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Mar 15, 2023 173 likes •697 views

ss s ts r sr st Prr rt

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SLIDE 1

❙❡ss✐♦♥ ❚②♣❡s ❛♥❞ ●❛♠❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ❙②♥❝❤r♦♥② ❛♥❞ ❆s②♥❝❤r♦♥②

❙✐♠♦♥ ❈❛st❡❧❧❛♥✶✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✷✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛✶

✶■♠♣❡r✐❛❧ ❈♦❧❧❡❣❡ ▲♦♥❞♦♥ ✷▲■P✱ ❊◆❙ ▲②♦♥

✶✹ ❛♣r✐❧ ✷✵✶✽

  • ❛▲♦P ✷✵✶✽
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SLIDE 2

❚❤❡ π✲❝❛❧❝✉❧✉s ❬▼P❲✾✷❪

❚❤❡ π✲❝❛❧❝✉❧✉s ❞❡s❝r✐❜❡s ❛❣❡♥ts ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❝❤❛♥♥❡❧s✿ P, Q ::=✵ | (P | Q) | (νab)P r❡str✐❝t✐♦♥ | ¯ a!ℓu. P ♦✉t♣✉t |

  • i∈I

a?ℓ(xi).Pi ✐♥♣✉t | P + Q ♥♦♥❞❡t✳ ❝❤♦✐❝❡ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✿ ❞❛t❛ ✭ℓ✮ ❛♥❞ ❝❤❛♥♥❡❧s ✭u✮✳ ❙❤♦rt✲❤❛♥❞s✿ ¯ au := ¯ a! ⋆ u a(x) := a? ⋆ (x)

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷ ✴ ✷✹

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SLIDE 3
  • ❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r t❤❡ π✲❝❛❧❝✉❧✉s

❊①✐st✐♥❣ ♠♦❞❡❧s✿

◮ ▲❛✐r❞ ❬▲❛✐✵✺❪ r❡✜♥❡❞ ❜② ❚s✉❦❛❞❛ ✫ ❙❛❦❛②♦r✐ ❬❙❚✶✼❪

✭❢♦r t❤❡ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s ❢r❛❣♠❡♥t✮

◮ ❍✐rs❝❤♦✇✐t③ ❡t✳ ❛❧✳ ❬❊❍❙✶✺❪

■♥ t❤✐s t❛❧❦✱ ❢♦❝✉s ♦♥ ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ✜rst ❧✐♥❡ ♦❢ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳ ❇❛s✐❝ ✐❞❡❛✿ ✐♥t❡r♣r❡t ❝❤❛♥♥❡❧s ❛s ❛♥ ❡✛❡❝t ❧✐❦❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s✿ ❝❝

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✸ ✴ ✷✹

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SLIDE 4
  • ❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r t❤❡ π✲❝❛❧❝✉❧✉s

❊①✐st✐♥❣ ♠♦❞❡❧s✿

◮ ▲❛✐r❞ ❬▲❛✐✵✺❪ r❡✜♥❡❞ ❜② ❚s✉❦❛❞❛ ✫ ❙❛❦❛②♦r✐ ❬❙❚✶✼❪

✭❢♦r t❤❡ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s ❢r❛❣♠❡♥t✮

◮ ❍✐rs❝❤♦✇✐t③ ❡t✳ ❛❧✳ ❬❊❍❙✶✺❪

■♥ t❤✐s t❛❧❦✱ ❢♦❝✉s ♦♥ ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ✜rst ❧✐♥❡ ♦❢ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳ ❇❛s✐❝ ✐❞❡❛✿ ✐♥t❡r♣r❡t ❝❤❛♥♥❡❧s ❛s ❛♥ ❡✛❡❝t ❧✐❦❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s✿ ♯T = T⊥ × T (νa)P = P ⊙ ❝❝

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✸ ✴ ✷✹

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SLIDE 5

❆s②♥❝❤r♦♥②✿ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s

❈♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s ✐s tr❛❞t✐♦♥❛❧❧② ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s✿ c c A ⊙ σ = σ = = = ⇒ σ ❝♦✉rt❡♦✉s [▼▼✵✼, ❘❲✶✶] B B B B q q q q tt tt tt tt ✗ ✓ ❚❤✐s ❢♦r❝❡s s♦♠❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✿ ¯ au.¯ bv.P = ¯ bv.¯

  • au. P

a(x).b(y).P = b(y).a(x).P ▲✐♠✐ts ❛❞❡q✉❛❝② r❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✹ ✴ ✷✹

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SLIDE 6

❆s②♥❝❤r♦♥②✿ π✲❝❛❧❝✉❧✉s ❬❍❚✾✶❪

❆s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ π✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ♥♦ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❛❢t❡r s❡♥❞s✳ ¯ au.¯ bv) ✐s ♥♦t ❛ t❡r♠✦ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐♥ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s π✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ a(x). b(y). P ≃♠❛② b(y).a(x).Q ▼♦❞❡❧s ♦❢ ❬▲❛✐✵✺✱ ❙❚✶✼❪ ❛❞❡q✉❛t❡ ❢♦r ♠❛②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱

♠✉st

◆♦ ❛❞❡q✉❛❝② ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r ♥♦♥✲❛♥❣❡❧✐❝ t❡st✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ✳ ✳ ✳ ◆❡❡❞ t♦ t❛❦❡ s②♥❝❤r♦♥② s❡r✐♦✉s❧②✦

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✺ ✴ ✷✹

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SLIDE 7

❆s②♥❝❤r♦♥②✿ π✲❝❛❧❝✉❧✉s ❬❍❚✾✶❪

❆s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ π✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ♥♦ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❛❢t❡r s❡♥❞s✳ ¯ au.¯ bv) ✐s ♥♦t ❛ t❡r♠✦ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐♥ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s π✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ a(x). b(y). P ≃♠❛② b(y).a(x).Q ▼♦❞❡❧s ♦❢ ❬▲❛✐✵✺✱ ❙❚✶✼❪ ❛❞❡q✉❛t❡ ❢♦r ♠❛②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ a(x). b(y). P ≃♠✉stb(y).a(x).Q ◆♦ ❛❞❡q✉❛❝② ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r ♥♦♥✲❛♥❣❡❧✐❝ t❡st✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ✳ ✳ ✳ ⇒ ◆❡❡❞ t♦ t❛❦❡ s②♥❝❤r♦♥② s❡r✐♦✉s❧②✦

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✺ ✴ ✷✹

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SLIDE 8

❙❡ss✐♦♥ t②♣❡s ❬❍❱❑✾✽❪

❚②♣✐♥❣ ❞✐s❝♣❧✐♥❡ ✇❤❡r❡ t②♣❡s ❛r❡ ♣r♦t♦❝♦❧s✿ S, T ::= ❡♥❞ | ⊕i∈Iℓi(Si). Ti | &i∈Iℓi(Si). Ti ❚②♣✐♥❣ ⊢ P :: a✶ : S✶, . . . , an : Sn ❡♥s✉r❡s ♣r♦t♦❝♦❧ ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥✳ ⊢ P : a : Tk, ∆ ⊢ a!ℓku. P :: a : ⊕i∈Iℓi(Si). Ti, ∆, u : Sk ❉✉❛❧✐t② ❡①♣r❡ss❡s ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✿ ⊢ P :: ∆, a : S, b : S⊥ ⊢ (νab) P :: ∆

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✻ ✴ ✷✹

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SLIDE 9

❚❤✐s t❛❧❦

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✭✶✮ ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✼ ✴ ✷✹

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SLIDE 10

❚❤✐s t❛❧❦

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✜ ♥ ✐ t ❡ ❞ ❡ ❢ ✉ ♣ t ♦ ∼ =

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✼ ✴ ✷✹

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SLIDE 11

❚❤✐s t❛❧❦

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✭ ✷ ✮ ❛ ❞ ❡ q ✉ ❛ t ❡ ✐ ♥ t ❡ r ♣ ✳ ✜ ♥ ✐ t ❡ ❞ ❡ ❢ ✉ ♣ t ♦ ∼ =

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✼ ✴ ✷✹

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SLIDE 12

❚❤✐s t❛❧❦

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ✭✸✮ ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐ ♥ ❛ ❞ ❡ q ✉ ❛ t ❡ ✐ ♥ t ❡ r ♣ r ❡ t ❛ t ✐ ♦ ♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣✳ ✜♥✐t❡ ❞❡❢ ✉♣ t♦ ∼ = ✭✸✮ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✼ ✴ ✷✹

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SLIDE 13

❚❤✐s t❛❧❦

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛ ❞ ❡ q ✉ ❛ t ❡ ✐ ♥ t ❡ r ♣ ✳ ✜ ♥ ✐ t ❡ ❞ ❡ ❢ ✉ ♣ t ♦ ∼ = ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣✳ ✭✹✮ ❡♥❝♦❞✐♥❣

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✼ ✴ ✷✹

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SLIDE 14

■✳ ❙❡ss✐♦♥ t②♣❡s ✐♥t♦ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡s

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✽ ✴ ✷✹

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SLIDE 15

❚②♣❡s ❛s ❣❛♠❡s

■♥ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡s✱ ❣❛♠❡s ❛r❡ ♣♦❧❛r✐③❡❞ ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s✿ B ⇒ B q q tt ✛ tt ✛

tt ✛ tt ✛

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡s ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✿

▲❡♠♠❛

❊✈❡r② tr❡❡✲❧✐❦❡ ❣❛♠❡ ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t②♣❡✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✾ ✴ ✷✹

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SLIDE 16

❚②♣❡s ❛s ❣❛♠❡s

■♥ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡s✱ ❣❛♠❡s ❛r❡ ♣♦❧❛r✐③❡❞ ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s✿ B ⇒ B q q tt ✛ tt ✛

tt ✛ tt ✛

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡s ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✿ &i∈Iℓi(Si).Ti =

  • i∈I

ℓi · (Si Ti) ⊕i∈Iℓi(Si).Ti =

  • i∈I

ℓi · (Si⊥ Ti)

▲❡♠♠❛

❊✈❡r② tr❡❡✲❧✐❦❡ ❣❛♠❡ ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t②♣❡✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✾ ✴ ✷✹

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SLIDE 17

❚②♣❡s ❛s ❣❛♠❡s

■♥ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡s✱ ❣❛♠❡s ❛r❡ ♣♦❧❛r✐③❡❞ ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s✿ B ⇒ B q q tt ✛ tt ✛ =

  • &i∈{∗}i(⊕j∈{∗}j(&b∈{tt,✛}b)).

⊕b′∈{tt,✛}b′

  • ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡s ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✿

&i∈Iℓi(Si).Ti =

  • i∈I

ℓi · (Si Ti) ⊕i∈Iℓi(Si).Ti =

  • i∈I

ℓi · (Si⊥ Ti)

▲❡♠♠❛

❊✈❡r② tr❡❡✲❧✐❦❡ ❣❛♠❡ ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t②♣❡✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✾ ✴ ✷✹

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SLIDE 18

Pr♦❝❡ss❡s ❛s str❛t❡❣✐❡s

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐s ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ ❡❣✳

  • ⊢ P : a : Tk, ∆

k ∈ I ⊢ a!ℓku.P :: a : ⊕i∈Iℓi(Si). Ti, ∆, u : Sk

  • = ℓk · ( c

c Sk P). ❘❡str✐❝t✐♦♥ ✉s❡s ❞✉❛❧✐t②✿

  • ⊢ P :: ∆, a : S, b : S⊥

⊢ (νab) P :: ∆

  • = P ⊙ c

c S. ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✐s ♥♦t ❝♦✉rt❡♦✉s✱ ❤♦✇❡✈❡r ✇❡ st✐❧❧ ❣❡t ❛ s♦✉♥❞ ♠♦❞❡❧✿

▲❡♠♠❛

■❢ t❤❡♥ ✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✵ ✴ ✷✹

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SLIDE 19

Pr♦❝❡ss❡s ❛s str❛t❡❣✐❡s

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐s ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ ❡❣✳

  • ⊢ P : a : Tk, ∆

k ∈ I ⊢ a!ℓku.P :: a : ⊕i∈Iℓi(Si). Ti, ∆, u : Sk

  • = ℓk · ( c

c Sk P). ❘❡str✐❝t✐♦♥ ✉s❡s ❞✉❛❧✐t②✿

  • ⊢ P :: ∆, a : S, b : S⊥

⊢ (νab) P :: ∆

  • = P ⊙ c

c S. ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ P ✐s ♥♦t ❝♦✉rt❡♦✉s✱ ❤♦✇❡✈❡r ✇❡ st✐❧❧ ❣❡t ❛ s♦✉♥❞ ♠♦❞❡❧✿

▲❡♠♠❛

■❢ P − − → Q t❤❡♥ P Q✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✵ ✴ ✷✹

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SLIDE 20

❋✐♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②

■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥② str❛t❡❣②✿ σ : ∆ ✶ ✶ ⊥ · · ⊕ ⊕ ⊖ · · · ·

❚❤❡♦r❡♠

❊✈❡r② ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❝❡ss✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✶ ✴ ✷✹

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SLIDE 21

❋✐♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②

■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥② str❛t❡❣②✿ σ : ∆ ✶ ✶ ⊥ · · ⊕ ⊕ ⊖ · · · ·

❚❤❡♦r❡♠

❊✈❡r② ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❝❡ss✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✶ ✴ ✷✹

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SLIDE 22

❋✐♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②

■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥② str❛t❡❣②✿ σ′ : ∆ ✶ ✶ ⊥ · · ⊕ ⊕ ⊖ · · · · σ′ ✐s ♠♦r❡ tr❡❡✲❧✐❦❡ t❤❛♥ σ

❚❤❡♦r❡♠

❊✈❡r② ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❝❡ss✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✶ ✴ ✷✹

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SLIDE 23

❋✐♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②

■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥② str❛t❡❣②✿ σ′ ⊛ ❥♦✐♥ : ∆ ✶ ✶ ⊥ · · ⊕ ⊕ ⊖ · · · · σ′ ✐s ♠♦r❡ tr❡❡✲❧✐❦❡ t❤❛♥ σ ❛♥❞✿ σ′ = σ ⊙ ❥♦✐♥.

❚❤❡♦r❡♠

❊✈❡r② ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❝❡ss✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✶ ✴ ✷✹

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❋✐♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②

■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥② str❛t❡❣②✿ σ′ ⊛ ❥♦✐♥ : ∆ ✶ ✶ ⊥ · · ⊕ ⊕ ⊖ · · · · σ′ ✐s ♠♦r❡ tr❡❡✲❧✐❦❡ t❤❛♥ σ ❛♥❞✿ σ′ = σ ⊙ ❥♦✐♥.

❚❤❡♦r❡♠

❊✈❡r② σ : ∆ ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❝❡ss✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✶ ✴ ✷✹

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■♥❛❞❡q✉❛❝②

(νa¯ a)(νu ¯ u)(νu′¯ v′)(¯ au, v | ¯ u.¯ v | a(x, y) y.x) ❞❡❛❞❧♦❝❦s✿ ¯ u ¯ a a ¯ v u v y x ■♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ❝♦♣②❝❛t ❞❡❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛❞❞s ❞❡❧❛②✿

✵ ✶

◆♦ ❞❡❛❞❧♦❝❦ ❛♥②♠♦r❡✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✷ ✴ ✷✹

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■♥❛❞❡q✉❛❝②

(νa¯ a)(νu ¯ u)(νu′¯ v′)(¯ au, v | ¯ u.¯ v | a(x, y) y.x) ❞❡❛❞❧♦❝❦s✿ ¯ u ¯ a a ¯ v u v y x ■♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ❝♦♣②❝❛t ❞❡❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛❞❞s ❞❡❧❛②✿ ¯ u u v ¯ a a ¯ v a✵ a✶ y x ◆♦ ❞❡❛❞❧♦❝❦ ❛♥②♠♦r❡✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✷ ✴ ✷✹

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■♥❛❞❡q✉❛❝②

(νa¯ a)(νu ¯ u)(νu′¯ v′)(¯ au, v | ¯ u.¯ v | a(x, y) y.x) ❞❡❛❞❧♦❝❦s✿ ¯ u ¯ a a ¯ v u v y x ■♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ❝♦♣②❝❛t ❞❡❛❧s ✇✐t❤ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛❞❞s ❞❡❧❛②✿ ¯ u u v ¯ a a ¯ v a✵ a✶ y x ◆♦ ❞❡❛❞❧♦❝❦ ❛♥②♠♦r❡✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✷ ✴ ✷✹

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■■✳ ❈♦✉rt❡♦✉s ♣r♦❝❡ss❡s ❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ♣r♦❝❡ss ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✸ ✴ ✷✹

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✫ ❆❞❡q✉❛❝②

❆ ♣r♦❝❡ss P ✐s ❝♦✉rt❡♦✉s ✇❤❡♥ P ✐s ❝♦✉rt❡♦✉s✳

▲❡♠♠❛

✶✳ ■❢ P − − → Q ❛♥❞ P ✐s ❝♦✉rt❡♦✉s✱ t❤❡♥ Q ✐s ❝♦✉rt❡♦✉s ✷✳ ■❢ P τ t❤❡♥ P − − → Q ✇✐t❤ Q = τ ✸✳ ❊✈❡r② ✜♥✐t❡ ❝♦✉rt❡♦✉s σ : ∆ ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦✉rt❡♦✉s P

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✹ ✴ ✷✹

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❆ str♦♥❣ ❧✐♥❦

❋r♦♠ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts t❤❡r❡ ✐s ❛ str♦♥❣ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥✿

◮ ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ s❡ss✐♦♥ t②♣❡s ❛♥❞ ❝♦✉rt❡♦✉s ♣r♦❝❡ss❡s ◮ ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❣❛♠❡s ❛♥❞ str❛t❡❣✐❡s ♦❢ ❬❘❲✶✶✱ ❈❈❍❲✶✽❪

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ s❡❡♠s t♦ ♣❧❛② ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✫ ♦❜s✳ ❡q✳ ❍❡♥❝❡✿ ❙❡ss✐♦♥ t②♣❡s ❛♥❞ ♣r♦❝❡ss ♣r♦✈✐❞❡ ❛ s②♥t❛① ❢♦r str❛t❡❣✐❡s ❊q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ✐♥t❡r♣r❡t ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐♥s✐❞❡ ♦♥❡ ♦r t❤❡ ♦t❤❡r✳

✭●❡♥❡r❛❧✐③❡s ❬❍❖✾✺❪ ❛♥❞ ❬❇❍❨✵✶❪ t♦ tr✉❡ ❝♦♥❝✉rr❡♥❝② ❛♥❞ ♥♦♥✲✐♥♥♦❝❡♥❝❡✮

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✺ ✴ ✷✹

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❆ str♦♥❣ ❧✐♥❦

❋r♦♠ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts t❤❡r❡ ✐s ❛ str♦♥❣ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥✿

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◮ ❙❡ss✐♦♥ t②♣❡s ❛♥❞ ♣r♦❝❡ss ♣r♦✈✐❞❡ ❛ s②♥t❛① ❢♦r str❛t❡❣✐❡s ◮ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ✐♥t❡r♣r❡t ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐♥s✐❞❡ ♦♥❡ ♦r t❤❡ ♦t❤❡r✳

✭●❡♥❡r❛❧✐③❡s ❬❍❖✾✺❪ ❛♥❞ ❬❇❍❨✵✶❪ t♦ tr✉❡ ❝♦♥❝✉rr❡♥❝② ❛♥❞ ♥♦♥✲✐♥♥♦❝❡♥❝❡✮

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✺ ✴ ✷✹

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■■■✳ ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ♣r♦❝❡ss ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✻ ✴ ✷✹

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❲❤❛t ✐s ❣♦✐♥❣ ♦♥

❆s②♥❝ ❢♦r✇❛r❞❡r✳ ●✐✈❡♥ S✱ t❤❡r❡ ✐s ⊢ [x = y] :: x : S, y : ¯ S ✇✐t❤ [x = y] = c c S. ❖✉r ♠♦❞❡❧ ✐♥t❡r♣r❡ts ❢r❡❡ ♦✉t♣✉t ✐♥❞✐r❡❝t❧②✱ ✐♥❞❡❡❞✿ ❍♦✇❡✈❡r ♦♥❧② ✐❢ ✐s ❝♦✉rt❡♦✉s✳ ❈❤❛♥❣❡ ❝♦♣②❝❛t t♦ ❛❧❧♦✇ ✏❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡s✑ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥❞ ✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✼ ✴ ✷✹

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❲❤❛t ✐s ❣♦✐♥❣ ♦♥

❆s②♥❝ ❢♦r✇❛r❞❡r✳ ●✐✈❡♥ S✱ t❤❡r❡ ✐s ⊢ [x = y] :: x : S, y : ¯ S ✇✐t❤ [x = y] = c c S. ❖✉r ♠♦❞❡❧ ✐♥t❡r♣r❡ts ❢r❡❡ ♦✉t♣✉t ✐♥❞✐r❡❝t❧②✱ ✐♥❞❡❡❞✿ ¯ au = (νxy)(¯ ax | [y = u]). ❍♦✇❡✈❡r (νxy)(P(x) | [y = u]) ≈ P(u) ♦♥❧② ✐❢ P ✐s ❝♦✉rt❡♦✉s✳ ❈❤❛♥❣❡ ❝♦♣②❝❛t t♦ ❛❧❧♦✇ ✏❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡s✑ ❜❡t✇❡❡♥ x ❛♥❞ y✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✼ ✴ ✷✹

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❈♦✐♥❝✐❞❡♥t ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s

■♥ ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s✱ ❡✈❡♥t ♦❝❝✉rs s❡♣❛r❛t❡❧② ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡rs✿ ∅ ⊆ {a✶} ⊆ {a✶, a✷} ⊆ . . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡ ✐s ❛ ♣❛✐r s❛t✐s❢②✐♥❣✿✶ ✐❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ✐♥ t❤❡♥ ❛♥❞ ✳ ❈♦✈❡r✐♥❣ ❝❤❛✐♥s ❛r❡ ♥♦t s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❡✈❡♥ts ❜✉t ♦❢ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡s

✶ ✶ ✷

  • ✐✈❡♥ ❛ ❣❛♠❡

✱ ✇❡ ❝❛♥ ❢♦r♠ t❤❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❝♦♣②❝❛t✿ ❝❝❝❆ ♣r♦❝ ♣r♦❝ r✉♥ r✉♥ ❞♦♥❡ ❞♦♥❡

✶❑♥♦✇♥ ❛s ❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❛♥❞ ❙t❛❜✐❧✐t②✳ ✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✽ ✴ ✷✹

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❈♦✐♥❝✐❞❡♥t ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s

■♥ ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s✱ ❡✈❡♥t ♦❝❝✉rs s❡♣❛r❛t❡❧② ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡rs✿ ∅ ⊆ {a✶} ⊆ {a✶, a✷} ⊆ . . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡ ✐s ❛ ♣❛✐r (E, E) s❛t✐s❢②✐♥❣✿✶

◮ ✐❢ x, y ∈ E ❜♦✉♥❞❡❞ ✐♥ E t❤❡♥ x ∪ y ∈ E ❛♥❞ x ∩ y ∈ E✳

❈♦✈❡r✐♥❣ ❝❤❛✐♥s ❛r❡ ♥♦t s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❡✈❡♥ts ❜✉t ♦❢ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡s ∅ ⊆ X✶ ⊆ X✶ ∪ X✷ ⊆ . . .

  • ✐✈❡♥ ❛ ❣❛♠❡

✱ ✇❡ ❝❛♥ ❢♦r♠ t❤❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❝♦♣②❝❛t✿ ❝❝❝❆ ♣r♦❝ ♣r♦❝ r✉♥ r✉♥ ❞♦♥❡ ❞♦♥❡

✶❑♥♦✇♥ ❛s ❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❛♥❞ ❙t❛❜✐❧✐t②✳ ✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✽ ✴ ✷✹

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❈♦✐♥❝✐❞❡♥t ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s

■♥ ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡s✱ ❡✈❡♥t ♦❝❝✉rs s❡♣❛r❛t❡❧② ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡rs✿ ∅ ⊆ {a✶} ⊆ {a✶, a✷} ⊆ . . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❡✈❡♥t str✉❝t✉r❡ ✐s ❛ ♣❛✐r (E, E) s❛t✐s❢②✐♥❣✿✶

◮ ✐❢ x, y ∈ E ❜♦✉♥❞❡❞ ✐♥ E t❤❡♥ x ∪ y ∈ E ❛♥❞ x ∩ y ∈ E✳

❈♦✈❡r✐♥❣ ❝❤❛✐♥s ❛r❡ ♥♦t s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❡✈❡♥ts ❜✉t ♦❢ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡s ∅ ⊆ X✶ ⊆ X✶ ∪ X✷ ⊆ . . .

  • ✐✈❡♥ ❛ ❣❛♠❡ A✱ ✇❡ ❝❛♥ ❢♦r♠ t❤❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❝♦♣②❝❛t✿

❝❝❝❆ = (A⊥ A, {x x | x ∈ C (A)}) ♣r♦❝⊥

  • ♣r♦❝

r✉♥ r✉♥ ❞♦♥❡ ❞♦♥❡ .

✶❑♥♦✇♥ ❛s ❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❛♥❞ ❙t❛❜✐❧✐t②✳ ✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✽ ✴ ✷✹

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❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣② ♦♥ A ✐s ❛ ♠❛♣ S → A s✉❝❤ t❤❛t ✐ts ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ❛r❡ s✐♥❣❧❡t♦♥s ♦r ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ {a, b}✳ ❆ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤♦✉t r❡q✉✐r✐♥❣ ❝♦✉rt❡s②✦ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❢r❡❡ ♦✉t♣✉t✿ ❝❝❝ ❆♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ s②♥❝❤r♦♥♦✉s s❡ss✐♦♥ t②♣❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✿ s❡♠❛♥t✐❝ s♣❛❝❡ t♦♦ ❜r♦❛❞ ✭♥♦ ✜♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②✮✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✾ ✴ ✷✹

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❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣② ♦♥ A ✐s ❛ ♠❛♣ S → A s✉❝❤ t❤❛t ✐ts ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ❛r❡ s✐♥❣❧❡t♦♥s ♦r ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ {a, b}✳ ❆ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤♦✉t r❡q✉✐r✐♥❣ ❝♦✉rt❡s②✦ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❢r❡❡ ♦✉t♣✉t✿

  • ⊢ P : a : Tk, ∆

k ∈ I ⊢ a!ℓku.P :: a : ⊕i∈Iℓi(Si). Ti, ∆, u : Sk

  • = ℓk ·(❝❝❝Sk P).

❆♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ s②♥❝❤r♦♥♦✉s s❡ss✐♦♥ t②♣❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✿ s❡♠❛♥t✐❝ s♣❛❝❡ t♦♦ ❜r♦❛❞ ✭♥♦ ✜♥✐t❡ ❞❡✜♥❛❜✐❧✐t②✮✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✶✾ ✴ ✷✹

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■❱✳ ❚❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ♣r♦❝❡ss ❈♦♥❝✉rr❡♥t ❙tr❛t❡❣✐❡s ✐♥❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳ ❛❞❡q✉❛t❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✵ ✴ ✷✹

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❚✇♦ ✇♦r❧❞s

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ❙tr❛t❡❣✐❡s ❛❞❡q✳ ❛❞❡q✳ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✶ ✴ ✷✹

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❚✇♦ ✇♦r❧❞s

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ❙tr❛t❡❣✐❡s ❛❞❡q✳ ❛❞❡q✳ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳ ❇✉t✿ ❞✐❛❣r❛♠ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♠♠✉t❡

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✶ ✴ ✷✹

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❚✇♦ ✇♦r❧❞s

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ❙tr❛t❡❣✐❡s ❙tr❛t❡❣✐❡s ❛❞❡q✳ ❛❞❡q✳ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳ ♣r♦❥❡❝t ✭s♦✉♥❞ ❜✉t ✐♥❛❞❡q✉❛t❡✮ ✭■✮

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✶ ✴ ✷✹

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❚✇♦ ✇♦r❧❞s

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ❙tr❛t❡❣✐❡s ❛❞❡q✳ ❛❞❡q✳ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳ ❡♥❝♦❞❡ ✭❛❞❡q✉❛t❡✮ ■❞❡❛✿ ❛❞❞ ❛❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡♠❡♥ts t♦ ♣r♦t♦❝♦❧s

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✶ ✴ ✷✹

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❚✇♦ ✇♦r❧❞s

❙②♥❝❤r♦♥♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✉rt❡♦✉s Pr♦❝❡ss❡s ❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ❈♦✉rt❡♦✉s ❙tr❛t❡❣✐❡s ❛❞❡q✳ ❛❞❡q✳ ✜♥✐t❡ ❞❡❢✳ ❡♥❝♦❞❡ ✭❛❞❡q✉❛t❡✮ ❡♥❝♦❞❡

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✶ ✴ ✷✹

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❉❡✜♥✐t✐♦♥

✶✳ ❯♥❢♦❧❞ t❤❡ ♣r♦t♦❝♦❧✿ A →↑ A                      a → r❡qa ❛❝❦a a → r❡qa ❛❝❦a ✷✳ ❯♥❢♦❧❞ t❤❡ str❛t❡❣✐❡s✿ σ →↑ σ a b → r❡qa r❡qb ❛❝❦a ❛❝❦b a b → r❡qa r❡qb ❛❝❦a ❛❝❦b

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✷ ✴ ✷✹

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Pr♦♣❡rt✐❡s

◮ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡✿

❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ♦❢ σ ≃ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ♦❢ ↑ σ

◮ ❙❤♦✉❧❞ ♣r❡s❡r✈❡ ❛♥❞ r❡✢❡❝t ✇❡❛❦ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥

σ ≈ τ ✐✛ ↑ σ ≈↑ τ

◮ ❈❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡✿ ✇❡❧❧✲❛❝❦♥♦✇❧❡❞❣✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s✳

❈♦✐♥❝✐❞❡♥t str❛t❡❣✐❡s ∼ = s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❝♦✉rt❡♦✉s str❛t❡❣✐❡s

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✸ ✴ ✷✹

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❙✉♠♠❛r② ✫ P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

◮ ❲❡ s❤♦✇ ❛ t✐❣❤t ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❙❡ss✐♦♥ ❚②♣❡s ❛♥❞

  • ❛♠❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ ❇❡♥❡✜ts ❜♦t❤ ❝♦♠♠✉♥✐t✐❡s✿

◮ Pr♦✈✐❞❡ ❛ ♣r❡❝✐s❡ s②♥t❛❝t✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❝✉rr❡♥t str❛t❡❣✐❡s ◮ ❉❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ❝❛✉s❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ s❡ss✐♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s

❋✉t✉r❡ ✇♦r❦✳

◮ ❊①t❡♥❞ t♦ t❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r s❡tt✐♥❣✳

❆ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❢♦r ✐♥♥♦❝❡♥t ❝♦♥❝✉rr❡♥t str❛t❡❣✐❡s✳

◮ ❊①t❡♥❞ s❡ss✐♦♥ t②♣❡s t♦ ♥♦♥✲tr❡❡✲❧✐❦❡ ♣r♦t♦❝♦❧s✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✹ ✴ ✷✹

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▼❛rt✐♥ ❇❡r❣❡r✱ ❑♦❤❡✐ ❍♦♥❞❛✱ ❛♥❞ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛✳ ❙❡q✉❡♥t✐❛❧✐t② ❛♥❞ t❤❡ ♣✐✲❝❛❧❝✉❧✉s✳ ■♥ ❚▲❈❆✱ ♣❛❣❡s ✷✾✕✹✺✱ ✷✵✵✶✳ ❙✐♠♦♥ ❈❛st❡❧❧❛♥✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ❏♦♥❛t❤❛♥ ❍❛②♠❛♥✱ ❛♥❞

  • ❧②♥♥ ❲✐♥s❦❡❧✳

◆♦♥✲❛♥❣❡❧✐❝ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ✷✵✶✽✳ ❆❝❝❡♣t❡❞ ❛t ❋❖❙❙❆❈❙✬✶✽✳ ❈❧♦✈✐s ❊❜❡r❤❛rt✱ ❚♦♠ ❍✐rs❝❤♦✇✐t③✱ ❛♥❞ ❚❤♦♠❛s ❙❡✐❧❧❡r✳ ❆♥ ✐♥t❡♥s✐♦♥❛❧❧② ❢✉❧❧②✲❛❜str❛❝t s❤❡❛❢ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ♣✐✳ ■♥ ▲❛✇r❡♥❝❡ ❙✳ ▼♦ss ❛♥❞ P❛✇❡❧ ❙♦❜♦❝✐♥s❦✐✱ ❡❞✐t♦rs✱ ✻t❤ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❈♦❛❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡✱ ❈❆▲❈❖ ✷✵✶✺✱ ❏✉♥❡ ✷✹✲✷✻✱ ✷✵✶✺✱ ◆✐❥♠❡❣❡♥✱ ❚❤❡ ◆❡t❤❡r❧❛♥❞s✱ ✈♦❧✉♠❡ ✸✺ ♦❢ ▲■P■❝s✱ ♣❛❣❡s ✽✻✕✶✵✵✳ ❙❝❤❧♦ss ❉❛❣st✉❤❧ ✲ ▲❡✐❜♥✐③✲❩❡♥tr✉♠ ❢✉❡r ■♥❢♦r♠❛t✐❦✱ ✷✵✶✺✳ ❏✳ ▼✳ ❊✳ ❍②❧❛♥❞ ❛♥❞ ❈✳✲❍✳ ▲✉❦❡ ❖♥❣✳ P✐✲❝❛❧❝✉❧✉s✱ ❞✐❛❧♦❣✉❡ ❣❛♠❡s ❛♥❞ P❈❋✳

✭❆✮s②♥❝❤r♦♥② ✐♥ ❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s · ❈✳✱ P✐❡rr❡ ❈❧❛✐r❛♠❜❛✉❧t✱ ◆♦❜✉❦♦ ❨♦s❤✐❞❛ ✷✹ ✴ ✷✹

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SLIDE 51

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