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ts r r t strt t t st


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SLIDE 1

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❈♦❛❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣

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❊❝♦❧♦❣✐❝❛❧ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❇❛②r❡✉t❤✱ ❉

❈♦❛❧❣❡❜r❛✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ✷✵✶✵✕✵✸✕✷✻✴✷✽ P❛♣❤♦s✱ ❈❨

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶ ✴ ✷✻

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SLIDE 2

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SLIDE 3

❈♦♥t❡①t

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❲✐❦✐♣❡❞✐❛

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SLIDE 4

❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣

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SLIDE 5

▼♦❞❡❧ ❚②♣❡s✿ ❙t❛t❡ ✈s✳ ❇❡❤❛✈✐♦r

❖♥t♦❧♦❣✐❝❛❧ ❉✐s♣✉t❡

❙t❛t❡✲❜❛s❡❞ ♦r ❜❡❤❛✈✐♦r✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣❄ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡s ❛r❡ ❜✐❛s❡❞✿

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SLIDE 6

▼♦❞❡❧ ❚②♣❡s✿ ❙t❛t❡ ✈s✳ ❇❡❤❛✈✐♦r

❖♥t♦❧♦❣✐❝❛❧ ❉✐s♣✉t❡

❙t❛t❡✲❜❛s❡❞ ♦r ❜❡❤❛✈✐♦r✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣❄ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡s ❛r❡ ❜✐❛s❡❞✿

P❤②s✐❝s

❙t❛t❡ ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✭s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ r❡❛❧✐t②✮ ❇❡❤❛✈✐♦r ✐s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ❧❛✇s ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♠♦❞❡❧s ❞❡✜♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞②♥❛♠✐❝s Pr♦❜❧❡♠s ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡ ❛♥❞ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs

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SLIDE 7

▼♦❞❡❧ ❚②♣❡s✿ ❙t❛t❡ ✈s✳ ❇❡❤❛✈✐♦r

❖♥t♦❧♦❣✐❝❛❧ ❉✐s♣✉t❡

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❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡

❇❡❤❛✈✐♦r ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✭s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❡❝❤♥♦❧♦❣②✮ ❙t❛t❡ ✐s t❤❡ ❛rt✐❢❛❝t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧s ❞❡✜♥❡ ✐♥t❡r❢❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣r♦t♦❝♦❧s Pr♦❜❧❡♠s ❛ss❡ss♠❡♥t ♦❢ s✐t✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♣❧❛♥♥✐♥❣ ♦❢ str❛t❡❣✐❡s

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SLIDE 8

▼♦❞❡❧ ❚②♣❡s✿ ❙t❛t❡ ✈s✳ ❇❡❤❛✈✐♦r

❊❝♦❧♦❣②

❤❛s ♥♦ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ✐ts ♦✇♥✱ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❧✐✈✐♥❣ s②st❡♠s ✇✐t❤ t❤❡✐r ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ ❤❡♥❝❡ ❝❛❧❧s ❢♦r ❜♦t❤ ♣❛r❛❞✐❣♠s✱ ❜✉t ✐s tr❛❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❞♦♠✐♥❛t❡❞ ❜② ♣❤②s✐❝❛❧✐s♠ ✭P❉❊s❛ ❡t❝✳✮❀ t♦ t❤❡ ❡✛❡❝t t❤❛t r❡❧❡✈❛♥❝❡ ❛♥❞ r✐❣♦r ♦❢t❡♥ ❛♣♣❡❛r ♠✉t✉❛❧❧② ❡①❝❧✉s✐✈❡✳

❛P❛rt✐❛❧ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s ❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✻ ✴ ✷✻

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SLIDE 9

▼♦❞❡❧ ❚②♣❡s✿ ❙t❛t❡ ✈s✳ ❇❡❤❛✈✐♦r

❊①❛♠♣❧❡s

❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t✲❉♦♠✐♥❛t❡❞

❙t❛t❡ s♦✐❧ ✴ ❣r♦✉♥❞✇❛t❡r ❇❡❤❛✈✐♦r r✉♥♦✛ ❢r♦♠ ✇❛t❡rs❤❡❞

▲✐❢❡✲❉♦♠✐♥❛t❡❞

❇❡❤❛✈✐♦r ❛♥♥✉❛❧ tr❡❡ ❣r♦✇t❤ ❙t❛t❡ ❝❛r❜♦♥ ♣♦♦❧ ✐♥ ❢♦r❡st

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SLIDE 10

▼♦❞❡❧ ❚②♣❡s✿ ❙t❛t❡ ✈s✳ ❇❡❤❛✈✐♦r

Pr♦♣♦s❛❧✿ ❋♦r♠❛❧✐③❡ t❤❡ ❚✇♦ P❛r❛❞✐❣♠s st❛t❡ ↔ ❛❧❣❡❜r❛ ❜❡❤❛✈✐♦r ↔ ❝♦❛❧❣❡❜r❛

❡①♣❧♦✐t ❞✉❛❧✐t② ❢♦r ✉♥✐❢②✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦

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SLIDE 11

▲♦❣✐st✐❝ ▼❛♣

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❬❘✳ ▼❛②✱ ✶✾✼✻✱ ◆❛t✉r❡❪

❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ❞❡♠♦❣r❛♣❤✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ s✐♠♣❧❡ r❡❛❧ q✉❛❞r❛t✐❝ ♠❛♣ ❢r(①) = r · ① · (✶ − ①) ✇✐t❤ r❡❛❧ ❣r♦✇t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r r > ✵ r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ ✉♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ I = [✵, ✶] ✐t❡r❛t✐♦♥ ♣r♦❞✉❝❡s ❝♦♠♣❧❡① ❜❡❤❛✈✐♦r

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✾ ✴ ✷✻

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SLIDE 12

▲♦❣✐st✐❝ ▼❛♣

❋♦r✇❛r❞ ❉②♥❛♠✐❝s

❚r❛❥❡❝t♦r✐❡s ❢♦r ❣✐✈❡♥ ✐♥✐t✐❛❧ ✈❛❧✉❡ ①✵ ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡t❡r r ①✵, ❢r(①✵), ❢ ✷

r (①✵), . . . ∈ I

✐♥✜♥✐t❡ ❢♦r r ≤ ✹ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ❞✐✈❡r❣❡♥t ❢♦r r > ✹ ❛❧❧ s♦rts ♦❢ ❧♦♥❣✲t❡r♠ ❞②♥❛♠✐❝s✿ st❛❜❧❡✴✉♥st❛❜❧❡ ✜①♣♦✐♥ts✱ st❛t✐♦♥❛r② ❝②❝❧❡s✱ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❝❤❛♦s✱ str❛♥❣❡ ❛ttr❛❝t♦rs t❡st ❝❛s❡ ❢♦r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✴❝♦♠♣❧❡①✐t② ♠❡❛s✉r❡s ❬❋✳ ❲♦❧❢✱ ✶✾✾✾✱ ❉✐ss✳❪

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✵ ✴ ✷✻

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SLIDE 13

▲♦❣✐st✐❝ ▼❛♣

  • r❛♣❤

r < ✹ r > ✹

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✶ ✴ ✷✻

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SLIDE 14

▲♦❣✐st✐❝ ▼❛♣

❇❛❝❦✇❛r❞ ❉②♥❛♠✐❝s

❊❛❝❤ ① ❤❛s ✭❛t ♠♦st✮ t✇♦ ♣r❡✐♠❛❣❡s ✉♥❞❡r ❢r ✐♥✜♥✐t❡ ❜✐♥❛r② ❞❡❝✐s✐♦♥ tr❡❡ ♦r ✐♥✜♥✐t❡ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❜✐♥❛r② ✐♥♣✉t✱ st❛t❡ s♣❛❝❡ I t♦t❛❧ ❢♦r r ≥ ✹ ♣❛rt✐❛❧ ❢♦r r < ✹✿ st❛t❡s ① > r/✹ ✭❣❧♦❜❛❧ ♠❛①✮ ❛r❡ ❡rr♦r st❛t❡s

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✷ ✴ ✷✻

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SLIDE 15

▲♦❣✐st✐❝ ▼❛♣

❋✐♥✐t❡ P❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ ✭❈♦❧♦r✐♥❣✮

❝(①) =

① ∈ [✵, ✶

✷)

✶ ① ∈ [✶

✷, ✶]

s✐♠♣❧❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ✐♠♣❡r❢❡❝t ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ s②♠❜♦❧✐❝ ❞②♥❛♠✐❝s ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② t♦ ❢r✿ ♥❡✐t❤❡r ❝ ♥♦r ❢r ✐s ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✱ ❜✉t ❝, ❢r ✐s

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✸ ✴ ✷✻

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SLIDE 16

▼♦❞❡❧s ❛s ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s

▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❬❘✳ ❘♦s❡♥✱ ✶✾✾✶✱ ✏▲✐❢❡ ■ts❡❧❢✑❪

❘❡❛❧✶ ❘❡❛❧✷ ❆❜str❛❝t✶ ❆❜str❛❝t✷

❝❛✉s❛❧✐t② ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛❜str❛❝t✐♦♥ ❛❜str❛❝t✐♦♥

t✐♠❡ ❲❛♥t❡❞ ❛❜str❛❝t✐♦♥ t❤❛t ❝♦♠♠✉t❡s ✇✐t❤ ❞②♥❛♠✐❝s ❚❡st r♦✉♥❞✲tr✐♣ ⇒ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✹ ✴ ✷✻

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SLIDE 17

▼♦❞❡❧s ❛s ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s

▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❬❘✳ ❘♦s❡♥✱ ✶✾✾✶✱ ✏▲✐❢❡ ■ts❡❧❢✑❪

❘❡❛❧✶ ❘❡❛❧✷ ❆❜str❛❝t✶ ❆❜str❛❝t✷

❝❛✉s❛❧✐t② ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛❜str❛❝t✐♦♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

t✐♠❡ ❲❛♥t❡❞ ❛❜str❛❝t✐♦♥ t❤❛t ❝♦♠♠✉t❡s ✇✐t❤ ❞②♥❛♠✐❝s ❚❡st r♦✉♥❞✲tr✐♣ ⇒ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✹ ✴ ✷✻

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SLIDE 18

▼♦❞❡❧s ❛s ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s

  • ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛s

❋ ❆✷ ❋ ❇✷ ❋ ❆✶ ❋ ❇✶

❋ ❤

α

❋ ❤

β

❇❛s❡ ❈❛s❡ tr✐✈✐❛❧ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t♦r ✭✐❞❡♥t✐t②✮ ❆❧❣❡❜r❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❋ ❡♥❝♦❞❡s ♠♦❞❡❧ q✉❡r✐❡s ❈♦❛❧❣❡❜r❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❋ ❡♥❝♦❞❡s ♠♦❞❡❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✺ ✴ ✷✻

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SLIDE 19

▼♦❞❡❧s ❛s ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s

  • ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛s

❋ ❆✷ ❋ ❇✷ ❋(❆✷) ❋(❇✷)

❋ ❤

α

❋(❤)

β

❇❛s❡ ❈❛s❡ tr✐✈✐❛❧ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t♦r ✭✐❞❡♥t✐t②✮ ❆❧❣❡❜r❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❋ ❡♥❝♦❞❡s ♠♦❞❡❧ q✉❡r✐❡s ❈♦❛❧❣❡❜r❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❋ ❡♥❝♦❞❡s ♠♦❞❡❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✺ ✴ ✷✻

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SLIDE 20

▼♦❞❡❧s ❛s ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s

  • ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥✿ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛s

❋(❆✶) ❋(❇✶) ❋ ❆✶ ❋ ❇✶

❋(❤)

α

❋ ❤

β

❇❛s❡ ❈❛s❡ tr✐✈✐❛❧ s✐❣♥❛t✉r❡ ❢✉♥❝t♦r ✭✐❞❡♥t✐t②✮ ❆❧❣❡❜r❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❋ ❡♥❝♦❞❡s ♠♦❞❡❧ q✉❡r✐❡s ❈♦❛❧❣❡❜r❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❋ ❡♥❝♦❞❡s ♠♦❞❡❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✺ ✴ ✷✻

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SLIDE 21

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

❘❡❝✉rs✐✈❡ str✉❝t✉r❡✿ ❆✲▲✐st ✇✐t❤ ❇✲❧❛❜❡❧❧❡❞ ❡♥❞ A❆

❇ = ❆ × (−) + ❇

❣♦ : ❆ × ❳ → A❆

❇(❳)

st♦♣ : ❇ → A❆

❇(❳)

❆❣❡♥❞❛ ♠❡t❛♣❤♦rs = ⇒ ❢♦r♠❛❧ ❝❛❧❝✉❧✉s ❛❧❧ ❛✣♥❡ ❢✉♥❝t♦rs ❤❛✈❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❛❧❣❡❜r❛s ✴ ✜♥❛❧ ❝♦❛❧❣❡❜r❛s ❣❡♥❡r❛t❡ ♠♦❞❡❧ t②♣❡s ❜② ✐♥st❛♥t✐❛t✐♥❣ ❆✴❇ ✇✐t❤ s✐♠♣❧❡ s❡ts t❛❦❡ ❝❛t❛✲✴❛♥❛♠♦r♣❤✐s♠s ❛s ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ ♠❛♣s ✭✭❝♦✮✐♥❞✉❝t✐♦♥✮

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✻ ✴ ✷✻

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SLIDE 22

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

■♥✐t✐❛❧ ❆❧❣❡❜r❛

  • ❆∗ × ❇, [α✶, α✷]
  • α✶
  • ❛, (✇, ❜)
  • =
  • ❝♦♥s(❛, ✇), ❜
  • α✷(❜) = (♥✐❧, ❜)

❈❛t❛♠♦r♣❤✐s♠

❤ :

  • ❆∗ × ❇, [α✶, α✷]
  • ❈, [γ✶, γ✷]
  • ❝♦♥s(❛, ✇), ❜
  • = γ✶
  • ❛, ❤(✇, ❜)
  • ❤(♥✐❧, ❜) = γ✷(❜)

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✼ ✴ ✷✻

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SLIDE 23

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

❋✐♥❛❧ ❈♦❛❧❣❡❜r❛

  • ❆∗ × ❇ ∪ ❆ω, φ
  • φ
  • ❝♦♥s(❛, ✇), ❜
  • = ❣♦
  • ❛, (✇, ❜)
  • φ(♥✐❧, ❜) = st♦♣(❜)

❆♥❛♠♦r♣❤✐s♠

❤ : (❈, γ) → (❆∗ × ❇ ∪ ❆ω, φ) φ

  • ❤(❝)
  • =
  • ❣♦
  • ❛, ❤(❝′)
  • ✐❢ γ(❝) = ❣♦(❛, ❝′)

st♦♣(❜) ✐❢ γ(❝) = st♦♣(❜)

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✽ ✴ ✷✻

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SLIDE 24

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

■♥st❛♥❝❡s

A✶

A❆

A❆

A∅

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✾ ✴ ✷✻

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SLIDE 25

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

■♥st❛♥❝❡s

A✶

A❆

A❆

A∅

❆❧❣❡❜r❛s✿ ■t❡r❛t✐♦♥

  • ❡♥❡r❛❧

(❈, γ : ✶ × ❈ + ❇ → ❈) γ ∼ (❢ , ❣) ❢ : ❈ → ❈ ❣ : ❇ → ❈ ■♥✐t✐❛❧

  • N × ❇, (❢✵, ❣✵)
  • ✶∗ ∼ N

❢✵(♥, ❜) = (♥ + ✶, ❜) ❣✵(❜) = (✵, ❜) ❈❛t❛♠♦r♣❤✐s♠ ( [γ] ) ✐(♥, ❜) = ❢ ♥ ❣(❜)

  • ❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮

✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✾ ✴ ✷✻

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SLIDE 26

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

■♥st❛♥❝❡s

A✶

A❆

A❆

A∅

❆❧❣❡❜r❛s✿ ▲✐st ❋♦❧❞✐♥❣

  • ❡♥❡r❛❧

(❈, γ : ❆ × ❈ + ✶ → ❈) γ ∼ (❢ , ❡) ❢ : ❆ × ❈ → ❈ ❡ ∈ ❈ ■♥✐t✐❛❧

  • ❆∗, (❝♦♥s, ♥✐❧)
  • ❈❛t❛♠♦r♣❤✐s♠ (

[γ] ) ❥

  • ❝♦♥s(❛, ✇), ❜
  • = ❢
  • ❛, ❥(✇)
  • ❥(♥✐❧) = ❡

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✾ ✴ ✷✻

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SLIDE 27

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

■♥st❛♥❝❡s

A✶

A❆

A❆

A∅

❈♦❛❧❣❡❜r❛s✿ ❙tr❡❛♠ ❯♥❢♦❧❞✐♥❣

  • ❡♥❡r❛❧

(❈, γ : ❈ → ❆ × ❈ + ∅) γ ∼ (❤, t) ❤ : ❈ → ❆ t : ❈ → ❈ ❋✐♥❛❧ (❆ω, ❝♦♥s−✶) ❆♥❛♠♦r♣❤✐s♠ [ (γ) ] ❦(❝) = ❝♦♥s

  • ❤(❝), ❦(t(❝))
  • ❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮

✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✾ ✴ ✷✻

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SLIDE 28

❚❛①♦♥♦♠② ♦❢ ▼♦❞❡❧s

❆✣♥❡ ❋✉♥❝t♦r A❆

■♥st❛♥❝❡s

A✶

A❆

A❆

A∅

❈♦❛❧❣❡❜r❛s✿ ❉❡❣❡♥❡r❛t❡

  • ❡♥❡r❛❧

(❈, γ : ❈ → ∅ × ❈ + ❇) γ ∼ t t : ❈ → ❇ ❋✐♥❛❧ (❇, st♦♣) ❆♥❛♠♦r♣❤✐s♠ [ (γ) ] ♠ = t

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✶✾ ✴ ✷✻

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SLIDE 29

▼♦❞❡❧ ■♥st❛♥❝❡s

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✱ ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝

❋ = A✶

❇ = I ❈ = I ❢ = ❢r ❣ = ✐❞I

N × ❇ ❈ ❋(N × ❇) ❋(❈) ✲

✻ ✲

❋(✐)

(❢ ,❣)

  • ✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r② ✭r✮ ❛♥❞ ❡①❛❝t ✐♥✐t✐❛❧ ✭①✵✮ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

Pr❡❞✐❝t st❛t❡ ❛❢t❡r ♥ st❡♣s ✐(♥, ①✵) = ❢r

♥(①✵)

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✵ ✴ ✷✻

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SLIDE 30

▼♦❞❡❧ ■♥st❛♥❝❡s

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✱ ◆♦♥❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝

❋ = A✶

❇ = PI ❈ = PI ❢ = P❢r ❣ = ✐❞PI

N × ❇ ❈ ❋(N × ❇) ❋(❈) ✲

✻ ✲

❋(✐)

(❢ ,❣)

  • ✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r② ✭r✮ ❛♥❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐♥✐t✐❛❧ ✭①✵✮ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

Pr❡❞✐❝t st❛t❡ ❛❢t❡r ♥ st❡♣s ✐(♥, ①✵) = P❢r

♥(①✵)

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✵ ✴ ✷✻

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SLIDE 31

▼♦❞❡❧ ■♥st❛♥❝❡s

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧✱ Pr♦❜❛❜✐❧✐st✐❝

❋ = A✶

❇ = I∼ ❈ = I∼ ❢ = ❢r ∼ ❣ = ✐❞I∼

N × ❇ ❈ ❋(N × ❇) ❋(❈) ✲

✻ ✲

❋(✐)

(❢ ,❣)

  • ✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r② ✭r✮ ❛♥❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭❈❈❉❋❛✮ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ✭①✵✮ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

Pr❡❞✐❝t st❛t❡ ❛❢t❡r ♥ st❡♣s ✐(♥, ①✵) = ❢r ∼♥(①✵)

❛❈✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❉✐str✐❜✉t✐♦♥ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✵ ✴ ✷✻

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SLIDE 32

▼♦❞❡❧ ■♥st❛♥❝❡s

■♥✈❡rs❡ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧

❋ = A❆

❆ = ✷ ❈ = I I ❢ (❛, ❤) = ❢r|❛ ◦ ❤ ❡ = ✐❞I

N × ❇ ❈ ❋(N × ❇) ❋(❈) ✲

✻ ✲

❋(❥)

(❢ ,❡)

❢r|❛(①) =

  • ❢r(①)

✐❢ ❝(①) = ❛ ✉♥❞❡✜♥❡❞ ✐❢ ❝(①) = ❛

  • ✐✈❡♥ ❛ ✜♥✐t❡ tr❛❝❡ ♦❢ ❝♦❧♦rs

❙♦❧✈❡ ❢♦r ✐♥✐t✐❛❧ ✫ ✜♥❛❧ st❛t❡s ❥(❛✶ . . . ❛♥) = ❢r|❛✶ ◦ · · · ◦ ❢r|❛♥ ❧✐♠✐t ♥ → ∞❄

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✶ ✴ ✷✻

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SLIDE 33

▼♦❞❡❧ ■♥st❛♥❝❡s

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❬❘✉tt❡♥✱ ✷✵✵✵❪

❋ = A❆

❆ = ✷ ❈ = ❏r ❤ = ❝ t = ❢r

❋(❏r) ❋(✷ω) ❏r ✷ω ✲

❋(❦)

(❤,t)

❏r =

  • ♥=✵

P❢ ♥

r (I)

(r > ✹ ⇒ ❈❛♥t♦r ❞✉st)

  • ✐✈❡♥ t❤❡ s❡t ♦❢ st❛t❡s ♥♦t ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t t❤❡✐r ❢✉❧❧② ❛❜str❛❝t ❜❡❤❛✈✐♦r ❛t ✐♥t❡r❢❛❝❡ ❝ ❦(①)(♥) = ❝

  • ❢ ♥

r (①)

  • (❦ ✐s♦)

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✷ ✴ ✷✻

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SLIDE 34

▼♦❞❡❧ ■♥st❛♥❝❡s

■♥✈❡rs❡ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ✭❲♦r❦ ✐♥ Pr♦❣r❡ss✮

❦ ✐s♦ = ⇒

  • ❏r, (❝, ❢r)
  • ✜♥❛❧ =

⇒ (❝, ❢r) ✐s♦ (❝, ❢r)−✶ : ✷ × ❏r → ❏r ≃ ❏r → ❏✷

r

❋(❏r) ❋(✷ω) ❏r ✷ω ❄

(❝,❢r )−✶

❋(❦)

  • ❛♠❡ s♦❧✐t❛✐r❡ ✇✐t❤ ❜✐♥❛r② ♠♦✈❡s

❘❡❝♦r❞ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♣❧❛②❡r✬s ❛❝t✉❛❧ ♠♦✈❡s ❈♦✈❡r r❡❛❝❤❡❞ st❛t❡s ❜② s♦♠❡ s✉❜s②st❡♠ ✭✲❝♦❛❧❣❡❜r❛✮ ❉❡s❝r✐❜❡ s✉❜s②st❡♠ ❛①✐♦♠❛t✐❝❛❧❧② ❜② ♠♦❞❛❧ ❧♦❣✐❝ ❆ttr✐❜✉t❡ ❛①✐♦♠s ❛s str❛t❡❣② t♦ ♣❧❛②❡r s✐♠♣❧❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ str❛t❡❣✐❡s ❤❛✈❡ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❢♦r✇❛r❞ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✸ ✴ ✷✻

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SLIDE 35

❙✉♠♠❛r②

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

  • ❡♥❡r❛t❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♠♦❞❡❧ t②♣❡s

✭❝♦✮✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❢r♦♠ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❢✉♥❝t♦rs ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✕✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣❡❞ t♦ ❛❧❣❡❜r❛✕❝♦❛❧❣❡❜r❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✫ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧s ♦♥ ♣❛r ❝♦✉♥t❡r❡①❛♠♣❧❡s t♦ ❛r❣✉♠❡♥ts ❢r♦♠ ❝♦♠♣❧❡①✐t② t♦② ❡①❛♠♣❧❡s ✇♦r❦ ♦✉t ✜♥❡✱ s♦ ♥♦✇ ❢♦r✳ ✳ ✳

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✹ ✴ ✷✻

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SLIDE 36

❖✉t❧♦♦❦

❈✉rr❡♥t ✫ ❋✉t✉r❡ ❈❤❛❧❧❡♥❣❡s

♠♦❞❛❧ ❧♦❣✐❝ ✫ ❡❝♦s②st❡♠ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ♥♦♥✲✇❡❧❧✲❢♦✉♥❞❡❞ str✉❝t✉r❡s ✫ ♦♣❡♥✲❡♥❞❡❞ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✫ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❜❡❤❛✈✐♦r tr❛❝❡s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❧✐❢❡ ❝❛✉s❛❧✐t② ✐♥ ❜✐♦❧♦❣②

❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✺ ✴ ✷✻

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SLIDE 37

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❘✳▼✳ ▼❛② ✭✶✾✼✻✮✳ ❙✐♠♣❧❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ✈❡r② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❞②♥❛♠✐❝s✳ ◆❛t✉r❡ ✷✻✶✭✺✺✻✵✮✱ ♣♣✳ ✹✺✾✕✹✻✼ ❘✳ ❘♦s❡♥ ✭✶✾✾✶✮✳ ▲✐❢❡ ■ts❡❧❢✿ ❆ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ■♥q✉✐r② ✐♥t♦ t❤❡ ◆❛t✉r❡✱ ❖r✐❣✐♥✱ ❛♥❞ ❋❛❜r✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ▲✐❢❡✳ ❈♦❧✉♠❜✐❛ Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❋✳ ❲♦❧❢ ✭✶✾✾✾✮✳ ❇❡r❡❝❤♥✉♥❣ ✈♦♥ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✉♥❞ ❑♦♠♣❧❡①✐tät ✐♥ ❩❡✐tr❡✐❤❡♥ ✕ ❆♥❛❧②s❡ ❞❡s ❲❛ss❡r❤❛✉s❤❛❧t❡s ✈♦♥ ❜❡✇❛❧❞❡t❡♥ ❊✐♥③✉❣s❣❡❜✐❡t❡♥✳ ❉✐ss❡rt❛t✐♦♥✱ ❯♥✐✈❡rs✐tät ❇❛②r❡✉t❤✳ ❏✳❏✳▼✳▼✳ ❘✉tt❡♥ ✭✷✵✵✵✮✳ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❝♦❛❧❣❡❜r❛✿ ❛ t❤❡♦r② ♦❢ s②st❡♠s✳ ❚❤❡♦r✳ ❈♦♠♣✳ ❙❝✐✳ ✷✹✾✭✶✮✱ ♣♣✳ ✸✕✽✵✳ ❇✳ ❚r❛♥❝ó♥ ② ❲✐❞❡♠❛♥♥✱ ▼✳ ❍❛✉❤s ✭✷✵✵✾✮✳ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛s ❛ ▼♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❊❝♦s②st❡♠s✳ ■♥ ❏✳ ❑♥♦♦♣✱ ❆✳ Pr❛♥t❧ ✭❡❞s✳✮✳ Pr♦❣r❛♠♠✐❡rs♣r❛❝❤❡♥ ✉♥❞ ●r✉♥❞❧❛❣❡♥ ❞❡r Pr♦❣r❛♠♠✐❡r✉♥❣❀ P♦st✲Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ❑P❙ ✷✵✵✾✳ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❘❡♣♦rt ✷✵✵✾✲❳■■✲✶✱ ♣♣✳ ✶✽✻✕✷✵✶✳ ■♥st✐t✉t ❢ür ❈♦♠♣✉t❡rs♣r❛❝❤❡♥✱ ❚❡❝❤♥✐s❝❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐tät ❲✐❡♥✳ ❍❛✉❤s✱ ❚r❛♥❝ó♥ ✭❇❛②r❡✉t❤✮ ✭❈♦✮❆❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❈▼❈❙ ✷✵✶✵ ✷✻ ✴ ✷✻