t t P t - - PowerPoint PPT Presentation

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❆✐✐ tr (❆❇❈) = tr (❈❆❇) ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ✉♥✐t❛r② ❜❛s✐s ❝❤❛♥❣❡✳✳✳ ❇❛s✐s ❝❤❛♥❣❡ ✇✐t❤ ❯❆❯† = ❆′ ❙♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❆ =

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λ✐ |✐ ✐| ✐❢ ❆ ✐s ♥♦r♠❛❧ ✭❆❆∗ = ❆∗❆✮✳ ❆❧❧ ✐♠♣♦rt❛♥t q♠ ♦♣❡r❛t♦rs ❛r❡ ♥♦r♠❛❧ ✭❤❡r♠✐t✐❛♥✱ ✉♥✐t❛r② ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✮

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▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❢♦r ❖♣❡r❛t♦rs

❍♦✇ s✐♠✐❧❛r ❛r❡ t✇♦ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s❄❄ → ✇❡ ♥❡❡❞ ❜❡tt❡r ❝r✐t❡r✐❛ ❛s ✐❞❡♥t✐t② t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❣❡t ❧✐♠❡s ♠❛♥② ♣♦ss✐❜✐❧✐t②✬s t♦ ❞❡✜♥❡s s♦♠❡t❤✐♥❣ ❧✐❦❡ t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❋✐❞❡❧✐t②✮ st❛t✐❝ ❋✐❞❡❧✐t②✿ ❋ (ρ, σ) = tr

• ρ

✶ ✷ σρ ✶ ✷

❞②♥❛♠✐❝ ❋✐❞❡❧✐t② ✭ρ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ε (ρ)✮✿ ▲❡t ε ❜❡ ❛ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❑r❛✉s✲❖♣❡r❛t♦rs ❊✐ ❋ (ρ, ǫ) =

• ✐

|tr (❊✐ρ)|✷ ❋ (ρ, ✐❞) = ✶

✽ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ◆♦t❛t✐♦♥ ✫ ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛

▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❢♦r ❖♣❡r❛t♦rs

❍♦✇ s✐♠✐❧❛r ❛r❡ t✇♦ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡s❄❄ → ✇❡ ♥❡❡❞ ❜❡tt❡r ❝r✐t❡r✐❛ ❛s ✐❞❡♥t✐t② t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❣❡t ❧✐♠❡s ♠❛♥② ♣♦ss✐❜✐❧✐t②✬s t♦ ❞❡✜♥❡s s♦♠❡t❤✐♥❣ ❧✐❦❡ t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❋✐❞❡❧✐t②✮ st❛t✐❝ ❋✐❞❡❧✐t②✿ ❋ (ρ, σ) = tr

• ρ

✶ ✷ σρ ✶ ✷

❞②♥❛♠✐❝ ❋✐❞❡❧✐t② ✭ρ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ε (ρ)✮✿ ▲❡t ε ❜❡ ❛ tr❛❝❡ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❑r❛✉s✲❖♣❡r❛t♦rs ❊✐ ❋ (ρ, ǫ) =

• ✐

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♣ (♠) = ψ| ❊♠ |ψ = tr (❊♠ρ)

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♣ (♠) = ψ| ❊♠ |ψ = tr (❊♠ρ)

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✶✹ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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Pr♦♦❢✳ ✳✳✳ ♣❛rt ✷✿ ❈♦♣② ❛ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❜♦t❤ ❯ (α |ψ❆ + β |φ❆) |❳❇ = ❯α |ψ❆ |❳❇ + ❯β |φ❆ |❳❇ = α |ψ❆ |ψ❇ + β |φ❆ |φ❇ ❚❤✐s ✐s ♦❜✈✐♦✉s❧② ♥♦t ❛ ❝♦♣② ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t❡✳ ■❢ ❯ ✐s r❡❛❧❧② ❛ ❝♦♣② ♦♣❡r❛t♦r✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ r❡❝❡✐✈❡ (α |ψ❆ + β |φ❆) (α |ψ❇ + β |φ❇)✳

✶✹ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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✐ ❑✐❑ † ✐ = ■

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❙ = ε (ρ❙)

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❑✐ρ❙❑ †

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❙ = ε (ρ❙)

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• ✐

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• ①

♣① ❧♦❣ ♣① ❱♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❊♥tr♦♣② ❙ (ρ) ≡ −tr (ρ ❧♦❣ ρ) ❝♦rr♦❧❧❛②r ✭❙❤❛♥♥♦♥ ❊♥tr♦♣② ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✮ ✇✐t❤ ρ =

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① ♣① |① ①| ❛♥❞ ①|② = δ①②

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✷✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ▼✉t✉❛❧ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥

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❍♦❧❡✈♦ ❇♦✉♥❞ ❙✉♣♣♦s❡ ❆❧✐❝❡ ♣r❡♣❛r❡s ❛ st❛t❡ ρ❳ ✇❤❡r❡ ❳ = ✵, . . . , ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✬s ♣✵, . . . , ♣♥✳ ❇♦❜ ♣❡r❢♦r♠s ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② P❖❱▼ ❡❧❡♠❡♥ts {❊②} = {❊✵, . . . , ❊♠} ♦♥ t❤❛t st❛t❡✱ ✇✐t❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ❨ ✳ ❚❤❡ ❍♦❧❡✈♦ ❜♦✉♥❞ st❛t❡s t❤❛t ❢♦r ❛♥② s✉❝❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❇♦❜ ♠❛② ❞♦✿ ❍ (❳ : ❨ ) ≤ ❙ (ρ) −

• ①

♣①❙ (ρ①) , ✇❤❡r❡ ρ =

① ♣①ρ①✳

■❢ ❛❧❧ ρ① ❛r❡ ✐♥ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ❜✉t ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ❍ (❳ : ❨ ) ✐s ♠❛①✐♠❛❧✳

✷✶ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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■♥ ❜✐♥❛r② ❝❛s❡✿ ♣ (①✶, . . . , ①♥) = ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) ≈ ♣♥♣ (✶ − ♣)♥(✶−♣) ❧♦❣ ♣ (①✶, . . . , ①♥) ≈ ♥♣ ❧♦❣ ♣ + (✶ − ♣) ♥ ❧♦❣ (✶ − ♣) = −♥❍ (❳) ♣ (①✶, . . . , ①♥) ≈ ✷−♥❍(❳) ❙♦ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ❛♣♣r♦①✳ ✷♥❍(❳) s❡q✉❡♥❝❡s t❤❛t ❛♣♣❡❛rs ♦❢t❡♥✳ ⇒ ♦♥❡ ❜② ❢❛❝t♦r ❍ (❳) s❤♦rt❡r s❡q✉❡♥❝❡ ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦❞❡ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s❡q✉❡♥❝❡s✳ ❈♦❞✐♥❣ ✇❤✐❝❤ ✉s❡s t❤✐s✿ ❍✉✛♠❛♥♥✲❈♦❞✐♥❣❬✷❪

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■♥ ❜✐♥❛r② ❝❛s❡✿ ♣ (①✶, . . . , ①♥) = ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) ≈ ♣♥♣ (✶ − ♣)♥(✶−♣) ❧♦❣ ♣ (①✶, . . . , ①♥) ≈ ♥♣ ❧♦❣ ♣ + (✶ − ♣) ♥ ❧♦❣ (✶ − ♣) = −♥❍ (❳) ♣ (①✶, . . . , ①♥) ≈ ✷−♥❍(❳) ❙♦ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ❛♣♣r♦①✳ ✷♥❍(❳) s❡q✉❡♥❝❡s t❤❛t ❛♣♣❡❛rs ♦❢t❡♥✳ ⇒ ♦♥❡ ❜② ❢❛❝t♦r ❍ (❳) s❤♦rt❡r s❡q✉❡♥❝❡ ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦❞❡ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s❡q✉❡♥❝❡s✳ ❈♦❞✐♥❣ ✇❤✐❝❤ ✉s❡s t❤✐s✿ ❍✉✛♠❛♥♥✲❈♦❞✐♥❣❬✷❪

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ρ ρ′ ρ′′ Cn Dn n log d

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• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡

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• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡

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• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡

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❚❤❡ ▲❛✇ ♦❢ ▲❛r❣❡ ◆✉♠❜❡rs

t❤❡♦r❡♠ ✭❚❤❡ ▲❛✇ ♦❢ ▲❛r❣❡ ◆✉♠❜❡rs✮ ❙✉♣♣♦s❡ ❳✶, ❳✷, . . . ✐✳✐✳❞✳ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛♥② ǫ > ✵ ❧✐♠

♥→∞ ♣

• ✶

♥

♥

• ✐=✶

❳✐ − ❊ (❳)

• ≤ ǫ
• = ✶

✷✻ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

ǫ✲t②♣✐❝❛❧

❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭ǫ✲t②♣✐❝❛❧✮ ▲❡t ρ =

① ♣ (①) |① ①| ❜❡ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❆ s❡q✉❡♥❝❡

①✶, . . . , ①♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ǫ✲t②♣✐❝❛❧✱ ✐✛

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ.

❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧② ✐s t❤❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ st❛t❡ |①✶ |①✷ · · · |①♥ ❝❛❧❧❡❞ ǫ✲t②♣✐❝❛❧✳ ❚❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❛❧❧ ǫ✲t②♣✐❝❛❧ st❛t❡s ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❚ (♥, ǫ)✳ ❚❤❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t♦r ♦♥ t❤✐s s✉❜s♣❛❝❡ ✐s P (♥, ǫ) =

• ① ǫ✲t②♣✐❝❛❧

|①✶ ①✶| ⊗ · · · ⊗ |①♥ ①♥|

✷✼ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

t❤❡♦r❡♠ ✭❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s✮

✶ ❈♦♥s✐❞❡r ǫ > ✵✳ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥✿

tr

• P (♥, ǫ) ρ⊗♥

≥ ✶ − δ

✷ ❋♦r ❡✈❡r② ǫ > ✵ ❛♥❞ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

|❚ (♥, ǫ)| = tr (P (♥, ǫ)) ♦❢ ❚ (♥, ǫ) ❢✉❧✜❧❧ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ)

✸ ▲❡t ❙ (♥) ❜❡ ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✇✐t❤

❞✐♠❡♥s✐♦♥ s♠❛❧❧❡r t❤❡♥ ✷♥❘✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❘ < ❙ (ρ)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

≤ δ

✷✽ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

t❤❡♦r❡♠ ✭❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s✮

✶ ❈♦♥s✐❞❡r ǫ > ✵✳ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥✿

tr

• P (♥, ǫ) ρ⊗♥

≥ ✶ − δ

✷ ❋♦r ❡✈❡r② ǫ > ✵ ❛♥❞ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

|❚ (♥, ǫ)| = tr (P (♥, ǫ)) ♦❢ ❚ (♥, ǫ) ❢✉❧✜❧❧ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ)

✸ ▲❡t ❙ (♥) ❜❡ ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✇✐t❤

❞✐♠❡♥s✐♦♥ s♠❛❧❧❡r t❤❡♥ ✷♥❘✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❘ < ❙ (ρ)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

≤ δ

✷✽ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

t❤❡♦r❡♠ ✭❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s✮

✶ ❈♦♥s✐❞❡r ǫ > ✵✳ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥✿

tr

• P (♥, ǫ) ρ⊗♥

≥ ✶ − δ

✷ ❋♦r ❡✈❡r② ǫ > ✵ ❛♥❞ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

|❚ (♥, ǫ)| = tr (P (♥, ǫ)) ♦❢ ❚ (♥, ǫ) ❢✉❧✜❧❧ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ)

✸ ▲❡t ❙ (♥) ❜❡ ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✇✐t❤

❞✐♠❡♥s✐♦♥ s♠❛❧❧❡r t❤❡♥ ✷♥❘✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❘ < ❙ (ρ)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

≤ δ

✷✽ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

t❤❡♦r❡♠ ✭❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s✮

✶ ❈♦♥s✐❞❡r ǫ > ✵✳ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥✿

tr

• P (♥, ǫ) ρ⊗♥

≥ ✶ − δ

✷ ❋♦r ❡✈❡r② ǫ > ✵ ❛♥❞ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

|❚ (♥, ǫ)| = tr (P (♥, ǫ)) ♦❢ ❚ (♥, ǫ) ❢✉❧✜❧❧ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ)

✸ ▲❡t ❙ (♥) ❜❡ ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✇✐t❤

❞✐♠❡♥s✐♦♥ s♠❛❧❧❡r t❤❡♥ ✷♥❘✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❘ < ❙ (ρ)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

≤ δ

✷✽ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) ≥ ✶ − δ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) =

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) =♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t

❛ ❣✐✈❡♥ s❡q✉❡♥❝❡ ① ✐s ǫ✲t②♣✐❝❛❧ ❈♦rr❡s♣♦♥❞s t♦✿ ♣

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ
• ≥ ✶ − δ

▲❡t ❳ ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ①✐✳ ♣

• ♥
• ✐=✶

− ❧♦❣ ♣ (①✐) ♥ − ❊ (− ❧♦❣ ❳)

• ≤ ǫ
• ≥ ✶ − δ

▲❛✇ ♦❢ t❤❡ ❜✐❣ ♥✉♠❜❡rs

✷✾ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) ≥ ✶ − δ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) =

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) =♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t

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• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ
• ≥ ✶ − δ

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❚♦ s❤♦✇✿ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) ≥ ✶ − δ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) =

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) =♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t

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• − ❙ (ρ)
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• ≥ ✶ − δ

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❚♦ s❤♦✇✿ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) ≥ ✶ − δ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) =

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) =♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t

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• ✶

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♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ
• ≥ ✶ − δ

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• ≥ ✶ − δ

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❚♦ s❤♦✇✿ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) ≥ ✶ − δ tr (P (♥, ǫ) ρ⊗♥) =

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥) =♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t

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• ✶

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♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ
• ≥ ✶ − δ

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• ≤ ǫ
• ≥ ✶ − δ

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❚♦ s❤♦✇✿ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❛ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ

❙ (ρ) − ǫ ≤ ✶ ♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①)

• ≤ ❙ (ρ) + ǫ

−♥ (❙ (ρ) − ǫ) ≥ ❧♦❣ (♣ (①)) ≥ −♥ (❙ (ρ) + ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) ≥ ♣ (①) ≥ ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ ≥

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≥ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) = |❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

|❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ − δ ≤

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≤ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) =

|❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) |❚ (♥, ǫ)| ≥ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ)

✸✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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❚♦ s❤♦✇✿ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❛ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ

❙ (ρ) − ǫ ≤ ✶ ♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①)

• ≤ ❙ (ρ) + ǫ

−♥ (❙ (ρ) − ǫ) ≥ ❧♦❣ (♣ (①)) ≥ −♥ (❙ (ρ) + ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) ≥ ♣ (①) ≥ ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ ≥

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≥ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) = |❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

|❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ − δ ≤

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≤ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) =

|❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) |❚ (♥, ǫ)| ≥ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ)

✸✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✷

❚♦ s❤♦✇✿ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❛ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ

❙ (ρ) − ǫ ≤ ✶ ♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①)

• ≤ ❙ (ρ) + ǫ

−♥ (❙ (ρ) − ǫ) ≥ ❧♦❣ (♣ (①)) ≥ −♥ (❙ (ρ) + ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) ≥ ♣ (①) ≥ ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ ≥

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≥ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) = |❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

|❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ − δ ≤

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≤ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) =

|❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) |❚ (♥, ǫ)| ≥ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ)

✸✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✷

❚♦ s❤♦✇✿ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❛ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ

❙ (ρ) − ǫ ≤ ✶ ♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①)

• ≤ ❙ (ρ) + ǫ

−♥ (❙ (ρ) − ǫ) ≥ ❧♦❣ (♣ (①)) ≥ −♥ (❙ (ρ) + ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) ≥ ♣ (①) ≥ ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ ≥

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≥ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) = |❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

|❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ − δ ≤

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≤ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) =

|❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) |❚ (♥, ǫ)| ≥ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ)

✸✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✷

❚♦ s❤♦✇✿ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❛ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ

❙ (ρ) − ǫ ≤ ✶ ♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①)

• ≤ ❙ (ρ) + ǫ

−♥ (❙ (ρ) − ǫ) ≥ ❧♦❣ (♣ (①)) ≥ −♥ (❙ (ρ) + ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) ≥ ♣ (①) ≥ ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ ≥

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≥ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) = |❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

|❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ − δ ≤

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≤ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) =

|❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) |❚ (♥, ǫ)| ≥ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ)

✸✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✷

❚♦ s❤♦✇✿ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ) ≤ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❛ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

• ✶

♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①✶) ♣ (①✷) · · · ♣ (①♥)

• − ❙ (ρ)
• ≤ ǫ

❙ (ρ) − ǫ ≤ ✶ ♥ ❧♦❣

• ✶

♣ (①)

• ≤ ❙ (ρ) + ǫ

−♥ (❙ (ρ) − ǫ) ≥ ❧♦❣ (♣ (①)) ≥ −♥ (❙ (ρ) + ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) ≥ ♣ (①) ≥ ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ ≥

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≥ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)+ǫ) = |❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

|❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥(❙(ρ)+ǫ) ✶ − δ ≤

①∈❚(♥,ǫ) ♣ (①) ≤ ①∈❚(♥,ǫ) ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) =

|❚ (♥, ǫ)| ✷−♥(❙(ρ)−ǫ) |❚ (♥, ǫ)| ≥ (✶ − δ) ✷♥(❙(ρ)−ǫ)

✸✵ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✸

❚♦ s❤♦✇✿ |❙ (♥)| < ✷♥❘ < ✷♥❙(ρ) ⇒ tr (❙ (♥) ρ⊗♥) ≤ δ ❙♣❧✐t t❤❡ tr❛❝❡ ✐♥t♦ ♦♥❡ ♣❛rt ✐♥ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ ❛♥ t❤❡ r❡st tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

= tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• + tr
• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r P (♥, ǫ) ❝♦♠♠✉t❛t❡ ✇✐t❤ ρ⊗♥

ρ⊗♥P (♥, ǫ) = ρ⊗♥P (♥, ǫ) P (♥, ǫ) = P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ) ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ tr

• ❙ (♥) P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≤ ✷♥❘✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

= ✷−♥(❙(ρ)−❘+ǫ) → ✵ ❙ (♥) ≤ ■✳ ❙ (♥) ❛♥❞ ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ)) ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs s♦✿ ✵ ≤ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ≤ tr
• ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• → ✵
• ✸✶ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✸

❚♦ s❤♦✇✿ |❙ (♥)| < ✷♥❘ < ✷♥❙(ρ) ⇒ tr (❙ (♥) ρ⊗♥) ≤ δ ❙♣❧✐t t❤❡ tr❛❝❡ ✐♥t♦ ♦♥❡ ♣❛rt ✐♥ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ ❛♥ t❤❡ r❡st tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

= tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• + tr
• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r P (♥, ǫ) ❝♦♠♠✉t❛t❡ ✇✐t❤ ρ⊗♥

ρ⊗♥P (♥, ǫ) = ρ⊗♥P (♥, ǫ) P (♥, ǫ) = P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ) ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ tr

• ❙ (♥) P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≤ ✷♥❘✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

= ✷−♥(❙(ρ)−❘+ǫ) → ✵ ❙ (♥) ≤ ■✳ ❙ (♥) ❛♥❞ ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ)) ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs s♦✿ ✵ ≤ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ≤ tr
• ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• → ✵
• ✸✶ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✸

❚♦ s❤♦✇✿ |❙ (♥)| < ✷♥❘ < ✷♥❙(ρ) ⇒ tr (❙ (♥) ρ⊗♥) ≤ δ ❙♣❧✐t t❤❡ tr❛❝❡ ✐♥t♦ ♦♥❡ ♣❛rt ✐♥ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ ❛♥ t❤❡ r❡st tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

= tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• + tr
• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r P (♥, ǫ) ❝♦♠♠✉t❛t❡ ✇✐t❤ ρ⊗♥

ρ⊗♥P (♥, ǫ) = ρ⊗♥P (♥, ǫ) P (♥, ǫ) = P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ) ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ tr

• ❙ (♥) P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≤ ✷♥❘✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

= ✷−♥(❙(ρ)−❘+ǫ) → ✵ ❙ (♥) ≤ ■✳ ❙ (♥) ❛♥❞ ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ)) ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs s♦✿ ✵ ≤ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ≤ tr
• ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• → ✵
• ✸✶ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✸

❚♦ s❤♦✇✿ |❙ (♥)| < ✷♥❘ < ✷♥❙(ρ) ⇒ tr (❙ (♥) ρ⊗♥) ≤ δ ❙♣❧✐t t❤❡ tr❛❝❡ ✐♥t♦ ♦♥❡ ♣❛rt ✐♥ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ ❛♥ t❤❡ r❡st tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

= tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• + tr
• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r P (♥, ǫ) ❝♦♠♠✉t❛t❡ ✇✐t❤ ρ⊗♥

ρ⊗♥P (♥, ǫ) = ρ⊗♥P (♥, ǫ) P (♥, ǫ) = P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ) ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ tr

• ❙ (♥) P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≤ ✷♥❘✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

= ✷−♥(❙(ρ)−❘+ǫ) → ✵ ❙ (♥) ≤ ■✳ ❙ (♥) ❛♥❞ ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ)) ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs s♦✿ ✵ ≤ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ≤ tr
• ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• → ✵
• ✸✶ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t ❚②♣✐❝❛❧ ❙✉❜s♣❛❝❡s ✲ P❛rt ✸

❚♦ s❤♦✇✿ |❙ (♥)| < ✷♥❘ < ✷♥❙(ρ) ⇒ tr (❙ (♥) ρ⊗♥) ≤ δ ❙♣❧✐t t❤❡ tr❛❝❡ ✐♥t♦ ♦♥❡ ♣❛rt ✐♥ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ ❛♥ t❤❡ r❡st tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥

= tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• + tr
• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r P (♥, ǫ) ❝♦♠♠✉t❛t❡ ✇✐t❤ ρ⊗♥

ρ⊗♥P (♥, ǫ) = ρ⊗♥P (♥, ǫ) P (♥, ǫ) = P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ) ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ tr

• ❙ (♥) P (♥, ǫ) ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≤ ✷♥❘✷−♥(❙(ρ)+ǫ)

= ✷−♥(❙(ρ)−❘+ǫ) → ✵ ❙ (♥) ≤ ■✳ ❙ (♥) ❛♥❞ ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ)) ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs s♦✿ ✵ ≤ tr

• ❙ (♥) ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• ≤ tr
• ρ⊗♥ (■ − P (♥, ǫ))
• → ✵
• ✸✶ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r

t❤❡♦r❡♠ ✭❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s q✉❛♥t✉♠ ♥♦✐s❡❧❡ss ❝❤❛♥♥❡❧ ❝♦❞✐♥❣✮ ▲❡t {❍, ρ} ❜❡ ❛♥ ✐✳✐✳❞✳ q✉❛♥t✉♠ s♦✉r❝❡✳ ■❢ ❘ > ❙ (ρ) t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r❡❧✐❛❜❧❡ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ♦❢ r❛t❡ ❘ ❢♦r t❤❡ s♦✉r❝❡✳ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❛♥② ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ♦r r❛t❡ ❘ ✐s ♥♦t r❡❧✐❛❜❧❡✳ ❘❡❧✐❛❜❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❋ (ρ, ·) → ✶ ✇✐t❤ ♥ → ∞

✸✷ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r

t❤❡♦r❡♠ ✭❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s q✉❛♥t✉♠ ♥♦✐s❡❧❡ss ❝❤❛♥♥❡❧ ❝♦❞✐♥❣✮ ▲❡t {❍, ρ} ❜❡ ❛♥ ✐✳✐✳❞✳ q✉❛♥t✉♠ s♦✉r❝❡✳ ■❢ ❘ > ❙ (ρ) t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r❡❧✐❛❜❧❡ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ♦❢ r❛t❡ ❘ ❢♦r t❤❡ s♦✉r❝❡✳ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❛♥② ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ♦r r❛t❡ ❘ ✐s ♥♦t r❡❧✐❛❜❧❡✳ ❘❡❧✐❛❜❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❋ (ρ, ·) → ✶ ✇✐t❤ ♥ → ∞

✸✷ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ > ❙ (ρ)✱ t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✶ ❈❤♦s❡ ǫ > ✵ t❤❛t ❙ (ρ) + ǫ ≤ ❘✳ ❲✐t❤ t❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡✬s✿ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≥

✶ − δ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥❘ ▲❡t ❍♥

❝ ❜❡ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤✐❧❜❡rts♣❛❝❡ ✇❤♦ ❝♦♥t❛✐♥s ❚ (♥, ǫ)

✸✸ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ > ❙ (ρ)✱ t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✶ ❈❤♦s❡ ǫ > ✵ t❤❛t ❙ (ρ) + ǫ ≤ ❘✳ ❲✐t❤ t❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡✬s✿ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≥

✶ − δ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥❘ ▲❡t ❍♥

❝ ❜❡ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤✐❧❜❡rts♣❛❝❡ ✇❤♦ ❝♦♥t❛✐♥s ❚ (♥, ǫ)

✸✸ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ > ❙ (ρ)✱ t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✶ ❈❤♦s❡ ǫ > ✵ t❤❛t ❙ (ρ) + ǫ ≤ ❘✳ ❲✐t❤ t❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡✬s✿ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≥

✶ − δ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥❘ ▲❡t ❍♥

❝ ❜❡ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤✐❧❜❡rts♣❛❝❡ ✇❤♦ ❝♦♥t❛✐♥s ❚ (♥, ǫ)

✸✸ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ > ❙ (ρ)✱ t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✶ ❈❤♦s❡ ǫ > ✵ t❤❛t ❙ (ρ) + ǫ ≤ ❘✳ ❲✐t❤ t❤❡♦r❡♠ ❛❜♦✉t t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡✬s✿ ❋♦r ❡✈❡r② δ > ✵ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ tr

• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ≥

✶ − δ |❚ (♥, ǫ)| ≤ ✷♥❘ ▲❡t ❍♥

❝ ❜❡ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤✐❧❜❡rts♣❛❝❡ ✇❤♦ ❝♦♥t❛✐♥s ❚ (♥, ǫ)

✸✸ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ✲ P❛rt ✷

❝♦♠♣r❡ss ✇✐t❤ ❆✐ ≡ |✵ ✐|✱ ✇❤❡r❡ |✐ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ t❤❡ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ |✵ ∈ ❍♥

❝ ❛ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦r ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s✉❜s♣❛❝❡✳

C♥ (σ) = P (♥, ǫ) σP (♥, ǫ) +

• ✐

❆✐σ❆†

✐

❞❡❝♦❞✐♥❣ D♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐❞❡♥t✐t② ♦♥ ❍♥

❝

❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• tr
• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ✷ +
• ✐
• tr
• ρ⊗♥❆✐
• ✷

≥

• tr
• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ✷

≥ |✶ − δ|✷ ≥ ✶ − ✷δ

✸✹ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ✲ P❛rt ✷

❝♦♠♣r❡ss ✇✐t❤ ❆✐ ≡ |✵ ✐|✱ ✇❤❡r❡ |✐ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ t❤❡ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ |✵ ∈ ❍♥

❝ ❛ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦r ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣r❡ss❡❞ s✉❜s♣❛❝❡✳

C♥ (σ) = P (♥, ǫ) σP (♥, ǫ) +

• ✐

❆✐σ❆†

✐

❞❡❝♦❞✐♥❣ D♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐❞❡♥t✐t② ♦♥ ❍♥

❝

❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• tr
• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ✷ +
• ✐
• tr
• ρ⊗♥❆✐
• ✷

≥

• tr
• ρ⊗♥P (♥, ǫ)
• ✷

≥ |✶ − δ|✷ ≥ ✶ − ✷δ

✸✹ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✵ ✇✳❧✳♦✳❣✳ C♥ ❢♦r♠ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✭❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t♦r ❙ (♥)✮ ▲❡t ❈❥ ❜❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ C♥ ❛♥❞ ❉❦ ♦❢ D♥✳ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥

✷ ❊✈❡r② ♦♣❡r❛t♦r ❈❥ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❙ (♥)✿ ❈❥ = ❙ (♥) ❈❥ ▲❡t ❙❦ (♥) ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ✇❤❡r❡ ❉❦ ✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ❙ (♥) ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) = ❉❦❙ (♥) ❉❦❈❥ = ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❈❥

✸✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✵ ✇✳❧✳♦✳❣✳ C♥ ❢♦r♠ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✭❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t♦r ❙ (♥)✮ ▲❡t ❈❥ ❜❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ C♥ ❛♥❞ ❉❦ ♦❢ D♥✳ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥

✷ ❊✈❡r② ♦♣❡r❛t♦r ❈❥ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❙ (♥)✿ ❈❥ = ❙ (♥) ❈❥ ▲❡t ❙❦ (♥) ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ✇❤❡r❡ ❉❦ ✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ❙ (♥) ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) = ❉❦❙ (♥) ❉❦❈❥ = ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❈❥

✸✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✵ ✇✳❧✳♦✳❣✳ C♥ ❢♦r♠ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✭❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t♦r ❙ (♥)✮ ▲❡t ❈❥ ❜❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ C♥ ❛♥❞ ❉❦ ♦❢ D♥✳ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥

✷ ❊✈❡r② ♦♣❡r❛t♦r ❈❥ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❙ (♥)✿ ❈❥ = ❙ (♥) ❈❥ ▲❡t ❙❦ (♥) ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ✇❤❡r❡ ❉❦ ✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ❙ (♥) ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) = ❉❦❙ (♥) ❉❦❈❥ = ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❈❥

✸✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✵ ✇✳❧✳♦✳❣✳ C♥ ❢♦r♠ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✭❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t♦r ❙ (♥)✮ ▲❡t ❈❥ ❜❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ C♥ ❛♥❞ ❉❦ ♦❢ D♥✳ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥

✷ ❊✈❡r② ♦♣❡r❛t♦r ❈❥ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❙ (♥)✿ ❈❥ = ❙ (♥) ❈❥ ▲❡t ❙❦ (♥) ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ✇❤❡r❡ ❉❦ ✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ❙ (♥) ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) = ❉❦❙ (♥) ❉❦❈❥ = ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❈❥

✸✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ■❢ ❘ < ❙ (ρ) t❤❡♥ ❋ (ρ, ·) → ✵ ✇✳❧✳♦✳❣✳ C♥ ❢♦r♠ ❛ ✷♥❘✲❞✐♠ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❍⊗♥ ✭❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t♦r ❙ (♥)✮ ▲❡t ❈❥ ❜❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ C♥ ❛♥❞ ❉❦ ♦❢ D♥✳ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥

✷ ❊✈❡r② ♦♣❡r❛t♦r ❈❥ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ❙ (♥)✿ ❈❥ = ❙ (♥) ❈❥ ▲❡t ❙❦ (♥) ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r t♦ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ✇❤❡r❡ ❉❦ ✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ❙ (♥) ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) = ❉❦❙ (♥) ❉❦❈❥ = ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❙ (♥) ❈❥ = ❙❦ (♥) ❉❦❈❥

✸✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✷

❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ♣❛rts t♦❣❡t❤❡r ✭✇✐t❤ ❈❛✉❝❤②✕❙❝❤✇❛r③ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥❙❦ (♥)
• ✷

≤

• ❥❦

tr

• ❉❦❈❥ρ⊗♥❈ †

❥ ❉† ❦

• tr
• ❙❦ (♥) ρ⊗♥❙❦ (♥)
• ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ♦✈❡r t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ tr❛❝❡

♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♦❢ ❈❥, ❉❦ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

≤ δ

• ❥❦

tr

• ❉❦❈❥ρ⊗♥❈ †

❥ ❉† ❦

• =

δ

• ✸✻ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✬s ◗✉❛♥t✉♠ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈❤❛♥♥❡❧ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠

Pr♦♦❢✿ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r ✲ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ P❛rt ✷

❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ♣❛rts t♦❣❡t❤❡r ✭✇✐t❤ ❈❛✉❝❤②✕❙❝❤✇❛r③ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

=

• ❥❦
• tr
• ❉❦❈❥ρ⊗♥❙❦ (♥)
• ✷

≤

• ❥❦

tr

• ❉❦❈❥ρ⊗♥❈ †

❥ ❉† ❦

• tr
• ❙❦ (♥) ρ⊗♥❙❦ (♥)
• ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ♦✈❡r t②♣✐❝❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ tr❛❝❡

♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♦❢ ❈❥, ❉❦ ❋

• ρ⊗♥, D♥ ◦ C♥

≤ δ

• ❥❦

tr

• ❉❦❈❥ρ⊗♥❈ †

❥ ❉† ❦

• =

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• ✸✻ ♦❢ ✺✸

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✸

❊✳❣✳ ♥ = ✸✳ ❙♦rt✐♥❣ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡r❡ ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ❛♥❞ ❛ss✐❣♥ ❛♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❊①♣❡❝t❡❞ ❍❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ✐s (✶ − ♣) ✸ ≈ ✵.✹✹✳ ❇❡❝❛✉s❡ ✸❙ (ρ) = ✸ (−♣ ❧♦❣ ♣ − (✶ − ♣) ❧♦❣ (✶ − ♣)) ≈ ✶.✽ < ✷✱ ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❚❤✐s ❝♦❞❡ ✐s ✏r❡❧❛t✐✈❡✑ r❡❧✐❛❜❧❡✳ ❆t ❧✐♠❡s ♥ → ∞ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵✳ ❚❤✐s ✐s ♥♦t t❤❡ ♣❡r❢❡❝t ❛❧❣♦r✐t❤♠ → q✉❛♥t✉♠ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❝♦❞✐♥❣

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◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✸

❊✳❣✳ ♥ = ✸✳ ❙♦rt✐♥❣ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡r❡ ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ❛♥❞ ❛ss✐❣♥ ❛♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❊①♣❡❝t❡❞ ❍❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ✐s (✶ − ♣) ✸ ≈ ✵.✹✹✳ ❇❡❝❛✉s❡ ✸❙ (ρ) = ✸ (−♣ ❧♦❣ ♣ − (✶ − ♣) ❧♦❣ (✶ − ♣)) ≈ ✶.✽ < ✷✱ ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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✸✾ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✸

❊✳❣✳ ♥ = ✸✳ ❙♦rt✐♥❣ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡r❡ ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ❛♥❞ ❛ss✐❣♥ ❛♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❊①♣❡❝t❡❞ ❍❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ✐s (✶ − ♣) ✸ ≈ ✵.✹✹✳ ❇❡❝❛✉s❡ ✸❙ (ρ) = ✸ (−♣ ❧♦❣ ♣ − (✶ − ♣) ❧♦❣ (✶ − ♣)) ≈ ✶.✽ < ✷✱ ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❚❤✐s ❝♦❞❡ ✐s ✏r❡❧❛t✐✈❡✑ r❡❧✐❛❜❧❡✳ ❆t ❧✐♠❡s ♥ → ∞ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵✳ ❚❤✐s ✐s ♥♦t t❤❡ ♣❡r❢❡❝t ❛❧❣♦r✐t❤♠ → q✉❛♥t✉♠ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❝♦❞✐♥❣

✸✾ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✸

❊✳❣✳ ♥ = ✸✳ ❙♦rt✐♥❣ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡r❡ ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ❛♥❞ ❛ss✐❣♥ ❛♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❊①♣❡❝t❡❞ ❍❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ✐s (✶ − ♣) ✸ ≈ ✵.✹✹✳ ❇❡❝❛✉s❡ ✸❙ (ρ) = ✸ (−♣ ❧♦❣ ♣ − (✶ − ♣) ❧♦❣ (✶ − ♣)) ≈ ✶.✽ < ✷✱ ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❙❝❤✉♠❛❝❤❡r✲❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✸

❊✳❣✳ ♥ = ✸✳ ❙♦rt✐♥❣ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡r❡ ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ❛♥❞ ❛ss✐❣♥ ❛♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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❊①♣❡❝t❡❞ ❍❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ✐s (✶ − ♣) ✸ ≈ ✵.✹✹✳ ❇❡❝❛✉s❡ ✸❙ (ρ) = ✸ (−♣ ❧♦❣ ♣ − (✶ − ♣) ❧♦❣ (✶ − ♣)) ≈ ✶.✽ < ✷✱ ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣

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♣(①) ❍ (❳ : ❨ )

✇❤❡r❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✐s t♦ t❛❦❡♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥♣✉t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♣ (①) ❢♦r ❳ ❛♥❞ ❨ ✐s t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♦✉t♣✉t r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛t t❤❡ ♦✉t♣✉t ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❈❤❛♥♥❡❧ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ s❡t ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✬s ♣ (①|②) ≥ ✵

✹✸ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

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❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐♥❛r② ♥♦✐s② ❝❤❛♥♥❡❧

1 1 1 - p 1 - p p p

❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐♥❛r② ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣

♦♣t✐♠❛❧ ✐s ❛ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r ❳

C (X) = ♠❛①

♣(①) ❍ (❳ : ❨ )

= ♠❛①

♣(①) (❍ (❨ ) − ❍ (❨ |❳))

= ♠❛①

♣(①)

❍ (❨ ) − X

①

♣ (①) ❍ (❨ |❳ = ①) ! = ✶ − ❍❜✐♥ (♣)

✹✹ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐♥❛r② ♥♦✐s② ❝❤❛♥♥❡❧

1 1 1 - p 1 - p p p

❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜✐♥❛r② ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣

♦♣t✐♠❛❧ ✐s ❛ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r ❳

C (X) = ♠❛①

♣(①) ❍ (❳ : ❨ )

= ♠❛①

♣(①) (❍ (❨ ) − ❍ (❨ |❳))

= ♠❛①

♣(①)

❍ (❨ ) − X

①

♣ (①) ❍ (❨ |❳ = ①) ! = ✶ − ❍❜✐♥ (♣)

✹✹ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ❢♦r r❛t❡ ❘ < ❈ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵ ▲❡t ♣ (①) ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ✇✐t❤✳ ❉✐❝t✐♦♥❛r② ✭✐s ❦♥♦✇♥ t♦ s❡♥❞❡r ❛♥ r❡❝❡✐✈❡r✮ C =    ①✶ (✶) ①✷ (✶) . . . ①♥ (✶) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ①✶

• ✷♥❘

①✷

• ✷♥❘

. . . ①♥

• ✷♥❘

   Pr♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦✳ Pr (C) =

✷♥❘

• ω=✶

♥

• ✐=✶

♣ (①✐ (ω)) ▼❡ss❛❣❡s ❛r❡ s❡♥❞❡❞ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t❡❞ Pr (❲ = ω) = ✷−♥❘, ω = ✶, ✷, . . . , ✷♥❘

✹✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ❢♦r r❛t❡ ❘ < ❈ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵ ▲❡t ♣ (①) ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ✇✐t❤✳ ❉✐❝t✐♦♥❛r② ✭✐s ❦♥♦✇♥ t♦ s❡♥❞❡r ❛♥ r❡❝❡✐✈❡r✮ C =    ①✶ (✶) ①✷ (✶) . . . ①♥ (✶) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ①✶

• ✷♥❘

①✷

• ✷♥❘

. . . ①♥

• ✷♥❘

   Pr♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦✳ Pr (C) =

✷♥❘

• ω=✶

♥

• ✐=✶

♣ (①✐ (ω)) ▼❡ss❛❣❡s ❛r❡ s❡♥❞❡❞ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t❡❞ Pr (❲ = ω) = ✷−♥❘, ω = ✶, ✷, . . . , ✷♥❘

✹✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ❢♦r r❛t❡ ❘ < ❈ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵ ▲❡t ♣ (①) ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ✇✐t❤✳ ❉✐❝t✐♦♥❛r② ✭✐s ❦♥♦✇♥ t♦ s❡♥❞❡r ❛♥ r❡❝❡✐✈❡r✮ C =    ①✶ (✶) ①✷ (✶) . . . ①♥ (✶) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ①✶

• ✷♥❘

①✷

• ✷♥❘

. . . ①♥

• ✷♥❘

   Pr♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦✳ Pr (C) =

✷♥❘

• ω=✶

♥

• ✐=✶

♣ (①✐ (ω)) ▼❡ss❛❣❡s ❛r❡ s❡♥❞❡❞ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t❡❞ Pr (❲ = ω) = ✷−♥❘, ω = ✶, ✷, . . . , ✷♥❘

✹✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ❢♦r r❛t❡ ❘ < ❈ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵ ▲❡t ♣ (①) ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ✇✐t❤✳ ❉✐❝t✐♦♥❛r② ✭✐s ❦♥♦✇♥ t♦ s❡♥❞❡r ❛♥ r❡❝❡✐✈❡r✮ C =    ①✶ (✶) ①✷ (✶) . . . ①♥ (✶) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ①✶

• ✷♥❘

①✷

• ✷♥❘

. . . ①♥

• ✷♥❘

   Pr♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦✳ Pr (C) =

✷♥❘

• ω=✶

♥

• ✐=✶

♣ (①✐ (ω)) ▼❡ss❛❣❡s ❛r❡ s❡♥❞❡❞ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t❡❞ Pr (❲ = ω) = ✷−♥❘, ω = ✶, ✷, . . . , ✷♥❘

✹✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✶

❚♦ s❤♦✇✿ ❢♦r r❛t❡ ❘ < ❈ t❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣♦❡s ❞♦✇♥ t♦ ✵ ▲❡t ♣ (①) ❜❡ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ✇✐t❤✳ ❉✐❝t✐♦♥❛r② ✭✐s ❦♥♦✇♥ t♦ s❡♥❞❡r ❛♥ r❡❝❡✐✈❡r✮ C =    ①✶ (✶) ①✷ (✶) . . . ①♥ (✶) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ①✶

• ✷♥❘

①✷

• ✷♥❘

. . . ①♥

• ✷♥❘

   Pr♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦✳ Pr (C) =

✷♥❘

• ω=✶

♥

• ✐=✶

♣ (①✐ (ω)) ▼❡ss❛❣❡s ❛r❡ s❡♥❞❡❞ ❡q✉❛❧ ❞✐str✐❜✉t❡❞ Pr (❲ = ω) = ✷−♥❘, ω = ✶, ✷, . . . , ✷♥❘

✹✺ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✷

❘❡❝❡✐✈❡r ❣❡t ② ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P (② ♥|①♥ (ω)) =

♥

• ✐=✶

♣ (②✐|①✐ (ω)) ❉❡❝♦❞✐♥❣✿ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ˆ ❲ ✐s s❡♥❞❡❞✱ ✐✛

“ ❳ ♥ “ ˆ ❲ ” , ❨ ♥” s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ✐♥❞❡① ❦✱ ✇✐t❤ (❳ ♥ (❦) , ❨ ♥) s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧

■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ˆ ❲ ✱ ❛ ❞❡❢❛✉❧t ❡♥tr② ✐s r❡t✉r♥❡❞✳ ❉❡❝♦❞✐♥❣ ❡rr♦r ✐✛ ❲ = ˆ ❲ ✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡✈❡♥t E

✹✻ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✷

❘❡❝❡✐✈❡r ❣❡t ② ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P (② ♥|①♥ (ω)) =

♥

• ✐=✶

♣ (②✐|①✐ (ω)) ❉❡❝♦❞✐♥❣✿ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ˆ ❲ ✐s s❡♥❞❡❞✱ ✐✛

“ ❳ ♥ “ ˆ ❲ ” , ❨ ♥” s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ✐♥❞❡① ❦✱ ✇✐t❤ (❳ ♥ (❦) , ❨ ♥) s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧

■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ˆ ❲ ✱ ❛ ❞❡❢❛✉❧t ❡♥tr② ✐s r❡t✉r♥❡❞✳ ❉❡❝♦❞✐♥❣ ❡rr♦r ✐✛ ❲ = ˆ ❲ ✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡✈❡♥t E

✹✻ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✷

❘❡❝❡✐✈❡r ❣❡t ② ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P (② ♥|①♥ (ω)) =

♥

• ✐=✶

♣ (②✐|①✐ (ω)) ❉❡❝♦❞✐♥❣✿ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ˆ ❲ ✐s s❡♥❞❡❞✱ ✐✛

“ ❳ ♥ “ ˆ ❲ ” , ❨ ♥” s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ✐♥❞❡① ❦✱ ✇✐t❤ (❳ ♥ (❦) , ❨ ♥) s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧

■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ˆ ❲ ✱ ❛ ❞❡❢❛✉❧t ❡♥tr② ✐s r❡t✉r♥❡❞✳ ❉❡❝♦❞✐♥❣ ❡rr♦r ✐✛ ❲ = ˆ ❲ ✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡✈❡♥t E

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◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✷

❘❡❝❡✐✈❡r ❣❡t ② ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P (② ♥|①♥ (ω)) =

♥

• ✐=✶

♣ (②✐|①✐ (ω)) ❉❡❝♦❞✐♥❣✿ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ˆ ❲ ✐s s❡♥❞❡❞✱ ✐✛

“ ❳ ♥ “ ˆ ❲ ” , ❨ ♥” s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ✐♥❞❡① ❦✱ ✇✐t❤ (❳ ♥ (❦) , ❨ ♥) s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧

■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ˆ ❲ ✱ ❛ ❞❡❢❛✉❧t ❡♥tr② ✐s r❡t✉r♥❡❞✳ ❉❡❝♦❞✐♥❣ ❡rr♦r ✐✛ ❲ = ˆ ❲ ✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡✈❡♥t E

✹✻ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✷

❘❡❝❡✐✈❡r ❣❡t ② ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P (② ♥|①♥ (ω)) =

♥

• ✐=✶

♣ (②✐|①✐ (ω)) ❉❡❝♦❞✐♥❣✿ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ˆ ❲ ✐s s❡♥❞❡❞✱ ✐✛

“ ❳ ♥ “ ˆ ❲ ” , ❨ ♥” s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ✐♥❞❡① ❦✱ ✇✐t❤ (❳ ♥ (❦) , ❨ ♥) s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧

■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ˆ ❲ ✱ ❛ ❞❡❢❛✉❧t ❡♥tr② ✐s r❡t✉r♥❡❞✳ ❉❡❝♦❞✐♥❣ ❡rr♦r ✐✛ ❲ = ˆ ❲ ✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡✈❡♥t E

✹✻ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✷

❘❡❝❡✐✈❡r ❣❡t ② ♥ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② P (② ♥|①♥ (ω)) =

♥

• ✐=✶

♣ (②✐|①✐ (ω)) ❉❡❝♦❞✐♥❣✿ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ˆ ❲ ✐s s❡♥❞❡❞✱ ✐✛

“ ❳ ♥ “ ˆ ❲ ” , ❨ ♥” s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ✐♥❞❡① ❦✱ ✇✐t❤ (❳ ♥ (❦) , ❨ ♥) s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s t②♣✐❝❛❧

■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ˆ ❲ ✱ ❛ ❞❡❢❛✉❧t ❡♥tr② ✐s r❡t✉r♥❡❞✳ ❉❡❝♦❞✐♥❣ ❡rr♦r ✐✛ ❲ = ˆ ❲ ✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡✈❡♥t E

✹✻ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✸

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❡rr♦r ❞♦♥✬t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ s❡♥❞❡❞ ✇♦r❞ Pr (E) =

• C

P (C) P(♥)

❡

(C) =

• C

P (C) λ✶ (C) = Pr (E|❲ = ✶) ❉❡✜♥❡ ❊✈❡♥t ❊✐ = {(❳ ♥ (✐) , ❨ ♥) ❛r❡ s✐♠✉❧❛t♥✐✉s t②♣✐❝❛❧}✳ ❋♦r s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ ❛♥❞ ❘ < ❍ (❳ : ❨ ) − ✸ǫ✿

Pr (E|❲ = ✶) = P ` ❊ ❝

✶ ∪ ❊✷ ∪ . . . ∪ ❊✷♥❘

´ ≤ P (❊ ❝

✶ ) + ✷♥❘

X

✐=✷

P (❊✐) ≤ ǫ +

✷♥❘

X

✐=✷

✷−♥(❍(❳:❨ )−✸ǫ) ≤ ✷ǫ

✹✼ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✸

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❡rr♦r ❞♦♥✬t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ s❡♥❞❡❞ ✇♦r❞ Pr (E) =

• C

P (C) P(♥)

❡

(C) =

• C

P (C) λ✶ (C) = Pr (E|❲ = ✶) ❉❡✜♥❡ ❊✈❡♥t ❊✐ = {(❳ ♥ (✐) , ❨ ♥) ❛r❡ s✐♠✉❧❛t♥✐✉s t②♣✐❝❛❧}✳ ❋♦r s✉✣❝✐❡♥t ❜✐❣ ♥ ❛♥❞ ❘ < ❍ (❳ : ❨ ) − ✸ǫ✿

Pr (E|❲ = ✶) = P ` ❊ ❝

✶ ∪ ❊✷ ∪ . . . ∪ ❊✷♥❘

´ ≤ P (❊ ❝

✶ ) + ✷♥❘

X

✐=✷

P (❊✐) ≤ ǫ +

✷♥❘

X

✐=✷

✷−♥(❍(❳:❨ )−✸ǫ) ≤ ✷ǫ

✹✼ ♦❢ ✺✸ ▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✹

❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♠❡❛♥ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦✈❡r t❤❡ ❛❧❧ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦s ✐s ❧❡ss t❤❡♥ ✷ε✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ C∗ ✇✐t❤ P♥

❡ (C∗) ≤ ✷ε✳

❉✐s❝❛r❞ t❤❡ ❜❛❞ ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❝♦❞✐♥❣✬s✳ ❲✐t❤ P♥

❡ (C∗) =

✶ ✷♥❘

• ✐

λ✐ (C∗) ≤ ✷ǫ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ❧❡❢t ♦♥❡s ❛r❡ ❛❧❧ ✭♥♦t ✐♥ ♠❡❛♥✮ ✿ λ✐ (C∗) ≤ ✹ǫ✳ ❙♦ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✷♥❘−✶ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ❡♥tr②✬s ❧❡❢t ❛♥❞ t❤❡ r❛t❡ ✐s ❢❛❧❧❡♥ ❢r♦♠ ❘ t♦ ❘ − ✶

♥✳

■♥ t♦t❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛ ❝♦❞❡ ✇✐t❤ ❘′ = ❘ − ✶

♥ ❛♥❞ ❛ ❡rr♦r

♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λ(♥) ≤ ✹ǫ✳

• ✹✽ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✹

❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♠❡❛♥ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦✈❡r t❤❡ ❛❧❧ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦s ✐s ❧❡ss t❤❡♥ ✷ε✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ C∗ ✇✐t❤ P♥

❡ (C∗) ≤ ✷ε✳

❉✐s❝❛r❞ t❤❡ ❜❛❞ ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❝♦❞✐♥❣✬s✳ ❲✐t❤ P♥

❡ (C∗) =

✶ ✷♥❘

• ✐

λ✐ (C∗) ≤ ✷ǫ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ❧❡❢t ♦♥❡s ❛r❡ ❛❧❧ ✭♥♦t ✐♥ ♠❡❛♥✮ ✿ λ✐ (C∗) ≤ ✹ǫ✳ ❙♦ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✷♥❘−✶ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ❡♥tr②✬s ❧❡❢t ❛♥❞ t❤❡ r❛t❡ ✐s ❢❛❧❧❡♥ ❢r♦♠ ❘ t♦ ❘ − ✶

♥✳

■♥ t♦t❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛ ❝♦❞❡ ✇✐t❤ ❘′ = ❘ − ✶

♥ ❛♥❞ ❛ ❡rr♦r

♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λ(♥) ≤ ✹ǫ✳

• ✹✽ ♦❢ ✺✸

▼❛r❝♦ ▼ö❧❧❡r ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤❛♥♥❡❧ ❈❛♣❛❝✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ◆♦✐s❡❧❡ss ❈♦❞✐♥❣ ◆♦✐s② ❈♦❞✐♥❣ ❊♥❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧

Pr♦♦❢✿ ❙❤❛♥♥♦♥ ✲ ♥♦s② ❝♦❞✐♥❣ ✲ P❛rt ✹

❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♠❡❛♥ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦✈❡r t❤❡ ❛❧❧ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦s ✐s ❧❡ss t❤❡♥ ✷ε✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ C∗ ✇✐t❤ P♥

❡ (C∗) ≤ ✷ε✳

❉✐s❝❛r❞ t❤❡ ❜❛❞ ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❝♦❞✐♥❣✬s✳ ❲✐t❤ P♥

❡ (C∗) =

✶ ✷♥❘

• ✐

λ✐ (C∗) ≤ ✷ǫ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ❧❡❢t ♦♥❡s ❛r❡ ❛❧❧ ✭♥♦t ✐♥ ♠❡❛♥✮ ✿ λ✐ (C∗) ≤ ✹ǫ✳ ❙♦ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✷♥❘−✶ ❝♦❞❡ ❜♦♦❦ ❡♥tr②✬s ❧❡❢t ❛♥❞ t❤❡ r❛t❡ ✐s ❢❛❧❧❡♥ ❢r♦♠ ❘ t♦ ❘ − ✶

♥✳

■♥ t♦t❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛ ❝♦❞❡ ✇✐t❤ ❘′ = ❘ − ✶

♥ ❛♥❞ ❛ ❡rr♦r

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