t t r s - - PowerPoint PPT Presentation

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t❤❛t Σm ◦ Φ = Σn ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ Σn(p) = n

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t❤❛t Σm ◦ Φ = Σn ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ Σn(p) = n

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❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❡♥tr♦♣② Hmin(Φ) = ♠✐♥p H(Φ(p))) ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ❤♦✇ ♥♦✐s② ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s✳

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❊♥tr♦♣② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s

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t❤❛t Σm ◦ Φ = Σn ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ Σn(p) = n

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❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❡♥tr♦♣② Hmin(Φ) = ♠✐♥p H(Φ(p))) ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ❤♦✇ ♥♦✐s② ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s✳

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▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

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✶ t♦ ℓm ✶ s✉❝❤

t❤❛t Σm ◦ Φ = Σn ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ Σn(p) = n

k=✶ pk✳

❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❡♥tr♦♣② Hmin(Φ) = ♠✐♥p H(Φ(p))) ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ❤♦✇ ♥♦✐s② ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s✳ H♠✐♥(id) = ✵

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊♥tr♦♣② ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ ❛♥❞ ✱ ❜❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧s✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡♥ ❧♦❣ ✵ ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊♥tr♦♣② ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t pXY ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ ❛♥❞ pX(x) =

y p(x, y)✱ pY = x p(x, y) ❜❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧s✱

p(x|y) = p(x, y)/pY (y) t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡♥ ❧♦❣ ✵ ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊♥tr♦♣② ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t pXY ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ ❛♥❞ pX(x) =

y p(x, y)✱ pY = x p(x, y) ❜❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧s✱

p(x|y) = p(x, y)/pY (y) t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡♥ ❧♦❣ ✵ ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊♥tr♦♣② ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t pXY ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ ❛♥❞ pX(x) =

y p(x, y)✱ pY = x p(x, y) ❜❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧s✱

p(x|y) = p(x, y)/pY (y) t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡♥ H(X|Y )p = H(pXY ) − H(pY ) =

• pY (y)
• x

−p(x|y) ❧♦❣(p(x|y)) ≥ ✵ ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊♥tr♦♣② ❛♥❞ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t pXY ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ ❛♥❞ pX(x) =

y p(x, y)✱ pY = x p(x, y) ❜❡ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧s✱

p(x|y) = p(x, y)/pY (y) t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡♥ H(X|Y )p = H(pXY ) − H(pY ) =

• pY (y)
• x

−p(x|y) ❧♦❣(p(x|y)) ≥ ✵ ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ I(X, Y )p = H(X)+H(Y )−H(XY ) = H(pX)+H(pY )−H(pXY ) ✐s t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❛♣❛❝✐t②

❋♦r ❛ ❝❤❛♥♥❡❧

✶ ✶ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s t❤❡ r❛t❡

♦❢ ❢❛✐t❤❢✉❧❧② tr❛♥s♠✐tt❡❞ ❜✐ts ❢♦r ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧

✶ ✶

❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r

✷ ✶ ✷ ✶

❙❤❛♥♥♦♥ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❢ ❧✐♠ ✐♥❢ s✉♣ ✐♥♣✉t ♦✉t♣✉t ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ✭❏P✮ ❧✐♠ ❧♦❣

♠✐♥

❧✐♠ ❧♦❣ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❛♣❛❝✐t②

❋♦r ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ N : ℓm

✶ → ℓm ✶ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s t❤❡ r❛t❡ rn ♦❢

❢❛✐t❤❢✉❧❧② tr❛♥s♠✐tt❡❞ ❜✐ts ❢♦r n ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ℓmn

✶ N ⊗n

→ ℓmn

✶

↑E ↓D E, D ❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r ℓ✷rn

✶ ≈id

→ ℓ✷rn

✶

❙❤❛♥♥♦♥ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❢ ❧✐♠ ✐♥❢ s✉♣ ✐♥♣✉t ♦✉t♣✉t ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ✭❏P✮ ❧✐♠ ❧♦❣

♠✐♥

❧✐♠ ❧♦❣ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❛♣❛❝✐t②

❋♦r ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ N : ℓm

✶ → ℓm ✶ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s t❤❡ r❛t❡ rn ♦❢

❢❛✐t❤❢✉❧❧② tr❛♥s♠✐tt❡❞ ❜✐ts ❢♦r n ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ℓmn

✶ N ⊗n

→ ℓmn

✶

↑E ↓D E, D ❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r ℓ✷rn

✶ ≈id

→ ℓ✷rn

✶

❙❤❛♥♥♦♥ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ rn(ε) ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❢

ε ❧✐♠ ✐♥❢ n

rn = C(N) = s✉♣

p I(✐♥♣✉t, ♦✉t♣✉t) .

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ✭❏P✮ ❧✐♠ ❧♦❣

♠✐♥

❧✐♠ ❧♦❣ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❛♣❛❝✐t②

❋♦r ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ N : ℓm

✶ → ℓm ✶ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s t❤❡ r❛t❡ rn ♦❢

❢❛✐t❤❢✉❧❧② tr❛♥s♠✐tt❡❞ ❜✐ts ❢♦r n ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ℓmn

✶ N ⊗n

→ ℓmn

✶

↑E ↓D E, D ❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r ℓ✷rn

✶ ≈id

→ ℓ✷rn

✶

❙❤❛♥♥♦♥ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ rn(ε) ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❢

ε ❧✐♠ ✐♥❢ n

rn = C(N) = s✉♣

p I(✐♥♣✉t, ♦✉t♣✉t) .

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ✭❏P✮ C(N) = ❧✐♠

p→∞ p ❧♦❣ πp(N ∗) ♠✐♥

❧✐♠ ❧♦❣ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❛♣❛❝✐t②

❋♦r ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ N : ℓm

✶ → ℓm ✶ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s t❤❡ r❛t❡ rn ♦❢

❢❛✐t❤❢✉❧❧② tr❛♥s♠✐tt❡❞ ❜✐ts ❢♦r n ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ℓmn

✶ N ⊗n

→ ℓmn

✶

↑E ↓D E, D ❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r ℓ✷rn

✶ ≈id

→ ℓ✷rn

✶

❙❤❛♥♥♦♥ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ rn(ε) ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❢

ε ❧✐♠ ✐♥❢ n

rn = C(N) = s✉♣

p I(✐♥♣✉t, ♦✉t♣✉t) .

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ✭❏P✮ C(N) = ❧✐♠

p→∞ p ❧♦❣ πp(N ∗)

H♠✐♥ = ❧✐♠p→∞ p ❧♦❣ N ∗ : ℓp → ℓ∞✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❆❞❞✐t✐✈✐t② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s

❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♦✉t♣✉t ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛r❡ ❛❞❞✐t✐✈❡✿

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

❛♥❞ ❇✉t ♦♥❧② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s✦

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❆❞❞✐t✐✈✐t② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s

❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♦✉t♣✉t ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛r❡ ❛❞❞✐t✐✈❡✿ H♠✐♥(Φ ⊗ Ψ) = H♠✐♥(Φ) + H♠✐♥(Ψ) ❛♥❞ ❇✉t ♦♥❧② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s✦

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❆❞❞✐t✐✈✐t② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s

❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♦✉t♣✉t ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛r❡ ❛❞❞✐t✐✈❡✿ H♠✐♥(Φ ⊗ Ψ) = H♠✐♥(Φ) + H♠✐♥(Ψ) ❛♥❞ C(Φ ⊗ Ψ) = C(Φ) + C(Ψ) . ❇✉t ♦♥❧② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s✦

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❆❞❞✐t✐✈✐t② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s

❚❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♦✉t♣✉t ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛r❡ ❛❞❞✐t✐✈❡✿ H♠✐♥(Φ ⊗ Ψ) = H♠✐♥(Φ) + H♠✐♥(Ψ) ❛♥❞ C(Φ ⊗ Ψ) = C(Φ) + C(Ψ) . ❇✉t ♦♥❧② ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧s✦

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧

❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣

✶ ✶ ✱ ✇❤❡r❡ ✶

✳ ❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ ✵ ✐♠♣❧✐❡s ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢

✶

✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r s②st❡♠✮✳ ❧♥ ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱ ✇❤❡r❡

✷ ✶

✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ ✲♥♦r♠✳

♠✐♥

✐♥❢

✶ ✵

✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧

❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ Φ : Sm

✶ → Sm ✶ ✱ ✇❤❡r❡ Sm ✶ = (Mm)∗✳

❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ ✵ ✐♠♣❧✐❡s ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢

✶

✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r s②st❡♠✮✳ ❧♥ ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱ ✇❤❡r❡

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✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ ✲♥♦r♠✳

♠✐♥

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✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

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▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

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❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ Φ : Sm

✶ → Sm ✶ ✱ ✇❤❡r❡ Sm ✶ = (Mm)∗✳

❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ ✵ ✐♠♣❧✐❡s ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢

✶

✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r s②st❡♠✮✳ ❧♥ ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱ ✇❤❡r❡

✷ ✶

✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ ✲♥♦r♠✳

♠✐♥

✐♥❢

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✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧

❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ Φ : Sm

✶ → Sm ✶ ✱ ✇❤❡r❡ Sm ✶ = (Mm)∗✳

❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ d ≥ ✵ ✐♠♣❧✐❡s Φ(d) ≥ ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ Φ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ idSn

✶ ⊗ Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r

s②st❡♠✮✳ ❧♥ ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱ ✇❤❡r❡

✷ ✶

✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ ✲♥♦r♠✳

♠✐♥

✐♥❢

✶ ✵

✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧

❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ Φ : Sm

✶ → Sm ✶ ✱ ✇❤❡r❡ Sm ✶ = (Mm)∗✳

❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ d ≥ ✵ ✐♠♣❧✐❡s Φ(d) ≥ ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ Φ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ idSn

✶ ⊗ Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r

s②st❡♠✮✳ H(d) = −tr(d ❧♥ d) = d

dpdp ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱

✇❤❡r❡ dp = tr((d∗d)p/✷)✶/p ✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ p✲♥♦r♠✳

♠✐♥

✐♥❢

✶ ✵

✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧

❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ Φ : Sm

✶ → Sm ✶ ✱ ✇❤❡r❡ Sm ✶ = (Mm)∗✳

❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ d ≥ ✵ ✐♠♣❧✐❡s Φ(d) ≥ ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ Φ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ idSn

✶ ⊗ Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r

s②st❡♠✮✳ H(d) = −tr(d ❧♥ d) = d

dpdp ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱

✇❤❡r❡ dp = tr((d∗d)p/✷)✶/p ✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ p✲♥♦r♠✳ H♠✐♥(N) = ✐♥❢tr(ρ)=✶,ρ ≥ ✵ H(N(ρ))✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t

♠✐♥ ♠✐♥ ♠✐♥

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❤❛♥♥❡❧

❆ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ Φ : Sm

✶ → Sm ✶ ✱ ✇❤❡r❡ Sm ✶ = (Mm)∗✳

❵❘❡❝❛❧❧✬ ❤❡r❡ t❤❛t Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ d ≥ ✵ ✐♠♣❧✐❡s Φ(d) ≥ ✵ ✐♥ s❡♥s❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ Φ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❢ idSn

✶ ⊗ Φ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N ✭❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r

s②st❡♠✮✳ H(d) = −tr(d ❧♥ d) = d

dpdp ✐s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✱

✇❤❡r❡ dp = tr((d∗d)p/✷)✶/p ✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙❝❤❛tt❡♥ p✲♥♦r♠✳ H♠✐♥(N) = ✐♥❢tr(ρ)=✶,ρ ≥ ✵ H(N(ρ))✳ ❍❛st✐♥❣s ✭✷✵✵✽✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t H♠✐♥(Φ ⊗ Ψ) = H♠✐♥(Φ) + H♠✐♥(Ψ) ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡str✐❝t❡❞ ❈❛♣❛❝✐t②

❲❡ ✇✐❧❧ ✇r✐t❡

✶ ✶

❢♦r t❤❡ ❙❝❤❛tt❡♥❝❧❛ss ♦❢ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❧❛❜❡❧ ✭❜❡❧♦♥❣s t♦ ❆❧✐❝❡✮✳ ▲❡t

✶ ✶

❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✶ ✳ ❚❤❡♥ s✉♣ ✐s t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t② s❡♥❞✐♥❣ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ ❧♦❣ q✉❜✐ts ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❍❡r❡ ❛r❡ ♣✉r❡ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡s ♦❢ r❛♥❦ ✳ ✭❏P✮ ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ❙❝❤♦r ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ r❡❧❛t❡❞ r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ ❍♦❧❡✈♦✬s ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❙❤♦r s❤♦✇❡❞ ✭❜❡❢♦r❡ ❍❛st✐♥❣s✮ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲❡♥tr♦♣② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❍♦❧❡✈♦ ❝❛♣❛❝✐t②✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡str✐❝t❡❞ ❈❛♣❛❝✐t②

❲❡ ✇✐❧❧ ✇r✐t❡ S✶(A) = S✶(HA) ❢♦r t❤❡ ❙❝❤❛tt❡♥❝❧❛ss ♦❢ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❧❛❜❡❧ A ✭❜❡❧♦♥❣s t♦ ❆❧✐❝❡✮✳ ▲❡t

✶ ✶

❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✶ ✳ ❚❤❡♥ s✉♣ ✐s t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t② s❡♥❞✐♥❣ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ ❧♦❣ q✉❜✐ts ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❍❡r❡ ❛r❡ ♣✉r❡ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡s ♦❢ r❛♥❦ ✳ ✭❏P✮ ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ❙❝❤♦r ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ r❡❧❛t❡❞ r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ ❍♦❧❡✈♦✬s ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❙❤♦r s❤♦✇❡❞ ✭❜❡❢♦r❡ ❍❛st✐♥❣s✮ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲❡♥tr♦♣② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❍♦❧❡✈♦ ❝❛♣❛❝✐t②✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡str✐❝t❡❞ ❈❛♣❛❝✐t②

❲❡ ✇✐❧❧ ✇r✐t❡ S✶(A) = S✶(HA) ❢♦r t❤❡ ❙❝❤❛tt❡♥❝❧❛ss ♦❢ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❧❛❜❡❧ A ✭❜❡❧♦♥❣s t♦ ❆❧✐❝❡✮✳ ▲❡t N : S✶(HA′) → S✶(HB) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✶ ≤ d ≤ m✳ ❚❤❡♥ C (d)(N) = s✉♣ρ=

k pkρA′A k

H(N(ρ)) +

• k

pk

• H(A)N(ρk) − H(AB)id⊗N(ρk)
• ✐s t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t② s❡♥❞✐♥❣ ❝❧❛ss✐❝❛❧

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ ❧♦❣ k q✉❜✐ts ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❍❡r❡ ρk ❛r❡ ♣✉r❡ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡s ♦❢ r❛♥❦ k✳ ✭❏P✮ ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ❙❝❤♦r ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ r❡❧❛t❡❞ r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ ❍♦❧❡✈♦✬s ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❙❤♦r s❤♦✇❡❞ ✭❜❡❢♦r❡ ❍❛st✐♥❣s✮ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲❡♥tr♦♣② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❍♦❧❡✈♦ ❝❛♣❛❝✐t②✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡str✐❝t❡❞ ❈❛♣❛❝✐t②

❲❡ ✇✐❧❧ ✇r✐t❡ S✶(A) = S✶(HA) ❢♦r t❤❡ ❙❝❤❛tt❡♥❝❧❛ss ♦❢ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❧❛❜❡❧ A ✭❜❡❧♦♥❣s t♦ ❆❧✐❝❡✮✳ ▲❡t N : S✶(HA′) → S✶(HB) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✶ ≤ d ≤ m✳ ❚❤❡♥ C (d)(N) = s✉♣ρ=

k pkρA′A k

H(N(ρ)) +

• k

pk

• H(A)N(ρk) − H(AB)id⊗N(ρk)
• ✐s t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t② s❡♥❞✐♥❣ ❝❧❛ss✐❝❛❧

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ ❧♦❣ k q✉❜✐ts ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❍❡r❡ ρk ❛r❡ ♣✉r❡ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡s ♦❢ r❛♥❦ k✳ ✭❏P✮ C (d) ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ❙❝❤♦r ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ r❡❧❛t❡❞ r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ ❍♦❧❡✈♦✬s ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❙❤♦r s❤♦✇❡❞ ✭❜❡❢♦r❡ ❍❛st✐♥❣s✮ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲❡♥tr♦♣② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❍♦❧❡✈♦ ❝❛♣❛❝✐t②✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡str✐❝t❡❞ ❈❛♣❛❝✐t②

❲❡ ✇✐❧❧ ✇r✐t❡ S✶(A) = S✶(HA) ❢♦r t❤❡ ❙❝❤❛tt❡♥❝❧❛ss ♦❢ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ✇✐t❤ ❧❛❜❡❧ A ✭❜❡❧♦♥❣s t♦ ❆❧✐❝❡✮✳ ▲❡t N : S✶(HA′) → S✶(HB) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✶ ≤ d ≤ m✳ ❚❤❡♥ C (d)(N) = s✉♣ρ=

k pkρA′A k

H(N(ρ)) +

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• H(A)N(ρk) − H(AB)id⊗N(ρk)
• ✐s t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t② s❡♥❞✐♥❣ ❝❧❛ss✐❝❛❧

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ ❧♦❣ k q✉❜✐ts ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✳ ❍❡r❡ ρk ❛r❡ ♣✉r❡ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡s ♦❢ r❛♥❦ k✳ ✭❏P✮ C (d) ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ❙❝❤♦r ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ r❡❧❛t❡❞ r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❋♦r d = ✶ ✇❡ ✜♥❞ ❍♦❧❡✈♦✬s ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❙❤♦r s❤♦✇❡❞ ✭❜❡❢♦r❡ ❍❛st✐♥❣s✮ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲❡♥tr♦♣② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❍♦❧❡✈♦ ❝❛♣❛❝✐t②✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ✉♥❧✐♠✐t❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t

❋♦r ❞✐♠ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ❛ss✐st❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t s✉♣ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡ ✭ ❧✐♠ ❧♦❣ ✳✮ ❚❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ❛ss✐st❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❛ r❛t❡ ✭❡❛r❧② s✉❝❝❡s ✐♥ ◗■❚✿ ❍❙❲✱ ❙❝❤♦r✱ ❉❡✈❡t❛❦✱ ❲✐♥t❡r✱✳✳✳✮

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ✉♥❧✐♠✐t❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t

❋♦r d = ❞✐♠(HA′) = |A′| ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ❛ss✐st❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t CEA(N) = s✉♣

ρA′A

I(A, B)id⊗N(ρA′A) ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡ ✭CEA = ❧✐♠ p ❧♦❣ πo

p(N))✳✮

❚❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ❛ss✐st❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❛ r❛t❡ ✭❡❛r❧② s✉❝❝❡s ✐♥ ◗■❚✿ ❍❙❲✱ ❙❝❤♦r✱ ❉❡✈❡t❛❦✱ ❲✐♥t❡r✱✳✳✳✮

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ✉♥❧✐♠✐t❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t

❋♦r d = ❞✐♠(HA′) = |A′| ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ❛ss✐st❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t CEA(N) = s✉♣

ρA′A

I(A, B)id⊗N(ρA′A) ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡ ✭CEA = ❧✐♠ p ❧♦❣ πo

p(N))✳✮

❚❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✇✐t❤ ❛ss✐st❡❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ✐s ❛ r❛t❡ ✭❡❛r❧② s✉❝❝❡s ✐♥ ◗■❚✿ ❍❙❲✱ ❙❝❤♦r✱ ❉❡✈❡t❛❦✱ ❲✐♥t❡r✱✳✳✳✮

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t

✶ ✶

❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡✳ ❲❡ ♠❛② ✇r✐t❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬❉❏❑❘❙❪

✶

✶

❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ P✐s✐❡r✬s ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞

✶

✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥

✶ ✶

✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ str♦♥❣ s✉♣❡r ❛❞❞✐t✐✈✐t②

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t N : S✶(A′) → S✶(B) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ρAB = id ⊗ N(ρA′A) t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡✳ ❲❡ ♠❛② ✇r✐t❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s I(A, B) = H(A) + H(B) − H(AB) = H(A) + Ic(AB) . ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬❉❏❑❘❙❪

✶

✶

❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ P✐s✐❡r✬s ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞

✶

✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥

✶ ✶

✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ str♦♥❣ s✉♣❡r ❛❞❞✐t✐✈✐t②

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t N : S✶(A′) → S✶(B) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ρAB = id ⊗ N(ρA′A) t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡✳ ❲❡ ♠❛② ✇r✐t❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s I(A, B) = H(A) + H(B) − H(AB) = H(A) + Ic(AB) . ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② Ic(AB) = H(B) − H(AB) ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬❉❏❑❘❙❪

✶

✶

❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ P✐s✐❡r✬s ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞

✶

✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥

✶ ✶

✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ str♦♥❣ s✉♣❡r ❛❞❞✐t✐✈✐t②

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t N : S✶(A′) → S✶(B) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ρAB = id ⊗ N(ρA′A) t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡✳ ❲❡ ♠❛② ✇r✐t❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s I(A, B) = H(A) + H(B) − H(AB) = H(A) + Ic(AB) . ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② Ic(AB) = H(B) − H(AB) ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬❉❏❑❘❙❪ Ic(AB) = c d dpρBAS✶(HB;Sp(HA))|p=✶ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ P✐s✐❡r✬s ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞ S✶(Sp)✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥

✶ ✶

✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ str♦♥❣ s✉♣❡r ❛❞❞✐t✐✈✐t②

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❈♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

▲❡t N : S✶(A′) → S✶(B) ❜❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ρAB = id ⊗ N(ρA′A) t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ st❛t❡✳ ❲❡ ♠❛② ✇r✐t❡ t❤❡ ♠✉t✉❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s I(A, B) = H(A) + H(B) − H(AB) = H(A) + Ic(AB) . ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② Ic(AB) = H(B) − H(AB) ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ st❛t❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬❉❏❑❘❙❪ Ic(AB) = c d dpρBAS✶(HB;Sp(HA))|p=✶ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ P✐s✐❡r✬s ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞ S✶(Sp)✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ id ⊗ trC : S✶(HBC; Sp(HA)) → S✶(HB; Sp(HA))✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ str♦♥❣ s✉♣❡r ❛❞❞✐t✐✈✐t② H(B) − H(AB) ≤ H(BC) − H(ABC) .

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❛♣❛❝✐t②

❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t q✉❛♥t✉♠ ❝❛♣❛❝✐t② Q(✶)(N) = s✉♣

ρ Ic(BA)

✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ✭❙❤♦r ❡t ❛❧✮ ❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❧✐♠ s✉♣

✶

❣✐✈❡s t❤❡ r❛t❡ ♦❢ tr❛♥s♠✐tt✐♥❣ q✉❜✐ts ♣❡r ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧

✶ ✶

❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r

✷ ✶ ✷ ✶

❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❣❡♥❡r❛❧ ❤❛r❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✳ ❇② t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✷ ✷ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❛♣❛❝✐t②

❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t q✉❛♥t✉♠ ❝❛♣❛❝✐t② Q(✶)(N) = s✉♣

ρ Ic(BA)

✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ✭❙❤♦r ❡t ❛❧✮ ❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ Q(Φ) = ❧✐♠ s✉♣

n

Q(✶)(N ⊗n) n ❣✐✈❡s t❤❡ r❛t❡ R ♦❢ tr❛♥s♠✐tt✐♥❣ rn q✉❜✐ts ♣❡r n ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ Smn

✶ N ⊗n

→ Smn

✶

↑E ↓D E, D ❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r S✷rn

✶ ≈id

→ S✷rn

✶

. ❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❣❡♥❡r❛❧ ❤❛r❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✳ ❇② t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✷ ✷ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ❝❛♣❛❝✐t②

❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t q✉❛♥t✉♠ ❝❛♣❛❝✐t② Q(✶)(N) = s✉♣

ρ Ic(BA)

✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❛❞❞✐t✐✈❡✳ ✭❙❤♦r ❡t ❛❧✮ ❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ Q(Φ) = ❧✐♠ s✉♣

n

Q(✶)(N ⊗n) n ❣✐✈❡s t❤❡ r❛t❡ R ♦❢ tr❛♥s♠✐tt✐♥❣ rn q✉❜✐ts ♣❡r n ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ Smn

✶ N ⊗n

→ Smn

✶

↑E ↓D E, D ❡♥❝♦❞❡r✱ ❞❡❝♦r❞❡r S✷rn

✶ ≈id

→ S✷rn

✶

. ❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❣❡♥❡r❛❧ ❤❛r❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✳ ❇② t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✷Q(N) ≤ ✷QE(N) = CEA(N)✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡s✉❧ts

■t ✐s ♦♣❡♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ✶ ✶ s❛t✐s✜❡s ✵✳ ❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✐s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥✐❝❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s

✶ ✷ ✶ ✷

s✉❝❤ t❤❛t ♠❛① ♠❛① ❧♥ ❧♥ ♠❛① ❧♥ ❧♥ ❍❡r❡ ✐s t❤❡ s②♠❜♦❧ ♦❢ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❋♦r t❤❡s❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✭❝❧❛ss✐❝❛❧✱ q✉❛♥t✉♠✱ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✮ r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✇❤✐❝❤ ❣♦❡s ❜❛❝❦ t♦ ❙❝❤♦r✱ s❡❡ ❛❧s♦ ❲✐❧❞❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡s✉❧ts

■t ✐s ♦♣❡♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ λ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ Φλ(✶ − λ)id + λ tr

d ()✶d s❛t✐s✜❡s Q(Φλ)) > ✵✳

❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✐s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥✐❝❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s

✶ ✷ ✶ ✷

s✉❝❤ t❤❛t ♠❛① ♠❛① ❧♥ ❧♥ ♠❛① ❧♥ ❧♥ ❍❡r❡ ✐s t❤❡ s②♠❜♦❧ ♦❢ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❋♦r t❤❡s❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✭❝❧❛ss✐❝❛❧✱ q✉❛♥t✉♠✱ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✮ r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✇❤✐❝❤ ❣♦❡s ❜❛❝❦ t♦ ❙❝❤♦r✱ s❡❡ ❛❧s♦ ❲✐❧❞❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡s✉❧ts

■t ✐s ♦♣❡♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ λ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ Φλ(✶ − λ)id + λ tr

d ()✶d s❛t✐s✜❡s Q(Φλ)) > ✵✳

❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✐s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥✐❝❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s θf : S✶(L✷(M)) → S✶(L✷(M)) s✉❝❤ t❤❛t ♠❛①{♠❛①

k

❧♥ nk, τ(f ❧♥ f )} ≤ Q(θf ) ≤ Qpot(θf ) ≤ ♠❛①

k

❧♥ nk + τ(f ❧♥ f ) . ❍❡r❡ f ∈ N ✐s t❤❡ s②♠❜♦❧ ♦❢ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ M = ⊕kMnk ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❋♦r t❤❡s❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✭❝❧❛ss✐❝❛❧✱ q✉❛♥t✉♠✱ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✮ r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✇❤✐❝❤ ❣♦❡s ❜❛❝❦ t♦ ❙❝❤♦r✱ s❡❡ ❛❧s♦ ❲✐❧❞❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❘❡s✉❧ts

■t ✐s ♦♣❡♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ λ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ Φλ(✶ − λ)id + λ tr

d ()✶d s❛t✐s✜❡s Q(Φλ)) > ✵✳

❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✐s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥✐❝❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s θf : S✶(L✷(M)) → S✶(L✷(M)) s✉❝❤ t❤❛t ♠❛①{♠❛①

k

❧♥ nk, τ(f ❧♥ f )} ≤ Q(θf ) ≤ Qpot(θf ) ≤ ♠❛①

k

❧♥ nk + τ(f ❧♥ f ) . ❍❡r❡ f ∈ N ✐s t❤❡ s②♠❜♦❧ ♦❢ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ M = ⊕kMnk ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❋♦r t❤❡s❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ (CQE) r❡❣✐♦♥ ✭❝❧❛ss✐❝❛❧✱ q✉❛♥t✉♠✱ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t✮ r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✇❤✐❝❤ ❣♦❡s ❜❛❝❦ t♦ ❙❝❤♦r✱ s❡❡ ❛❧s♦ ❲✐❧❞❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s

▲❡t ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✱ t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦♥

✷ ✷

✳ ▲❡t ❛♥❞ ✶ ❚❤❡♥

✶ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ r✐❣❤t r❡❣✉❧❛r

r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ♠❛① ♠❛① ❧♥ ❧♥

✶

❧♥ ♠❛① ❧♥ ❇♦t❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r ✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ ✳ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜①♣♦✐♥t ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❡✈❡r② ✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❡st✐♠❛t❡s✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ▲❡t G ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✱ λ(g)eh = egh t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✷(G) = L✷(L(G))✳ ▲❡t f : G → R+ ❛♥❞ θf (ρ) = ✶ |G|

• g∈G

f (g)λ(g)∗ρλ(g) . ❚❤❡♥

✶ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ r✐❣❤t r❡❣✉❧❛r

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❧♥ ♠❛① ❧♥ ❇♦t❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r ✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ ✳ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜①♣♦✐♥t ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❡✈❡r② ✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❡st✐♠❛t❡s✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ▲❡t G ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✱ λ(g)eh = egh t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✷(G) = L✷(L(G))✳ ▲❡t f : G → R+ ❛♥❞ θf (ρ) = ✶ |G|

• g∈G

f (g)λ(g)∗ρλ(g) . ❅ ❚❤❡♥ θ✶ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ r✐❣❤t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ L(G)′ = R(G) =

k Mnk = M✳ ❲❡ ❤❛✈❡

♠❛①(♠❛①

k

❧♥ nk, τ(f ❧♥ f )) ≤ Q(✶)(θf ) ≤ τ(f ❧♥ f ) + ♠❛①

k

❧♥ nk . ❇♦t❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r G = Zn✳ ❋♦r ✶ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ ✳ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜①♣♦✐♥t ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❡✈❡r② ✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❡st✐♠❛t❡s✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ▲❡t G ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✱ λ(g)eh = egh t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✷(G) = L✷(L(G))✳ ▲❡t f : G → R+ ❛♥❞ θf (ρ) = ✶ |G|

• g∈G

f (g)λ(g)∗ρλ(g) . ❅ ❚❤❡♥ θ✶ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ r✐❣❤t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ L(G)′ = R(G) =

k Mnk = M✳ ❲❡ ❤❛✈❡

♠❛①(♠❛①

k

❧♥ nk, τ(f ❧♥ f )) ≤ Q(✶)(θf ) ≤ τ(f ❧♥ f ) + ♠❛①

k

❧♥ nk . ❇♦t❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r G = Zn✳ ❅ ❋♦r f = ✶ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ R(G)✳ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜①♣♦✐♥t ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❡✈❡r② ✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❡st✐♠❛t❡s✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ▲❡t G ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✱ λ(g)eh = egh t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✷(G) = L✷(L(G))✳ ▲❡t f : G → R+ ❛♥❞ θf (ρ) = ✶ |G|

• g∈G

f (g)λ(g)∗ρλ(g) . ❅ ❚❤❡♥ θ✶ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ r✐❣❤t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ L(G)′ = R(G) =

k Mnk = M✳ ❲❡ ❤❛✈❡

♠❛①(♠❛①

k

❧♥ nk, τ(f ❧♥ f )) ≤ Q(✶)(θf ) ≤ τ(f ❧♥ f ) + ♠❛①

k

❧♥ nk . ❇♦t❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r G = Zn✳ ❅ ❋♦r f = ✶ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ R(G)✳ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜①♣♦✐♥t ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❡✈❡r② ✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❡st✐♠❛t❡s✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ▲❡t G ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✱ λ(g)eh = egh t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦♥ ℓ✷(G) = L✷(L(G))✳ ▲❡t f : G → R+ ❛♥❞ θf (ρ) = ✶ |G|

• g∈G

f (g)λ(g)∗ρλ(g) . ❅ ❚❤❡♥ θ✶ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ r✐❣❤t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ L(G)′ = R(G) =

k Mnk = M✳ ❲❡ ❤❛✈❡

♠❛①(♠❛①

k

❧♥ nk, τ(f ❧♥ f )) ≤ Q(✶)(θf ) ≤ τ(f ❧♥ f ) + ♠❛①

k

❧♥ nk . ❇♦t❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r G = Zn✳ ❅ ❋♦r f = ✶ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ R(G)✳ R(G) ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜①♣♦✐♥t ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❡✈❡r② θf ✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❡st✐♠❛t❡s✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

• ♦♦❞ ❡①❛♠♣❧❡s

❋♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥

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✷

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❧♥ ❝♦♥✜r♠s t❤❛t ❢♦r ❣r♦✉♣s t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ s❛t✐s✜❡s ❞✐♠

✶ ✷

❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❱❡rs❤✐❦ ❡t ❛❧❧✱ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❣r♦✉♣ s❛t✐s✜❡s ♠❛① ❧♥ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ✜♥❞ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❤❡r❡ ❡♥t❛❣❧❡♠❡♥t ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ r❛t❡ ♦♥❧② ❜② ❛ ✈❡r② s♠❛❧❧ ❛♠♦✉♥t ✇❤✐❝❤ ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

• ♦♦❞ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ❋♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ θf = θ✶ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡q✉❛❧✐t② Q(θf ) = ♠❛①k ❧♥ nk✳ ❚❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥

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✷

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✶ ✷

❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❱❡rs❤✐❦ ❡t ❛❧❧✱ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❣r♦✉♣ s❛t✐s✜❡s ♠❛① ❧♥ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ✜♥❞ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❤❡r❡ ❡♥t❛❣❧❡♠❡♥t ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ r❛t❡ ♦♥❧② ❜② ❛ ✈❡r② s♠❛❧❧ ❛♠♦✉♥t ✇❤✐❝❤ ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

• ♦♦❞ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ❋♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ θf = θ✶ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡q✉❛❧✐t② Q(θf ) = ♠❛①k ❧♥ nk✳ ❚❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥

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✷

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❧♥ ❝♦♥✜r♠s t❤❛t ❢♦r ❣r♦✉♣s t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ s❛t✐s✜❡s ❞✐♠

✶ ✷

❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❱❡rs❤✐❦ ❡t ❛❧❧✱ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❣r♦✉♣ s❛t✐s✜❡s ♠❛① ❧♥ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ✜♥❞ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❤❡r❡ ❡♥t❛❣❧❡♠❡♥t ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ r❛t❡ ♦♥❧② ❜② ❛ ✈❡r② s♠❛❧❧ ❛♠♦✉♥t ✇❤✐❝❤ ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

• ♦♦❞ ❡①❛♠♣❧❡s

❅ ❋♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ θf = θ✶ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡q✉❛❧✐t② Q(θf ) = ♠❛①k ❧♥ nk✳ ❚❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥ Q(θ✶) ≤ ✷CEA(θ✶) = ❧♥ n ❝♦♥✜r♠s t❤❛t ❢♦r ❣r♦✉♣s t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ π s❛t✐s✜❡s | ❞✐♠(π)| ≤ |G|✶/✷ . ❅ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❱❡rs❤✐❦ ❡t ❛❧❧✱ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❣r♦✉♣ n = m! s❛t✐s✜❡s ♠❛①k ❧♥ nk ≥ √n − c√m ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ✜♥❞ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❤❡r❡ ❡♥t❛❣❧❡♠❡♥t ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ r❛t❡ ♦♥❧② ❜② ❛ ✈❡r② s♠❛❧❧ ❛♠♦✉♥t √m ✇❤✐❝❤ ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ✈❛❧✉❡ √ m!✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❋♦r t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ♦✉r ♥❡✇ ❡st✐♠❛t❡s ♦✉t♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ♠♦r❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❧♥ ❧♥ ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t❛❧❧②✱ t❤✐s ❡st✐♠❛t❡ ✐s ❛❧s♦ ♥❡✇ ✭❜✉t r❡❧❛t❡❞ t♦ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❘✉❛♥ ❛♥❞ ◆❡✉❢❛♥❣✮✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

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d ⋊ Zm t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡

r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ m ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ n = |G| = mdm ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ♦✉r ♥❡✇ ❡st✐♠❛t❡s ♦✉t♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ♠♦r❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s CEA(θf ) = ❧♥ n + τ(f ❧♥ f ) ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t❛❧❧②✱ t❤✐s ❡st✐♠❛t❡ ✐s ❛❧s♦ ♥❡✇ ✭❜✉t r❡❧❛t❡❞ t♦ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❘✉❛♥ ❛♥❞ ◆❡✉❢❛♥❣✮✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❙❝❤✉r ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs

❆ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❙❝❤✉r ♠✉❧t✐♣❧✐❡r θf ([xgh]) =

• gh

f (g−✶h)xgh ❣✐✈❡♥ ❜② ♣♦✐♥t✇✐s❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① x = [xgh]✳ ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡ t❤❛t f (g) = τ(dλ(g)) ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ tr❛❝❡ ♦♥ L(G)✳ ■t ✇❛s ✐♥❞❡♣❡♥❞t❧② ♣r♦✈❡❞ ❜② ◆❡✉❢❛♥❣ ❛♥❞ ❈r❛♥♥ t❤❛t ❧♥ ❙❝❤✉r ♠✉t❧✐♣❧✐❡rs ❛r❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛♥❞ t❤♦s❡ ❞♦♥✬t r❡q✉✐r❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✦ ❖✉r ♣r❡✈✐♦✉s ❣r♦✉♣ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛r❡ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❙❝❤✉r ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs

❆ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❙❝❤✉r ♠✉❧t✐♣❧✐❡r θf ([xgh]) =

• gh

f (g−✶h)xgh ❣✐✈❡♥ ❜② ♣♦✐♥t✇✐s❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① x = [xgh]✳ ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡ t❤❛t f (g) = τ(dλ(g)) ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ tr❛❝❡ ♦♥ L(G)✳ ❆ ■t ✇❛s ✐♥❞❡♣❡♥❞t❧② ♣r♦✈❡❞ ❜② ◆❡✉❢❛♥❣ ❛♥❞ ❈r❛♥♥ t❤❛t Q(θf ) = τ(f ❧♥ f ) . ❙❝❤✉r ♠✉t❧✐♣❧✐❡rs ❛r❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛♥❞ t❤♦s❡ ❞♦♥✬t r❡q✉✐r❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✦ ❖✉r ♣r❡✈✐♦✉s ❣r♦✉♣ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛r❡ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❙❝❤✉r ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs

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f (g−✶h)xgh ❣✐✈❡♥ ❜② ♣♦✐♥t✇✐s❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① x = [xgh]✳ ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡ t❤❛t f (g) = τ(dλ(g)) ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ tr❛❝❡ ♦♥ L(G)✳ ❆ ■t ✇❛s ✐♥❞❡♣❡♥❞t❧② ♣r♦✈❡❞ ❜② ◆❡✉❢❛♥❣ ❛♥❞ ❈r❛♥♥ t❤❛t Q(θf ) = τ(f ❧♥ f ) . ❆ ❙❝❤✉r ♠✉t❧✐♣❧✐❡rs ❛r❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛♥❞ t❤♦s❡ ❞♦♥✬t r❡q✉✐r❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✦ ❖✉r ♣r❡✈✐♦✉s ❣r♦✉♣ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛r❡ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦t ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❲✐♥t❡r ❡t ❛❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② s✉♣

✶ ✶

❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ ❧✐♠ s✉♣ ✳ ❖✉r ✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❛❧s♦ ❤♦❧❞ ❢♦r ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❆ ❲✐♥t❡r ❡t ❛❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② Q(pot)(N) = s✉♣

N ′ Q(✶)(N ⊗ N ′) − Q(✶)(N) .

❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ Qpot(N) = ❧✐♠ s✉♣n Q(pot)(N ⊗n)/n✳ ❖✉r ✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❛❧s♦ ❤♦❧❞ ❢♦r ✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❆ ❲✐♥t❡r ❡t ❛❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② Q(pot)(N) = s✉♣

N ′ Q(✶)(N ⊗ N ′) − Q(✶)(N) .

❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ Qpot(N) = ❧✐♠ s✉♣n Q(pot)(N ⊗n)/n✳ ❆ ❖✉r ✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❛❧s♦ ❤♦❧❞ ❢♦r Q(pot)✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦r❡

❖✉r ❝❧❛ss ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ✐♥❝❧✉❞❡ q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❉r✐♥❢❡❧❞ ❞♦✉❜❧❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❑r❛✉s ♦♣❡r❛t♦rs ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥❡✐t❤❡r ✉♥✐t❛r✐❡s ♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s✳ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡s ❛❧s♦ ✐♥❝❧✉❞❡ r❛♥❞♦♠ ✉♥✐t❛r✐❡s ❣✐✈❡♥ ❜② ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ t❤❡ ✭▼❛❥♦r❛♥❛✮ ❈❧✐✛♦r❞ ❣❡♥❡r❛t♦rs✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ t❤❡s❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡s ♦♥❧② t❤❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r ❛r❡ ❵♥❡✇✬✳ ❆s ♦❢ ♥♦✇ ❜❡tt❡r ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❥✉st ❛❞❞✐♥❣ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ ✉s❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦r❡

❖✉r ❝❧❛ss ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ✐♥❝❧✉❞❡ q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❉r✐♥❢❡❧❞ ❞♦✉❜❧❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❑r❛✉s ♦♣❡r❛t♦rs ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥❡✐t❤❡r ✉♥✐t❛r✐❡s ♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s✳ ❖✉r ❡①❛♠♣❧❡s ❛❧s♦ ✐♥❝❧✉❞❡ r❛♥❞♦♠ ✉♥✐t❛r✐❡s ❣✐✈❡♥ ❜② ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ t❤❡ ✭▼❛❥♦r❛♥❛✮ ❈❧✐✛♦r❞ ❣❡♥❡r❛t♦rs✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ t❤❡s❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡s ♦♥❧② t❤❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r Q(pot) ❛r❡ ❵♥❡✇✬✳ ❆s ♦❢ ♥♦✇ ❜❡tt❡r ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❥✉st ❛❞❞✐♥❣ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ ✉s❡ t❡❧❡♣♦rt❛t✐♦♥✳

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B ⊗h Hr E ♦♥ t❤✐s ❙t✐♥s♣r✐♥❣ s♣❛❝❡ X = stp(N)✳

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B ⊗h Hr E ♦♥ t❤✐s ❙t✐♥s♣r✐♥❣ s♣❛❝❡ X = stp(N)✳

❍❡r❡ Hcp = [Hc, Hr]✶/p ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♠♣❧❡s ✐♥t❡r♣♦❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❝❛♣❛❝✐t② ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❝♦♥✈❡①✐t② ♣r♦♣❡rt② r❝

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B ⊗h Hr E ♦♥ t❤✐s ❙t✐♥s♣r✐♥❣ s♣❛❝❡ X = stp(N)✳

❍❡r❡ Hcp = [Hc, Hr]✶/p ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♠♣❧❡s ✐♥t❡r♣♦❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❝❛♣❛❝✐t② ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❝♦♥✈❡①✐t② ♣r♦♣❡rt② r❝p,d(X) = idℓd

✷ ⊗ idX : Rd(X) → C d

p (X) ,

✇❤❡r❡ Rd(X) = X ⊗h Rd ❛♥❞ C d

p (X) = Cp ⊗h X✳

■♥❞❡❡❞✱

✶

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✷

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B ⊗h Hr E ♦♥ t❤✐s ❙t✐♥s♣r✐♥❣ s♣❛❝❡ X = stp(N)✳

❍❡r❡ Hcp = [Hc, Hr]✶/p ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♠♣❧❡s ✐♥t❡r♣♦❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❝❛♣❛❝✐t② ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❝♦♥✈❡①✐t② ♣r♦♣❡rt② r❝p,d(X) = idℓd

✷ ⊗ idX : Rd(X) → C d

p (X) ,

✇❤❡r❡ Rd(X) = X ⊗h Rd ❛♥❞ C d

p (X) = Cp ⊗h X✳

■♥❞❡❡❞✱

✶

s✉♣ r❝♣ ❞ st

✷

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

❚♦♦❧s

✭❙t✐♥❡s♣r✐♥❣✲❑r❛✉s✲❍❛②❞♦♥✴❲✐♥t❡r✮ ❊✈❡r② ❝❤❛♥♥❡❧ ❝♦♠❡s ✇✐t❤ ❛ ♣❛rt✐❛❧ ✐s♦♠❡tr② V : HA → HB ⊗ HE ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ st(N) ⊂ HB ⊗ HE ♦❢ ❛ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✳ ❲❡ ♠❛② ♣✉t ❞✐✛❡r❡♥t ♥♦r♠s ❛♥❞ ✭s✐❝✮ ❞✐✛❡r❡♥t ♦♣❡r❛t♦r s♣❛❝❡ str✉❝t✉r❡s Hcp

B ⊗h Hr E ♦♥ t❤✐s ❙t✐♥s♣r✐♥❣ s♣❛❝❡ X = stp(N)✳

❍❡r❡ Hcp = [Hc, Hr]✶/p ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♠♣❧❡s ✐♥t❡r♣♦❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦♥❡ s❤♦t ❝❛♣❛❝✐t② ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❝♦♥✈❡①✐t② ♣r♦♣❡rt② r❝p,d(X) = idℓd

✷ ⊗ idX : Rd(X) → C d

p (X) ,

✇❤❡r❡ Rd(X) = X ⊗h Rd ❛♥❞ C d

p (X) = Cp ⊗h X✳ ■♥❞❡❡❞✱

Q(✶)(N) = s✉♣

d

d dpr❝♣,❞(stp(N))✷ .

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

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s♣❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✇❤❡r❡ ✐s ❛ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ✱ ❛♥ ❤❡♥❝❡ ✐s ♥✐❝❡❧② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ ✳ ❯s✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡① ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t

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❚❤✐s ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ ♦✉r ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s✳ ❯s✐♥❣ s✐♠✐❧❛r t❡❝❤♥✐q✉❡s ✇❡ ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡

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❚❤✐s ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ♣r♦✈❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t②✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▲♦❝❛❧ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥

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❚❤✐s ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ ♦✉r ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s✳ ❯s✐♥❣ s✐♠✐❧❛r t❡❝❤♥✐q✉❡s ✇❡ ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡

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▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▲♦❝❛❧ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥

❯♥❞❡r ♦✉r ❛ss✉♠♣t✐♦♥s t❤❡ s♣❛❝❡ stp(θ✶) ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ s♣❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ Mv ✇❤❡r❡ M ✐s ❛ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♥t♦ M ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

• U(M′) u∗( )udµ(u)✱ ❛♥ ❤❡♥❝❡ ✐s ♥✐❝❡❧② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥

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❚❤✐s ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ ♦✉r ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s✳ ❯s✐♥❣ s✐♠✐❧❛r t❡❝❤♥✐q✉❡s ✇❡ ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡

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▲♦❝❛❧ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥

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• U(M′) u∗( )udµ(u)✱ ❛♥ ❤❡♥❝❡ ✐s ♥✐❝❡❧② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥

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• U(M′) u∗( )udµ(u)✱ ❛♥ ❤❡♥❝❡ ✐s ♥✐❝❡❧② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥

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B ⊗h HE✳

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▲♦❝❛❧ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥

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▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s

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■♥❞❡❡❞✱

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▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✲❝❜✲❡♥tr♦♣② ♦r s♦✲❝❛❧❧❡❞ r❡✈❡rs❡❞ ❝♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ Hcb

♠✐♥(N) =

d dpN : S✶ → Spcb|p=✶ . ■♥❞❡❡❞✱

♠✐♥

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▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s

▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✲❝❜✲❡♥tr♦♣② ♦r s♦✲❝❛❧❧❡❞ r❡✈❡rs❡❞ ❝♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ Hcb

♠✐♥(N) =

d dpN : S✶ → Spcb|p=✶ . ■♥❞❡❡❞✱ Hcb

♠✐♥(θf ) = τ(f ❧♥ f )❀

❖✉r ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛r❡ ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r t❛❦✐♥❣ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝ts ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛ ❜✐❣ ✐ss✉❡ ❤❡r❡✳ ❚❤✐s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ❛ ✜rst s②st❡♠❛t✐❝ st✉❞② ❢♦r ♥♦♥ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡ ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❙❝❤✉r ♠✉t❧✐♣❧✐❡rs ❛r❡ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡✱ ✐✳❡✳ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ s✉❝❤ t❤❛t ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❝❤❛♥♥❡❧ ✭tr❛❝❡ ♦✉t ❇♦❜ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✮✳ ❆♥ ✐♠♣♦rt❛♥t t♦♦❧ ❢♦r ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s ❢❡❛t✉r❡ ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s

▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✲❝❜✲❡♥tr♦♣② ♦r s♦✲❝❛❧❧❡❞ r❡✈❡rs❡❞ ❝♦❤❡r❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ Hcb

♠✐♥(N) =

d dpN : S✶ → Spcb|p=✶ . ■♥❞❡❡❞✱ Hcb

♠✐♥(θf ) = τ(f ❧♥ f )❀

❖✉r ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛r❡ ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r t❛❦✐♥❣ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝ts ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛ ❜✐❣ ✐ss✉❡ ❤❡r❡✳ ❚❤✐s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ❛ ✜rst s②st❡♠❛t✐❝ st✉❞② ❢♦r ♥♦♥ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡ ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❙❝❤✉r ♠✉t❧✐♣❧✐❡rs ❛r❡ ❞❡❣r❛❞❛❜❧❡✱ ✐✳❡✳ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ s✉❝❤ t❤❛t ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❝❤❛♥♥❡❧ ✭tr❛❝❡ ♦✉t ❇♦❜ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✮✳ ❆♥ ✐♠♣♦rt❛♥t t♦♦❧ ❢♦r ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s ❢❡❛t✉r❡ ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛❧❣❡❜r❛✳

▼❛r✐✉s ❏✉♥❣❡ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❛♣❛❝✐t②

▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞s

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