t r 1 s - - PDF document

❙✲❞✉❛❧✐t② ❛♥❞ ♥❡✇ r❛♥❦ 1 ❙❈❋❚s

❜② ❏♦❤♥ ❲✐tt✐❣

■♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ P❤✐❧✐♣ ❆r❣②r❡s ❛♥❞ P❛✉❧ ❊s♣♦s✐t♦

✶

❆r❣②r❡s✲❙❡✐❜❡r❣ ❉✉❛❧✐t② ✭P❈❆ ✫ ◆❙✱

✵✼✶✶✳✵✵✺✹✮

g [di] ✇✴ r ≃ g

• ˜

di

• ✇✴ (

r ⊕ SCFT [d, h])

• ▲❍❙✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣✱ g✱ ✇✐t❤ ❤❛❧❢✲

❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s r✳

• ❘❍❙✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ r❛♥❦ ✶ s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✜①❡❞

♣♦✐♥t ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛ss ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤ ✈❡✈ d ❛♥❞ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ h✳ ❲❡ ❣❛✉❣❡ ❛ s✉❜❣r♦✉♣✱ ˜ g✱ ♦❢ h ❛♥❞ ❛❞❞ ❤❛❧❢✲ ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ❝❤❛r❣❡❞ ✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ˜ r ♦❢ ˜ g✳ ❚❤❡ ✇❛② t♦ t❤✐♥❦ ♦❢ N = 2 s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ✐s t❤❛t t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤ ✈❡✈ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣ ✐♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s✳

✷

❈r✐t❡r✐❛ ❢♦r ❉✉❛❧✐t② ✭P❈❆ ✫ ❏❘❲✱ ✵✼✶✷✳✷✵✷✽✮

g [di] ✇✴ r ≃ g

• ˜

di

• ✇✴ (

r ⊕ SCFT [d, h])

✶✳ ❚❤❡ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣ ❛♥❞ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢

t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤ ✈❡✈s✳

• ④di⑥ ❂ ④˜

di⑥ ∪ ④d⑥

✷✳ ❚❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② ❛❧❣❡❜r❛s✳

• f = ˜

f⊕H

✸✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❜❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ✇❡❛❦❧②

❣❛✉❣✐♥❣ t❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr②✳

• T (r) = T (

r) + kh · If ֒

→h ✹✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣s✳

• 2·T (

g) = T ( r) + kh · I

g֒ →h ✺✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ U (1)R ✭❛♥❞ s✉❜s❡q✉❡♥t❧②

t❤❡ c ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❛♥♦♠❛❧②✮ s②♠♠❡tr② ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡✳

• (3/2) · kR = 24 · c = 4 · (|g| − |

g|) + (|r| − | r|)

✻✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ a ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❛♥♦♠❛❧②✳

• 48 · a = 10 · (|g| − |

g|) + (|r| − | r|)

✼✳ ❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❣❧♦❜❛❧ Z2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ t♦ ❣❛✉❣✲

✐♥❣ t❤❡ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr②✳

✸

4 · (2 · a − c) = |g|

• ■♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s✱ t❤❡ a ❛♥❞ c ❛♥♦♠❛❧✐❡s

❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② t✬ ❍♦♦❢t ❛♥♦♠❛❧② ♠❛t❝❤✲ ✐♥❣✳

• ❲❤❡♥ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t N = 2 s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣❛✉❣❡

t❤❡♦r✐❡s ✇❡ ✜♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❛♠♦♥❣st a ❛♥❞ c✳

• 4 · (2a − c) = |g| =

i (2di − 1)✳

• ◆♦✇ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❝r✐t❡r✐❛ ✭✶✮✱ ✭✺✮✱ ❛♥❞ ✭✻✮✿ 4 ·

(2a − c) = (2d − 1)

• ❘❡❝❡♥t ✇♦r❦ ❜② ❙❤❛♣❡r❡ ❛♥❞ ❚❛❝❤✐❦❛✇❛ ✭❆❙

✫ ❨❚✱ ✵✽✵✹✳✶✾✺✼✮ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤✐s ❢♦r♠✉❧❛ ✐s tr✉❡ ❢♦r ❛ ❧❛r❣❡ ❝❧❛ss ♦❢ t❤❡♦r✐❡s✳

✹

Z2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ ✲ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡

G2 ✇✴ 8 · 7 ≃ SU (2) ✇✴ (2 ⊕ SCFT [6, Sp (5)])

• ❙✐♥❝❡ t❤❡ 7 ♦❢ G2 ✐s ❛ r❡❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡

✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ✐s Sp (4)✳ ■❢ ✇❡ tr② t♦ ❣❛✉❣❡ t❤✐s Sp (4) ✇❡ ❣❡t ❛ Z2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ❛r❡ 7 ❤❛❧❢✲❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ✐♥ t❤❡ 8✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣s❡✉❞♦r❡❛❧✱ ♦❢ Sp (4)✳

• ❚❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❘❍❙ ✐s SU(2) ⊕ Sp (4) ⊂

Sp (5) ✇✐t❤ ISU(2)֒

→Sp(5) = ISp(4)֒ →Sp(5) = 1✳

• ❚❤❡ Sp (5) ♠✉st ❤❛✈❡ ❛ Z2 ♦❜str✉❝t✐♦♥ t♦ ❝❛♥❝❡❧

t❤❡ ❛♥♦♠❛❧② ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❤❛❧❢✲❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡t ✐♥ t❤❡ 2 ♦❢ SU (2)✳

• ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ Sp (4)✱ ♦♥ t❤❡ ❘❍❙✱ ❤❛s ❛ Z2

♦❜str✉❝t✐♦♥ ♠❛t❝❤✐♥❣ t❤❡ ▲❍❙✳ ❚❤❡ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ t❤✐s ✇❛s ✜rst ✇♦r❦❡❞ ♦✉t ❜② ❲✐tt❡♥✱ ❆♥ SU (2) ❆♥♦♠❛❧②✱ P❤②s✳▲❡tt✳❇✶✶✼✿✸✷✹✲✸✷✽✱✶✾✽✷✳

✺

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❉✉❛❧✐t②

g r ˜ g ˜ r SCFT [d : h] 1 Sp (3) 14 ⊕ 11 · 6 Sp (2) [6 : E8] 2 SU (6) 20 ⊕ 15 ⊕ 15 ⊕ 5 · 6 ⊕ 5 · ¯ 6 SU (5) 5 ⊕ ¯ 5 ⊕ 10 ⊕ 10 [6 : E8] 3 SO (12) 3 · 32 ⊕ 32′ ⊕ 4 · 12 SO (11) 3 · 32 [6 : E8] 4 G2 8 · 7 SU (2) 2 [6 : Sp (5)] 5 SO (7) 4 · 8 ⊕ 6 · 7 Sp (2) 5 · 4 [6 : Sp (5)] 6 SU (6) 21 ⊕ 21 ⊕ 20 ⊕ 6 ⊕ ¯ 6 SU (5) 10 ⊕ 10 [6 : Sp (5)] 7 Sp (2) 12 · 4 SU (2) [4 : E7] 8 SU (4) 2 · 6 ⊕ 6 · 4 ⊕ 6 · ¯ 4 SU (3) 2 · 3 ⊕ 2 · ¯ 3 [4 : E7] 9 SO (7) 6 · 8 ⊕ 4 · 7 G2 4 · 7 [4 : E7] 10 SO (8) 6 · 8 ⊕ 4 · 8′ ⊕ 2 · 8” SO (7) 6 · 8 [4 : E7] 11 SO (8) 6 · 8 ⊕ 6 · 8′ G2 [4 : E7] ⊕ [4 : E7] 12 Sp (2) 6 · 5 SU (2) [4 : Sp (3) ⊕ SU (2)] 13 Sp (2) 4 · 4 ⊕ 4 · 5 SU (2) 3 · 2 [4 : Sp (3) ⊕ SU (2)] 14 SU (4) 10 ⊕ 10 ⊕ 2 · 4 ⊕ 2 · ¯ 4 SU (3) 3 ⊕ ¯ 3 [4 : Sp (3) ⊕ SU (2)] 15 SU (3) 6 · 3 ⊕ 6 · ¯ 3 SU (2) 2 · 2 [3 : E6] 16 SU (4) 4 · 6 ⊕ 4 · 4 ⊕ 4 · ¯ 4 Sp (2) 6 · 4 [3 : E6] 17 SU (3) 3 ⊕ ¯ 3 ⊕ 6 ⊕ ¯ 6 SU (2) n · 2 [3 : h]

✻

❘❡s✉❧ts✿ ◆❡✇ ❙❈❋❚✬s

d h kh 24 · c 48 · a Z2 6 E8 12 124 190 ♥♦ 6 Sp (5) 7 98 164 ②❡s 4 E7 8 76 118 ♥♦ 4 Sp (3) ⊕ SU (2) 5 ⊕ 8 58 100 ②❡s⊕♥♦ 3 E6 6 52 82 ♥♦ 3 h

8−n ISU(2)֒

→h

38 − 2n 68 − 2n ❄

• ❚❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡s ♦❢ t❤❡ E6✱ E7✱ ❛♥❞ E8 ✢❛✲

✈♦r s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣s ✇❡r❡ ❝♦♥✜r♠❡❞ ❜② ❛♥ ❋✲ t❤❡♦r② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❜② ❆❤❛r♦♥② ❛♥❞ ❚❛❝❤✐❦❛✇❛✱ ✵✼✶✶✳✹✺✸✷✳

✼

❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❚❤❡♦r②

• ❚❤❡ ♣❤②s✐❝s ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ❜②✿

✕ t❤❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❝✉r✈❡✿ y2 = x3+f (u, mi) x+

g (u, mi)

✕ t❤❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ 1✲❢♦r♠✿ λSW

• ❋r♦♠ N = 2 s✉s②✱ M 2 ≥ |Z|2
• U(1) ❝❤❛r❣❡s ♦❢ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ st❛t❡ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜②

t❤❡ ❤♦♠♦❧♦❣② ❝❧❛ss ♦❢ ❝②❝❧❡✱ γ✳

• ❚❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ γ

✐s Z = ¸

γ λSW✳

• λSW s❛t✐s✜❡s ∂uλSW = dx

y + ∂x (∗) dx✳

• ❚❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛r❡ ❛t✿ ∆ = 4 · f 3 − 27 · g2 = 0✳

✕ P❤②s✐❝❛❧❧②✱ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦

❛ ❜r❡❛❦❞♦✇♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇✲❡♥❡r❣② ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ ❝❤❛r❣❡❞ st❛t❡s ❜❡❝♦♠❡ ♠❛ss❧❡ss✳

✽

❈❡♥tr❛❧ ❈❤❛r❣❡s ❛♥❞ ❈✉r✈❡s

❘❡❝❡♥t❧②✱ ❙❤❛♣❡r❡ ❛♥❞ ❚❛❝❤✐❦❛✇❛ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ ❛ t♦♣♦✲ ❧♦❣✐❝❛❧ t✇✐st❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ t❤❡♦r✐❡s t♦ r❡❧❛t❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❝✉r✈❡ t♦ ♥✉♠❡r✲ ✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧✐❡s ❛♥❞ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡s✳ ❚❤❡s❡ r❡s✉❧ts ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ ❣❡t ❛ ❤❛♥❞❧❡ ♦♥✿

• t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✉tr❛❧ ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts
• t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥

❝✉r✈❡✳ ■♥ t❤❡ t✇✐st❡❞ t❤❡♦r② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛t❤ ✐♥t❡✲ ❣r❛❧ ✐♥✈♦❧✈❡s ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐✳

✶✳ ❚❤❡ s❝❛❧✐♥❣ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❡♥✲

❝♦❞❡s t❤❡ ❘✲❛♥♦♠❛❧② ♦❢ t❤❡ st❛t❡s t❤❛t ❛r❡ ❜❡❝♦♠✐♥❣ ♠❛ss❧❡ss ❛t ❛ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ✐♥ ♠♦❞✉❧✐ s♣❛❝❡✳

✷✳

´ [du] [dq] AχBσCne−Slow−energy

✭❛✮ [du] ✫ [dq] r❡♣r❡s❡♥t ✈❡❝t♦r ♠✉❧t✐♣❧❡ts ❛♥❞

♥❡✉tr❛❧ ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ♠❛ss❧❡ss ♦♥ ♠♦❞✉❧✐ s♣❛❝❡✳

✭❜✮ χ ❛♥❞ σ ❛r❡ t❤❡ ❊✉❧❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❛♥❞ t❤❡

s✐❣♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ 4✲♠❛♥✐❢♦❧❞✳

✭❝✮ A2 = det

• ∂ui

∂aj

• ✭❞✮ B8 = Radical [△]

✾

❘❡s✉❧ts ❢♦r 1❉ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤❡s

❚❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❘✲❝❤❛r❣❡s ✐s✿ R (♯) = 2 · D (♯)✳ ❚❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡s ❛r❡ t❤❡♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ t♦ ❜❡✿

✶✳ 48 · a = 12 · R (A) + 8 · R (B) + 10 · r + 2 · h ✷✳ 24 · c = 8 · R (B) + 4 · r + 2 · h ✭❛✮ r ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈♦✉❧♦♠❜

❜r❛♥❝❤✳

✭❜✮ h ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛ss❧❡ss ♥❡✉tr❛❧ ❤②♣❡r✲

♠✉❧t✐♣❧❡ts ♦♥ ♠♦❞✉❧✐ s♣❛❝❡✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ✭1 ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤❡s✮ t❤❡ ❘✲❝❤❛r❣❡s ❛r❡✿

• R (A) = d − 1
• R (B) = 1

4 · Z · d ✕ Z ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ❙✲❲

❝✉r✈❡✳ ◆♦t✐❝❡✿

• 4·(2 · a − c) = 2·R (A)+r = 2·(d − 1)+1 = 2·d−1

❘❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ a ❛♥❞ c ✐s ❝♦♠✲ ❢♦rt✐♥❣✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ r = 1 ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t✇♦ r❡❧❛t✐♦♥s✿

✶✳ 24 · c = 2 · Z · d + 4 + 2 · h ✷✳ kh = 2 · d − h ✶✵

❘❡s✉❧ts✱ ❘❡✈✐s✐t❡❞

d h Z 2 · h r❡♣✳ 6 E8 10 ◆✴❆ 6 Sp (5) 7 10 10✭s✮ 4 E7 9 ◆✴❆ 4 Sp (3) ⊕ SU (2) 6 (6, 0) 6 ⊕ 1✭s✮ 3 E6 8 ◆✴❆ 3 SU (3) 4 6 3 ⊕ ¯ 3✭❝✮

• ❚✇♦ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ t❤❡

E6 s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❛♥❞ ✢❛✈♦r s②♠♠❡tr② SU (3) ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝♦♥str✉❝t❡❞✳

• ❚❤❡ ♥❡✉tr❛❧ ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ Z2

♦❜str✉❝t✐♦♥✳

✶✶

❋✉t✉r❡ ❉✐r❡❝t✐♦♥s

• ❯s❡ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥✲

❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ ♦t❤❡r t❡❝❤♥✐q✉❡s t♦ ❝♦♠✲ ♣✉t❡✿

✕ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ ❝✉r✈❡s ❢♦r t❤❡ ♥❡✇ ♠❛ss ❞❡✲

❢♦r♠❛t✐♦♥s✳

✕ ❙❡✐❜❡r❣✲❲✐tt❡♥ 1✲❢♦r♠s ❢♦r t❤❡ ♥❡✇ ♠❛ss

❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s✳

• ❆tt❡♠♣t ❛ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ ♠❛ss ❞❡❢♦r♠❛✲

t✐♦♥s ♦❢ N = 2 s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ t❤❡♦r✐❡s ✇✐t❤ ❛ 1❉ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤✳

• ❆tt❡♠♣t✱ ✉s✐♥❣ t❤❡s❡ ♥❡✇ t❡❝❤♥✐q✉❡s✱ t♦ ❡①✲

t❡♥❞ ✭❝♦♠♣❧❡t❡✮ ♦✉r ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ N = 2 s✉♣❡r❝♦♥❢♦r♠❛❧ t❤❡♦r✐❡s ✇✐t❤ ❛ 2❉ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜r❛♥❝❤✳

✶✷