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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✲s❝❛❧✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ◮ ■♥✐t✐❛❧ ✇♦r❦ ❜② ❆❣✉✐❧❛r✱ ❇❛❧s❧❡✈✱ ❈♦♠❜❡s ✭✶✾✼✵s✮ ♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ✉♥❞❡r t❤❡ ✏❞✐❧❛t✐♦♥✑ ˆ H ( r ) → ˆ H θ ( r ) ≡ ˆ H ( r e iθ ) ◮ ❖r✐❣✐♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✿ � − 1 � 2 ∇ 2 + v ( r ) ψ n ( r ) = ǫ n ψ n ( r ) ◮ ❈♦♠♣❧❡①✲s❝❛❧❡❞ ❜② s♦♠❡ ✜①❡❞ ❛♥❣❧❡ θ ✿ � − e − i 2 θ 1 � 2 ∇ 2 + v ( r e iθ ) ψ θ n ( r ) = ǫ θ n ψ θ n ( r ) ◮ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞✐✛❡r❡♥t❧② ❛✛❡❝ts ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡ ✈❡rs✉s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♣❡❝tr✉♠✳
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✲s❝❛❧✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ◮ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ˆ H θ ( r ) ✐s ♥♦♥✲❍❡r♠✐t✐❛♥ ◮ ❆ ✏❘❡s♦♥❛♥t✑ ❡✐❣❡♥st❛t❡ ✇✐t❤ ❡♥❡r❣② ǫ R + iǫ I ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ✉♥✐❢♦r♠ ❞❡❝❛② ✉♥❞❡r t✐♠❡ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ◮ ❉❡❝❛② r❛t❡ ✐s Γ = − 2 ǫ I ◮ ▲❡t ✉s ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡ s♦♠❡ ❝♦♠♣❧❡①✲s❝❛❧❡❞ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥s ❛♥❞ s❡❡ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 15 θ = 0 . 35 4 10 bound 2 state 5 resonances 0 0 − 5 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 10 − 4 Re v ( x e iθ ) Im v ( x e iθ ) v ( x ) − 15 − 6 − 6 − 4 − 2 0 2 4 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 wavefunction Re ǫ ◮ ❇♦✉♥❞✲st❛t❡ ❡♥❡r❣✐❡s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ◮ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s s♣❡❝tr✉♠ r♦t❛t❡s ◮ ❘❡s♦♥❛♥❝❡s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ♦♥❝❡ Re bound Re res1 Re res2 Im bound Im res1 Im res2 ✏✉♥❝♦✈❡r❡❞✑ − 3 − 2 − 1 0 1 2 3
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 15 θ = 0 . 4 4 10 bound 2 state 5 resonances 0 0 − 5 − 2 Im ǫ c o n − 10 t − 4 i n Re v ( x e iθ ) Im v ( x e iθ ) u v ( x ) u m − 15 , − 6 a − 6 − 4 − 2 0 2 4 6 r g z = − 8 − 2 θ − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 wavefunction Re ǫ ◮ ❇♦✉♥❞✲st❛t❡ ❡♥❡r❣✐❡s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ◮ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s s♣❡❝tr✉♠ r♦t❛t❡s ◮ ❘❡s♦♥❛♥❝❡s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ♦♥❝❡ Re bound Re res1 Re res2 Im bound Im res1 Im res2 ✏✉♥❝♦✈❡r❡❞✑ − 3 − 2 − 1 0 1 2 3
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 4 − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 4 − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 4 − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 4 − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ c o n t i n u u m , a r g z − 4 = − 2 θ − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 4 − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ c o n t i n u u m − 4 , a r g z = − 2 θ − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ continuum, arg z = − 2 θ − 4 − 6 − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈♦♠♣❧❡① s❝❛❧✐♥❣ ❉❋❘❚ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ 4 bound 2 state resonances 0 − 2 Im ǫ c o n t i n u u − 4 m , a r g z = − 6 − 2 θ − 8 − 10 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10 Re ǫ
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