[PDF] - SURGERY ON TREES ANDREW RANICKI Homotop y vs. homeomo rphism PDF Document

SLIDE 1

SURGERY ON TREES

ANDREW RANICKI

Homotop

y vs. homeomo rphism

T

ransversalit y

Co

dimension 1 submanifolds

Seifert-V

an Kamp en Theo rem

Ma

y er-Vieto ris exact sequence

Algeb

raic K

and L
theo

ry 1

SLIDE 2 Homotop y vs. homeomo rphism

A

class

f

manifolds is rigid if every homotop y equivalence

f

manifolds in the class is homotopic to a homeomo rphism.

Main

example

f

a rigid class: hyp erb

lic

manifolds, including all

riented

2-dimensional manifolds.

Bo

rel conjecture: aspherical manifolds a re rigid.

In

general, manifolds a re not rigid and there a re many distinct homeomo rphism classes

f

manifolds within a homotop y t yp e. 2

SLIDE 3 Surgery

bstruction

theo ry

Surgery

theo ry p rovides systematic

bstruc-

tion theo ry in dimensions n ≥ 5 fo r deciding if a homotop y equivalence

f n-dimensional

manifolds f : Mn → X is homotopic to a homeomo rphism.

Obstructions

involve the algeb raic K

and

L

theo

ry

f

mo dules and quadratic fo rms

ver

the group ring Z [π ]

f

the fundamental group π = π 1 (X ). 3

SLIDE 4 Co dimension 1 metho ds in top

logy
Study
f

3-manifolds via surfaces N 2⊂M 3 .

The

Eilenb erg{Steenro d excision axiom fo r homology is a co dimension 1 transversalit y requirement.

Co

dimension 1 submanifolds Nn− 1 ⊂ Mn pla y a central role in: { Novik

v's

p ro

f
f

the top

logical

inva riance

f

the rational P

ntrjagin

classes (1966) { Kirb y-Sieb enmann structure theo ry

f

high dimensional top

logical

manifolds (1969) { Chapman's p ro

f
f

the top

logical

inva riance

f

Whitehead to rsion (1974) { controlled top

logy

. 4

SLIDE 5 Geometric transversalit y

Let X

b e a space with a subspace

Y × R ⊂ X .

Identify Y = Y × {0} ⊂ Y × R .

T

ransversalit y theo rem: every map from an

n-dimensional

manifold

f

: Mn → X is homotopic to a map which is transverse at Y ⊂ X , with

Nn−

1 = f− 1 (Y ) ⊂ Mn a co dimension 1 submanifold. 5

SLIDE 6 Splitting homotop y equivalences

A

homotop y equivalence f : Mn → X splits along Y ⊂ X if it is homotopic to

ne

fo r which the restrictions

f|

: Nn− 1 = f− 1 (Y ) → Y ,

f|

: M\N = f− 1 (X\Y ) → X\Y a re also homotop y equivalences.

Co

dimension 1 splitting necessa ry along all

Y ⊂ X

(and sometimes sucient) fo r f to b e homotopic to a homeomo rphism.

W

aldhausen (1969) p roved that Hak en 3- dimensional manifolds a re rigid, using co dimension 1 splitting metho ds. 6

SLIDE 7 Non-splitting homotop y equivalences

In

general, homotop y equivalences do not split along co dimension 1 submanifolds, with b

th K
and L
theo

ry

bstructions.
F

a rrell and Hsiang (1970) p roved that fo r

n ≥

6 a homotop y equivalence f : Mn →

X × S

1 splits along X × {pt.} ⊂ X × S 1 if and

nly

if τ (f ) ∈ im (Wh(π ) → Wh(π×Z )),

π

= π 1 (X ) (Whitehead to rsion).

Capp

ell (1972) used a pa rtial computation

f

the L

theo

ry

f

the innite dihedral group

D∞

= Z 2∗Z 2 to construct homotop y equivalences h : M 4k +1 → RP 4k +1 #RP 4k +1 fo r

k ≥

1 which do not split along the sep- a rating co dimension 1 submanifold in the connected sum S 4k ⊂ RP 4k +1 #RP 4k +1 . 7

SLIDE 8 Object

f

the exercise

Invent

algeb ra which is suciently exible to have the geometric transversalit y p rop- erties

f

manifolds.

Identify

the dierence b et w een homotop y equivalences and homeomo rphisms

f

manifolds with the extent to which the K

and

L

groups
f

the fundamental group ring

Z

[π ] have this exibilit y .

Computations

in algeb raic K

and L
theo

ry a re used in t w

directions,

to p rove that: { some homotop y equivalences

f

manifolds a re denitely homotopic to home-

mo

rphisms {

thers

a re denitely not homotopic to homeomo rphisms. 8

SLIDE 9 The t w

cases
X, Y

connected, Y × R ⊂ X .

Case

A: The complement X\Y = X 1 ∪ X 2 is disconnected. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X

1

X

2

Y X

Case

B: The complement X\Y is connected. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X\Y Y X

9

SLIDE 10 The Seifert{van Kamp en Theo rem

The

fundamental group

f

a connected space

X

with a connected subspace Y ⊂ X is determined b y the fundamental groups

f Y

,

X\Y

.

Case

A: amalgamated free p ro duct

π

1 (X ) = π 1 (X 1 ) ∗π 1 (Y ) π 1 (X 2 ) { Example: X = S 1 ∨ S 1 , Y = {pt.}.

Case

B: HNN extension

π

1 (X ) = π 1 (X\Y ) ∗π 1 (Y ) {t} { Example: X = S 1 , Y = {pt.}.

Amalgamated

free p ro ducts and HNN extensions a re the groups which act

n

trees with quotient I and S 1 (Bass-Serre). 10

SLIDE 11 The Ma y er{Vieto ris exact sequence

The

homology

f X

is determined b y the homologies

f Y

, X\Y b y the Ma y er{Vieto ris exact sequence. { Case A: X = X 1 ∪Y X 2

. . . → Hn

(Y ) → Hn (X 1 ) ⊕ Hn (X 2 )

→ Hn

(X ) → Hn− 1 (Y ) → . . . . { Case B:

. . . → Hn

(Y ) → Hn (X\Y )

→ Hn

(X ) → Hn− 1 (Y ) → . . . with t w

inclusions Y → X\Y

.

Proved

b y co dimension 1 transversalit y

n

cycle level. 11

SLIDE 12 The Whitehead group

The

Whitehead group Wh(π )

f

a group π is the ab elian group

f

equivalence classes

f

invertible k × k matrices with entries in

Z

[π ] fo r all integers k ≥ 1, mo dulo the equivalence relation generated b y Gaussian elimination and stabilization b y direct sum with identit y matrices. (Whitehead, 1939)

A

nonsingula r matrix

ver Z

[π ] can b e reduced to the identit y matrix b y elemen- ta ry ro w and column

p

erations if and

nly

if it rep resents in the Whitehead group Wh(π ). 12

SLIDE 13 Higman

Initiated

the algeb raic computation

f

the Whitehead group { Units in group rings (1940)

Wh({1})

= b y Gaussian elimination fo r matrices with entries in Z .

Wh(Z

) = 0, Wh(Z 5 ) = 0. 13

SLIDE 14 Whitehead to rsion

A

homotop y equivalence f : M → N

f

compact p

lyhedra

has a Whitehead to rsion

τ

(f ) ∈ Wh(π 1 (N )) such that: { τ (f ) = τ (g ) if f, g : M → N homotopic, { τ (f ) = if f is a homeomo rphism.

There

exist 3-dimensional lens space manifolds M, N which a re homotop y equiva- lent but not homeomo rphic, with homotop y equivalences f : M → N such that

τ

(f ) = 0. (Reidemeister, Whitehead, 1930's).

Generalized

Whitehead groups Whn (π ) dened fo r n ∈ Z (Bass fo r n ≤ −1, Quillen fo r n ≥ 3) with Wh 1 (π ) = Wh(π ), and Wh (π ) =

K

(Z [π ]) the reduced p rojective class group. 14

SLIDE 15 W aldhausen's theo rem

Theo

rem (1976) The generalized White- head groups Wh∗ (X ) = Wh∗ (π 1 (X ))

f

a connected space X with connected Y

⊂ X

t into exact sequences

f

the Ma y er{ Vieto ris t yp e: { Case A: X\Y disconnected X =X 1∪Y X 2

. . . →

Whn (Y ) → Whn (X 1 ) ⊕ Whn (X 2 )

→

Whn (X ) → Whn− 1 (Y ) ⊕ Niln → . . . . { Case B: X\Y connected

. . . →

Whn (Y ) → Whn (X\Y )

→

Whn (X ) → Whn− 1 (Y ) ⊕ Niln → . . . .

Co

rolla ry Wh∗ (π ) = fo r the fundamental groups π

f

Hak en 3-manifolds. 15

SLIDE 16 Capp ell's theo rem

The

unita ry nilp

tent

groups UNiln a re the

bstructions

to a Ma y er-Vieto ris exact sequence in the algeb raic L

theo

ry

f

groups acting

n

trees (= amalgamated free p ro d- ucts and HNN extensions).

Theo

rem (1976) F

r n ≥

6 a homotop y equivalence

f n-dimensional

manifolds f :

Mn → X

splits along a co dimension 1 submanifold Y ⊂ X if and

nly

if Nil and UNil

bstructions

vanish.

Proved

geometrically , using the entire ap- pa ratus

f

the Bro wder-Novik

v-Sullivan-

W all surgery theo ry . 16

SLIDE 17 Chain complexes

The

algeb raic K

groups

dened b y chain complexes .

"Whatever

can b e done fo r abstract K

groups

can b e done (usually with mo re dicult y) fo r the L

groups"

(C.T.C.W all)

The

algeb raic L

groups

dened b y chain complexes with P

inca

r

e

dualit y. 17

SLIDE 18 Algeb raic transversalit y

Chain

complexes

ver

the group ring Z [π ]

f

a group π which is an amalgamated free p ro duct π 1 ∗ρ π 2

r

an HNN extension

π

1 ∗ρ {t} have the transversalit y p rop erties

f

manifolds with these fundamental groups.

Algeb

raic transversalit y: if C is a Z [π ]-mo dule chain complex then C has co rresp

nding

co dimension 1 sub complex D ⊂ C

ver Z

[ρ ].

Can

no w p rove Capp ell's theo rem using algeb raic transversalit y fo r chain complexes with P

inca

r

e

dualit y . 18

SLIDE 19 State

f

the a rt

The

Nil and UNil groups w ere studied b y Bass-Heller-Sw an, F a rrell and Hsiang in the 60's, W aldhausen, Capp ell in the 70's, Con- nolly , Koz niewski and R. in the 90's: { ha rd to compute, { either

r

innitely generated, {

bstructions

to the integral Novik

v

conjecture.

Connolly

and R. have new results

n

the

L

theo

ry

f D∞

. 19

SLIDE 20 Tw

trees
Case

A: π = π 1 ∗ρ π 2 has tree T with

T

(0) = [π : π 1 ]∪ [π : π 2 ] ,

T

(1) = [π : ρ ] . { Example: Innite dihedral group

D∞

= Z 2 ∗{ 1} Z 2 = {s 1, s 2 | (s 1 ) 2, (s 2 ) 2}

T

= R, s 1 (x ) = −x, s 2 (x ) = 2−x, T/D∞ = I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s

1π 2

π

1

π

2

s

2π 1

s

2s 1π 2

−1

1 2 3

Case

B: π = π 1 ∗ρ {t} has tree T with

T

(0) = [π : π 1 ]

, T

(1) = [π : ρ ] . { Example: Innite cyclic group Z = {t}

T

= R

, t

(x ) = x + 1

, T/Z

= S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t−

2

t−

1 1

t t

2 20