The fundamental problem of Forensic Sta6s6cs How to - PowerPoint PPT Presentation

The ¡fundamental ¡problem ¡of ¡ Forensic ¡Sta6s6cs ¡ How ¡to ¡assess ¡the ¡eviden6al ¡value ¡ ¡ of ¡a ¡rare ¡type ¡match ¡ Giulia ¡Cereda, ¡Université ¡de ¡Lausanne ¡ ¡ Richard ¡D. ¡Gill, ¡University ¡of ¡Leiden ¡

The ¡problem ¡ • A ¡crime ¡ • A ¡piece ¡of ¡evidence ¡found ¡at ¡the ¡crime ¡scene ¡ (DNA, ¡fingerprint, ¡footprint, ¡hand ¡wri6ng, ¡etc.) ¡ ¡ • A ¡suspect ¡(iden6fied ¡independently) ¡ • A ¡match ¡between ¡suspect’s ¡characteris6c ¡and ¡ evidence’s ¡characteris6c. ¡ • A ¡database ¡which ¡counts ¡the ¡frequency ¡of ¡each ¡ characteris6c. ¡ • Database ¡frequency ¡of ¡the ¡crime ¡(and ¡the ¡ suspect) ¡characteris6c ¡is ¡0 ¡

Example ¡ • A ¡DNA ¡stain ¡is ¡found ¡on ¡the ¡vic6m’s ¡body. ¡ • Y-­‑STR ¡profile ¡of ¡type ¡ h. ¡ • A ¡suspect ¡is ¡iden6fied, ¡which ¡is ¡also ¡of ¡Y-­‑STR ¡type ¡ h. ¡ • The ¡Y-­‑STR ¡database ¡of ¡reference ¡does ¡not ¡ contain ¡type ¡ h ¡ ¡ Small ¡databases ¡

How ¡to ¡evaluate ¡this ¡kind ¡of ¡evidence? ¡ ¡ Generalized-­‑Good. ¡ Non ¡parametric ¡Good-­‑type ¡ es6mator ¡based ¡on ¡Good ¡(1953). ¡ ¡ ¡ DiscLap-­‑method ¡(Andersen ¡et ¡al. ¡2013) ¡ ¡ Explore ¡other ¡methods ¡(Brenner ¡2010, ¡Roewer ¡ 2000, ¡…) ¡

The ¡Likelihood ¡Ra6o ¡ The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again. THE ¡likelihood ¡ra6o ¡does ¡not ¡exists ¡ E ¡is ¡the ¡evidence ¡to ¡be ¡evaluated ¡ ¡ Many ¡possible ¡ choices ¡ B ¡is ¡the ¡background ¡informa6on ¡ H p : ¡the ¡suspect ¡le[ ¡the ¡stain H d : ¡someone ¡else ¡le[ ¡the ¡stain

Typical ¡choice ¡ • E = ¡the ¡par6cular ¡haplotype ¡of ¡the ¡suspect ¡and ¡ of ¡the ¡crime ¡stain ¡ ¡ • B =the ¡list ¡of ¡haplotypes ¡in ¡the ¡database ¡ b that f h LR = Pr( E | H p , B ) Pr( E | H p ) ) Pr( E | H d , B ) = ) = 10 Pr( E | H d ) 1 = Pr(observing haplotype h in the population of interest) e.g. ¡ ¡Discrete ¡Laplace ¡Method ¡

1 = Pr(observing haplotype h in the population of interest) = f h e.g. ¡DiscLap ¡method ¡ Uncertainty ¡ This ¡frequency ¡is ¡not ¡known. ¡It ¡can ¡only ¡be ¡es6mated ¡ ¡ ¡ 1 d = ˆ Pr(observing haplotype h in the population of interest) DL b f h

A ¡different ¡choice: ¡ ¡ Reduce ¡informa6on ¡ Ignore ¡informa6on ¡about ¡the ¡par6cular ¡haplotype ¡ informa6on ¡is ¡discarded ¡ • E =number ¡of ¡6mes ¡the ¡haplotypes ¡of ¡the ¡ suspect ¡(h s ) ¡and ¡the ¡haplotype ¡of ¡the ¡crime-­‑ stain ¡(h c ) ¡are ¡in ¡the ¡data-­‑base ¡and ¡whether ¡or ¡ not ¡they ¡are ¡the ¡same ¡haplotype. ¡ • B = ¡EMPTY ¡modifica ¡negli ¡altri. ¡ ¡ ¡

The ¡frequencies ¡of ¡frequencies ¡ • D ¡database ¡ D’ ¡database ¡count ¡ ¡ ¡ ¡Gotham ¡City, ¡12,13,30,24,10,11,13 ¡1 ¡ ¡ Gotham City, � 12,13,30,24,10,11,13 � ¡Gotham ¡City, ¡12,13,30,24,10,11,14 ¡1 ¡ Gotham City, � 12,13,30,24,10,11,14 � ¡Gotham ¡City, ¡ ¡13,12,30,24,10,11,13 ¡1 ¡ Gotham City, � 13,12,30,24,10,11,13 � ¡Gotham ¡City, ¡13,13,29,23,10,11,13 ¡1 ¡ Gotham City, � 13,13,29,23,10,11,13 � ¡Gotham ¡City, ¡13,13,29,24,10,11,14 ¡1 ¡ Gotham City, � 13,13,29,24,10,11,14 � ¡Gotham ¡City, ¡13,13,29,24,11,13,13 ¡2 ¡ Gotham City, � 13,13,29,24,11,13,13 � ¡Gotham ¡City, ¡13,13,30,24,10,11,13 ¡4 ¡ Gotham City, � 13,13,29,24,11,13,13 � ¡ Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � Informa6on ¡ ¡ Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � is ¡discarded ¡ Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � ¡ D f ¡frequencies ¡of ¡frequencies ¡ ¡ N1 ¡is ¡the ¡number ¡of ¡haplotypes ¡which ¡occur ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ N1 � � 5 � ¡once ¡in ¡D ¡(singletons) ¡ N2 � � 1 � N2 ¡is ¡the ¡number ¡of ¡duplets ¡ N3 � � 0 � Etc. ¡ N4 � � 1 �

� A ¡database ¡D ¡of ¡size ¡N ¡ ¡ ¡ The ¡database ¡count ¡ ¡ ¡ Gotham City, � 12,13,30,24,10,11,13 � Gotham City, � 12,13,30,24,10,11,13 � � 1 � Gotham City, � 12,13,30,24,10,11,14 � Gotham City, � 12,13,30,24,10,11,14 � � 1 � Gotham City, � 13,12,30,24,10,11,13 � Gotham City, � 13,12,30,24,10,11,13 � � 1 � Gotham City, � 13,13,29,23,10,11,13 � Gotham City, � 13,13,29,23,10,11,13 � � 1 � Gotham City, � 13,13,29,24,10,11,14 � Gotham City, � 13,13,29,24,10,11,14 � � 1 � Gotham City, � 13,13,29,24,11,13,13 � Gotham City, � 13,13,29,24,11,13,13 � � 2 � Gotham City, � 13,13,29,24,11,13,13 � Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � � 4 
 Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � is ¡a ¡realiza6on ¡of ¡r.v. ¡(X 1 , ¡X 2 , ¡…, ¡X s), ¡ ¡ Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � defined ¡X j =#{i|Y i =j}. ¡ ¡ Gotham City, � 13,13,30,24,10,11,13 � ¡ ¡ ¡ The ¡frequencies ¡of ¡frequencies ¡ can ¡be ¡considered ¡as ¡an ¡ ¡ ¡ i.i.d. ¡sample ¡(Y 1, ¡ Y 2, ¡…, ¡ Y N ¡) ¡from ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ N1 � � 5 � species ¡{1,2,…,s} ¡ ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ N2 � � 1 � probabili6es ¡(p 1 , ¡p 2 , ¡… ¡p s ). ¡ ¡ ¡ ¡ N3 � � 0 � ¡ N4 � � 1 � ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ is ¡made ¡of ¡(N 1 , ¡N 2 ,… ¡) ¡ ¡ where ¡N j =#{i|X i =j} ¡ ¡

• E =numbers ¡of ¡6mes ¡the ¡haplotypes ¡of ¡the ¡ suspect ¡(h s ) ¡and ¡the ¡haplotype ¡of ¡the ¡crime-­‑ stain ¡(h c ) ¡are ¡in ¡the ¡data-­‑base ¡and ¡whether ¡or ¡ not ¡they ¡are ¡the ¡same ¡haplotype. ¡ • B = ¡the ¡frequencies ¡of ¡the ¡frequencies ¡of ¡the ¡ database ¡(D f ) ¡ that b ¡ LR = Pr( E | H p , B ) Pr( h s = h c = h, h / ∈ D | D f , H p ) Pr( E | H d , B ) = h Pr( h s = h c = h, h / ∈ D | D f , H d ) = Pr( h s = h c = h, h / ∈ D | H p ) Pr( h s = h c = h, h / ∈ D | H d )

that = Pr( h s = h c = h, h / ∈ D | H p ) LR = Pr( h s = h c = h, h / ∈ D | H d ) ) Pr( Y N +1 / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N } ) ) = Pr( Y N +1 / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N } ∩ Y N +1 = Y N +2 ) ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N − 1 } ) Pr( Y N / +2 ) ≈ X Pr( Y N / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N − 2 } ∩ Y N = Y N − 1 ) ✓ N 1 ◆ ) = Pr( Y N / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N � 1 } ) = = E X N @ − ✓ ◆ 2 N 2 ) = Pr( Y N / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N � 2 } ∩ Y N = Y N � 1 ) = = E N ( N − 1)

✓ N 1 unbiased ¡es6mator ¡for ¡the ¡numerator ¡ ¡ ) = Pr( Y N / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N � 1 } ) = E N @ ✓ ◆ unbiased ¡es6mator ¡ 2 N 2 E ) = Pr( Y N / ∈ { Y 1 , Y 2 , ...Y N � 2 } ∩ Y N = Y N � 1 ) = for ¡the ¡denominator ¡ ¡ N ( N − 1) 2 N 2 / ( N ( N � 1)) ' NN 1 N 1 /N d This ¡suggests ¡to ¡use ¡ ¡ ˆ LR LR = 2 N 2 ¡as ¡an ¡es6mator ¡for ¡ LR It ¡is ¡more ¡sensible ¡ ¡to ¡es6mate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡instead ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ og LR log 10 LR ¡ NN 1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡approximately ¡unbiased ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ log 10 LR log 10 2 N 2