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◮ ❆tt❡♥❞✐♥❣ ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ✇✐t❤♦✉t ❝♦♠♠✐tt✐♥❣ t♦ ✐t✳ ◮ ❉r❛✇✐♥❣ ❛tt❡♥t✐♦♥ ❛✇❛② ❢r♦♠ ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♥❡❡❞s ❛ r❡❛s♦♥✳

P❛rt ■■✿ ❊①❤❛✉st✐✈✐t② ❛♥❞ ❞✐s❥✉♥❝t✐♦♥

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ s❡♠❛♥t✐❝s ✭❈✐❛r❞❡❧❧✐✱ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾✮

◮ [♣] = {{✇ ∈ ❲|✇(♣) = ✶}} ◮ [⊥] = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ] = [ϕ] ∪ [ψ] ◮ [ϕ ∧ ψ] = {α ∩ β|α ∈ [ϕ], β ∈ [ψ]} ◮ [ϕ → ψ] = . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❊♥t❛✐❧♠❡♥t

❆ ❇ ❢♦r s♦♠❡ ❈ ❇ ❈ ❆

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❆ ❇ ❢♦r s♦♠❡ ❈ ❇ ❈ ❆ ❇ ❆

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◮ [♣] = {{✇ ∈ ❲|✇(♣) = ✶}} ◮ [⊥] = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ] = [ϕ] ∪ [ψ] ◮ [ϕ ∧ ψ] = [ϕ] ⊓ [ψ] ◮ [ϕ → ψ] = . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❊♥t❛✐❧♠❡♥t

❆ ❇ ❢♦r s♦♠❡ ❈ ❇ ❈ ❆

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❆ ❇ ❢♦r s♦♠❡ ❈ ❇ ❈ ❆ ❇ ❆

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❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ s❡♠❛♥t✐❝s ✭❈✐❛r❞❡❧❧✐✱ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾✮

◮ [♣] = {{✇ ∈ ❲|✇(♣) = ✶}} ◮ [⊥] = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ] = [ϕ] ∪ [ψ] ◮ [ϕ ∧ ψ] = [ϕ] ⊓ [ψ] ◮ [ϕ → ψ] = . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❊♥t❛✐❧♠❡♥t

❆ | = ❇ ⇐ ⇒ ❢♦r s♦♠❡ ❈, ❇ ⊓ ❈ = ❆

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❆ ❇ ❢♦r s♦♠❡ ❈ ❇ ❈ ❆ ❇ ❆

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ s❡♠❛♥t✐❝s ✭❈✐❛r❞❡❧❧✐✱ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✾✮

◮ [♣] = {{✇ ∈ ❲|✇(♣) = ✶}} ◮ [⊥] = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ] = [ϕ] ∪ [ψ] ◮ [ϕ ∧ ψ] = [ϕ] ⊓ [ψ] ◮ [ϕ → ψ] = . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❊♥t❛✐❧♠❡♥t

❆ | = ❇ ⇐ ⇒ ❢♦r s♦♠❡ ❈, ❇ ⊓ ❈ = ❆

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❈♦♠♣❧✐❛♥❝❡

❆ ∝ ❇ ⇐ ⇒ ❢♦r s♦♠❡ ❈, ❇ ∪ ❈ = ❆ ❇ ❆

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◮ [♣] = {{✇ ∈ ❲|✇(♣) = ✶}} ◮ [⊥] = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ] = [ϕ] ∪ [ψ] ◮ [ϕ ∧ ψ] = [ϕ] ⊓ [ψ] ◮ [ϕ → ψ] = . . .

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❊♥t❛✐❧♠❡♥t

❆ | = ❇ ⇐ ⇒ ❢♦r s♦♠❡ ❈, ❇ ⊓ ❈ = ❆

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❆ ∝ ❇ ⇐ ⇒ ❢♦r s♦♠❡ ❈, ❇ ∪ ❈ = ❆ ⇐ ⇒ ❇ ⊆ ❆

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❆♥② ❢♦r♠✉❧❛ ϕ ❛tt❡♥❞s t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ✐♥ [ϕ]✳

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ s✳t✳ ✿ ✉♥❛tt❡♥❞s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ✐✛ ❛♥❞ ✳

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❆♥② ❢♦r♠✉❧❛ ϕ ❛tt❡♥❞s t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ✐♥ [ϕ]✳

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ ✉♥❛tt❡♥❞s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② α ✐✛ α ∈ [ϕ] ❛♥❞ α ∩ [ψ] ∈ [ψ]✳

❋❛❝t✿ ❆tt❡♥t✐♦♥ ❛♥❞ ❡♥t❛✐❧♠❡♥t

❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ s✳t✳ ✿ ✉♥❛tt❡♥❞s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ✐✛ ✳

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ ✉♥❛tt❡♥❞s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② α ✐✛ α ∈ [ϕ] ❛♥❞ α ∩ [ψ] ∈ [ψ]✳

❋❛❝t✿ ❆tt❡♥t✐♦♥ ❛♥❞ ❡♥t❛✐❧♠❡♥t

❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ ✉♥❛tt❡♥❞s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ✐✛ ψ | = ϕ✳

❙♦♠❡ ❝♦♥✈❡rs❛t✐♦♥❛❧ ♠❛①✐♠s

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q r ♣ q q ♣ ✶ ♣ q r q r ♣ r ♣ q ✷ ♣ q ♣ q q ♣ ✹

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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♣ q

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q r ♣ q q ♣ ✶ ♣ q r q r ♣ r ♣ q ✷ ♣ q ♣ q q ♣ ✹

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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◮ ♣ ||

∼♣∨q[¬q] ♣

♣ q r

q r ♣ q q ♣ ✶ ♣ q r q r ♣ r ♣ q ✷ ♣ q ♣ q q ♣ ✹

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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◮ ♣ ||

∼♣∨q[¬q]

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∼♣∨q∨r[¬q ∧ ¬r] ♣ q q ♣ ✶ ♣ q r q r ♣ r ♣ q ✷ ♣ q ♣ q q ♣ ✹

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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ϕ | ∼ {❆ | ❢♦r s♦♠❡ ψ, ϕ ∝ ψ, s✐③❡([ψ]) = ✶, ψ || ∼ϕ❆} ❊①❛♠♣❧❡s✿

◮ ♣ ||

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∼♣∨q∨r[¬q ∧ ¬r]

◮ ♣ ∨ q |

∼ [¬q ∨ ¬♣] (✶) ♣ q r q r ♣ r ♣ q ✷ ♣ q ♣ q q ♣ ✹

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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ϕ | ∼ {❆ | ❢♦r s♦♠❡ ψ, ϕ ∝ ψ, s✐③❡([ψ]) = ✶, ψ || ∼ϕ❆} ❊①❛♠♣❧❡s✿

◮ ♣ ||

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∼♣∨q∨r[¬q ∧ ¬r]

◮ ♣ ∨ q |

∼ [¬q ∨ ¬♣] (✶)

◮ ♣ ∨ q ∨ r |

∼ [(¬q ∧ ¬r) ∨ (¬♣ ∧ ¬r) ∨ (¬♣ ∧ ¬q)] (✷) ♣ q ♣ q q ♣ ✹

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❋♦r ❛♥ ✐♥✐t✐❛t✐✈❡ ϕ ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡ ψ✱ s✳t✳ ϕ ∝ ψ✿ ψ || ∼ϕ {α | α ∈ [ϕ], α ∩ [ψ] ∈ [ψ] ♦r α = ∅}

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ϕ | ∼ {❆ | ❢♦r s♦♠❡ ψ, ϕ ∝ ψ, s✐③❡([ψ]) = ✶, ψ || ∼ϕ❆} ❊①❛♠♣❧❡s✿

◮ ♣ ||

∼♣∨q[¬q]

◮ ♣ ||

∼♣∨q∨r[¬q ∧ ¬r]

◮ ♣ ∨ q |

∼ [¬q ∨ ¬♣] (✶)

◮ ♣ ∨ q ∨ r |

∼ [(¬q ∧ ¬r) ∨ (¬♣ ∧ ¬r) ∨ (¬♣ ∧ ¬q)] (✷)

◮ ♣ ∨ q ∨ (♣ ∧ q) |

∼ [¬q ∨ ¬♣ ∨ ⊤] (✹)

P❛rt ■■■✿ ❊①❤❛✉st✐✈✐t② ❛♥❞ q✉❛♥t✐✜❝❛t✐♦♥

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ✭❈✐❛r❞❡❧❧✐✱ ✷✵✶✵✮

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃①.ϕ]❣ = ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞] ◮ [∀①.ϕ]❣ = ⊓ ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞]

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ✭❈✐❛r❞❡❧❧✐✱ ✷✵✶✵✮

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃①.ϕ]❣ = ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞] ◮ [∀①.ϕ]❣ = ⊓ ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞]

✭✸✮ ❊✈❡r② st✉❞❡♥t r❡❛❞ ❖t❤❡❧❧♦ ♦r ❑✐♥❣ ▲❡❛r | ∼ ❡✈❡r② st✉❞❡♥t r❡❛❞ ♦♥❧② ♦♥❡✳

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✭✻✮ ❆ ♠❛♥ ❝❛♠❡ t♦ ♠❡ | ∼ ♦♥❧② ♦♥❡ ♠❛♥ ❝❛♠❡ ✭✼✮ ♥ ♠❡♥ ❝❛♠❡ t♦ ♠❡ ♦♥❧② ♥ ♠❡♥ ❝❛♠❡ ✭✽✮ ❆t ❧❡❛st ♥ ♠❡♥ ❝❛♠❡ t♦ ♠❡ ♦♥❧② ♥ ♠❡♥ ❝❛♠❡

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❲♦r❦ ✐♥ ♣r♦❣r❡ss✿ ♥✉♠❡r❛❧s

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❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ✭❈✐❛r❞❡❧❧✐✱ ✷✵✶✵✮

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃①.ϕ]❣ = ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞] ◮ [∀①.ϕ]❣ = ⊓ ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞]

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃❳.ϕ]❣ = ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ [∀①.ϕ]❣ = ⊓ ❞∈❉[ϕ]❣[①/❞]

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃❳.ϕ]❣ = ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ [∀❳.ϕ]❣ = ⊓ ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉]

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❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃❳.ϕ]❣ = ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ [∀❳.ϕ]❣ = ⊓ ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ ❛ ✿✿ λPλ◗.∃❳(P(ˇ❳) ∧ ◗(ˇ❳) ∧ |❳| = ✶)

♥ ✿✿ P ◗ ❳ P ❳ ◗ ❳ ❳ ♥ ❛t ❧❡❛st ♥ ✿✿ P ◗ ❳ P ❳ ◗ ❳ ❳ ♥

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃❳.ϕ]❣ = ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ [∀❳.ϕ]❣ = ⊓ ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ ❛ ✿✿ λPλ◗.∃❳(P(ˇ❳) ∧ ◗(ˇ❳) ∧ |❳| = ✶) ◮ ♥ ✿✿ λPλ◗.∃❳(P(ˇ❳) ∧ ◗(ˇ❳) ∧ |❳| = ♥)

❛t ❧❡❛st ♥ ✿✿ P ◗ ❳ P ❳ ◗ ❳ ❳ ♥

❙❡♠❛♥t✐❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❋✳❖✳ ■♥q✉✐s✐t✐✈❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ [P(t✶, . . . , t♥)]❣ = {{✇ ∈ ❲|[t✶]✇,❣, . . . , [t♥]✇,❣ ∈ [P]✇}} ◮ [⊥]❣ = {∅} ◮ [ϕ ∨ ψ]❣ = [ϕ]❣ ∪ [ψ]❣ ◮ [ϕ ∧ ψ]❣ = [ϕ]❣ ⊓ [ψ]❣ ◮ [ϕ → ψ]❣ = . . . ◮ [∃❳.ϕ]❣ = ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ [∀❳.ϕ]❣ = ⊓ ❉′⊆❉[ϕ]❣[❳/❉] ◮ ❛ ✿✿ λPλ◗.∃❳(P(ˇ❳) ∧ ◗(ˇ❳) ∧ |❳| = ✶) ◮ ♥ ✿✿ λPλ◗.∃❳(P(ˇ❳) ∧ ◗(ˇ❳) ∧ |❳| = ♥) ◮ ❛t ❧❡❛st ♥ ✿✿ λPλ◗.∃❳(P(ˇ❳) ∧ ◗(ˇ❳) ∧ |❳| ≥ ♥)

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