srt st tr r - - PowerPoint PPT Presentation

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srt st tr r - - PowerPoint PPT Presentation

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srt st tr r s t Ptq

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SLIDE 1

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SLIDE 2

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SLIDE 3

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SLIDE 4

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SLIDE 12

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SLIDE 13

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SLIDE 14

❍✐st♦r②

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SLIDE 15

❍✐st♦r②

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SLIDE 16

❍✐st♦r②

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SLIDE 17

❍✐st♦r②

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❙❡r♣❡♥t ♥❡sts

❙❡r♣❡♥t ♥❡st ♦❢ ❉◦ = s❡t ♦❢ s❡r♣❡♥ts ♦❢ ❉◦ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ ♥♦ ❝r♦ss✐♥❣✱ ♥♦ ❝♦♠♠♦♥ ❛rr✐✈❛❧ ✱ ♥♦ ♦✈❡r ❤❡❛❞✐♥❣

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• OK NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 26

❙❡r♣❡♥t ♥❡sts

❙❡r♣❡♥t ♥❡st ♦❢ ❉◦ = s❡t ♦❢ s❡r♣❡♥ts ♦❢ ❉◦ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ ♥♦ ❝r♦ss✐♥❣✱ ♥♦ ❝♦♠♠♦♥ ❛rr✐✈❛❧ ✱ ♥♦ ♦✈❡r ❤❡❛❞✐♥❣

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• OK NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 27

❙❡r♣❡♥t ♥❡sts

❙❡r♣❡♥t ♥❡st ♦❢ ❉◦ = s❡t ♦❢ s❡r♣❡♥ts ♦❢ ❉◦ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ ♥♦ ❝r♦ss✐♥❣✱ ♥♦ ❝♦♠♠♦♥ ❛rr✐✈❛❧✱ ♥♦ ♦✈❡r ❤❡❛❞✐♥❣

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• NO! NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 28

❙❡r♣❡♥t ♥❡sts

❉◦ ✐s ❛ ❝♦♠❜ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ = ⇒ s❡r♣❡♥t ♥❡sts = ♥♦♥❝r♦ss✐♥❣ ♣❛rt✐t✐♦♥s ✭Cn✮

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 29

❙❡r♣❡♥t ♥❡sts

❉◦ ✐s ❛ ❝♦♠❜ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ = ⇒ s❡r♣❡♥t ♥❡sts = ♥♦♥❝r♦ss✐♥❣ ♣❛rt✐t✐♦♥s ✭Cn✮

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 30

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼✳ ✷✵✶✼+✮

❋♦r ❛♥② ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ❉◦✱ #(♠❛①✐♠❛❧ ❉◦✲❛❝❝♦r❞✐♦♥ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s) = #(s❡r♣❡♥t ♥❡sts ♦❢ ❉◦)

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

← →

1◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• 3◦ 27◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 31

❈❛t❛❧❛♥✲❧✐❦❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥

= + + = + + = + + = × × Cn+1 Ck 1 Cn−k

n

  • k=0

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 32

Pr♦♦❢✿ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ #(❞✐❛❣♦♥❛❧s ♦❢ ❉◦)

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• OK

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 33

Pr♦♦❢✿ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ #(❞✐❛❣♦♥❛❧s ♦❢ ❉◦)

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 34

Pr♦♦❢✿ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ #(❞✐❛❣♦♥❛❧s ♦❢ ❉◦)

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 35

Pr♦♦❢✿{♠❛①✐♠❛❧ ❉◦✲❛❝❝♦r❞✐♦♥ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s}→{s❡r♣❡♥t ♥❡sts ♦❢ ❉◦}

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 36

Pr♦♦❢✿ t❤❡r❡ ❡①✐sts x• ∈ [✻•, ✷✽•] s✉❝❤ t❤❛t {(✷•, x•), (✹•, x•)} ⊆ ❉•

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 37

Pr♦♦❢✿ s❡♣❛r❛t❡ ❉•❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ x•

1◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦ 3◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 38

Pr♦♦❢✿ s❡♣❛r❛t❡ ❉•❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ x•

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 39

Pr♦♦❢✿ ❛♣♣❧② t❤❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ♦♥ ❡❛❝❤ s✐❞❡

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 40

Pr♦♦❢✿ ✉♥❢♦❧❞ t❤❡ s❡r♣❡♥ts

1◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦ 3◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 41

Pr♦♦❢✿ ✉♥❢♦❧❞ t❤❡ s❡r♣❡♥ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 42

Pr♦♦❢✿ ❝♦♥s✐❞❡r r❡❞ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❝r♦ss❡❞ ❜② ❜♦t❤ (✷•, x•) ❛♥❞ (✹•, x•)

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 43

Pr♦♦❢✿ ❦❡❡♣ ♦♥❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ✭③✐❣③❛❣✮

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 44

Pr♦♦❢✿ ✐♥s❡rt t❤❡ s❡r♣❡♥t ❢r♦♠ (✶◦, ✸◦) t♦ t❤❡ ❢✉rt❤❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ♦♥❡

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 45

Pr♦♦❢✿ ✐♥s❡rt t❤❡ s❡r♣❡♥t ❢r♦♠ (✶◦, ✸◦) t♦ t❤❡ ❢✉rt❤❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ♦♥❡

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 46

Pr♦♦❢✿ ✐♥s❡rt t❤❡ s❡r♣❡♥t ❢r♦♠ (✶◦, ✸◦) t♦ t❤❡ ❢✉rt❤❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ♦♥❡

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28• NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 47

Pr♦♦❢✿ ✐♥s❡rt t❤❡ s❡r♣❡♥t ❢r♦♠ (✶◦, ✸◦) t♦ t❤❡ ❢✉rt❤❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ♦♥❡

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 48

Pr♦♦❢✿{s❡r♣❡♥t ♥❡sts ♦❢ ❉◦}→{♠❛①✐♠❛❧ ❉◦✲❛❝❝♦r❞✐♦♥ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s}

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 49

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 50

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 51

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 52

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 53

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦

NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 54

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 55

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

7◦

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 56

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

7◦

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 57

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

7◦

25◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 58

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

7◦

25◦ NO!

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 59

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

S

25◦ 7◦

19◦

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SLIDE 60

Pr♦♦❢✿ ✈❛❧✐❞❧② ❡①t❡♥❞ ❙ ❛r♦✉♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ♣✐✈♦ts

1◦ 3◦ 5◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 21◦ 23◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 20• 22• 24• 26• 28• 25◦ 7◦ 19◦

18•

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SLIDE 61

Pr♦♦❢✿ s❡♣❛r❛t❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ x•

1◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦ 3◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 62

Pr♦♦❢✿ ❛♣♣❧② r❡✈❡rs❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥s ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ♦❜t❛✐♥❡❞

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 63

Pr♦♦❢✿ ❛♣♣❧② r❡✈❡rs❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥s ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ♦❜t❛✐♥❡❞

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦

❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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SLIDE 64

Pr♦♦❢✿ ❣❧✉❡ ❜❛❝❦ t♦❣❡t❤❡r

1◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 18• 20• 22• 24• 26• 16• 28• 15◦ 3◦

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SLIDE 65

Pr♦♦❢✿ ❣❧✉❡ ❜❛❝❦ t♦❣❡t❤❡r

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

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SLIDE 66

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼✳ ✷✵✶✼+✮

❋♦r ❛♥② ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ❉◦✱ #(♠❛①✐♠❛❧ ❉◦✲❛❝❝♦r❞✐♦♥ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s) = #(s❡r♣❡♥t ♥❡sts ♦❢ ❉◦)

1◦ 3◦ 5◦ 7◦ 9◦ 11◦ 13◦ 15◦ 17◦ 19◦ 21◦ 23◦ 25◦ 27◦ 2• 4• 6• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20• 22• 24• 26• 28•

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❚❤✐❜❛✉❧t ▼❛♥♥❡✈✐❧❧❡ ✭▲■❳✱ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✮ ❚❤❡ s❡r♣❡♥t ♥❡st ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

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Quesssssstions?

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