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Jan 09, 2024 206 likes •687 views

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❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s ❦❡❡♣✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❝②❧✐♥❞r✐❝❛❧ s②♠♠❡tr② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❬❏✳ ❘✳ ❲❛✐t✱

  • ❡♦✲❊❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐s♠❪

hi h2 h3 hm T R z2 z3 zn-1 zn r z1 d1 d2 dn-1 dn μ1 μ2 μn-1 μn σ1 σ2 σn-1 σn h1

dk ❛r❡ t❤❡ t❤✐❝❦♥❡ss ♦❢ ❡❛❝❤ ❧❛②❡r✳ σk ❛♥❞ µk ❛r❡ t❤❡ ❡❧❡❝tr✐❝❛❧ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t② ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ k✲t❤ ❧❛②❡r✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ hj ❛r❡ t❤❡ ❤❡✐❣❤ts ❛❜♦✈❡ t❤❡ ❣r♦✉♥❞✳ ω ✐s t❤❡ ❛♥❣✉❧❛r ❢r❡q✉❡♥❝②✳ r ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦✐❧s✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

  • ❈❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❛❞♠✐tt❛♥❝❡✿ Nk(λ) = uk(λ)

iµkω

  • ❙✉r❢❛❝❡ ❛❞♠✐tt❛♥❝❡✿ Yk(λ) = Nk(λ)Yk+1(λ) + Nk(λ) tanh(dkuk(λ))

Nk(λ) + Yk+1(λ) tanh(dkuk(λ))

  • ❘❡✢❡❝t✐♦♥ ❢❛❝t♦r✿ R0(λ) = N0(λ) − Y1(λ)

N0(λ) + Y1(λ) ❘❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞❛r② t♦ t❤❡ ♣r✐♠❛r② ✜❡❧❞✱ HS HP ❱❡rt✐❝❛❧ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥✿ M1(σ, µ; h, ω) = −r3 ∞ λ2e−2hλR0(λ)J0(rλ) dλ ❍♦r✐③♦♥t❛❧ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥✿ M2(σ, µ; h, ω) = −r2 ∞ λe−2hλR0(λ)J1(rλ) dλ

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❲❡ ❧❡t HS HP = Mν(σ, µ; hi, ωj), ν = 1, 2, i = 1, . . . , mh, j = 1, . . . , mω, ✇❤❡r❡ ν ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥✱ mh ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❤❡✐❣❤ts ❛♥❞ mω ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s✳ ■♥ ♦✉r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐❡♠❡♥ts ✇❡ ✇✐❧❧ r❡❝♦♥str✉❝t t❤❡ ❡❧❡❝tr✐❝❛❧ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t② ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t② ✐s ❦♥♦✇♥✱ ❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✱ ❛♥❞ ✇❡ ✇✐❧❧ ❧❡t t❤❡ ✐♥t❡r✕❝♦✐❧ ❞✐st❛♥❝❡✱ r✱ t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✜tt✐♥❣ t❤❡ ♠♦❞❡❧ t♦ t❤❡ ❞❛t❛✱ t❤❛t ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❡❧❡❝tr✐❝❛❧ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t② σ✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t② ✈❡❝t♦r µ ✇❤✐❝❤ ♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ❜❡st ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s Mν(σ, µ; hi, ωj) ≈ bij ν = 1, 2, i = 1, . . . , mh, j = 1, . . . , mω. ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡rr♦r ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ rij(σ, µ; hi, ωj) = bν

ij − Mν(σ, µ; hi, ωj).

❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r hi ❛♥❞ ωj ✜①❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ✈❡❝t♦r✐③❡ t❤❡ ❞❛t❛ ✈❛❧✉❡s bν

ij ✐♥ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝❛❧ ♦r❞❡r ✐♥t♦ b ∈ Cm✱ m = 2mhmω✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❲❡ ♣r♦❝❡❡❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥s✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r Mν ∈ Cm ✱ ❛♥❞ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ✭❝♦♠♣❧❡①✮ r❡s✐❞✉❛❧ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞❛t❛ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ t❤❛t ✐s (σ∗, µ∗) = arg min

σ,µ∈Rn

1 2r(σ, µ)2.

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

■t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s

◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ r❡q✉✐r❡s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❜♦t❤ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ✈❡❝t♦r ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❛ ❧❛r❣❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✳

  • ❛✉ss✕◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞

❲❤❡♥ t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧s ❛r❡ s♠❛❧❧ ♦r ♠✐❧❞❧② ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ t❤❡ ●❛✉ss✕◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ❜❡❤❛✈❡ s✐♠✐❧❛r❧② t♦ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞✳ ❲❡ r❡♠❛r❦ t❤❛t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♦❜✈✐♦✉s❧② ❝♦♥s✐st❡♥t✱ t❤✐s ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② tr✉❡ ✐♥ ♦✉r ❝❛s❡✱ ✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦✐s❡ ✐♥ t❤❡ ❞❛t❛ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐❧❧ ❝❡rt❛✐♥❧② ❜❡ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

■t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s

❉❛♠♣❡❞ ●❛✉ss✕◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞✿ (σk+1, µk+1) = (σk + αksk, µk + αksk), ✇❤❡r❡ αk ✐s ♣❛r❛♠❡t❡r t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❛♥❞ sk ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❧❡❛st sq✉❛r❡s ♣r♦❜❧❡♠ min

s∈Rn r(σk, µk) + Jks,

✇✐t❤ Jk = J(σkµk) ✐s t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♦❢ r(σ, µ) ♦r s♦♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

■t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s

❍♦✇ t♦ ❝❤♦♦s❡ αk❄ ❆r♠✐❥♦ ●♦❧❞st❡✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❛s t❤❡ ❧❛r❣❡st ♥✉♠❜❡r ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❚❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❡♥s✉r❡s ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t ✐s ♥♦t ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

■t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s

❍♦✇ t♦ ❝❤♦♦s❡ αk❄ ❆r♠✐❥♦ ●♦❧❞st❡✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ αk ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❛s t❤❡ ❧❛r❣❡st ♥✉♠❜❡r ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ 2−i✱ i = 0, 1..., ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s r(σk, µk)2 − r(σk + αksk, µk + αksk)2 ≥ 1 2αkJksk2 ❚❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ αk ❡♥s✉r❡s ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t (σk, µk) ✐s ♥♦t ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 25

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❚❙❱❉

❚❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡ ✇❡ ✉s❡ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❧♦✇✲r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡ ❜❡st r❛♥❦ ℓ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ✷✲♥♦r♠ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❙❱❉ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ J = UΓV T ✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ✐❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❛ ✇❡❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ r❛♥❦✲❞❡✜❝✐❡♥t ♠❛tr✐① Aℓ✳ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ tr✉♥❝❛t❡❞ ❙❱❉ ✭❚❙❱❉✮ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s s(ℓ) = −A†

ℓr = − ℓ

  • i=1

uT

i r

γi vi,

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 26

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❚●❙❱❉

▲❡t ✉s ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① L ∈ Rt×n ✭t ≤ n✮ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② min

s∈S Ls,

S = {s ∈ Rn : JT Js = −JT r}, ❛♥❞ s♦❧✈❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ N(J) ∩ N(L) = {0} ❛♥❞ t > max(0, n − 2m)✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭●❙❱❉✮ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ♣❛✐r (J, L) ✐s t❤❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ J = UΣJZ−1, L = V ΣLZ−1, ❇② t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭●❙❱❉✮ ♦❢ (J, L) ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ tr✉♥❝❛t❡❞ ●❙❱❉ ✭❚●❙❱❉✮ s♦❧✉t✐♦♥ sℓ✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 27

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❈❤♦♦s✐♥❣ ℓ✱ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r

❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ❞✐s❝r❡♣❛♥❝② ♣r✐♥❝✐♣❧❡ b − Mν(σ(ℓ❞✐s❝r❡♣❛♥❝②), µ(ℓ❞✐s❝r❡♣❛♥❝②)) ≤ κe, κ > 1, ❜✉t ✐t ❝❛♥ s❡❧❞♦♠ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❊▼■ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❚❤❡ ♥♦✐s❡ ♦♥ t❤❡ ❞❛t❛ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❡q✉❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞✳ ❆♥ ❛❝❝✉r❛t❡ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ e ✐s ♦❢t❡♥ ✉♥❦♥♦✇♥✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 28

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❈❤♦♦s✐♥❣ ℓ✱ ▲✲❝✉r✈❡

▲✲❝✉r✈❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❛❞❛♣t❡❞ q✉✐t❡ ♥❛t✉r❛❧❧② t♦ t❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝❛s❡✳ ■t ❝❤♦♦s❡s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ℓ ✇❤✐❝❤ ✐❞❡♥t✐✜❡s t❤❡ ❝♦r♥❡r ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ t❤❡ ♣♦✐♥ts

  • log r(σ(ℓ), µ(ℓ)), log L(σ(ℓ)µ(ℓ))
  • .

❚❤❡ ❝✉r✈❡ ✐s ▲✲s❤❛♣❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ❞✐s❝r❡t❡ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❚♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❝♦r♥❡r ♦❢ t❤❡ ▲✲❝✉r✈❡ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ▲✲❝♦r♥❡r ♠❡t❤♦❞ ❬P✳ ❈✳ ❍❛♥s❡♥✱ ❚✳ ❑✳ ❏❡♥s❡♥ ❛♥❞ ●✳ ❘♦❞r✐❣✉❡③✱ ❆♥ ❛❞❛♣t✐✈❡ ♣r✉♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤❡ ❞✐s❝r❡t❡ ▲✲❝✉r✈❡ ❝r✐t❡r✐♦♥❪✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 29

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

✷

❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠

✸

❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠

✹

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 30

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❋♦r ✜①❡❞ n ❛♥❞ m✱ ✇❡ ❛♣♣❧② t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ ✐♥str✉♠❡♥t r❡❛❞✐♥❣s b = Mν(σ, µ; hi, ωj), ✇✐t❤ i = 1, . . . , mh ❛♥❞ j = 1, . . . , mω✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❢r❡q✉❡♥❝② ωj = 2πfj ❛♥❞ ❤❡✐❣❤t hi✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❛❞❞ ●❛✉ss✐❛♥ ♥♦✐s❡ t♦ t❤❡ s②♥t❤❡t✐❝ ❞❛t❛ ❜② t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ b = b + τ b √m w, ✇❤❡r❡ w ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ♥♦r♠❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❡♥tr✐❡s ✇✐t❤ ③❡r♦ ♠❡❛♥ ❛♥❞ ✉♥✐t❛r② ✈❛r✐❛♥❝❡✱ m = 2mhmω✱ ❛♥❞ τ ✐s t❤❡ ♥♦✐s❡ ❧❡✈❡❧✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 31

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❊❧❡❝tr✐❝❛❧ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❋♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❚❤❡ ❝♦✐❧s t♦ ❜❡ ✐♥ ❜♦t❤ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥s ❛t ❛ ✜①❡❞ ❞✐st❛♥❝❡ r = 1.66♠✳ h ✐s ❡✐t❤❡r ✶♠ ✭mh = 1✮ ♦r ✵✳✺♠ ❛♥❞ ✶♠ ✭mh = 2✮✳ ❊❛❝❤ ❞❛t❛ s❡t ✐s r❡❝♦r❞❡❞ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② ✇✐t❤ t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♥❣ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s fj = 775, 1175, 3925, 9825, 21725, 47025✱ ❛❧❧ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ❍❡rt③✳

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 32

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

▲ mh n = 20 n = 30 n = 40 I ✶ ✸✳✻❡✲✵✶ ✸✳✼❡✲✵✶ ✸✳✼❡✲✵✶ ✷ ✹✳✺❡✲✵✶ ✹✳✺❡✲✵✶ ✹✳✹❡✲✵✶ R D1 ✶ ✸✳✵❡✲✵✶ ✸✳✸❡✲✵✶ ✷✳✾❡✲✵✶ ✷ ✷✳✹❡✲✵✶ ✷✳✹❡✲✵✶ ✷✳✸❡✲✵✶ D2 ✶ ✷✳✹❡✲✵✶ ✷✳✶❡✲✵✶ ✷✳✽❡✲✵✶ ✷ ✷✳✺❡✲✵✶ ✷✳✺❡✲✵✶ ✷✳✸❡✲✵✶ I ✶ ✸✳✷❡✲✵✶ ✸✳✾❡✲✵✶ ✹✳✵❡✲✵✶ ✷ ✸✳✵❡✲✵✶ ✸✳✹❡✲✵✶ ✸✳✹❡✲✵✶ I D1 ✶ ✶✳✾❡✲✵✶ ✷✳✸❡✲✵✶ ✶✳✾❡✲✵✶ ✷ ✷✳✶❡✲✵✶ ✶✳✾❡✲✵✶ ✶✳✾❡✲✵✶ D2 ✶ ✷✳✸❡✲✵✶ ✷✳✵❡✲✵✶ ✷✳✹❡✲✵✶ ✷ ✷✳✶❡✲✵✶ ✷✳✷❡✲✵✶ ✷✳✶❡✲✵✶

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 33

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

µ0 µr = 10 µr = 102 µr = 103 ♦♣t✐♠❛❧ ✲ R ✷✳✸❡✲✵✶ ✹✳✸❡✲✵✶ ✺✳✸❡✲✵✶ ✺✳✺❡✲✵✶ ✵ ✶✸ ✾ ✶✾ ♦♣t✐♠❛❧ ✲ I ✷✳✹❡✲✵✶ ✺✳✸❡✲✵✶ ✹✳✺❡✲✵✶ ✼✳✶❡✲✵✶ ✵ ✻ ✹ ✶✷ ▲✕❝✉r✈❡ ✲ R ✷✳✻❡✲✵✶ ✻✳✸❡✲✵✶ ✹✳✼❡✲✵✶ ✺✳✹❡✲✵✶ ✵ ✷✵ ✶✽ ✷✼ ▲✕❝✉r✈❡ ✲ I ✷✳✻❡✲✵✶ ✹✳✷❡✲✵✶ ✺✳✺❡✲✵✶ ✼✳✹❡✲✵✶ ✵ ✷✸ ✶✵ ✶✻

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 34

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

2 0.5 1 l=1 2 0.5 1 l=2 2 0.5 1 l=3 2 0.5 1 l=4

❋✐❣✉r❡✿ P❧♦t ♦❢ t❤❡ ✜rst ✹ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧✱ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ❡①❛❝t s♦❧✉t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t② µ = µ0 ✐s ❝♦♥st❛♥t✱ t❤❡ ♥♦✐s❡ ❧❡✈❡❧ ✐s τ = 10−3✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 35

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

In−phase component

solution

  • ptimal

corner 1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Quadrature component

solution

  • ptimal

corner 1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

In−phase component

solution

  • ptimal

corner 1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Quadrature component

solution

  • ptimal

corner

❋✐❣✉r❡✿ ❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ✭❧❡❢t✮ ♦r t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♣❛rt ✭r✐❣❤t✮❀ τ = 10−3✱ µr = 10 ✐♥ t❤❡ t♦♣ r♦✇✱ µr = 102 ✐♥ t❤❡ ❜♦tt♦♠ r♦✇✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ℓ ✐s ❝❤♦s❡♥ ❡✐t❤❡r ♦♣t✐♠❛❧❧② ♦r ❜② t❤❡ ▲✕❝✉r✈❡✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 36

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

▼❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t②

10 20 30 40 10 -20 10 -10 10 0

n=10 n=20 n=30 n=40

5 10 15 20 10 -20 10 -10 10 0

❋✐❣✉r❡✿ ❆✈❡r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ J(µ) ❝♦♠♣✉t❡❞ ♦♥ ✶✵✵ r❛♥❞♦♠ ♣♦✐♥ts ✐♥ Rn✱ ❢♦r m = n = 10, 20, 30, 40 ✭❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✮❀ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ µ ✐s ✐♥ [µ0, 100µ0]✳ ❚❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❣r❛♣❤ s❤♦✇s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s ❢♦r n = 20 t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡✐r ♠❛①✐♠✉♠ ❛♥❞ ♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ❛❝r♦ss t❤❡ r❛♥❞♦♠ t❡sts✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 37

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

▼❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t②

5 10 15 20 10 -40 10 -20 10 0

max µr=10 max µr=102 max µr=103 max µr=104

❋✐❣✉r❡✿ ❆✈❡r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ J(µ) ❝♦♠♣✉t❡❞ ♦♥ ✶✵✵ r❛♥❞♦♠ ♣♦✐♥ts ✐♥ Rn✱ ❢♦r m = n = 20❀ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ µ ✐s ✐♥ [µ0, µrµ0]✱ ✇✐t❤ µr = 10, 102, 103, 104✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 38

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❋♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❚❤❡ ❝♦✐❧s t♦ ❜❡ ✐♥ ❜♦t❤ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥s✳ m = 20✱ n = 40✱ ❛♥❞ f = 1460 ❍❡rt③✳ σ(z) = e−(z−1.2)2✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t② ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♣t❤ µθ(z) = µ0(θe−(z−1.2)2 + 1), ✇❤❡r❡ θ ✐s ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r t♦ ❜❡ ❝❤♦s❡♥✱ ✇❤✐❝❤ t❛❦❡s ✈❛❧✉❡s ✐♥ [µ0, (θ + 1)µ0] ❛♥❞ ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❛t z = 1.2♠✳

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 39

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

▼❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t②

1 2 3 2 4 6 8 10 12 14 16 10 -6

solution k=4

1 2 3 2 4 6 8 10 12 14 16 10 -6

solution k=6

❋✐❣✉r❡✿ θ = 10✱ ✐♥✲♣❤❛s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭❧❡❢t✮✱ q✉❛❞r❛t✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭r✐❣❤t✮

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 40

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

▼❛❣♥❡t✐❝ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t②

1 2

  • 0.2
  • 0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

k=4 vertical

1 2

  • 0.7
  • 0.6
  • 0.5
  • 0.4
  • 0.3
  • 0.2
  • 0.1

horizontal

1 2 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

k=6 vertical

1 2 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

horizontal

❋✐❣✉r❡✿ θ = 10✱ ✐♥✲♣❤❛s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭❧❡❢t✮✱ q✉❛❞r❛t✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭r✐❣❤t✮

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 41

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 42

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 43

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

◗✉❛❞r❛t✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧

1 2 3 4 5 6 7 10

−8

10

−7

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

residuals norms noise level

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 44

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

■♥✲♣❤❛s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−8

10

−7

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10 residuals norms noise level

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 45

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

◗✉❛❞r❛t✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 10

−8

10

−7

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

residuals norms noise level

P❛tr✐❝✐❛ ❉í❛③ ❞❡ ❆❧❜❛ ❋❉❊▼ ❞❛t❛ ✐♥✈❡rs✐♦♥

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SLIDE 46

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