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ttPrt r rss r r s


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SLIDE 1

❍❛♣♣② ❆❇❈✿ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥✲Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ ❢♦r ❙✉♠♠❛r②✲▲❡ss✱ ▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞✲❋r❡❡ ■♥❢❡r❡♥❝❡

◆✐❝♦❧❛s ❈❤♦♣✐♥

❈❘❊❙❚ ✭❊◆❙❆❊✮

❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙✐♠♦♥ ❇❛rt❤❡❧♠é ✭❚❯ ❇❡r❧✐♥✮

✶ ✴ ✷✷

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SLIDE 2

❇❛s✐❝ ❆❇❈

❉❛t❛✿ ② ⋆✱ ♣r✐♦r ♣(θ)✱ ♠♦❞❡❧ ♣(②|θ)✳ ▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♣(②|θ) ✐s ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡✳

✶ ❙❛♠♣❧❡ θ ∼ ♣(θ) ✷ ❙❛♠♣❧❡ ② ∼ ♣(②|θ) ✸ ❆❝❝❡♣t θ ✐✛ s(②) − s(② ⋆) ≤ ǫ

✷ ✴ ✷✷

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SLIDE 3

❆❇❈ t❛r❣❡t

❚❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❛r❣❡ts✿ ♣ǫ(θ|② ⋆) ∝ ♣(θ) ˆ ♣(②|θ)1{s(②)−s(② ⋆)≤ǫ} ❞② ✇❤✐❝❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡s t❤❡ tr✉❡ ♣♦st❡r✐♦r ♣(θ|②)✳ ❚✇♦ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿

✶ ◆♦♥✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡rr♦r✱ ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② ✏❜❛♥❞✇✐❞t❤✑ ǫ❀

♣ǫ(θ|② ⋆) → ♣(θ|s(② ⋆)) ❛s ǫ → ✵✳

✷ ❇✐❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② s✉♠♠❛r② st❛t✳ s✱ s✐♥❝❡

♣(θ|s(② ⋆)) = ♣(θ|② ⋆)✳ ◆♦t❡ t❤❛t ♣(θ|s(② ⋆)) ≈ ♣(θ|② ⋆) ♠❛② ❜❡ ❛ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱ ❜✉t ♣(② ⋆) ❛♥❞ ♣(s(② ⋆)) ❤❛✈❡ ♥♦ ❝❧❡❛r r❡❧❛t✐♦♥✿ ❤❡♥❝❡ st❛♥❞❛r❞ ❆❇❈ ❝❛♥♥♦t r❡❧✐❛❜❧② ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥❝❡✳

✸ ✴ ✷✷

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SLIDE 4

❊P✲❆❇❈ t❛r❣❡t

❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞❛t❛ ② ❞❡❝♦♠♣♦s❡s ✐♥t♦ (②✶, . . . , ②♥)✱ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❆❇❈ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ♣ǫ(θ|② ⋆) ∝ ♣(θ)

  • ✐=✶

ˆ ♣(②✐|②⋆

✶:✐−✶, θ)1{②✐−②⋆

✐ ≤ε} ❞②✐

  • ✭✶✮

❙t❛♥❞❛r❞ ❆❇❈ ❝❛♥♥♦t t❛r❣❡t t❤✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ♣♦st❡r✐♦r✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ②✐ − ②⋆

✐ ≤ ε ❢♦r ❛❧❧ ✐ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② ✐s

❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② s♠❛❧❧ ✇✳r✳t✳ ♥✳ ❇✉t ✐t ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ s♦♠❡ s✉♠♠❛r② st❛ts s✱ ❛♥❞ ♣ǫ(θ|② ⋆) → ♣(θ|② ⋆) ❛s ǫ → ✵ ✭♦♥❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✮✳ ❚❤❡ ❊P✲❆❇❈ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝♦♠♣✉t❡s ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✶✮✳

✹ ✴ ✷✷

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SLIDE 5

◆♦✐s② ❆❇❈ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❊P✲❆❇❈ t❛r❣❡t ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❧✐❞❡ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ❝♦rr❡❝t ♣♦st❡r✐♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠♦❞❡❧ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞❛t❛♣♦✐♥ts ❛r❡ ❝♦rr✉♣t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❯[−ǫ, ǫ] ♥♦✐s❡✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❲✐❧❦✐♥s♦♥ ✭✷✵✵✽✮✳

✺ ✴ ✷✷

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SLIDE 6

❊P✿ ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣ ❜② ▼✐♥❦❛ ✭✷✵✵✶✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❣❡♥❡r✐❝ ♣♦st❡r✐♦r✿ π(θ) = ♣(θ|②) ∝ ♣ (θ)

  • ✐=✶

❧✐ (θ) ✭✷✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❧✐ ❛r❡ ♥ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞✳ ❆✐♠ ✐s t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ π ✇✐t❤ q(θ) ∝

  • ✐=✵

❢✐(θ) ✭✸✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢✐✬s ❛r❡ t❤❡ ✏s✐t❡s✑✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱ t❛❦❡ ❢✐ (θ) ∝ ❡①♣

  • − ✶

✷θt◗✐θ + rt ✐ θ

  • ✱ s♦ t❤❛t✿

q(θ) ∝ ❡①♣

  • −✶

✷θt ♥

  • ✐=✵

◗✐

  • θ +

  • ✐=✵

r✐ t θ

  • ✭✹✮

✇❤❡r❡ ◗✐ ❛♥❞ r✐ ❛r❡ t❤❡ s✐t❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳

✻ ✴ ✷✷

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SLIDE 7

❙✐t❡ ✉♣❞❛t❡

❲❡ ✇✐s❤ t♦ ♠✐♥✐♠✐s❡ ❑▲(πq)✳ ❚♦ t❤❛t ❛✐♠✱ ✇❡ ✉♣❞❛t❡ ❡❛❝❤ s✐t❡ (◗✐, r ✐) ✐♥ t✉r♥✱ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❤②❜r✐❞✿ ❤✐(θ) ∝ q−✐(θ)❧✐(θ), q−✐(θ) =

  • ❥=✐

❢❥(θ) ❛♥❞ ❛❞❥✉st (◗✐, r ✐) s♦ t❤❛t ❑▲(❤✐q) ✐s ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❖♥❡ ♠❛② ❡❛s✐❧② ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤✐s ♠❛② ❜❡ ❞♦♥❡ ❜② ♠♦♠❡♥t ♠❛t❝❤✐♥❣✱ ✐✳❡✳ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿ µ❤ = E❤✐ [θ] , Σ❤ = E❤✐

  • θθ❚

− µ✐µ❚

s❡t ◗❤ = Σ−✶

❤ , r ❤ = Σ−✶ ❤ µ❤✱ t❤❡♥ ❛❞❥✉st (◗✐, r ✐) s♦ t❤❛t (◗❤, r ❤)

❛♥❞ (◗, r) = (♥

✐=✵ ◗✐, ♥ ✐=✵ r ✐) ✭t❤❡ ♠♦♠❡♥ts ♦❢ q✮ ♠❛t❝❤✳

◗✐ ← Σ−✶

− ◗−✐, r ✐ ← Σ−✶

❤ µ❤ − r −✐.

✼ ✴ ✷✷

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SLIDE 8

❊P q✉✐❝❦ s✉♠♠❛r②

  • ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐s ✉s✉❛❧❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛❢t❡r ❛ ❢❡✇ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝②❝❧❡s

♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ s✐t❡s✳

  • ❖✉t♣✉t ✐s ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ✏❝❧♦s❡st✑ t♦ t❛r❣❡t

π✱ ✐♥ ❑▲ s❡♥s❡✳

  • ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ●❛✉ss✐❛♥ ❢❛♠✐❧② ❢♦r q✱ ❜✉t ♦♥❡ ♠❛② t❛❦❡ ❛♥♦t❤❡r

❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❢❛♠✐❧②✳

  • ❋❡❛s✐❜❧✐t② ♦❢ ❊P ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❤♦✇ ❡❛s② ✐t ✐s t♦ ❝♦♠♣✉t❡

t❤❡ ♠♦♠❡♥ts ♦❢ ♦r❞❡r ✶ ❛♥❞ ✷ ♦❢ t❤❡ ❤②❜r✐❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭✐✳❡✳ ❛

  • ❛✉ss✐❛♥ ❞❡♥s✐t② q−✐ t✐♠❡s ❛ s✐♥❣❧❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❧✐✮✳

✽ ✴ ✷✷

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SLIDE 9

❊P✲❆❇❈

  • ♦✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ❊P✲❆❇❈ t❛r❣❡t✿

♣ǫ(θ|② ⋆) ∝ ♣(θ)

  • ✐=✶

ˆ ♣(②✐|②⋆

✶:✐−✶, θ)1{②✐−②⋆

✐ ≤ε} ❞②✐

  • ✭✺✮

✇❡ t❛❦❡ ❧✐(θ) = ˆ ♣(②✐|②⋆

✶:✐−✶, θ)1{②✐−②⋆

✐ ≤ε} ❞②✐.

■♥ t❤❛t ❝❛s❡✱ t❤❡ ❤②❜r✐❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❛ ●❛✉ss✐❛♥ t✐♠❡s ❧✐✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥ts ❛r❡ ♥♦t ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ ❝❧♦s❡✲❢♦r♠ ✭♦❜✈✐♦✉s❧②✮✱ ❜✉t t❤❡② ❛r❡ ❡❛s✐❧② ♦❜t❛✐♥❡❞✱ ✉s✐♥❣ s♦♠❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❆❇❈ ❢♦r ❛ s✐♥❣❧❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✳

✾ ✴ ✷✷

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SLIDE 10

❊P✲❆❇❈ s✐t❡ ✉♣❞❛t❡

■♥♣✉ts✿ ǫ✱ ② ⋆✱ ✐✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♣❛r❛♠❡t❡rs µ−✐✱ Σ−✐ ♦❢ t❤❡

  • ❛✉ss✐❛♥ ♣s❡✉❞♦✲♣r✐♦r q−✐✳

✶ ❉r❛✇ ▼ ✈❛r✐❛t❡s θ[♠] ❢r♦♠ ❛ ◆(µ−✐, Σ−✐) ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ✷ ❋♦r ❡❛❝❤ θ[♠]✱ ❞r❛✇ ②[♠] ✐

∼ ♣(②✐|②⋆

✶:✐−✶, θ[♠])✳ ✸ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ♠♦♠❡♥ts

▼❛❝❝ =

  • ♠=✶

1

②[♠]

−②⋆

✐ ≤ε

,

  • µ❤ =

♠=✶ θ[♠]1 ②[♠]

−②⋆

✐ ≤ε

  • ▼❛❝❝

✭✻✮

  • Σ❤ =

♠=✶ θ[♠]

θ[♠]t 1

②[♠]

−②⋆

✐ ≤ε

  • ▼❛❝❝

− µ(❤✐) µ(❤✐)t. ✭✼✮ ❘❡t✉r♥ ❩(❤✐) = ▼❛❝❝/▼✱ µ(❤✐) ❛♥❞ Σ(❤✐)✳

✶✵ ✴ ✷✷

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SLIDE 11

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st❛❜✐❧✐t②

❲❡ ❛r❡ t✉r♥✐♥❣ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝✱ ✜①❡❞✲♣♦✐♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ✐♥t♦ ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❤❡♥❝❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ st❛❜✐❧✐t② ♠❛② ❜❡ ❛♥ ✐ss✉❡✳ ❙♦❧✉t✐♦♥s✿

  • ❲❡ ❛❞❥✉st ❞②♥❛♠✐❝❛❧❧② ▼ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♣♦✐♥ts ❛t ❛

❣✐✈❡♥ s✐t❡✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛❝❝❡♣t❡❞ ♣♦✐♥ts ❡①❝❡❡❞s s♦♠❡ t❤r❡s❤♦❧❞✳

  • ❲❡ ✉s❡ ◗✉❛s✐✲▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ✐♥ t❤❡ θ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳
  • ❙❧♦✇ ❊P ✉♣❞❛t❡s ♠❛② ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞✳

✶✶ ✴ ✷✷

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SLIDE 12

❆❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ■■❉ ❝❛s❡

■♥ t❤❡ ■■❉ ❝❛s❡✱ ♣(②✐|②✶:✐−✶, θ) = ♣(②✐|θ)✱ ❛♥❞ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st❡♣ ②[♠]

∼ ♣(②✐|θ[♠]) ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ s✐t❡s✱ s♦ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ r❡❝②❝❧❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ ✉s✐♥❣ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ s❛♠♣❧✐♥❣✳

✶✷ ✴ ✷✷

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SLIDE 13

❋✐rst ❡①❛♠♣❧❡✿ ❛❧♣❤❛✲st❛❜❧❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

❆♥ ■■❉ ✉♥✐✈❛r✐❛t❡ ♠♦❞❡❧ t❛❦❡♥ ❢r♦♠ P❡t❡rs ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮✳ ❚❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛❧♣❤❛✲st❛❜❧❡✱ ✇✐t❤ ❝♦♠♠♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ Φ❳(t) =

  • ❡①♣
  • ✐δt − γα |t|α

✶ + ✐β t❛♥ πα

✷ s❣♥(t)(|γt| − ✶)

  • α = ✶

❡①♣

  • ✐δt − γ |t|
  • ✶ + ✐β ✷

πs❣♥(t) ❧♦❣ |γt|

  • α = ✶

❉❡♥s✐t② ✐s ♥♦t ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ ❝❧♦s❡✲❢♦r♠✳ ❉❛t❛✿ ♥ = ✶✷✵✵ ❆❯❉✴●❇P ❧♦❣✲r❡t✉r♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ ❞❛✐❧② ❡①❝❤❛♥❣❡ r❛t❡s✳

✶✸ ✴ ✷✷

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SLIDE 14

❘❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❛❧♣❤❛✲st❛❜❧❡ ❡①❛♠♣❧❡

α

Density 1.50 1.60 1.70 2 4 6 8

β

Density −0.2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1 2 3 4

γ

Density 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 10 20 30 40

δ

Density −0.10 −0.05 0.00 0.05 5 10 15 20

▼❛r❣✐♥❛❧ ♣♦st❡r✐♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦❢ α✱ β, γ ❛♥❞ δ ❢♦r ❛❧♣❤❛✲st❛❜❧❡ ♠♦❞❡❧✿ ▼❈▼❈ ♦✉t♣✉t ❢r♦♠ t❤❡ ❡①❛❝t ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭❤✐st♦❣r❛♠s✱ ✻✵❤✮✱ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ♣♦st❡r✐♦rs ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❊P✲❆❇❈ ✭✹✵♠✐♥✱ s♦❧✐❞ ❧✐♥❡✮✱ ❦❡r♥❡❧ ❞❡♥s✐t② ❡st✐♠❛t❡s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ ▼❈▼❈✲❆❇❈ s❛♠♣❧❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ s✉♠♠❛r② st❛t✐st✐❝ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② P❡t❡rs ❡t ❛❧ ✭✺✵ t✐♠❡s ♠♦r❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ ❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡✮✳

✶✹ ✴ ✷✷

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SLIDE 15

❙❡❝♦♥❞ ❡①❛♠♣❧❡✿ ▲♦❦t❛✲❱♦❧t❡rr❛ ♣r♦❝❡ss❡s

❚❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ▲♦t❦❛✲❱♦❧t❡rr❛ ♣r♦❝❡ss ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ s♣❡❝✐❡s ❨✶ ✭♣r❡②✮ ❛♥❞ ❨✷ ✭♣r❡❞❛t♦r✮✿ ❨✶

r✶

→ ✷❨✶ ❨✶ + ❨✷

r✷

→ ✷❨✷ ❨✷

r✸

→ ∅ ❲❡ t❛❦❡ θ = (❧♦❣ r✶, ❧♦❣ r✷, ❧♦❣ r✸)✱ ❛♥❞ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ❛t ❞✐s❝r❡t❡ t✐♠❡s✳ ▼♦❞❡❧ ✐s ▼❛r❦♦✈✱ ♣(②⋆

✐ |②⋆ ✶:✐−✶, θ) = ♣(②⋆ ✐ |②⋆ ✐−✶, θ)✳

✶✺ ✴ ✷✷

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SLIDE 16

❙✐♠✉❧❛t❡❞ ❞❛t❛

Time Population

20 40 60 80 100

  • Preys

Predators

10 20 30 40 50

✶✻ ✴ ✷✷

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SLIDE 17

❘❡s✉❧ts

value prob

5 10 15 5 10 15 r epsilon=3, r1 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 epsilon=1, r1 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 100 200 300 400 500 600 100 200 300 400 500 600 700 epsilon=3, r2 0.008 0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 epsilon=1, r2 0.008 0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 5 10 15 20 5 10 15 20 epsilon=3, r3 0.25 0.30 0.35 epsilon=1, r3 0.25 0.30 0.35

P▼❈▼❈ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❆❇❈ t❛r❣❡t ✭❤✐st♦❣r❛♠s✮ ❢♦r ǫ = ✸ ✭t♦♣✮✱ ❊P✲❆❇❈ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✱ ❢♦r ǫ = ✸ ✭t♦♣✮ ❛♥❞ ǫ = ✶ ✭❜♦tt♦♠✮✳

✶✼ ✴ ✷✷

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SLIDE 18

❚❤✐r❞ ❡①❛♠♣❧❡✿ r❡❛❝t✐♦♥ t✐♠❡s

❙✉❜❥❡❝t ♠✉st ❝❤♦♦s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✳ ❊✈✐❞❡♥❝❡ ❡❥(t) ✐♥ ❢❛✈♦✉r ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ ❥ ❢♦❧❧♦✇s ❛ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞r✐❢t✿ τ❞❡❥(t) = ♠❥❞t + ❞❲ ❥

t .

❉❡❝✐s✐♦♥ ✐s t❛❦❡♥ ✇❤❡♥ ♦♥❡ ❡✈✐❞❡♥❝❡ ✏✇✐♥s t❤❡ r❛❝❡✑❀ s❡❡ ♣❧♦t✳

50 100 150 time (ms) Threshold for "Signal Absent" Threshold for "Signal Present" Evidence for "Signal Absent" Evidence for "Signal Present"

✶✽ ✴ ✷✷

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SLIDE 19

❉❛t❛

✶✽✻✵ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s✱ ❢r♦♠ ❛ s✐♥❣❧❡ ❤✉♠❛♥ ❜❡✐♥❣✱ ✇❤♦ ♠✉st ❝❤♦♦s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✏s✐❣♥❛❧ ❛❜s❡♥t✑✱ ❛♥❞ ✏s✐❣♥❛❧ ♣r❡s❡♥t✑✳

Relative target contrast Reaction time (ms)

200 300 400 500 600 700 200 300 400 500 600 700 Position A 0.05 0.10 0.15 0.20 Position B 0.05 0.10 0.15 0.20 Position C 0.05 0.10 0.15 0.20 "Signal absent" response "Signal present" response

✶✾ ✴ ✷✷

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SLIDE 20

❘❡s✉❧ts

Individual datapoint Predictive density Real data 90% quantile Mean 10% quantile

✷✵ ✴ ✷✷

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SLIDE 21

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

  • ❊P✲❆❇❈ ❢❡❛t✉r❡s t✇♦ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✿ ❊P✱ ❛♥❞ ❆❇❈

✭ε✱ ♥♦ s✉♠♠❛r② st❛t✳✮✳

  • st❛♥❞❛r❞ ❆❇❈ ❛❧s♦ ❤❛s t✇♦ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✿ ❆❇❈ ✭ε✮✱

♣❧✉s s✉♠♠❛r② st❛ts✳

  • ❊P✲❆❇❈ ✐s ❢❛st ✭♠✐♥✉t❡s✮✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐♥t❡❣r❛t❡s ♦♥❡ ❞❛t❛♣♦✐♥t

❛t ❛ t✐♠❡ ✭♥♦t ❛❧❧ ♦❢ t❤❡♠ t♦❣❡t❤❡r✮✳

  • ❊P✲❆❇❈ ❛❧s♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡s t❤❡ ❡✈✐❞❡♥❝❡✳
  • ❝✉rr❡♥t s❝♦♣❡ ♦❢ ❊P✲❆❇❈ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧s s✉❝❤ t❤❛t ♦♥❡

♠❛② s❛♠♣❧❡ ❢r♦♠ ♣(②✐|②⋆

✶:✐−✶)✳

  • ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❊P✲❆❇❈ ✐s ❛♥ ♦♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠✳

✷✶ ✴ ✷✷

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SLIDE 22

◗✉♦t❡✱ r❡❢❡r❡♥❝❡s

✏■t s❡❡♠s q✉✐t❡ ❛❜s✉r❞ t♦ r❡❥❡❝t ❛♥ ❊P✲❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✐❢ t❤❡ ♦♥❧② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐s ❛♥ ❆❇❈ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❛s❡❞ ♦♥ s✉♠♠❛r② st❛t✐st✐❝s✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ ❜✐❛s ✇❤✐❝❤ s❡❡♠s ❜♦t❤ ❧❛r❣❡r ✭❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♦✉r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡s✮ ❛♥❞ ♠♦r❡ ❛r❜✐tr❛r②✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ✐♥ r❡❛❧✲✇♦r❧❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦♥❡ ❤❛s ❧✐tt❧❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❡✈❡♥ ❧❡ss ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❣✉✐❞❛♥❝❡ ♦♥ t♦ ✇❤② ♣(θ|s(②)) s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❝❧♦s❡ t♦ ♣(θ|②) ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ s❡t ♦❢ s✉♠♠❛r② st❛t✐st✐❝s✳✑

  • ❇❛rt❤❡❧♠é✱ ❙✳ ❛♥❞ ❈❤♦♣✐♥✱ ◆✳ ✭✷✵✶✶✮✳ ❆❇❈✲❊P✿ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥

Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ ❢♦r ▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞✲❢r❡❡ ❇❛②❡s✐❛♥ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥✱ ■❈▼▲ ✷✵✶✶ ✭Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ✷✽t❤ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣✮✱ ▲✳ ●❡t♦♦r ❛♥❞ ❚✳ ❙❝❤❡✛❡r ✭❡❞s✮✱ ✷✽✾✲✷✾✻✳

  • ❇❛rt❤❡❧♠é✱ ❙✳ ✫ ❈❤♦♣✐♥✱ ◆✳ ✭✷✵✶✶✮✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥✲Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥

❢♦r ❙✉♠♠❛r②✲▲❡ss✱ ▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞✲❋r❡❡ ■♥❢❡r❡♥❝❡✱ ❛r①✐✈✿✶✶✵✼✳✺✾✺✾✳

✷✷ ✴ ✷✷