t r 1 s - PDF document

❙✲❞✉❛❧✐t② ❛♥❞ ♥❡✇ r❛♥❦ 1 ❙❈❋❚s ❜② ❏♦❤♥ ❲✐tt✐❣ ■♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ P❤✐❧✐♣ ❆r❣②r❡s ❛♥❞ P❛✉❧ ❊s♣♦s✐t♦ ✶

❆r❣②r❡s✲❙❡✐❜❡r❣ ❉✉❛❧✐t② ✭P❈❆ ✫ ◆❙✱ ✵✼✶✶✳✵✵✺✹✮ � � ˜ g [ d i ] ✇✴ r ≃ � d i ✇✴ ( � r ⊕ SCFT [ d, h ]) g • ▲❍❙✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣✱ g ✱ ✇✐t❤ ❤❛❧❢✲ ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s r ✳ • ❘❍❙✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ r❛♥❦ ✶ s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛ss ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤ ✈❡✈ d ❛♥❞ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ h ✳ ❲❡ ❣❛✉❣❡ ❛ s✉❜❣r♦✉♣✱ ˜ g ✱ ♦❢ h ❛♥❞ ❛❞❞ ❤❛❧❢✲ ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ❝❤❛r❣❡❞ ✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ˜ r ♦❢ ˜ g ✳ ❚❤❡ ✇❛② t♦ t❤✐♥❦ ♦❢ N = 2 s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ✐s t❤❛t t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤ ✈❡✈ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣ ✐♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s✳ ✷

❈r✐t❡r✐❛ ❢♦r ❉✉❛❧✐t② ✭P❈❆ ✫ ❏❘❲✱ ✵✼✶✷✳✷✵✷✽✮ � � ˜ g [ d i ] ✇✴ r ≃ � d i ✇✴ ( � r ⊕ SCFT [ d, h ]) g ✶✳ ❚❤❡ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣ ❛♥❞ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤ ✈❡✈s✳ • ④ d i ⑥ ❂ ④ ˜ d i ⑥ ∪ ④ d ⑥ ✷✳ ❚❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② ❛❧❣❡❜r❛s✳ • f = ˜ f ⊕ H ✸✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❜❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ✇❡❛❦❧② ❣❛✉❣✐♥❣ t❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr②✳ • T ( r ) = T ( � r ) + k h · I f ֒ → h ✹✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣s✳ • 2 · T ( � g ) = T ( � r ) + k h · I � g ֒ → h ✺✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ U (1) R ✭❛♥❞ s✉❜s❡q✉❡♥t❧② t❤❡ c ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❛♥♦♠❛❧②✮ s②♠♠❡tr② ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡✳ • (3 / 2) · k R = 24 · c = 4 · ( | g | − | � g | ) + ( | r | − | � r | ) ✻✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ a ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❛♥♦♠❛❧②✳ • 48 · a = 10 · ( | g | − | � g | ) + ( | r | − | � r | ) ✼✳ ❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❣❧♦❜❛❧ Z 2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ t♦ ❣❛✉❣✲ ✐♥❣ t❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr②✳ ✸

4 · (2 · a − c ) = | g | • ■♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s✱ t❤❡ a ❛♥❞ c ❛♥♦♠❛❧✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② t✬ ❍♦♦❢t ❛♥♦♠❛❧② ♠❛t❝❤✲ ✐♥❣✳ • ❲❤❡♥ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t N = 2 s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r✐❡s ✇❡ ✜♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❛♠♦♥❣st a ❛♥❞ c ✳ • 4 · (2 a − c ) = | g | = � i (2 d i − 1) ✳ • ◆♦✇ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❝r✐t❡r✐❛ ✭✶✮✱ ✭✺✮✱ ❛♥❞ ✭✻✮✿ 4 · (2 a − c ) = (2 d − 1) • ❘❡❝❡♥t ✇♦r❦ ❜② ❙❤❛♣❡r❡ ❛♥❞ ❚❛❝❤✐❦❛✇❛ ✭❆❙ ✫ ❨❚✱ ✵✽✵✹✳✶✾✺✼✮ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤✐s ❢♦r♠✉❧❛ ✐s tr✉❡ ❢♦r ❛ ❧❛r❣❡ ❝❧❛ss ♦❢ t❤❡♦r✐❡s✳ ✹

Z 2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ ✲ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ G 2 ✇✴ 8 · 7 ≃ SU (2) ✇✴ ( 2 ⊕ SCFT [6 , Sp (5)]) • ❙✐♥❝❡ t❤❡ 7 ♦❢ G 2 ✐s ❛ r❡❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ✐s Sp (4) ✳ ■❢ ✇❡ tr② t♦ ❣❛✉❣❡ t❤✐s Sp (4) ✇❡ ❣❡t ❛ Z 2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ❛r❡ 7 ❤❛❧❢✲❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ✐♥ t❤❡ 8 ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣s❡✉❞♦r❡❛❧✱ ♦❢ Sp (4) ✳ • ❚❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❘❍❙ ✐s SU (2) ⊕ Sp (4) ⊂ Sp (5) ✇✐t❤ I SU (2) ֒ → Sp ( 5 ) = I Sp (4) ֒ → Sp (5) = 1 ✳ • ❚❤❡ Sp (5) ♠✉st ❤❛✈❡ ❛ Z 2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ t♦ ❝❛♥❝❡❧ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧② ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❤❛❧❢✲❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡t ✐♥ t❤❡ 2 ♦❢ SU (2) ✳ • ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ Sp (4) ✱ ♦♥ t❤❡ ❘❍❙✱ ❤❛s ❛ Z 2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ ♠❛t❝❤✐♥❣ t❤❡ ▲❍❙✳ ❚❤❡ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ t❤✐s ✇❛s ✜rst ✇♦r❦❡❞ ♦✉t ❜② ❲✐tt❡♥✱ ❆♥ SU (2) ❆♥♦♠❛❧②✱ P❤②s✳▲❡tt✳❇✶✶✼✿✸✷✹✲✸✷✽✱✶✾✽✷✳ ✺

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❉✉❛❧✐t② ˜ ˜ SCFT [ d : h ] g g r r 1 Sp (3) 14 ⊕ 11 · 6 Sp (2) [6 : E 8 ] 20 ⊕ 15 ⊕ 15 ⊕ 5 · 6 ⊕ 5 · ¯ 5 ⊕ ¯ 2 SU (6) SU (5) [6 : E 8 ] 6 5 ⊕ 10 ⊕ 10 3 · 32 ⊕ 32 ′ ⊕ 4 · 12 3 SO (12) SO (11) 3 · 32 [6 : E 8 ] 4 G 2 8 · 7 SU (2) [6 : Sp (5)] 2 5 SO (7) 4 · 8 ⊕ 6 · 7 Sp (2) 5 · 4 [6 : Sp (5)] 21 ⊕ 21 ⊕ 20 ⊕ 6 ⊕ ¯ 6 SU (6) 6 SU (5) 10 ⊕ 10 [6 : Sp (5)] 7 Sp (2) 12 · 4 SU (2) [4 : E 7 ] 2 · 6 ⊕ 6 · 4 ⊕ 6 · ¯ 2 · 3 ⊕ 2 · ¯ 8 SU (4) SU (3) [4 : E 7 ] 4 3 9 SO (7) 6 · 8 ⊕ 4 · 7 G 2 4 · 7 [4 : E 7 ] 6 · 8 ⊕ 4 · 8 ′ ⊕ 2 · 8 ” 10 SO (8) SO (7) 6 · 8 [4 : E 7 ] 11 SO (8) 6 · 8 ⊕ 6 · 8 ′ [4 : E 7 ] ⊕ [4 : E 7 ] G 2 12 Sp (2) 6 · 5 SU (2) [4 : Sp (3) ⊕ SU (2)] 13 Sp (2) 4 · 4 ⊕ 4 · 5 SU (2) 3 · 2 [4 : Sp (3) ⊕ SU (2)] 10 ⊕ 10 ⊕ 2 · 4 ⊕ 2 · ¯ 3 ⊕ ¯ 14 SU (4) SU (3) [4 : Sp (3) ⊕ SU (2)] 4 3 6 · 3 ⊕ 6 · ¯ 15 SU (3) 3 SU (2) 2 · 2 [3 : E 6 ] 4 · 6 ⊕ 4 · 4 ⊕ 4 · ¯ 16 SU (4) Sp (2) 6 · 4 [3 : E 6 ] 4 3 ⊕ ¯ 3 ⊕ 6 ⊕ ¯ 17 SU (3) SU (2) [3 : h ] 6 n · 2 ✻

❘❡s✉❧ts✿ ◆❡✇ ❙❈❋❚✬s d k h 24 · c 48 · a h Z 2 6 12 124 190 E 8 ♥♦ 6 Sp (5) 7 98 164 ②❡s 4 E 7 8 76 118 ♥♦ 4 Sp (3) ⊕ SU (2) 5 ⊕ 8 58 100 ②❡s ⊕ ♥♦ 3 6 52 82 E 6 ♥♦ 8 − n 3 38 − 2 n 68 − 2 n h ❄ I SU (2) ֒ → h • ❚❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡s ♦❢ t❤❡ E 6 ✱ E 7 ✱ ❛♥❞ E 8 ✢❛✲ ✈♦r s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣s ✇❡r❡ ❝♦♥✜r♠❡❞ ❜② ❛♥ ❋✲ t❤❡♦r② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❜② ❆❤❛r♦♥② ❛♥❞ ❚❛❝❤✐❦❛✇❛✱ ✵✼✶✶✳✹✺✸✷✳ ✼

❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❚❤❡♦r② • ❚❤❡ ♣❤②s✐❝s ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ❜②✿ ✕ t❤❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❝✉r✈❡✿ y 2 = x 3 + f ( u, m i ) x + g ( u, m i ) ✕ t❤❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ 1 ✲❢♦r♠✿ λ SW • ❋r♦♠ N = 2 s✉s②✱ M 2 ≥ | Z | 2 • U (1) ❝❤❛r❣❡s ♦❢ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ st❛t❡ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❤♦♠♦❧♦❣② ❝❧❛ss ♦❢ ❝②❝❧❡✱ γ ✳ • ❚❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ γ ¸ ✐s Z = γ λ SW ✳ • λ SW s❛t✐s✜❡s ∂ u λ SW = d x y + ∂ x ( ∗ ) d x ✳ • ❚❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛r❡ ❛t✿ ∆ = 4 · f 3 − 27 · g 2 = 0 ✳ ✕ P❤②s✐❝❛❧❧②✱ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❛ ❜r❡❛❦❞♦✇♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ ❝❤❛r❣❡❞ st❛t❡s ❜❡❝♦♠❡ ♠❛ss❧❡ss✳ ✽