✛❡❝ts ♦❢ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ✶✳✶ ❘❡❧❛t❡❞ ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❚❤✐s ♣❛♣❡r ✐s ❞❡❡♣❧② ❢♦✉♥❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ♦♥ ♠♦♥❡t❛r② s❡❛r❝❤✲t❤❡♦r② ❛♥❞ ♠❛r❦❡ts ✇✐t❤ ❢r✐❝t✐♦♥s✱ ❛s s✉r✈❡②❡❞ ✐♥ ❘♦❝❤❡t❡❛✉ ❛♥❞ ◆♦s❛❧ ✭✷✵✶✼✮ ❛♥❞ ▲❛❣♦s ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✼✮✳ ❚❤❡ ✜rst t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ t♦♦❧❦✐t ♦❢ t❤✐s ❧✐t❡r❛t✉r❡ t♦ st✉❞② ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜♥❛♥❝❡ ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛♣❡r ♠♦st ❝❧♦s❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ ♦✉rs✱ ✇❡r❡ ❘♦❝❤❡t❡❛✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✽✮✳ ❲❡ ❜✉✐❧❞ ♦♥ t❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❜② t❛✐❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t t♦ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ s❡❝t♦r ✐♥ t❤❡ ❯♥✐t❡❞ ❙t❛t❡s✱ ✐✳❡✱ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t ❛♥❞ ❛ ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t✱ ✇❤❡r❡ ♣r✐✈❛t❡ r❡❛❧ ❡st❛t❡ ❤❛s t✇♦ r♦❧❡s✿ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❛♥❞ s❛✈✐♥❣✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ❛❧❧♦✇s ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❤♦♠❡✲ ❡q✉✐t② t♦ s❡❝✉r❡ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✱ ❝❛♣t✉r✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t✱ t❤❡ t❤❡ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ ♥♦♠✐♥❛❧ t♦ r❡❛❧ r❛t❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ t♦ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t✳✺

✺❆♥♦t❤❡r ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ st✉❞② ❤♦✇ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t② ♦❢ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❢r✐❝t✐♦♥s ❛♥❞ ♠♦♥♦♣♦❧✐st✐❝ ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ✐♥✢✉❡♥❝❡s t❤✐s t❤❡ tr❛♥s✲

♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇❛s ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❙✐❧✈❛ ✭✷✵✶✼✮✳

✸

❙✐♥❝❡ t❤❡ ●r❡❛t ❘❡❝❡ss✐♦♥✱ ❛ ✈❛st ❧✐t❡r❛t✉r❡ ♦♥ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② t♦ s❡❝✉r❡ ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❝r❡❞✐t tr❛♥s❛❝t✐♦♥s ❡♠❡r❣❡❞✱ ✇❤❡r❡❛s ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥✈❡st✲ ♠❡♥t ❧♦❛♥s✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❡r ❛r❡ st✉❞✐❡❞ ❜② ❍❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♥❣ ❍❊▲s ✐♥t♦ ❛ ▲❛❣♦s ❛♥❞ ❲r✐❣❤t ✭✷✵✵✺✮ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s❧② ❛r✐s✐♥❣ ❧✐q✉✐❞✐t② ♣r❡♠✐✉♠ ♦♥ ❤♦✉s✐♥❣ ❣❡♥❡r✲ ❛t❡s ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ r❡❛❧ ❡st❛t❡✱ ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ ♣❛rts ♦❢ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ❜♦♦♠ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡❛r❧② ✷✵✵✵s✳✻ ❯s✐♥❣ s✐♠✐❧❛r t♦♦❧❦✐ts✱ ❇r❛♥❝❤ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✻✮ ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥❡♠♣❧♦②♠❡♥t ❜② ❡♥❞♦❣❡♥✐③✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ s❡❝t♦r✳ ❚❤❡✐r r❡s✉❧ts s❤♦✇ t❤❛t ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✐♥✲ ♥♦✈❛t✐♦♥s t❤❛t r❛✐s❡ t❤❡ ❛❝❝❡♣t❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦♠❡s ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐♥❝r❡❛s❡ ❤♦✉s❡ ♣r✐❝❡s ❛♥❞ r❡❞✉❝❡ ✉♥❡♠♣❧♦②♠❡♥t✳ ❆♠♦♥❣ t❤❡ ✜rst t♦ ❛❜st❛✐♥ ❢r♦♠ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❧♦❛♥s ✇❡r❡ ▲✐✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❧❛♥❞ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐♥ ✜r♠s✬ ❝r❡❞✐t ❝♦♥str❛✐♥ts ✉s✐♥❣ ❛ ❉❙●❊ ♠♦❞❡❧✱ s❤♦✇✐♥❣ ❤♦✇ ❝♦✲♠♦✈❡♠❡♥ts ♦❢ ❧❛♥❞ ♣r✐❝❡s ❛♥❞ ❜✉s✐♥❡ss ✐♥✈❡st♠❡♥ts ♣r♦♣❛❣❛t❡ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ✢✉❝t✉❛✲ t✐♦♥s✳ ❲❤✐❧❡ t❤❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ r❡s✉❧ts ❛♣♣❧② ❢♦r ✜r♠s ♦❢ ❛❧❧ s✐③❡s✱ ❛ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❉❡❝❦❡r ✭✷✵✶✺✮✳ ❲✐t❤✐♥ ❛ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❛❣❡♥t ❉❙●❊ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❤♦✉s✐♥❣ ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs❤✐♣✱ ❤✐s r❡s✉❧ts s❤♦✇ t❤❛t ✇❤✐❧❡ r❡❝❡ss✐♦♥s ❛❝❝♦♠♣❛♥✐❡❞ ❜② ❛ ❤♦✉s✐♥❣ ❝r❛s❤ ❝❛♥ ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡ ❞❡❝❧✐♥❡ ✐♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ❛❝t✐✈✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡❛r❧② ✷✵✵✵s✱ ❛ ❜r♦❛❞❡r ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❝r✐s✐s ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ♥♦ s✉❝❤ ❡✛❡❝ts✳ ❚♦ ❢✉rt❤❡r ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡ r❡❝❡♥t s②♥❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❤♦✉s❡ ♣r✐❝❡s ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ❛❝t✐✈✐t②✱ ▲✐♠ ✭✷✵✶✽✮ ❞❡✈❡❧♦♣s ❛♥ ♦❝❝✉✲ ♣❛t✐♦♥❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♥❣ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s✳ ❍✐s r❡s✉❧ts ❛r❡ ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ ❉❡❝❦❡r ✭✷✵✶✺✮ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛♣❡r ❛t ❤❛♥❞✱ s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t ❛ r✐s❡ ✐♥ ❤♦✉s❡ ♣r✐❝❡s ✐♥❝r❡❛s❡s ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛ r♦❧❡ ❢♦r ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡♠❛✐♥s ❛❜s❡♥t✳ ❖✉r ♣❛♣❡r ❝♦♠❜✐♥❡s t❤❡s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r ❛♥ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡✱ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t②✱ ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❞r❛✇ ♦♥ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✇♦r❦ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡✳ ❙❝❤♠❛❧③ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✼✮ ❢♦✉♥❞ t❤❛t ❤✐❣❤❡r ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐♥❝r❡❛s❡❞ t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♦❢ ❜❡❝♦♠✐♥❣ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❛♥❞ t❤❛t t❤♦s❡ ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ t♦♦❦ ♦♥ ♠♦r❡ ❞❡❜t✱ st❛rt❡❞ ❧❛r❣❡r ✜r♠s✱ ❛♥❞ ✇❡r❡ ♠♦r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ r❡♠❛✐♥ ✐♥ t❤❡ ❧♦♥❣ r✉♥✳ ❈♦rr❛❞✐♥ ❛♥❞ P♦♣♦✈ ✭✷✵✶✺✮ ✐♥ t✉r♥ ❢♦❝✉s ♦♥ r❡❛❧ ❡st❛t❡ ♣r✐❝❡s ✐♥ t❤❡ ❯✳❙✳ ❛♥❞ ❢♦✉♥❞ t❤❛t ❛ ✶✵✪ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ✐♥❝r❡❛s❡❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❝♦♠✐♥❣ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❜② ✼✪✳ ❆❞❡❧✐♥♦ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮ ❡st✐♠❛t❡❞ t❤❛t t❤❡ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❧❡♥❞✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❝♦✉❧❞ ❡①♣❧❛✐♥ ✶✺✲✷✺✪ ♦❢ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❯✳❙✳ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✷✲✷✵✶✷✱ s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐s ❞✐r❡❝t❧② t✐❡❞ t♦ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♥❡✇ ❜✉s✐♥❡ss❡s✳ ❇❧❛❝❦ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✻✮ ✉s❡❞ ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❯❑ ❛♥❞ ❢♦✉♥❞ t❤❛t ❛ ✶✵✪ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❱❆❚ r❡❣✐str❛t✐♦♥s ❜② ♥❡❛r❧② ✺✪✱ s✉❣❣❡st✐♥❣ t❤❛t ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❧❡❞ t♦ ♠♦r❡ s♠❛❧❧ ❜✉s✐♥❡ss ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❍❛r❞✐♥❣ ❛♥❞ ❘♦s❡♥t❤❛❧ ✭✷✵✶✼✮ ❡st✐♠❛t❡❞ t❤❛t ❛ ✷✵✪ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ r❡❛❧ ❤♦♠❡ ✈❛❧✉❡ ♦✈❡r t✇♦ ②❡❛rs ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❡♥tr② ✐♥t♦ s❡❧❢✲❡♠♣❧♦②♠❡♥t ❜② ✶✺ ♣❡r❝❡♥t❛❣❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞

✻❈♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② r❡s✉❧ts ❛r❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❏✉st✐♥✐❛♥♦ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮ ❛♥❞ ●❛rr✐❣❛ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✽✮✱ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥

t❤❡ ❧✐q✉✐❞✐t② ♦❢ r❡❛❧ ❡st❛t❡ ❛♥❞ ❤♦✉s❡ ♣r✐❝❡s ✐♥ t❤❡ ❯♥✐t❡❞ ❙t❛t❡s✳

✹

t❤❛t s❡❧❢✲❡♠♣❧♦②❡❞ ❤♦♠❡♦✇♥❡rs ❛r❡ ♠♦r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ ✉s❡ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧✐♥❡s ♦❢ ❝r❡❞✐t✳ ❆❜st❛✐♥✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❜✉t ❢♦❝✉s✐♥❣ ♦♥ ✐ts ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t②✱ ❏❡♥s❡♥ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✹✮ ❢♦✉♥❞ t❤❛t ❛ r❡❢♦r♠ ✐♥ ❉❡♥♠❛r❦ ✇❤✐❝❤ ✐♥❝r❡❛s❡❞ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❡♥tr② ✐♥t♦ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs❤✐♣✳ ❚❤❡ r❡st ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r ✐s ♦r❣❛♥✐③❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❙❡❝t✐♦♥ ✷ ✐♥tr♦❞✉❝❡s t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❙❡❝t✐♦♥ ✸ s♦❧✈❡s t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ❧❛②✐♥❣ t❤❡ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹ ❛♥❞ ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝❤♦✐❝❡ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳ ▼♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ✐s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✼✳ ▲❛st ❜✉t ♥♦t ❧❡❛st✱ ❙❡❝t✐♦♥ ✽ ❝♦♥❝❧✉❞❡s✳

✷ ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t

❚✐♠❡ ✐s ❞✐s❝r❡t❡✱ ❝♦♥t✐♥✉❡s ❢♦r❡✈❡r✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t✇♦ st❛❣❡s✱ ❛s ❞✐s♣❧❛②❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✳ ■♥ st❛❣❡ ✶✱ t✇♦ ♠❛r❦❡ts ♦♣❡♥ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧②✳ ❆♥ ♦✈❡r✲t❤❡✲❝♦✉♥t❡r ✭❖❚❈✮ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❛❣❡♥ts t♦ ♦❜t❛✐♥ ✐♥tr❛✲♣❡r✐♦❞ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦♠♣❡t✐t✐✈❡ ❝❛♣✐t❛❧ ♠❛r❦❡t✳ ■♥ st❛❣❡ ✷✱ ❛❣❡♥ts ♣r♦❞✉❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥s✉♠❡ ❛ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞✱ s❡tt❧❡ ♦✉tst❛♥❞✐♥❣ ❞❡❜t ♦❜❧✐❣❛✲ t✐♦♥s✱ ❛♥❞ r❡❛❧❧♦❝❛t❡ t❤❡✐r ♣♦rt❢♦❧✐♦s ✐♥ ❛ ❢r✐❝t✐♦♥❧❡ss ♠❛r❦❡t✳

Stage 1 Stage 2

Competitive Capital Market OTC Banking Sector

t

t + 1 Capital accumulation Intra-period bank loans Production and Consumption Debt Settlement Portfolio Choice

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❚✐♠✐♥❣ ♦❢ ❊✈❡♥ts

❚❤❡r❡ ❛r❡ t❤r❡❡ t②♣❡s ♦❢ ❛❣❡♥ts✱ j ∈ {e, s, b} ✕ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs✱ ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡rs✱ ❛♥❞ ❜❛♥❦s ✕ ❡❛❝❤ ✐♥ ❛ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ [0, 1]✱ ❛♥❞ t❤r❡❡ t②♣❡s ♦❢ ❣♦♦❞s✱ {k, c, a} ✕ ❝❛♣✐t❛❧✱ ❛ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❣♦♦❞✱ ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣✳ ❈❛♣✐t❛❧✱ k✱ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡rs ❛t ✉♥✐t ❝♦st ✐♥ st❛❣❡ ✶✱ ✐s ✉s❡❞ ❜② ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❛s t❤❡ s♦❧❡ ✐♥♣✉t t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ♦✉t♣✉t✱ f(k)✱ ✐♥ ✉♥✐ts ♦❢ ❛ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞ c✱ ✐♥ st❛❣❡ ✷✱ ✇❤❡r❡ f ′(k) > 0 > f ′′(k)✱ ✇✐t❤ f(0) = 0✱ f ′(0) = ∞✱ ❛♥❞ f ′(∞) = 0 ∀ k✳ ❆t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ st❛❣❡ ✷ ❜♦t❤ t❤❡ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞ ❛♥❞ ❝❛♣✐t❛❧ ❢✉❧❧② ❞❡♣r❡❝✐❛t❡✱ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♥❣ ❣❛✐♥s ❢r♦♠ st♦r❛❣❡ ❛❝r♦ss ♣❡r✐♦❞s✳ ❈♦♥tr❛r② t♦ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞✱ ❤♦✉s✐♥❣✱ a✱ ✐s ❞✉r❛❜❧❡✱ ✐♥ ✜①❡❞ s✉♣♣❧② A✱ ❛♥❞ ♦♥❡ ✉♥✐t ❜✉②s qa ✉♥✐ts ♦❢ t❤❡ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞ ❛t st❛❣❡ ✷✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ❡❛❝❤ ✉♥✐t ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❣❡♥❡r❛t❡s ♦♥❡ ✉♥✐t ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞✱ ❛♥❛❧♦❣✉❡ t♦ ❛ ▲✉❝❛s tr❡❡✳ ❆❧❧ ❛❣❡♥ts ❤❛✈❡ ❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t② ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❣♦♦❞✱ c✱ ✇❤✐❧❡ ♦♥❧② ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs

✺

✈❛❧✉❡ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s✱ ϑ(a)✱ ✇❤❡r❡ ϑ′(a) > 0 > ϑ′′(a)✱ ϑ(0) = 0✱ ϑ′(0) = ∞✱ ❛♥❞ ϑ′(∞) = 0 ∀ a✳ ❚❤❡ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r ❛❝r♦ss ♣❡r✐♦❞s ✐s β = (1 + r)−1 ❛♥❞ r > 0 t❤❡ r❛t❡ ♦❢ t✐♠❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐❢❡t✐♠❡ ✉t✐❧✐t②✿ E

∞

• t=0

βt[ct + ϑ(at)]. ✭✶✮ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ r❡❝♦r❞ ❦❡❡♣✐♥❣ ♦❢ tr❛♥s❛❝t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣❡t✐t✐✈❡ ❝❛♣✐t❛❧ ♠❛r❦❡t ❛♥❞ ❡♥✲ tr❡♣r❡♥❡✉rs ❤❛✈❡ ❧✐♠✐t❡❞ ❛❜✐❧✐t② t♦ ❝♦♠♠✐t t♦ ❢✉t✉r❡ ❛❝t✐♦♥s✳ ❍❡♥❝❡✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ t✐♠✐♥❣ ♦❢ ❡✈❡♥ts ✭s✉♣♣❧✐❡r ♣r♦✈✐❞✐♥❣ k ✐♥ st❛❣❡ ✶ ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♣r♦❞✉❝✐♥❣ c ✐♥ st❛❣❡ ✷✮ ❛♥❞ t❤❡ ♥♦♥✲❞✉r❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞✱ ♠❡❞✐❛ ♦❢ ❡①❝❤❛♥❣❡ ✕ ♠♦♥❡② ❛♥❞✴♦r ❝r❡❞✐t ✕ ❛r❡ ❡ss❡♥t✐❛❧ ❢♦r tr❛❞❡ t♦ ♦❝❝✉r✳ ❲❡ ❛❧❧♦✇ ❢♦r ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣✳ ■♥t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② ✭s❛✈✐♥❣s✮✱ m✱ ❛♥❞ ✐♥tr❛✲♣❡r✐♦❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t✱ b ∈ [0,¯ b]✱ ✉♣ t♦ ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❞❡❜t ❧✐♠✐t ¯ b✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❡♥tr❛❧ ❜❛♥❦ ♠❛♥❛❣✐♥❣ t❤❡ s✉♣♣❧② ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② ✐♥ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ M ′ = (1+τ)M✱ ✇❤❡r❡ M ❞❡♥♦t❡s t❤❡ st♦❝❦ ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣❡r✐♦❞✱ M ′ t❤❡ st♦❝❦ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t ♣❡r✐♦❞✱ ❛♥❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥✴❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❞✉❝t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧✉♠♣✲s✉♠ tr❛♥s❢❡rs✱ T = τMt✳ ❖♥❡ ✉♥✐t ♦❢ ♠♦♥❡② ❝❛♥ ❜✉② qm ✉♥✐ts ♦❢ t❤❡ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞ ✐♥ st❛❣❡ ✷✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ st❛t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ❡q✉✐❧✐❜r✐❛✱ ✐t ❤♦❧❞s t❤❛t M ′/M = qm/q′

m = γ

✇✐t❤ γ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❣r♦ss ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✜❛t ♠♦♥❡② s✉♣♣❧②✳ ❊①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❜❛♥❦s ✈✐❛ ✐♥tr❛✲♣❡r✐♦❞ ❧♦❛♥s✱ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t❧② ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❛♥❞ r❡❝♦❣♥✐③❛❜❧❡ ♦♥❡✲♣❡r✐♦❞ ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s ✭✐♥s✐❞❡ ♠♦♥❡②✮✱ ✐✳❡✳✱ ❜❛♥❦s ❝❛♥ ❝♦♠♠✐t✳✼

• ✐✈❡♥ t❤❡ ❧❛❝❦ ♦❢ r❡❝♦r❞✲❦❡❡♣✐♥❣ ❛♥❞ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐♠✐t❡❞ ❛❜✐❧✐t② t♦ ❝♦♠♠✐t t♦ ❢✉t✉r❡

❛❝t✐♦♥s✱ ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❧♦❛♥s ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✭♣❛rt✐❛❧✮✲♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✭❍❊▲s✮✱ ρqaa✱ ❛♥❞ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t ✭tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✮✱ χf(k)✱ ✇✐t❤ ρ ≤ 1 ❛♥❞ χ ≤ 1✳✽ ❍❡♥❝❡✱ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥s✐❞❡ ♠♦♥❡② ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❙❡tt❧❡♠❡♥t ♦❢ ❧♦❛♥ ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥s✱ l✱ t❛❦❡s ♣❧❛❝❡ ✐♥ st❛❣❡ ✷✱ ✇❤❡r❡ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❜❛♥❦s✬ ❛❜✐❧✐t② t♦ ❝♦♠♠✐t t♦ ❢✉t✉r❡ ❛❝t✐♦♥s✱ r❡❞❡♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞✳ ■♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡❢❛✉❧t ♦♥ t❤❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✱ t❤❡ ❜❛♥❦ ❦❡❡♣s t❤❡ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✳ ❚✇♦ ✐❞✐♦s②♥❝r❛t✐❝ ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✜✲ ♥❛♥❝✐♥❣✿ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✴✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s ✭❛s ✐♥ ❑✐②♦t❛❦✐ ❛♥❞ ▼♦♦r❡ ✭✶✾✾✼✮✮ ❛♥❞ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s ✭❛s ✐♥ ❲❛s♠❡r ❛♥❞ ❲❡✐❧ ✭✷✵✵✹✮✮✳ ❲✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λ ∈ [0, 1]✱ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❡♥❝♦✉♥t❡rs ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥✲

✼❙❛✐❞ ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② r❡❝♦❣♥✐③❛❜❧❡ ✇✐t❤✐♥ ❛ ♣❡r✐♦❞✱ ❜✉t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦✉♥t❡r❢❡✐t❡❞ t❤❡r❡❛❢t❡r✱ ✇❤✐❝❤ ♣r❡❝❧✉❞❡s t❤❡♠ ❢r♦♠

❝✐r❝✉❧❛t✐♥❣ ❛❝r♦ss ♣❡r✐♦❞s✳

✽❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❤♦✉s✐♥❣ ❛♥❞ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t ❛r❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜❧❡ ♦♥❧② t♦ ❜❛♥❦s✱ ❛s ❜❛♥❦s ❛r❡ t❤❡ ♦♥❧② ❛❣❡♥ts ✇❤♦ ❤❛✈❡ t❤❡

t❡❝❤♥♦❧♦❣② t♦ ✈❡r✐❢② ❤♦♠❡✲♦✇♥❡rs❤✐♣ ❛♥❞ r❡❝♦✈❡r ✐♥✈❡st♠❡♥ts✳ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ tr❛❞❡ ❝r❡❞✐t ❜❡t✇❡❡♥ ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡rs ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs✳

✻

♥✐♥❣ ♦❢ st❛❣❡ ✶✱ ❣✉❛r❛♥t❡❡✐♥❣ ❛❝❝❡ss t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ t❡❝❤♥♦❧♦❣② f(k) ✐♥ st❛❣❡ ✷✳ ❖♥❝❡ ❡♥❝♦✉♥t❡r❡❞✱ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② α ∈ [0, 1]✱ ❤❡ ♠❡❡ts ❛ ❜❛♥❦❡r ✐♥ t❤❡ ❖❚❈ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r ✇❤♦ ✐s ✇✐❧❧✐♥❣ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❧♦❛♥✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✱ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λα ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣✲ ♣♦rt✉♥✐t② ✐s ✜♥❛♥❝❡❞ ✐♥t❡r♥❛❧❧② ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧❧②✱ ✇❤✐❧❡ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λ(1−α)✱ ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ✐s s♦❧❡❧② ✜♥❛♥❝❡❞ ✐♥t❡r♥❛❧❧②✳ ❆t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ st❛❣❡ ✷✱ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❝♦♥s✉♠❡ t❤❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❣♦♦❞✱ c✱ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s✱ ϑ(a)✱ s❡tt❧❡ ♦✉tst❛♥❞✐♥❣ ❝r❡❞✐t ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥s✱ l ∈ R+ ❛♥❞ b ∈ R+✱ ❛♥❞ ❛❞❥✉st t❤❡✐r ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡②✱ ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣✱ m ❛♥❞ a✳

✸ ▼♦❞❡❧

❆♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❡♥t❡rs st❛❣❡ ✷ ✇✐t❤ k ✉♥✐ts ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✇❡❛❧t❤✱ ω✱ ❞❡♥♦t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥✉♠ér❛✐r❡ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ r❡❛❧ ♠♦♥❡② ❜❛❧❛♥❝❡s qmm ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣ qaa✱ ♠✐♥✉s ❜❛♥❦ ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s✱ l ❛♥❞ b✱ t♦ s♦❧✈❡✿ W e(k, ω) = max

c,m′,a′ c + ϑ(a) + βV e(m′, a′)

✭✷✮ s✳t✳ c = f(k) + T + ω − qmm′ − qaa′, ✭✸✮ ✇❤❡r❡ βV e(m′, a′) ✐s t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ✐♥ st❛❣❡ ✶ ♦❢ t❤❡ ♥❡①t ♣❡r✐♦❞✳ P❧✉❣❣✐♥❣ ✭✸✮ ✐♥t♦ ✭✷✮✱ ②✐❡❧❞s✿ W e(k, ω) = f(k) + ϑ(a) + ω + T + max

m′,a′{−qmm′ − qaa′ + V e(m′, a′)}.

✭✹✮ ❍❡♥❝❡✱ s✐♥❝❡ W e(k, ω) ✐s ❧✐♥❡❛r ✐♥ ❝✉rr❡♥t ✇❡❛❧t❤✱ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣ ❢♦r t❤❡ s✉❜s❡q✉❡♥t st❛❣❡ ✶✱ (m′, a′)✱ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❝✉rr❡♥t ❜❛❧❛♥❝❡s (k, ω)✳ ❚❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ st❛❣❡ ✶ ✐s✿ V e(m, a) = (1 − λ)W e(0, ω) + λ[(1 − α)W e(kI, ω) + αW e(kE, ω)], ✭✺✮ ✇❤❡r❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ α ❛♥❞ λ ✇✐t❤ kI r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ♦♥❧② ✐♥t❡r♥❛❧❧② ✜♥❛♥❝❡❞ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ kE ✐♥t❡r♥❛❧❧② ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧❧② ✜♥❛♥❝❡❞ ❝❛♣✐t❛❧✳ P❧✉❣❣✐♥❣ ✭✺✮ ✐♥t♦ ✭✹✮ ❛♥❞ ✉♣❞❛t✐♥❣ r❡❞✉❝❡s t❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝❤♦✐❝❡ ✐♥ st❛❣❡ ✷ t♦✿ max

m′,a′ −[qm/β − q′ m]m′ − [qa/β − q′ a]a′ + ϑ(a′) + λ[(1 − α)∆e I(m′, b′) + α∆e E(m′, a′, b′)],

✭✻✮ ✇✐t❤ ∆e

I(m, b) ❛♥❞ ∆e E(m, a, b) ❞❡♥♦t✐♥❣ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s s✉r♣❧✉s❡s ✉s✐♥❣ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ❡①✲

t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r❢❡❝t ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ ♠❛r❦❡t✱ ∆e

I(m, b)

✼

✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ∆e

I(m, b) = f(kI) − kI ✇✐t❤ kI = min{qmm + ¯

b, k∗}✱ ✇❤❡r❡ k∗ s♦❧✈❡s k∗ ∈ arg maxk[f(k) − k] > 0✱ ❛♥❛❧♦❣✉❡ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥♥❡r✬s ♣r♦❜❧❡♠✳ ■t r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥ ✜♥❛♥❝✐♥❣ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✇✐t❤ s❛✈✐♥❣s ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t ♦♥❧②✱ ♣❧❛②✐♥❣ ❛ ❝r✉✲ ❝✐❛❧ r♦❧❡ ✇❤❡♥ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ ∆e

E(m, a, b) ✈✐❛ ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ ❜❛♥❦ ❛♥❞ ❛♥ ❡♥✲

tr❡♣r❡♥❡✉r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✾ ❖♥❝❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✱ ❙❡❝t✐♦♥ ✺ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝❤♦✐❝❡ ✐♥ st❛❣❡ ✷✱ ♣❛✈✐♥❣ t❤❡ ✇❛② t♦ st✉❞② ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦❧✐❝② ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✳ ❆♥❛❧♦❣✉❡ t♦ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❜❛♥❦ ❛♥❞ ❛ ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡r ✐♥ st❛❣❡ ✷ ❛♥❞ ✶ ❛r❡✿ W b,s(k, ω) = max

m′,a′ ω − qmm′ − qaa′ + βV b,s(m′, a′)

✭✼✮ ❛♥❞ V b(m, a) = (1 − λ)W b(0, ω) + λ[(1 − α)W b(0, ω) + αW b(0, ω + φ)] ✭✽✮ V s(m, a) = max

k {−k + W s(0, ω + qkk)},

✭✾✮ ✇❤❡r❡ φ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❜❛♥❦✬s ✐♥tr❛✲♣❡r✐♦❞ ❧♦❛♥ ♣r♦✜ts ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✈✐❛ ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹ ❛♥❞ qkk t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡r✬s ♣r♦❝❡❡❞s ❢r♦♠ ❝❛♣✐t❛❧ s❛❧❡s ✐♥ st❛❣❡ ✶✳ ❚❤❡ ❧✐♥❡❛r✐t② ♦❢ W s ✐♠♣❧✐❡s qk = 1✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ W s = V s✳ P❧✉❣❣✐♥❣ ❡✐t❤❡r ✭✽✮ ✐♥t♦ ✭✼✮ ♦r ✭✾✮ ✐♥t♦ ✭✼✮ ②✐❡❧❞s✿ max

m′,a′ −[qm/β − q′ m]m′ − [qa/β − q′ a]a′,

✭✶✵✮ ❢♦r ❜♦t❤ ❜❛♥❦s ❛♥❞ ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡rs✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ t❤❡ r❛t❡ ♦❢ r❡t✉r♥ ♦❢ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ♥♦♥✲♣♦s✐t✐✈❡✱ ✐✳❡✳✱ ✐❢ qm/β ≥ q′

m ❛♥❞ qa/β ≥ q′ a✱ ♥❡✐t❤❡r ❝❛♣✐t❛❧ s✉♣♣❧✐❡rs ♥♦r ❜❛♥❦s ❤❛✈❡ ❛♥

✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ❤♦❧❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣♦s✐t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ (ms, as) = (mb, ab) = (0, 0)✳

✹ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣

❚❤❡ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❧♦❛♥ ❝♦♥tr❛❝t✱ ✭kE, φ, d, y, b✮✱ ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✈✐❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣✱ ✇❤❡r❡ kE ❞❡♥♦t❡s t❤❡ t♦t❛❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ✜♥❛♥❝❡❞✱ φ t❤❡ ❜❛♥❦✬s s❡r✈✐❝❡ ❢❡❡✱ y ∈ [0, a] t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✉s❡❞ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✱ d ∈ [0, m] t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ❞♦✇♥♣❛②♠❡♥t✱ ❛♥❞ b ∈ [0, b] ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t✳ ▲❡t S = Se + Sb ❜❡ t❤❡ t♦t❛❧ s✉r♣❧✉s t♦ ❜❡ ❜❛r❣❛✐♥❡❞ ♦✈❡r✿ Se ≡ W e(kE, ω) − W e(kI, ω) = f(kE) − kE − φ − ∆e

I(m, b),

✭✶✶✮ Sb ≡ W b(0, ω + φ) − W b(0, ω) = φ, ✭✶✷✮

✾❙❛✈✐♥❣s ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t ❛r❡ ✉s❡❞ ❛s ♠♦♥❡t❛r② ❞♦✇♥♣❛②♠❡♥t t♦ r❡♣r❡s❡♥t ✬s❦✐♥ ✐♥ t❤❡ ❣❛♠❡✬ ✇❤❡♥ ♥❡❣♦t✐❛t✐♥❣ t❤❡ t❡r♠s

♦❢ t❤❡ ❧♦❛♥ ❝♦♥tr❛❝t ✇✐t❤ ❛ ❜❛♥❦✳

✽

❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✿ (kE, φ, d, y, b) ∈ arg max f(kE) − kE − φ − ∆e

I(m, b),

✭✶✸✮ s✳t✳ θ[f(kE) − kE − φ − ∆e

I(m, b)] ≥ (1 − θ)φ,

✭✶✹✮ s✳t✳ l ≡ kE − qmd − b + φ ≤ χf(kE) + ρqay, ✭✶✺✮ ✇❤❡r❡ θ ∈ [0, 1] r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❜❛♥❦✬s ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✱ ❛♥❞ ✭✶✹✮ ❣♦✈❡r♥s ❤♦✇ t❤❡ t♦t❛❧ s✉r♣❧✉s ✐s s♣❧✐t ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❜❛♥❦ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✶✺✮ ✐s t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ❛♥❞ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉t✉r❡ ❧♦❛♥ ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥✱ l✱ ✇❤❡r❡ ρqay ✐s t❤❡ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❛♥❞ χf(kE) t❤❡ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t✳ ❉❡❜t ❧✐♠✐ts ❛r❡ ✐♠♣♦s❡❞ ❡①♦❣❡♥♦✉s❧② ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❑✐②♦t❛❦✐ ❛♥❞ ▼♦♦r❡ ✭✶✾✾✼✮ ✇✐t❤ χ ✭ρ✮ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t ✭❤♦✉s✐♥❣✮ ♣❧❡❞❣❡❛❜❧❡ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦✳✶✵ ■t ❢♦❧❧♦✇s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② t❤❛t t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❛♥ ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥✱ l✱ ❞❡❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ❞♦✇♥♣❛②♠❡♥t✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ✜♥❛♥❝❡❞ ✐♥t❡r♥❛❧❧② ✉s✐♥❣ s❛✈✐♥❣s ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t✱ qmd ❛♥❞ b✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳ ❆♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♦❢ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❛♥❞ ❛ ❜❛♥❦ ✐s ❛ ♣❛✐r ♦❢ str❛t❡❣✐❡s✱ (kE, φ, d, y, b)✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡✱ (kE, φ, d, y, b)✱ ❛r❡ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✶✸✮✲✭✶✺✮✳ ■❢ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✱ ✭✶✺✮✱ ❞♦❡s ♥♦t ❜✐♥❞✱ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♠❛② ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ s♦❝✐❛❧❧②✲❡✣❝✐❡♥t ❧❡✈❡❧ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t✱ kE = k∗✳ ❯s✐♥❣ ✭✶✹✮ ❛♥❞ s♦❧✈✐♥❣ ❢♦r φ ❣✐✈❡s✿ φ = θ[f(k∗) − k∗ − ∆e

I(m, b)],

✭✶✻✮ ❞❡♥♦t✐♥❣ t❤❡ ❜❛♥❦✬s ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦t❛❧ ♠❛t❝❤ s✉r♣❧✉s✳ ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s s❤♦✇ t❤❛t ∂φ/∂∆e

I(m, b) < 0✱ s♦ t❤❡ ❢❡❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛♥❦ ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥✲

tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ❛♣❛rt ❢r♦♠ ❜❡✐♥❣ ❛♥ ✐♥s✉r❛♥❝❡ ❛❣❛✐♥st ♥♦t r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥✱ ✜❛t ♠♦♥❡② ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡s ❛ str❛t❡❣✐❝ r♦❧❡ ✐♥ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡✱ r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❜❛♥❦✬s s✉r♣❧✉s✳ ■♥ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ❝❛s❡ ✇✐t❤ χ = 0 ❛♥❞ ρ = 0 ✭♥♦ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥✮✱ kE = kI = k∗ ✐❢ qmm + ¯ b ≥ k∗✳ ■❢✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ qmm + ¯ b < k∗✱ t❤❡♥ kI < kE ≤ k∗✱ ✇❤❡r❡ kE ≤ k∗ ❤♦❧❞s ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ ❡✐t❤❡r ♦✉t♣✉t ♦r ❤♦✉s✐♥❣ ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ♣❧❡❞❣❡❛❜❧❡✳ P❧✉❣❣✐♥❣ ✭✶✻✮ ✐♥t♦ ✭✶✺✮✱ ✇❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❛ s❡t ♦❢ ♣❛✐rs✱ (ˆ χ, ˆ ρ)✱ s✉❝❤ t❤❛t kE = k∗✿ A(kI) =

• (ˆ

χ, ˆ ρ) ∈ R2

+ : ˆ

χf(k∗) + ˆ ρqay ≥ θ[f(k∗) − f(kI)] + (1 − θ)(k∗ − kI)

• ,

✭✶✼✮ ✇✐t❤ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡s ˆ χ ≤ 1 ❛♥❞ ˆ ρ ≤ 1✳ ❋r♦♠ ✭✶✼✮✱ ˆ χ ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ρ ❛♥❞ ˆ χ → 0

✶✵❖♥❡ ❝❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t ρ ❛s ❛ ❧♦❛♥✲t♦✲✈❛❧✉❡ r❛t✐♦ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ✈❛r✐♦✉s tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s②♠♠❡tr✐❡s r❡❣❛r❞✐♥❣

t❤❡ r❡s❛❧❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❛ ❤♦✉s❡✱ ❛♥❞ χ ❛s t❤❡ ♣❛rts ♦❢ t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥♣✉t ❛ ❜❛♥❦ ❝❛♥ r❡❝♦✈❡r ✐♥ ❝❛s❡ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❞❡❢❛✉❧ts ♦♥ ❤✐s ❝r❡❞✐t ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥ ✭s❝r❛♣ ✈❛❧✉❡✮✳

✾

ρ χ 1 1 ρ∗ χ∗ ρ′∗ χ′∗ A(kI) kI ↑ ❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❙❡t A(kI) ✐♥ ❛♥ ❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠

❛s ρ → ρ∗✱ ✇❤❡r❡ ρ∗ ❛❧❧♦✇s ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs t♦ ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡ k∗ ✇❤❡♥ χ = 0 ✭❛♥❛❧♦❣✉❡ ❢♦r χ∗✮✳ ❚❤❡ s❛♠❡✱ ❜✉t ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✱ ❤♦❧❞s ❢♦r ˆ ρ✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ kI✱ A(kI) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦✇❛r❞s t❤❡ ♦r✐❣✐♥✱ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ♠♦r❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ χ ❛♥❞ ρ t❤❛t ❛❧❧♦✇ ❢♦r kE = k∗✳ ❋✐❣✉r❡ ✷ ✐❧❧✉str❛t❡s✳ ❈♦♥s✐❞❡r ♥♦✇ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✱ ✭✶✺✮✱ ✐s ❜✐♥❞✐♥❣✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ✭✶✹✮ ❢♦r φ ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥t♦ ✭✶✺✮ ✇✐t❤ d = m✱ y = a✱ ❛♥❞ b = b ❣✐✈❡s✿ (1 − θ)kE + θ[f(kE) − ∆e

m(m)] = χf(kE) + ρqaa + qmm + b,

✭✶✽✮ ✇❤✐❝❤ ❞❡t❡r♠✐♥❡s kE✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s s❤♦✇ t❤❛t ∂kE/∂θ < 0✱ ∂kE/∂kI > 0✱ ∂kE/∂qaa > 0✱ ∂kE/∂ρ > 0✱ ❛♥❞ ∂kE/∂χ > 0✳ ▲❡♠♠❛ ❆ s✉♠♠❛r✐③❡s✳ ▲❡♠♠❛ ❆✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✶✸✮ ✇✐t❤ kI ∈ min{qmm + ¯ b, k∗}✳ ■❢ χ < χ∗ ❛♥❞ ρ < ρ∗✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ m∗ s✉❝❤ t❤❛t k∗ > qmm∗+¯ b ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s tr✉❡✿ ■❢ m ≥ m∗✱ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✶✸✮ ✐s✿ kE = k∗, ✭✶✾✮ φ = θ[f(k∗) − k∗ − ∆e

I(m, b)].

✭✷✵✮ ■❢ m < m∗✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡♥ (φ, kE) s♦❧✈❡s✿ φ = θ[f(kE) − kE − ∆e

I(m, b)],

✭✷✶✮ θ[f(kE) − kE − ∆e

I(m, b)] = χf(kE) + ρqaa − kE + kI,

✭✷✷✮

✶✵

kI rb

θ[f(k∗)−k∗] k∗

k∗

❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❇❛♥❦ ▲❡♥❞✐♥❣ ❘❛t❡

❛♥❞ kE ≥ kE✱ ✇❤❡r❡ χf ′(kE) = 1✳ Pr♦♦❢ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳ ■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♥♦t❡ t❤❛t ✐♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ∂[kI + χf(kE) + ρqaa]/∂kI > 1✱ ❛♥❞ t❤✉s ❜② ❝❛rr②✐♥❣ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♣❡r✐♦❞✱ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❝❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡✐r ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡❞ ❝❛♣✐t❛❧ ❜② ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ✉♥✐t✳ ❚❤❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥ ❜❡❤✐♥❞ t❤✐s r❡s✉❧t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✲ ✇❛r❞✳ ❆♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② ❞♦❡s ♥♦t ♦♥❧② ❜✉② t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♠♦r❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❢r♦♠ t❤❡ s✉♣♣❧✐❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ s✐❣♥❛❧✐③❡s ❛ ❤✐❣❤❡r ✐♥✈❡st♠❡♥t t♦ t❤❡ ❜❛♥❦✱ ❡♥❛❜❧✐♥❣ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r t♦ ❝r❡❞✐❜❧② ♣❧❡❞❣❡ ♠♦r❡ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t✳ ▲❡♠♠❛ ❇ r❡✈✐s✐ts t❤✐s r❡s✉❧t ❛♥❞ ❞❡t❡r♠✐♥❡s ✐ts ✐♠✲ ♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✳ ▲❡♠♠❛ ❇✳ ❚❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ rb✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ ❢❡❡✱ φ✱ t♦ t❤❡ ❧♦❛♥ s✐③❡✱ kE − kI✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ rb = φ kE − kI =        θ[f(k∗) − k∗ − ∆e

I(m, b)]

k∗ − kI ✐❢ m ≥ m∗, θ[f(kE) − kE − ∆e

I(m, b)]

kE − kI ✐❢ m < m∗, ✭✷✸✮ ✇❤❡r❡✱ ❣✐✈❡♥ qm✱ χ ❛♥❞ ρ✱ m∗ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✜❛t ♠♦♥❡② t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♥❡❡❞s t♦ ❛tt❛✐♥ k∗ t❤r♦✉❣❤ ❜❛♥❦ ❝r❡❞✐t✳ Pr♦♦❢ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❇ ❛♥❞ ❋✐❣✉r❡ ✸✱ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡ ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ kI✱ ❛s t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❢❛❝❡s ❛ ♠♦r❡ ✈❛❧✉❛❜❧❡ ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥✱ ∆e

I(m, b)✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ♠♦r❡ r❡❛❧ ♠♦♥❡② ❜❛❧❛♥❝❡s ❛♥

❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ✐s ❛❜❧❡ t♦ ❜r✐♥❣ ✐♥t♦ t❤❡ st❛❣❡ ✶✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ♠♦r❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐s ✜♥❛♥❝❡❞ ✐♥t❡r♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❧♦✇❡r t❤❡ r❡❛❧ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ ∂rb/∂kI < 0✳ ❚❤✐s ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ✐s r❡✈✐s✐t❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥s ✻ ❛♥❞ ✼✳

✶✶

✺ P♦rt❢♦❧✐♦ ❈❤♦✐❝❡

❚♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝❤♦✐❝❡ ✐♥ st❛❣❡ ✷✱ ✇❡ r❡✈✐s✐t ✭✻✮✿ max

m′,a′ −[qm/β − q′ m]m′ − [qa/β − q′ a]a′ + ϑ(a′) + λ[(1 − α)∆e I(m′, b′) + α∆e E(m′, a′, b′)], ✭✷✹✮

✇✐t❤ ∆e

I(m, b) =

• f(k∗) − k∗ ✐❢ qmm + ¯

b ≥ k∗ f(kI) − kI ✐❢ qmm + ¯ b < k∗, ✭✷✺✮ ∆e

E(m, a, b) =

• (1 − θ)
• f(k∗) − k∗

+ θ∆e

I(m, b) ✐❢ m ≥ m∗

(1 − χ)f(kE) − ρqaa − kI ✐❢ m < m∗, ✭✷✻✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ [kI(m,¯ b), kE(m, a,¯ b), φ(m, a,¯ b), d(m, a,¯ b), y(m, a,¯ b), b(m, a,¯ b)] ❛r❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❧✐♠✐t ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠✱ − [qm/β − q′

m] m′✱ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ❝♦sts ♦❢ ❝❛rr②✐♥❣ ✜❛t ♠♦♥❡② ❛❝r♦ss

t❤❡ ♣❡r✐♦❞✱ ✇❤✐❧❡ −[qa/β − q′

a]a′ ✐s t❤❡ ❝♦st ♦❢ ❤♦❧❞✐♥❣ r❡❛❧ ❡st❛t❡✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❇✳ ❆♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐♥ t❤❡ st❛❣❡ ✷ ✐s ❛ ❧✐st ♦❢ ♣♦rt❢♦❧✐♦s✱ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ ✐♥ st❛❣❡ ✶✱ ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❜❛❧❛♥❝❡s✱ {[m(·), a(·)], [kI(·), kE(·), φ(·), d(·), y(·), b(·)], M, A}✱ s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✐✮ [m(·), a(·)] ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✷✹✮❀ ✭✐✐✮ kI = min{qmm + ¯ b, k∗}❀ ✭✐✐✐✮ [kE(·), φ(·), d(·), y(·), b(·)] ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✶✸✮❀ ✭✐✈✮ M ′ = (1 + τ)M ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜❛t ♠♦♥❡② st♦❝❦❀ ✭✈✮ A ✐s t❤❡ t♦t❛❧ s✉♣♣❧② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠②❀ ❛♥❞ ✭✈✐✮ ▼❛r❦❡t ❝❧❡❛r✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ 1

0 a(j)dj = A ❛♥❞

1

0 m(j)dj = M✱ ❤♦❧❞✳

▲❡♠♠❛ ❈✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✷✹✮✿ qm = βq′

m[1 + Lm],

✭✷✼✮ qa = β[q′

a(1 + La) + ϑ′(a)],

✭✷✽✮

✶✷

✇✐t❤ (Lm, La) = (0, 0) ❢♦r kI = k∗✱ ❛♥❞✿

Lm =      λ[1 − α(1 − θ)][f ′(kI) − 1] ❢♦r kE ≥ k∗, λα (1 − χ)f ′(kE)[1 + θ(f ′(kI) − 1)] (1 − θ) − (χ − θ)f ′(kE) − 1

• + λ(1 − α) [f ′(kI) − 1]

❢♦r kE < k∗, La =      ❢♦r kE ≥ k∗, λαρ

• (1 − χ)f ′(kE)

1 − θ − (χ − θ)f ′(kE) − 1

• ❢♦r kE < k∗,

✭✷✾✮

✇❤❡r❡ Lm ❛♥❞ La ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ❧✐q✉✐❞✐t② ♣r❡♠✐❛ ♦❢ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ Pr♦♦❢ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❈✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤r❡❡ ❝❛s❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✿ kI ≥ k∗✱ kE ≥ k∗✱ ❛♥❞ kE < k∗✳ ■❢ ♠♦♥❡② ✐s ❝♦st❧❡ss t♦ ❤♦❧❞✱ ✐✳❡✳ Lm = 0✱ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♦❜t❛✐♥s ❡♥♦✉❣❤ ✜❛t ♠♦♥❡② t♦ ♣✉r❝❤❛s❡ kI = k∗✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ♣r✐❝❡❞ ❛t ✐ts ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✉❡ ✇✐t❤ La = 0✳ ■❢ Lm > 0✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ♠♦♥❡② ✐s ❝♦st❧② t♦ ❤♦❧❞ ❛♥❞ kI < k∗✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❞❡♠❛♥❞ ❢♦r ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝❡✳ ❚✇♦ ❝❛s❡s ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✿ ■❢ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✱ ✭✶✺✮✱ ✐s ♥♦♥✲❜✐♥❞✐♥❣✱ t❤❡♥ kE ≥ k∗✳ ◆♦♥❡t❤❡❧❡ss✱ ♠♦♥❡② ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❧✐q✉✐❞✐t② ♣r❡♠✐✉♠✱ Lm > 0✱ s✐♥❝❡ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t ✇♦✉❧❞ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥✱ ∆e

I(m, b)✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❞❡❝r❡❛s❡ t❤❡ ❝♦st ♦❢ ❜♦rr♦✇✐♥❣ ❢♦r♠

❛ ❜❛♥❦✳ ❍♦✉s✐♥❣✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ st✐❧❧ tr❛❞❡s ❛t t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✉❡✱ ✐✳❡✳✱ La = 0✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ✐s ♥♦t ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❝❛rr✐❡❞ ✐♥t♦ st❛❣❡ ✶✳ ■❢ ✭✶✺✮ ✐s ❜✐♥❞✐♥❣✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡♥ kE < k∗✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ La > 0 s✐♥❝❡ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥✐t ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✇♦✉❧❞ r❡❧❛① ✭✶✺✮✳ ❚❤❡ ❝♦st❧✐❡r ✜❛t ♠♦♥❡②✱ t❤❡ ❧❛r❣❡r t❤❡ ♣r❡♠✐✉♠✳

✻ ▼♦♥❡t❛r② P♦❧✐❝② ❛♥❞ t❤❡ ❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ ▼❡❝❤❛♥✐s♠

❍❛✈✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡ ❛♥❞ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s ♦♣t✐♠❛❧ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❲❡ st❛rt ❜② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ ♥♦♠✐✲ ♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛♥ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ❤♦✇ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❛✛❡❝t t❤❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ ✐♥ t❤❡ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r✳ ▲❛st ❜✉t ♥♦t ❧❡❛st✱ ✇❡ t❤❡♥ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❆✳ ✭◆♦♠✐♥❛❧ ■♥t❡r❡st ❘❛t❡✮ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❛s i = γ/β−1 ❛♥❞ i∗✱ ✇❤❡r❡ i∗ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ m = m∗✳ ■❢ i = 0 ✭t❤❡ ❋r✐❡❞♠❛♥ r✉❧❡✮✱ t❤❡♥ kI = kE = k∗✳ ■❢ 0 < i ≤ i∗✱ t❤❡♥ kI < kE = k∗✳ ■❢ i > i∗✱ t❤❡♥ kE < k∗✳ ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s ✐♥✈♦❧✈❡ ∂i∗/∂ρ > 0 ❛♥❞ ∂i∗/∂χ > 0✳ Pr♦♦❢ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❉✳

✶✸

i qmm∗ k∗ qmm kE l(i) kI i∗ i i∗ qa

❋✐❣✉r❡ ✹✿ ▼♦♥❡② ❛♥❞ ❍♦✉s✐♥❣ ❉❡♠❛♥❞

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❆ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s ♦♣t✐♠❛❧ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ r❡s✉❧ts ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✱ ❛s ✈✐s✉❛❧❧② r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✹✳ ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s s❤♦✇ t❤❛t ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ♦r ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t✱ ρ ❛♥❞ χ✱ ✐♥❝r❡❛s❡s i∗✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ st✉❞② t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ♦❢ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ i✱ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✲ ✐♥❣ r❛t❡✱ rb✱ ✇❡ r❡❧② ♦♥ ✜rst✲♦r❞❡r ❚❛②❧♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✳ ❉✐st✐♥❝t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❛♥❞ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ■♥ ❛♥ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✱ ✇❡ ✉s❡ ❛ ✜rst✲♦r❞❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❢♦r i ❝❧♦s❡ t♦ 0✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ kI ❝❧♦s❡ t♦ k∗✳ ❲❡ t❛❦❡ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r t✇♦ r❡❛s♦♥s✳ ❋✐rst✱ ✐❢ i ≈ 0✱ t❤❡♥ kI < k∗✱ ❛♥❞ t❤✉s ❜❛♥❦ ❝r❡❞✐t ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ✐t ❛❧❧♦✇s ❢♦r ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❚♦ ❛♥❛❧②③❡ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛♥❞ ♠❛✐♥t❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ tr❛❝t❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ s❡t θ = 0 ❛♥❞ t❛❦❡ ❛ ✜rst✲♦r❞❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇❤❡r❡ i ≈ i∗ ❛♥❞ t❤✉s kE ≈ k∗✳ ❲❤✐❧❡ s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❜❛♥❦✬s ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r t♦ ③❡r♦ ✐♠♣❧✐❡s rb = 0✱ ✇❡ ❛r❡ st✐❧❧ ❛❜❧❡ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❢♦r kI ❛♥❞ kE✳ ❆ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ✇✐t❤ θ > 0 ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✼✳ ❲✐t❤ t❤✐s ✐♥ ♠✐♥❞✱ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❇ s✉♠♠❛r✐③❡s✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❇✳ ✭P❛ss✲❚❤r♦✉❣❤✮ ❋♦r i ≈ 0✱ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ♦❢ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡ ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜②✿ rb ≈ θi 2λ[1 − α(1 − θ)]. ✭✸✵✮ ❋♦r i ≈ i∗✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ rb = 0 s✐♥❝❡ θ = 0✳ ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s ✐♥✈♦❧✈❡ ∂rb/∂λ < 0✱ ∂rb/∂θ > 0✱ ❛♥❞ ∂rb/∂α > 0✳ Pr♦♦❢ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❊✳ ❋♦r i ≈ 0✱ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✸✵✮ ✐❞❡♥t✐✜❡s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ ∂rb/∂i > 0✱ s✐♥❝❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs r❡❧② ♠♦r❡ ♦♥ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝❡✳ ❋♦r

✶✹

i ≈ i∗✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞✱ s✐♥❝❡ ✇❡ s❡t θ = 0 ❢♦r ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ tr❛❝t❛❜✐❧✐t②✳ ❋✉rt❤❡r ❝♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s s❤♦✇ t❤❛t ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ λ ✇❡❛❦❡♥s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ ✇❤✐❧❡ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ θ ♦r α str❡♥❣t❤❡♥s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ ρ ♦r χ ❤❛s ♥♦ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤✳ ❲✐t❤ t❤✐s ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣✱ ✇❡ ♣r♦❝❡❡❞ t♦ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣✱ K ≡ λ[(1 − α)kI + αkE] ❛♥❞ L ≡ λα(kE − kI)✳ ▲❡t ¯ k = k∗ − χf(k∗) − ρaβϑ′(a)

1−β

❛♥❞ i∗ = λ(1 − α)[f ′(¯ k) − 1]✱ ✇❤❡r❡ ¯ k ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ kI ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♥❡❡❞s t♦ ♦❜t❛✐♥ kE = k∗ ❛❢t❡r ❤❛✈✐♥❣ ♣❧❡❞❣❡❞ ❛❧❧ ♦❢ ❤✐s ♣r✐✈❛t❡ r❡❛❧ ❡st❛t❡ ❛♥❞ ❝❧❛✐♠s ♦♥ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t✱ ❛♥❞ i∗ ✐s t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❋♦r i ≈ 0 ❛♥❞ t❤✉s kE ≈ k∗✱ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣ ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜②✿✶✶ K ≈ λk∗ + (1 − α)i f ′′(k∗)[1 − α(1 − θ)], ✭✸✶✮ L ≈ −αi f ′′(k∗)[1 − α(1 − θ)]. ✭✸✷✮ ❋♦r i − i∗ ≈ 0 ❛♥❞ θ = 0✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ kE − k∗ ≈ kI − ¯ k 1 − O ≈ −i − i∗ D , ✭✸✸✮ L ≈ λα

• k∗ − ¯

k − O(i − i∗) D

• ,

✭✸✹✮ ✇❤❡r❡ D > 0✱ ❛♥❞✿ O = χ + βρ 1 − β 2αλaϑ′(a)f ′′(k∗) 1 − χ

• .

✭✸✺✮ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈ s✉♠♠❛r✐③❡s t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈✳ ✭❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ ▼❡❝❤❛♥✐s♠✮ ❋♦r θ = 0✱ χ < χ∗✱ ❛♥❞ ρ < ρ∗✱ tr❛♥s♠✐s✲ s✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ r❡❣✐♦♥s✿ A : i ≤ i∗ ✇✐t❤ ∂kI/∂i < ∂kE/∂i = 0, ❛♥❞ ∂L/∂i > 0, B : i > i∗ ✇✐t❤ ∂kI/∂i < ∂kE/∂i < 0, ❛♥❞ ∂L/∂i > 0, C : i > i∗ ✇✐t❤ ∂kE/∂i < ∂kI/∂i < 0, ❛♥❞ ∂L/∂i < 0,

✶✶❉❡t❛✐❧s t♦ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❍✳

✶✺

ρ χ

❆ ❇ ❈

❋✐❣✉r❡ ✺✿ ❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣

❛s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✺ ❛♥❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✸✶✮✲✭✸✺✮✳ ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s s❤♦✇✿ ∂|∂kE/∂i|/∂ρ = 0 ❢♦r i ≤ i∗, ∂|∂kE/∂i|/∂ρ < 0 ❢♦r i > i∗. Pr♦♦❢ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❋✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈ ❛♥❛❧②③❡s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ♦♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤r❡❡ ❞✐st✐♥❝t r❡❣✐♦♥s✳ ■♥ r❡❣✐♦♥ A✱ i ≤ i∗✱ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✱ ✭✶✺✮✱ ❞♦❡s ♥♦t ❜✐♥❞✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ kI ❞❡❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ i✱ ✇❤✐❧❡ kE r❡♠❛✐♥s ✉♥❛✛❡❝t❡❞✳ ❋r♦♠ ✭✸✷✮✱ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣ ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ i✱ ❛s ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs r❡❧② ♠♦r❡ ♦♥ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝❡✳ ❋♦r i > i∗✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ i ❞❡❝r❡❛s❡s ❜♦t❤ ✐♥t❡r♥❛❧❧② ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧❧② ✜♥❛♥❝❡❞ ❝❛♣✐t❛❧✳ ●✐✈❡♥ ✭✸✸✮ ❛♥❞ ✭✸✺✮✱ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❡✛❡❝t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ s❛✈✐♥❣s✱ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❞❡❜t✱ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s✱ ❛♥❞ ❍❊▲s ✉s❡❞ t♦ ♣✉r❝❤❛s❡ kE✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝t ♦♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣✱ ✐✳❡✳✱ ∂L/∂i✱ ❢♦❧❧♦✇s t❤✐s ♦✉t❝♦♠❡✳ ❈♦♥s✐❞❡r ✜rst r❡❣✐♦♥ B✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r r❡❧✐❡s ❡①t❡♥s✐✈❡❧② ♦♥ ❍❊▲s✳ ■♥ t❤✐s s❝❡♥❛r✐♦✱ kI ✇✐❧❧ ❞❡❝r❡❛s❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ kE ✐♥ r❡s♣♦♥s❡ t♦ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ i✱ ❛s ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❤❡❞❣❡ ❛❣❛✐♥st ✐♥✢❛t✐♦♥ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡✐r r❡❛❧ ❛ss❡t ✭❤♦✉s✐♥❣✮ ✇❤❡♥ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❜❛♥❦✳ ❚❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦r ❤♦✉s✐♥❣ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥t✐❛❧ ♣r✐❝❡ ❛♣♣r❡❝✐❛t✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s L ❛♥❞ ✇❡❛❦❡♥s t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ ✐♥ r❡❣✐♦♥ C✱ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ i✱ ❞❡❝r❡❛s❡s kE ♠♦r❡ t❤❛♥ kI✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ ❛ ❞❡❝r❡❛s❡ ✐♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣✱ L✳ ❚❤✉s✱ ✇❤❡♥❡✈❡r t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ❧✐♠✐t❡❞✱ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❛r❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ ❛❧❧❡✈✐❛t❡ t❤❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ t❛① ❛♥❞ ❛s ❛ r❡s✉❧t✱ t❤❡ ❛♣♣r❡❝✐❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❤♦✉s❡ ♣r✐❝❡s ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♠♣❡♥s❛t❡ ❢♦r t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ r❡❛❧ ♠♦♥❡② ❜❛❧❛♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ✇♦rs❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ ✇❤❡♥ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❛ ❜❛♥❦✳ ❋✉rt❤❡r✱ ❝♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r r❡❣✐♦♥ B ❛♥❞ C✱ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ρ ✇❡❛❦❡♥s t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥

✶✻

♠❡❝❤❛♥✐s♠✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥ r❡❣✐♦♥ A✱ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ ρ ❤❛s ♥♦ ❡✛❡❝t ♦♥ |∂kE/∂i|✳

✼ ❈❛❧✐❜r❛t❡❞ ❘❡s✉❧ts

❍❛✈✐♥❣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧②✱ ✇❡ ♥♦✇ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧ts ✇✐t❤ ❛ ❝❛❧✐❜r❛t❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❦❡② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❛②❧♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✐s t❤❛t ✇❡ ❛❧❧♦✇ ❜❛♥❦s t♦ ❤❛✈❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r ✭θ > 0✮✱ ❡♥❛❜❧✐♥❣ ❛♥ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ✐♥ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❝❛❧✐❜r❛t❡❞ t♦ ❯✳❙✳ ❞❛t❛ ❝♦✈❡r✐♥❣ ✷✵✵✵✲✷✵✶✻✳✶✷ ❲❡ st❛rt ❜② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r t♦ β = 0.97✳ ❖✉r ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✐s t❤❡ ✸✲♠♦♥t❤ ❚✲❜✐❧❧ s❡❝♦♥❞❛r② ♠❛r❦❡t r❛t❡ ✇✐t❤ ❛♥ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ i = 0.0163✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥ ❛♣♣r♦✈❡❞✱ α✱ ✐s 0.80 ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ✷✵✵✸ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❙♠❛❧❧ ❇✉s✐♥❡ss ❋✐♥❛♥❝❡s✳ ❚❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ r❛t✐♦ ♦❢ ❧✐❛❜✐❧✐t✐❡s t♦ ❛ss❡ts ❛♠♦♥❣ s♠❛❧❧ ❜✉s✐♥❡ss❡s✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❋❧♦✇ ♦❢ ❋✉♥❞s ❆❝❝♦✉♥ts✱ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ χ = 0.24✳ ❚❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣✱ ρ✱ ✐s s❡t ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ r❛t✐♦ ♦❢ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥ ❧✐♠✐ts t♦ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ s❛❧❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ ❯✳❙✳ ❤♦♠❡s ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✻ ❛♥❞ ✷✵✶✻✳ ❯s✐♥❣ ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇❛♥❦ ♦❢ ◆❡✇ ❨♦r❦✬s ◗✉❛rt❡r❧② ❘❡♣♦rt ♦♥ ❍♦✉s❡❤♦❧❞ ❉❡❜t ❛♥❞ ❈r❡❞✐t ❛♥❞ t❤❡ ❋❘❊❉ ❞❛t❛❜❛s❡✱ ✇❡ ✜♥❞ ρ = 0.18✳ ❲❡ t❤❡♥ ❝❤♦♦s❡ b t♦ ♠❛t❝❤ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ r❛t✐♦ ♦❢ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❧✐♠✐ts t♦ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥ ❧✐♠✐ts ❛♥❞ ✜♥❞ b = 0.3783✳✶✸ ❲❡ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t②✱ λ✱ ❜② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♣❡r❝❡♥t❛❣❡ ♦❢ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✇❤♦ st❛rt❡❞ t❤❡✐r ❜✉s✐♥❡ss ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❧❛st ②❡❛r✳ ❯s✐♥❣ ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❈♦♥s✉♠❡r ❋✐♥❛♥❝❡s ✭❙❈❋✮ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✶ ❛♥❞ ✷✵✶✻✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ λ = 0.0628✳ ❚♦ ♣✐♥ ❞♦✇♥ θ✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ❘♦❝❤❡t❡❛✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✽✮ ✐♥ t❛r❣❡t✐♥❣ t❤❡ s♣r❡❛❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣r✐♠❡ ❜❛♥❦ r❛t❡ ❛♥❞ t❤❡ ✸✲♠♦♥t❤ ❚✲❜✐❧❧ r❛t❡ ♦❢ 3.25%✱ ✐✳❡✳ rb − i = 0.0325✳✶✹ ▲❛st ❜✉t ♥♦t ❧❡❛st✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠s ❢♦r t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ f(k) = νkη✱ ❛♥❞ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ s❡r✈✐❝❡s✱ ϑ(a) = a1/2✱ ✇❤❡r❡ ν = β/(1 − β) ✐s ❛ s❝❛❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r✳✶✺ ❚♦ st✉❞② t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ r❛t❡✱ ∂rb/∂i✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ♣❡r❝❡♥t❛❣❡ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ r❡s♣♦♥s❡ t♦ ❛ ♦♥❡ ♣❡r❝❡♥t❛❣❡ ♣♦✐♥t ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ ∂❧♦❣(K)/∂i✱ ❛♥❞ ∂❧♦❣(L)/∂i✳ ❇② ✈❛r②✐♥❣ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣✱ ρ✱ ❜❡t✇❡❡♥ ✵ ❛♥❞ ✶✱ ✇❡ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✜♥❛♥❝✐♥❣✳ ❲❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡s❡ ❡✛❡❝ts ❢♦r

✶✷❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ● ❢♦r ❞❡t❛✐❧s ♦♥ ❞❛t❛ s♦✉r❝❡s ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✳ ✶✸❯s✐♥❣ ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇❛♥❦ ♦❢ ◆❡✇ ❨♦r❦✬s ◗✉❛rt❡r❧② ❘❡♣♦rt ♦♥ ❍♦✉s❡❤♦❧❞ ❉❡❜t ❛♥❞ ❈r❡❞✐t ✇❡ ✜♥❞ t❤❡

❛✈❡r❛❣❡ r❛t✐♦ ♦❢ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❧✐♠✐ts t♦ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥ ❧✐♠✐ts✱ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✸✲✷✵✶✻✱ t♦ ❜❡ ✵✳✶✸✳

✶✹❋♦r 0 < i < i∗✱ rb ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✸✮ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ m > m∗✳ ❲❡ ❝❤❡❝❦ t❤❛t ✉♥❞❡r t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✸✱ ❛♥

❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ❞♦❡s ♥♦t ❜✐♥❞ ❢♦r i < 0.0233✳

✶✺❘❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s qa = βϑ′(A)/1−β✳ ❲✐t❤♦✉t s❝❛❧✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ s❛② ✐❢ f(k) = kη✱

❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✇♦✉❧❞ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧❧② ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ k∗ t❤r♦✉❣❤ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥s ✭❛s f′(k∗) = 1✮ ❢♦r ρ > 0✳

✶✼

P❛r❛♠❡t❡r ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❱❛❧✉❡ ❚❛r❣❡t β ❉✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r 0.97 ❆♥♥✉❛❧ ❢r❡q✉❡♥❝② i ◆♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ 0.0163 ✸✲♠♦♥t❤ ❚✲❜✐❧❧ r❛t❡ α Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❜❛♥❦ ❝r❡❞✐t 0.80 ▲♦❛♥ ❛❝❝❡♣t❛♥❝❡ r❛t❡ λ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t② 0.0628 ❋♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♥❡✇ ❜✉s✐♥❡ss❡s θ ❇❛♥❦✬s ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r 0.162 ❙♣r❡❛❞ χ ❋r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❢✉t✉r❡ ♦✉t♣✉t t❤❛t ✐s ♣❧❡❞❣❡❛❜❧❡ 0.24 ❆ss❡t✲t♦✲❧✐❛❜✐❧✐t② r❛t✐♦ ρ ❋r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ t❤❛t ✐s ♣❧❡❞❣❡❛❜❧❡ 0.18 ❍❊ ❧✐♠✐t✲t♦✲❤♦♠❡ ♣r✐❝❡ r❛t✐♦ b ▼❛①✐♠✉♠ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✉♥s❡❝✉r❡❞ ❝r❡❞✐t 0.3783 ❈r❡❞✐t ❝❛r❞ ❧✐♠✐t✲t♦✲❍❊ ❧✐♠✐t r❛t✐♦ η ❈❛♣✐t❛❧ s❤❛r❡ 1/3 ❋✐①❡❞ ❚❛❜❧❡ ✸✿ P❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s

i ∈ [0, 0.12]✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡s i∗ = 0.0308✳ ❙t❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ t❤❡ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡✱ ❋✐❣✉r❡ ✻ ❞✐s♣❧❛②s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ r❛t❡✱ ∂rb/∂i✱ ❢♦r ❛❧❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ρ✱ ✇❤❡r❡ |∂rb/∂i|/∂ρ < 0✳ ❍❡♥❝❡✱ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ❞❛♠♣❡♥s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ r❛t❡✱ ❝♦♥✜r♠✲ ✐♥❣ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛t i ≈ 0.05✱ ❛ ❞❡❝r❡❛s❡ ✐♥ ρ ❢r♦♠ 0.2 t♦ 0 ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ r❛t❡ ❢r♦♠ 1.588 t♦ 1.723✱ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ 9%✱ ✐❧❧✉str❛t✐♥❣ t❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ t♦ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣✳

❋✐❣✉r❡ ✻✿ ❚❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②

❋♦❝✉s✐♥❣ ♥♦✇ ♦♥ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡♥❞✐♥❣✱ ❋✐❣✉r❡ ✼ ♣r❡s❡♥ts ♦✉r r❡s✉❧ts✳ P❛♥❡❧ ✭❛✮ s❤♦✇s t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛s t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✈❛r✐❡s ❢r♦♠ ✵ t♦ ✶✳ ❋r♦♠ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ∂❧♦❣(K)/∂i < 0✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❢❛❝❡s ❛ ❜✐♥❞✐♥❣ ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ♦r ♥♦t✳ ❚❤❡ ❝❛❧✐❜r❛t❡❞ r❡s✉❧ts ❝♦♥✜r♠ ❛♥❞ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r i < 0.0220✱ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐s ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ρ✱ s✐♥❝❡ ∂kI/∂i < ∂kE/∂i = 0 ❢♦r i ≤ i∗✳ ❋♦r i > i∗✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ❜✐♥❞s✱ ∂kE/∂i < 0✱ ❛♥❞ t❤✉s ∂❧♦❣(K)/∂i ❞❡♣❡♥❞s

✶✽

♦♥ ρ✳ ❲❤❡♥ ρ ✐s ❧♦✇❡r✱ t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ✐s ❧❛r❣❡r✱ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ str♦♥❣❡r t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛t i ≈ .05✱ t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ✈❛r✐❡s ❢r♦♠ ✲✼✳✶ t♦ ✲✺✳✽ ❛s ρ ✈❛r✐❡s ❢r♦♠ ✵ t♦ ✵✳✷✳ ■♥ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ρ = 1✱ ∂❧♦❣(K)/∂i ✐s ❝❧♦s❡ t♦ ③❡r♦ ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❤❛s r❡❧❛t✐✈❡❧② ❧✐tt❧❡ ✐♠♣❛❝t ♦♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t✳

✭❛✮ ❆❣❣r❡❣❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✭❜✮ ❆❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣

❋✐❣✉r❡ ✼✿ ❚❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②

P❛♥❡❧ ✭❜✮ ✐♥ t✉r♥ ❢♦❝✉s❡s ♦♥ t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣✱ ∂❧♦❣(L)/∂i✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s❡♠✐✲❡❧❛st✐❝✐t② ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ♥♦♥✲❜✐♥❞✐♥❣ ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ❛♥❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐❢ t❤❡ ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ❜✐♥❞s✱ ✇❤❡r❡❛s |∂L/∂i|/∂ρ < 0✳✶✻ ❚❤✉s✱ ❢♦r ♠♦st ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ♦✈❡r t❤❡ s❛♠♣❧❡ ♣❡r✐♦❞✱ t❤❡ r❡s♣♦♥s❡ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❧❡♥❞✐♥❣ ✐s str✐❝t❧② ♥❡❣❛t✐✈❡✱ ❡✈❡♥ ❢♦r ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ρ ✭r❡❣✐♦♥ C ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈✮✳

✽ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▼♦t✐✈❛t❡❞ ❜② t❤❡ r❡❝❡♥t ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❝r✐s✐s ❛♥❞ t❤❡ s✉❜s❡q✉❡♥t ❝r❛s❤ ✐♥ ❤♦♠❡ ♣r✐❝❡s✱ ✇❡ ✐♥tr♦✲ ❞✉❝❡❞ ❤♦✉s✐♥❣ ✐♥t♦ ❛ ♠♦♥❡t❛r② ❝♦r♣♦r❛t❡ ✜♥❛♥❝❡ ♠♦❞❡❧ t♦ st✉❞② t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡✱ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t②✱ ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❊♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ❤❛✈❡ ❛❝❝❡ss t♦ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝✐♥❣✱ ✇❤❡r❡ ❛ ❞❡❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❜❛♥❦✐♥❣ s❡❝t♦r ❛❧❧♦✇s ❢♦r ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❛❧ ❡st❛t❡ ❛♥❞ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ r❡❛❧ ❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡s✳ ■♥ ❞♦✐♥❣ s♦✱ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❡①t❡r♥❛❧ ❛♥❞ ✐♥t❡r♥❛❧ ✜♥❛♥❝❡✳ ❆ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥ts t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡s ♥♦✈❡❧ ✐♥s✐❣❤ts ♦♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✐❛❧ ✜♥❛♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❯♥✐t❡❞ ❙t❛t❡s✳

✶✻❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ∂❧♦❣L/∂i ❢♦r ❧♦✇ ✈❛❧✉❡s ♦❢ i ❞♦ ♥♦t ❛♣♣❡❛r ♦♥ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡② ❛♣♣r♦❛❝❤ ∞ ❛s i → 0 ✭❛s L = 0 ✇❤❡♥

i = 0 ❛♥❞ kI = k∗✮✳

✶✾

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❆❞❡❧✐♥♦✱ ▼✳✱ ❙❝❤♦❛r✱ ❆✳ ❛♥❞ ❙❡✈❡r✐♥♦✱ ❋✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❵❍♦✉s❡ ♣r✐❝❡s✱ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✱ ❛♥❞ s❡❧❢✲ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❋✐♥❛♥❝✐❛❧ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ✶✶✼✭✷✮✱ ✷✽✽✕✸✵✻✳ ❇❛t❡s✱ ❚✳ ❲✳✱ ❑❛❤❧❡✱ ❑✳ ▼✳ ❛♥❞ ❙t✉❧③✱ ❘✳ ▼✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ❵❲❤② ❞♦ ✉✳s✳ ✜r♠s ❤♦❧❞ s♦ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❝❛s❤ t❤❛♥ t❤❡② ✉s❡❞ t♦❄✬✱ ❚❤❡ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❋✐♥❛♥❝❡ ✻✹✭✺✮✱ ✶✾✽✺✕✷✵✷✶✳ ❇❧❛❝❦✱ ❏✳✱ ❞❡ ▼❡③❛✱ ❉✳ ❛♥❞ ❏❡✛r❡②s✱ ❉✳ ✭✶✾✾✻✮✱ ❵❍♦✉s❡ ♣r✐❝❡s✱ t❤❡ s✉♣♣❧② ♦❢ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥t❡r♣r✐s❡ ❡❝♦♥♦♠②✬✱ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❏♦✉r♥❛❧ ✶✵✻✭✹✸✹✮✱ ✻✵✕✼✺✳ ❇r❛♥❝❤✱ ❲✳ ❆✳✱ P❡tr♦s❦②✲◆❛❞❡❛✉✱ ◆✳ ❛♥❞ ❘♦❝❤❡t❡❛✉✱ ●✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ❵❋✐♥❛♥❝✐❛❧ ❢r✐❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t✱ ❛♥❞ ✉♥❡♠♣❧♦②♠❡♥t✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❚❤❡♦r② ✶✻✹✱ ✶✵✶✕✶✸✺✳ ❈❛♠♣❡❧❧♦✱ ▼✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❵❈♦r♣♦r❛t❡ ❧✐q✉✐❞✐t② ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t✬✱ ◆❇❊❘ ❘❡♣♦rt❡r ✭✸✮✱ ✶✕✸✳ ❈♦rr❛❞✐♥✱ ❙✳ ❛♥❞ P♦♣♦✈✱ ❆✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❵❍♦✉s❡ ♣r✐❝❡s✱ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❜♦rr♦✇✐♥❣✱ ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✲ s❤✐♣✬✱ ❘❡✈✐❡✇ ♦❢ ❋✐♥❛♥❝✐❛❧ ❙t✉❞✐❡s ✷✽✭✽✮✱ ✷✸✾✾✕✷✹✷✽✳ ❉❡❝❦❡r✱ ❘✳ ❆✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❵❈♦❧❧❛t❡r❛❧ ❞❛♠❛❣❡✿ ❍♦✉s✐♥❣✱ ❊♥tr❡♣r❡♥❡✉rs❤✐♣✱ ❛♥❞ ❏♦❜ ❈r❡❛t✐♦♥✬✱ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r ♣♣✳ ✶✕✺✼✳

• ❛rr✐❣❛✱ ❈✳✱ ▼❛♥✉❡❧❧✐✱ ❘✳ ❛♥❞ P❡r❛❧t❛✲❆❧✈❛✱ ❆✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ❵❆ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ♣r✐❝❡ s✇✐♥❣s ✐♥ t❤❡

❤♦✉s✐♥❣ ♠❛r❦❡t✬✱ ❆♠❡r✐❝❛♥ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❘❡✈✐❡✇ ❢♦rt❤❝♦♠✐♥❣✳

• r❡❡♥s♣❛♥✱ ❆✳ ❛♥❞ ❑❡♥♥❡❞②✱ ❏✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ❵❙♦✉r❝❡s ❛♥❞ ✉s❡s ♦❢ ❡q✉✐t② ❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ ❤♦♠❡s✬✱

❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇♦❛r❞ ❋✐♥❛♥❝❡ ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ❙❡r✐❡s ♣♣✳ ✶✕✹✾✳ ❍❛r❞✐♥❣✱ ❏✳ P✳ ❛♥❞ ❘♦s❡♥t❤❛❧✱ ❙✳ ❙✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ❵❍♦♠❡♦✇♥❡rs❤✐♣✱ ❤♦✉s✐♥❣ ❝❛♣✐t❛❧ ❣❛✐♥s ❛♥❞ s❡❧❢✲ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❯r❜❛♥ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ✾✾✱ ✶✷✵✕✶✸✺✳ ❍❡✱ ❈✳✱ ❲r✐❣❤t✱ ❘✳ ❛♥❞ ❩❤✉✱ ❨✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❵❍♦✉s✐♥❣ ❛♥❞ ❧✐q✉✐❞✐t②✬✱ ❘❡✈✐❡✇ ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❉②✲ ♥❛♠✐❝s ✶✽✭✸✮✱ ✹✸✺✕✹✺✺✳ ■❛❝♦✈✐❡❧❧♦✱ ▼✳ ✭✷✵✶✶✮✱ ❵❍♦✉s✐♥❣ ✇❡❛❧t❤ ❛♥❞ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✬✱ ❇♦❛r❞ ♦❢ ●♦✈❡r♥♦rs ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❋✐♥❛♥❝❡ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ P❛♣❡rs ♣♣✳ ✶✕✶✺✳ ❏❡♥s❡♥✱ ❚✳ ▲✳✱ ▲❡t❤✲P❡t❡rs❡♥✱ ❙✳ ❛♥❞ ◆❛♥❞❛✱ ❘✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ❵❍♦✉s✐♥❣ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✱ ❝r❡❞✐t ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs❤✐♣ ✲ ❡✈✐❞❡♥❝❡ ❢r♦♠ ❛ ♠♦rt❣❛❣❡ r❡❢♦r♠✬✱ ◆❇❊❘ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r ✷✵✺✽✸ ♣♣✳ ✶✕✹✻✳ ❏✉st✐♥✐❛♥♦✱ ❆✳✱ Pr✐♠✐❝❡r✐✱ ●✳ ❊✳ ❛♥❞ ❚❛♠❜❛❧♦tt✐✱ ❆✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❵❈r❡❞✐t s✉♣♣❧② ❛♥❞ t❤❡ ❤♦✉s✐♥❣ ❜♦♦♠✬✱ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r ✳

✐

❑✐②♦t❛❦✐✱ ◆✳ ❛♥❞ ▼♦♦r❡✱ ❏✳ ✭✶✾✾✼✮✱ ❵❈r❡❞✐t ❝②❝❧❡s✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ P♦❧✐t✐❝❛❧ ❊❝♦♥♦♠② ✶✵✺✭✷✮✱ ✷✶✶✕ ✷✹✽✳ ▲❛❣♦s✱ ❘✳✱ ❘♦❝❤❡t❡❛✉✱ ●✳ ❛♥❞ ❲r✐❣❤t✱ ❘✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ❵▲✐q✉✐❞✐t②✿ ❆ ◆❡✇ ▼♦♥❡t❛r✐st ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ▲✐t❡r❛t✉r❡ ✺✺✭✷✮✱ ✸✼✶✕✹✹✵✳ ▲❛❣♦s✱ ❘✳ ❛♥❞ ❲r✐❣❤t✱ ❘✳ ✭✷✵✵✺✮✱ ❵❆ ✉♥✐✜❡❞ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ♠♦♥❡t❛r② t❤❡♦r② ❛♥❞ ♣♦❧✐❝② ❛♥❛❧②s✐s✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ P♦❧✐t✐❝❛❧ ❊❝♦♥♦♠② ✶✶✸✭✸✮✱ ✹✻✸✕✹✽✹✳ ▲✐♠✱ ❚✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ❵❍♦✉s✐♥❣ ❛s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧✱ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ❛♥❞ s♠❛❧❧ ❜✉s✐♥❡ss❡s✬✱ ❘❡✈✐❡✇ ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❉②♥❛♠✐❝s ✸✵✱ ✻✽✕✽✺✳ ▲✐✉✱ ❩✳✱ ❲❛♥❣✱ P✳ ❛♥❞ ❩❤❛✱ ❚✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❵▲❛♥❞✲♣r✐❝❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✬✱ ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝❛ ✽✶✭✸✮✱ ✶✶✹✼✕✶✶✽✹✳ ▼♦r❛✱ ◆✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ❵❚❤❡ ✇❡❛❦❡♥❡❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ❝♦♥s✉♠❡r ❧♦❛♥ r❛t❡s✬✱ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇❛♥❦ ♦❢ ❑❛♥s❛s ❈✐t② ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❘❡✈✐❡✇ ♣♣✳ ✾✸✕✶✶✼✳ ❘♦❝❤❡t❡❛✉✱ ●✳ ❛♥❞ ◆♦s❛❧✱ ❊✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ▼♦♥❡②✱ P❛②♠❡♥ts✱ ❛♥❞ ▲✐q✉✐❞✐t②✱ ✷♥❞ ❡❞♥✱ ▼■❚ Pr❡ss✳ ❘♦❝❤❡t❡❛✉✱ ●✳✱ ❲r✐❣❤t✱ ❘✳ ❛♥❞ ❩❤❛♥❣✱ ❈✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ❵❈♦r♣♦r❛t❡ ✜♥❛♥❝❡ ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✬✱ ❆♠❡r✐❝❛♥ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❘❡✈✐❡✇ ✶✵✽✭✹✲✺✮✱ ✶✶✹✼✕✽✻✳ ❙á♥❝❤❡③✱ ❏✳ ▼✳ ❛♥❞ ❨✉r❞❛❣✉❧✱ ❊✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❵❲❤② ❛r❡ ❯✳❙✳ ✜r♠s ❤♦❧❞✐♥❣ s♦ ♠✉❝❤ ❝❛s❤❄ ❛♥ ❡①♣❧♦✲ r❛t✐♦♥ ♦❢ ❝r♦ss✲s❡❝t✐♦♥❛❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥✬✱ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇❛♥❦ ♦❢ ❙t✳ ▲♦✉✐s ❘❡✈✐❡✇ ✾✺✭✹✮✱ ✷✾✸✕ ✸✷✺✳ ❙❝❤♠❛❧③✱ ▼✳✱ ❙r❛❡r✱ ❉✳ ❆✳ ❛♥❞ ❚❤❡s♠❛r✱ ❉✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ❵❍♦✉s✐♥❣ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs❤✐♣✬✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❋✐♥❛♥❝❡ ✼✷✭✶✮✱ ✾✾✕✶✸✷✳ ❙✐❧✈❛✱ ▼✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ❵❈♦r♣♦r❛t❡ ✜♥❛♥❝❡✱ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❞❡♠❛♥❞✬✱ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r ♣♣✳ ✶✕✺✵✳ ❲❛s♠❡r✱ ❊✳ ❛♥❞ ❲❡✐❧✱ P✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ❵❚❤❡ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝s ♦❢ ❧❛❜♦r ❛♥❞ ❝r❡❞✐t ♠❛r❦❡t ✐♠♣❡r❢❡❝✲ t✐♦♥s✬✱ ❚❤❡ ❆♠❡r✐❝❛♥ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❘❡✈✐❡✇ ✾✹✭✹✮✱ ✾✹✹✕✾✻✸✳

✐✐

❆♣♣❡♥❞✐①✿ Pr♦♦❢s

❆✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❆ ❲❡ s❤♦✇ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✐♥ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✱ ❛s kE = k∗ ✐♥ ❛♥ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜✲ r✐✉♠✳ ❲❡ r❡❛rr❛♥❣❡ ✭✷✷✮ ❛s✿ θf(kE) + (1 − θ)kE − θ∆e

I(m, b) = χf(kE) + ρqaa + qmm.

✭✸✻✮ ■❢ kE = 0✱ t❤❡ ❧❡❢t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✸✻✮ ✐s ❧❡ss t❤❛♥ ③❡r♦ ❛♥❞ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ ③❡r♦✳ ❆s kE → ∞✱ t❤❡ ❧❡❢t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ❛t r❛t❡ θf ′(kE) + (1 − θ) ❛♥❞ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ❛t r❛t❡ χf ′(kE)✳ ❚❤❡ ❧❡❢t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✸✻✮ ✇✐❧❧ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② s✉r♣❛ss t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐❢ 1−θ > (χ−θ)f ′(kE)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s tr✉❡ ❢♦r s♦♠❡ kE > 0✱ ❛s f ′(kE) → 0 ❛s kE → ∞✳ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ kE > 0 t❤❛t s❛t✐s✜❡s ✭✷✷✮✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ✇❡ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❛t kE ∈ [kE, k∗] ✇❤❡r❡ χf ′(kE) = 1✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❜✐♥❞✐♥❣ ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✱ ✭✶✺✮✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❜❛♥❦✬s s✉r♣❧✉s✱ φ✱ ❣✐✈❡s φ = χf(kE) − kE + ρqaa + kI. ✭✸✼✮ ❋r♦♠ ✭✸✼✮✱ t❤❡ ❜❛♥❦✬s s✉r♣❧✉s ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞ ❛t kE✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t kE < kE✳ ❆ P❛r❡t♦ ✐♠♣r♦✈❡✲ ♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ ❜② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ kE t♦ kE✱ ❛s ❜♦t❤ t❤❡ s✉r♣❧✉s ♦❢ t❤❡ ❜❛♥❦ ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ❛r❡ str✐❝t❧② ❧❛r❣❡r ❛t kE✳ ❚❤✉s✱ kE ✐s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝q✉✐r❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❜❛♥❦ ❝r❡❞✐t✳ ❇✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❇ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ m < m∗✳ ❋r♦♠ ✭✷✶✮✱ t❤❡ r❡❛❧ ❧❡♥❞✐♥❣ r❛t❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② rb = θ[f(kE) − kE − ∆e

I(m, b)]

kE − kI . ✭✸✽✮ ◆♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r ✇❤❡♥ m ≥ m∗✳ ❋r♦♠ ✭✷✵✮✱ rb ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭✸✽✮ ✇✐t❤ kE = k∗✳ ❈✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❈ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ✭✷✹✮ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ m′ ❣✐✈❡s qm = β

• q′

m + λ

• α∂∆e

E(m′, a′, b′)

∂m′ + (1 − α)∂∆e

I(m′, b′)

∂m′

• ,

✭✸✾✮ ✇❤❡r❡ ∂∆e

I(m′, b′)

∂m′ = q′

m[f ′(kI) − 1],

✭✹✵✮

✐✐✐

❛♥❞

∂∆e

E(m′,a′,b′)

∂m′

= θq′

m

• f ′(kI) − 1
• ✐❢ kE ≥ k∗,

q′

m

(1−χ)f′(kE)[1+θ(f′(kI)−1)]

(1−θ)−(χ−θ)f′(kE)

− 1

• ✐❢ kE < k∗.

✭✹✶✮ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✹✵✮ ❛♥❞ ✭✹✶✮ ❣✐✈❡s Lm✳ ❚❤❡ ✜rst ♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ✭✷✹✮ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ a′ ✐s qa = β

• q′

a + ϑ′(a′) + λα∂∆e E(m′, a′, b′)

∂a′

• ,

✭✹✷✮ ✇❤❡r❡

∂∆e

E(m′,a′,b′)

∂a′

= ✐❢ kE ≥ k∗, ρq′

a

• (1−χ)f′(kE)

(1−θ)+(θ−χ)f′(kE)

• ✐❢ kE < k∗.

✭✹✸✮ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✹✸✮ ✐♥t♦ ✭✹✷✮ ❛♥❞ r❡❛rr❛♥❣✐♥❣ ❣✐✈❡s La✳ ❉✳ Pr♦♦❢ ♦❢ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❆ ❚❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❤♦✉s✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s max

kI,a′

• −iqmm′ − [1/β − 1]qaa′ + ϑ(a′) + λ
• α∆e

c(kI, a′) + (1 − α)∆e m(kI)

• ,

✭✹✹✮ ✇❤❡r❡ i ≡ γ/β−1✳ ■❢ i = 0✱ t❤❡♥ kI = kE = k∗ s♦ t❤❛t ∂∆e

E(m′, a′, b′)/∂kI = ∂∆e I(m′, b′)/∂kI =

0✳ ❚❤❡ ✜rst ♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ✭✹✹✮ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ qmm ❣✐✈❡s i = λ

• 1 − α(1 − θ)
• f ′(kI) − 1
• ,

✭✹✺✮ ❢♦r 0 < i ≤ i∗✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t kI < k∗ t♦ s❛t✐s❢② ✭✹✺✮ ❛♥❞ t❤❛t ∂kI/∂i < 0✳ ■❢ i > i∗✱ kI ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② i = λα (1 − χ)f ′(kE)[1 + θ(f ′(kI) − 1)] (1 − θ) − (χ − θ)f ′(kE) − 1

• + λ(1 − α)[f ′(kI) − 1].

✭✹✻✮ ■❢ i ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ✭✹✻✮ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s✳ ❙✐♥❝❡ f ′(kI) ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ kI✱ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛r❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ kI✳ ❚❤✉s✱

∂m ∂i < 0✳ ❲❡ ✉s❡ t❤✐s r❡s✉❧t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ∂kE ∂i

< 0 ❛♥❞ kE < k∗ ❢♦r m < m∗✳ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r✬s ❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ❣✐✈❡s ∂kE ∂i =

• θf ′(kI) + (1 − θ)

∂kI

∂i

(θ − χ)f ′(kE) + (1 − θ) < 0, ✭✹✼✮ ❛s χf ′(kE) < 1✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t kE < k∗ ❢♦r i > i∗✳ ◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t ∂a

∂i ≥ 0✳ ■❢ m ≥ m∗✱ t❤❡♥ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ♣r✐❝❡❞ ❛t ✐t✬s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✉❡

✐✈

❛♥❞ t❤✉s ∂a

∂i = 0✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ m < m∗✱ t❤❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

qa = βϑ′(a) 1 − β

• 1 − λαρ
• (1−χ)f′(kE)

(1−θ)−(χ−θ)f′(kE) − 1

. ✭✹✽✮ ■❢ i ✐♥❝r❡❛s❡s✱ kE ✇✐❧❧ ❞❡❝r❡❛s❡✳ ❋r♦♠ ✭✹✽✮✱ qa ✇✐❧❧ ✐♥❝r❡❛s❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ❞❡❝❧✐♥❡ ✐♥ kE ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ∂a

∂i > 0 ✇❤❡♥ m < m∗✳

❚♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ∂i∗/∂χ > 0 ❛♥❞ ∂i∗/∂ρ > 0✱ ✇❡ r❡✇r✐t❡ ✭✷✷✮ ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t❡ kE = k∗ ✭s✐♥❝❡ i = i∗✮ t♦ ❣❡t✿ θf(¯ k) + (1 − θ)¯ k = (θ − χ)f(k∗) + (1 − θ)k∗ − ρqaa, ✭✹✾✮ ✇❤❡r❡ ¯ k ✐s t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧❧② ✜♥❛♥❝❡❞ ❝❛♣✐t❛❧ t♦ ❛❝q✉✐r❡ k∗ t❤r♦✉❣❤ ❛ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥ ❛t i = i∗✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ρ ♦r χ ✐♥❝r❡❛s❡s✳ ■♥ ♦r❞❡r ❢♦r ✭✹✾✮ t♦ ❤♦❧❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ❛♥❞ ♠❛✐♥t❛✐♥ k∗✱ ¯ k ♠✉st ❞❡❝r❡❛s❡✳ ◆♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r ✭✹✺✮✳ ❘❡❛rr❛♥❣✐♥❣ ❛♥❞ s❡tt✐♥❣ i = i∗ ❣✐✈❡s f ′(¯ k) = i∗ λ[1 − α(1 − θ)]. ✭✺✵✮ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t i∗ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐❢ ¯ k ❞❡❝r❡❛s❡s✱ ∂i∗/∂χ > 0✱ ❛♥❞ ∂i∗/∂ρ > 0✳ ❊✳ Pr♦♦❢ ♦❢ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❇ ❆ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ f(kI) − kI ❛r♦✉♥❞ k∗ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ f(kI) − kI ≈ f(k∗) − k∗ + f ′′(k∗) 2 (kI − k∗)2. ✭✺✶✮ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ∆e

I(m, b) = f(kI) − kI✳ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✺✶✮ ✐♥t♦ ✭✷✸✮ ❣✐✈❡s✿

rb ≈ θ[f ′′(k∗)(kI − k∗)] 2 . ✭✺✷✮ ◆❡①t✱ ❛ ✜rst✲♦r❞❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ f ′(kI) ❛r♦✉♥❞ k∗ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ f ′(kI) ≈ 1 + f ′′(k∗)(kI − k∗). ✭✺✸✮ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ f ′′(k∗)(kI − k∗) ≈ f ′(kI) − 1 ✐♥t♦ ✭✹✺✮ ❣✐✈❡s✿ f ′′(k∗)(kI − k∗) ≈ i λ[1 − α(1 − θ)]. ✭✺✹✮ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✺✹✮ ✐♥t♦ ✭✺✷✮ ❣✐✈❡s ✭✸✵✮✳ ▲❛st ❜✉t ♥♦t ❧❡❛st✱ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ❝♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s✱ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♣❛ss✲t❤r♦✉❣❤ ✐s

✈

❣✐✈❡♥ ❜② ∂rb ∂i = θ 2λ[1 − α(1 − θ)], ✭✺✺✮ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✭✐♥❝r❡❛s✐♥❣✮ ✐♥ λ ✭α✮ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ χ ❛♥❞ ρ✳ ❘❡❛rr❛♥❣✐♥❣ ✭✺✺✮ ❣✐✈❡s ∂rb ∂i = 1 2λ

• 1

θ(1 − α) + α

, ✭✺✻✮ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ θ✳ ❋✳ Pr♦♦❢ ♦❢ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈ ❋♦r i ≤ i∗✱ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ✐s ✐♥ ❛♥ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✭r❡❣✐♦♥ A ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✺✮ ❛♥❞ ✇❡ r❡❢❡r t♦ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❍✳ ❋r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✻✺✮ ❛♥❞ ✭✸✷✮✿ ∂kI ∂i = 1 λf ′′(k∗)(1 − α(1 − θ)) < 0, ✭✺✼✮ ∂L ∂i = − α f ′′(k∗)(1 − α(1 − θ)) > 0, ✭✺✽✮ ❛♥❞ ∂kE/∂i = 0 ❛s kE = k∗✳ ❋♦r i > i∗✱ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ✐s ✐♥ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❋r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✸✸✮✲✭✸✹✮✱ ∂kI ∂i = −1 − O D < 0 ✭✺✾✮ ∂kE ∂i = − 1 D < 0 ✭✻✵✮ ∂L ∂i = −λαO D ≷ 0, ✭✻✶✮ ❛s D > 0 ❛♥❞ 1 − O > 0✳ ❲❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t ∂kE/∂i < ∂kI/∂i < 0 ❛♥❞ ∂L/∂i < 0 ✐❢ O > 0✳ ❋r♦♠ ✭✸✺✮✱ O > 0 ✐❢ χ ✐s ❧❛r❣❡ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ρ✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ r❡❣✐♦♥ C ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✺✳ ■❢ O < 0✱ t❤❡♥ ∂kI/∂i < ∂kE/∂i < 0 ❛♥❞ ∂L/∂i > 0✳ ❋r♦♠ ✭✸✺✮✱ O < 0 ✐s ρ ✐s ❧❛r❣❡ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ χ ✭r❡❣✐♦♥ B ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✺✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r ∂|∂kE/∂i|/∂ρ✳ ❋r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✼✷✮✱ ∂kE ∂i = − 1 D < 0, ✭✻✷✮ ❛s D > 0✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤❛t |∂kE/∂i| ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ρ✱ ✇❡ ✜rst ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❛t ∂D

∂ρ > 0✳

✈✐

❋r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✼✸✮✱ ∂D ∂ρ = −λ(1 − α)(1 − χ)f ′′′(¯ k)∂¯ k ∂ρ + λ(1 − α)f ′′′(¯ k)∂¯ k ∂ρ βρ 1 − β 2 αλaϑ′(a)f ′′(k∗) 1 − χ

• +

2λ(1 − α)f ′′(¯ k) βρ 1 − β β 1 − β αλaϑ′(a)f ′′(k∗) 1 − χ

• > 0,

✭✻✸✮ ❛s f ′′′(¯ k) > 0✱ f ′′(k∗) < 0 ❛♥❞ ∂¯ k/∂ρ = − βaϑ′(a)

1−β

< 0✳ ❚❤✉s✱ ∂|∂kE/∂i|/∂ρ < 0✳

✈✐✐

❆♣♣❡♥❞✐①✿ ❙✉♣♣❧❡♠❡♥t❛r② ▼❛t❡r✐❛❧

• ✳ ❉❛t❛ s♦✉r❝❡s ❛♥❞ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥

■♥ t❤❡ ❝❛❧✐❜r❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✼✱ ♦✉r ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ✐♥t❡r❡st ✭❜❛♥❦ ❧❡♥❞✐♥❣✮ r❛t❡ ✇❛s t❤❡ ✸✲♠♦♥t❤ ❚✲❜✐❧❧ s❡❝♦♥❞❛r② ♠❛r❦❡t ✭❜❛♥❦ ♣r✐♠❡✮ r❛t❡✳ ❖✉r ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ α✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ r❡❝❡✐✈❡ ❛ ❜❛♥❦ ❧♦❛♥✱ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❘♦❝❤❡t❡❛✉ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✽✮ ✇❤♦ ❢♦✉♥❞ t❤❛t ❜❡t✇❡❡♥ 78 − 90% ♦❢ r❡s♣♦♥❞❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✷✵✵✸ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❙♠❛❧❧ ❇✉s✐♥❡ss ❋✐♥❛♥❝❡s ❤❛❞ t❤❡✐r ♠♦st r❡❝❡♥t ❧♦❛♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦✈❡❞✳ ❚♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦✉t♣✉t✱ ✇❡ ✜rst ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ ✭✐✮ t♦t❛❧ ❧♦❛♥s t♦ ♥♦♥✲✜♥❛♥❝✐❛❧ ♥♦♥✲❝♦r♣♦r❛t❡ ❜✉s✐♥❡ss❡s ❛♥❞ ✭✐✐✮ t♦t❛❧ ❧♦❛♥s t♦ ♥♦♥✲✜♥❛♥❝✐❛❧ ♥♦♥✲❝♦r♣♦r❛t❡ ❜✉s✐♥❡ss❡s ♥❡t t♦t❛❧ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥s✳ ❲❡ t❤❡♥ ❞✐✈✐❞❡ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❧♦❛♥s t♦ ♥♦♥✲✜♥❛♥❝✐❛❧ ♥♦♥✲❝♦r♣♦r❛t❡ ❜✉s✐♥❡ss❡s ❜② t♦t❛❧ ❛ss❡ts ❛♠♦♥❣ ♥♦♥✲✜♥❛♥❝✐❛❧ ♥♦♥✲❝♦r♣♦r❛t❡ ❜✉s✐♥❡ss❡s✳ ❇♦t❤ t❤❡ ❞❛t❛ ♦♥ ❧♦❛♥s ❛♥❞ ❛ss❡ts ❛♠♦♥❣ ♥♦♥✲ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ♥♦♥✲❝♦r♣♦r❛t❡ ❜✉s✐♥❡ss❡s ❝♦♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❋❧♦✇ ♦❢ ❋✉♥❞s ❆❝❝♦✉♥ts✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❢r♦♠ ◗✹ ✐♥ ❡❛❝❤ ②❡❛r✳ ❖✉r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❧❡❞❣❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❤♦✉s✐♥❣✱ ρ✱ ❛♥❞ ♠❛①✐♠✉♠ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✉♥s❡❝✉r❡❞ ❝r❡❞✐t✱ b✱ ❞r❛✇s ♦♥ ❞❛t❛ ❢r♦♠ ✭✐✮ t❤❡ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇❛♥❦ ♦❢ ◆❡✇ ❨♦r❦✬s ◗✉❛rt❡r❧② ❘❡♣♦rt ♦♥ ❍♦✉s❡❤♦❧❞ ❉❡❜t ❛♥❞ ❈r❡❞✐t ❛♥❞ ✭✐✐✮ ❆✈❡r❛❣❡ ❙❛❧❡s Pr✐❝❡ ♦❢ ❍♦✉s❡s ❙♦❧❞ ❢♦r t❤❡ ❯♥✐t❡❞ ❙t❛t❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❋❡❞❡r❛❧ ❘❡s❡r✈❡ ❇❛♥❦ ♦❢ ❙t✳ ▲♦✉✐s✬ ❋❘❊❉ ❞❛t❛ ❜❛s❡ ✭s❡r✐❡s ❆❙P❯❙✮✳ ❚♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ρ✱ ✇❡ ✜rst ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❍♦♠❡ ❊q✉✐t② ❘❡✈♦❧✈✐♥❣ ▲✐♠✐t ❜② ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤❡ t♦t❛❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❍♦♠❡ ❊q✉✐t② ❘❡✈♦❧✈✐♥❣ ▲✐♠✐t ❜② t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❍♦♠❡ ❊q✉✐t② ❛❝❝♦✉♥ts ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✸✿◗✶✲✷✵✶✻✿◗✹ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❋❘❇◆❨ ❞❛t❛✳ ❲❡ t❤❡♥ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧✐♠✐t t♦ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ s❛❧❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ ❯✳❙✳ ❤♦♠❡s✳ ❚♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ b✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❝r❡❞✐t ❧✐♠✐t ❜② ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❧✐♠✐t ❜② t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r❡❞✐t ❝❛r❞ ❛❝❝♦✉♥ts ✐♥ t❤❡ ❋❘❇◆❨ ❞❛t❛ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✸✿◗✶✲✷✵✶✻✿◗✹✳ ❲❡ t❤❡♥ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ r❛t✐♦ ♦❢ ❝r❡❞✐t ❧✐♠✐ts t♦ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥ ❧✐♠✐ts ❛♥❞ ❝❤♦♦s❡ b s♦ t❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✉♥s❡❝✉r❡❞ ❝r❡❞✐t r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❤♦♠❡ ❡q✉✐t② ❧♦❛♥ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ s❛♠❡ r❛t✐♦ ✐♥ t❤❡ ❞❛t❛✳ ▲❛st ❜✉t ♥♦t ❧❡❛st✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t②✱ λ✱ ❜② ✉s✐♥❣ ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❙❈❋ ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵✵✶✲✷✵✶✻✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ r❡s♣♦♥❞❡♥ts ✇❤♦ st❛rt❡❞ ♦r ❛❝q✉✐r❡❞ t❤❡✐r ❜✉s✐♥❡ss ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❧❛st ②❡❛r✳✶✼

✶✼❖✉r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ✉s❡s s❛♠♣❧❡ ✇❡✐❣❤ts ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ ❙❈❋✳

✈✐✐✐

❍✳ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ ❊q✉❛t✐♦♥s ✭✸✶✮✲✭✸✺✮ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ❢♦r kI − k∗ ❢r♦♠ ✭✺✷✮ ❣✐✈❡s✿ kI − k∗ ≈ 2rb θf ′′(k∗). ✭✻✹✮ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✸✵✮ ✐♥t♦ ✭✻✹✮ ❣✐✈❡s kI ≈ k∗ + i λf ′′(k∗)[1 − α(1 − θ)]. ✭✻✺✮ P❧✉❣❣✐♥❣ kI ❢r♦♠ ✭✻✺✮ ❛♥❞ kE ≈ k∗ ✐♥t♦ K ≡ λ[(1 − α)kI + αkE] ❛♥❞ L ≡ λα(kE − kI) ❣✐✈❡s ✭✸✶✮ ❛♥❞ ✭✸✷✮✳ ◆♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤ θ = 0✳ ❚❤❡ tr✐♣❧❡ (kE, kI, qa) ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✷✮✱ ✭✹✻✮✱ ❛♥❞ ✭✹✽✮✿ kE = χf(kE) + ρqaa + kI, ✭✻✻✮ i = λ

• α f ′(kE) − 1

1 − χf ′(kE) + (1 − α)

• f ′(kI) − 1
• ,

✭✻✼✮ qa = (1 − χf ′(kE))βϑ′(a) (1 − β)(1 − χf ′(kE)) − βαλρ(f ′(kE) − 1), ✭✻✽✮ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✻✽✮ ✐♥t♦ ✭✻✻✮ ❣✐✈❡s✿ kE = χf(kE) + ρa(1 − χf ′(kE))βϑ′(a) (1 − β)(1 − χf ′(kE)) − βαλρ(f ′(kE) − 1) + kI. ✭✻✾✮ ❆ ✜rst ♦r❞❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✻✾✮ ❛♥❞ ✭✻✼✮ ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ (kI, kE) = (¯ k, k∗) ❣✐✈❡s✿

• 1 − χ −

βρ 1 − β 2αλaϑ′(a)f ′′(k∗) 1 − χ

• (kE − k∗) ≈ (kI − ¯

k), ✭✼✵✮ λ(1 − α)f ′′(¯ k)(kI − ¯ k) + λαf ′′(k∗) 1 − χ (kE − k∗) ≈ i − i∗. ✭✼✶✮ ❙♦❧✈✐♥❣ ✭✼✵✮ ❛♥❞ ✭✼✶✮ ❢♦r (kI − ¯ k) ❛♥❞ (kE − k∗) ❣✐✈❡s✿   kI − ¯ k kE − k∗   = 1 D     λαf ′′(k∗) 1 − χ −(1 − χ) + βρ 1 − β 2αλaϑ′(a)f ′′(k∗) 1 − χ

• −λ(1 − α)f ′′(¯

k) −1    

• i − i∗
• ,

✭✼✷✮

✐①

✇❤❡r❡ D = −λαf ′′(k∗) 1 − χ − λ(1 − α)f ′′(¯ k)

• (1 − χ) −

βρ 1 − β 2αλaϑ′(a)f ′′(k∗) 1 − χ

• > 0,

✭✼✸✮ ❣✐✈❡s kI ❛♥❞ kE✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✉s✐♥❣ L ≡ λα(kE − kI) ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ kI ❛♥❞ kE ❣✐✈❡s ✭✸✹✮✳

①