rs rt srt - - PowerPoint PPT Presentation

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❊①❛♠♣❧❡

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❚❤❡ t②♣❡s ♦❢ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✿ ❚②♣❡s A, B ✿✿❂ α ⑤ ✵ ⑤ A + B ⑤ ■ ⑤ A ⊗ B ⑤ A ⊸ B ⑤ !A ⑤ ❈✐r❝(❚, ❯) ■♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ t②♣❡s P, R ✿✿❂ ✵ ⑤ P + R ⑤ ■ ⑤ P ⊗ R ⑤ !A ⑤ ❈✐r❝(❚, ❯) ▼✲t②♣❡s T, U ✿✿❂ α ⑤ ■ ⑤ T ⊗ U ❚❤❡ t❡r♠ ❧❛♥❣✉❛❣❡✿

❚❡r♠s M, N ✿✿❂ x ⑤ l ⑤ c ⑤ ❧❡t x = M ✐♥ N ⑤ AM ⑤ ❧❡❢tA,BM ⑤ r✐❣❤tA,BM ⑤ ❝❛s❡ M ♦❢ {❧❡❢t x → N | r✐❣❤t y → P} ⑤ ∗ ⑤ M; N ⑤ M, N ⑤ ❧❡t x, y = M ✐♥ N ⑤ λxA.M ⑤ MN ⑤ ❧✐❢t M ⑤ ❢♦r❝❡ M ⑤ ❜♦①❚▼ ⑤ ❛♣♣❧②(▼, ◆) ⑤ ( ⑦ ❧, ❈,⑦ ❧′)

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• ❉❡s❝r✐❜❡ ❛♥ ❛❜str❛❝t ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ✇✐t❤ r❡❝✉rs✐♦♥✳

❘❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦✿ ❘❡♥♥❡❧❛ ❛♥❞ ❙t❛t♦♥ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ❝✐r❝✉✐t ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ ❝❛❧❧❡❞ ❊❲✐r❡ ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ◗❲✐r❡✮✱ ✇❤❡r❡ t❤❡② ❛❧s♦ ✉s❡ ❡♥r✐❝❤❡❞ ❝❛t❡❣♦r② t❤❡♦r②✳

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− ⊙ I C(I,−)

✇❤❡r❡ (− ⊙ I) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❱✲❝♦♣♦✇❡r ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r ✉♥✐t ✐♥ C✳ ✹✳ ❆ s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r② ▼ ❛♥❞ ❛ str♦♥❣ s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t♦r E : ▼ → ❈. ❚❤❡♦r❡♠✿ ■❣♥♦r♥✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✹✱ ❛♥ ▲◆▲ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧❧② ✐♥❞✉❝❡s ❛ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❊❈▲◆▲✳

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

❈♦♣②✐♥❣ ❛♥❞ ❞✐s❝❛r❞✐♥❣ ♦❢ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ t②♣❡s

V ⊢ C

− ⊙ I C(I,−)

■♥ P◗▼✱ ❛♥② t②♣❡ A ✐s ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❛♥ ♦❜❥❡❝t A ✐♥ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❝❛t❡❣♦r② ❈. ❚❡r♠s ❛r❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ♠♦r♣❤✐s♠s ✐♥ ❈✳

❚❤❡♦r❡♠

❋♦r ❛♥② ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ t②♣❡ P✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ αP : P → FP. ◆❡①t✱ ❞❡✜♥❡ ❝♦♣② ❛♥❞ ❞✐s❝❛r❞ ♠♦r♣❤✐s♠s ❢♦r ❡❛❝❤ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ t②♣❡ P✿ ⋄P := P

αP

− − → FP F✶ − → F✶

∼ =

− → I ∆P := P

αP

− − → FP

Fid,id

− − − − − → F(P × P)

∼ =

− → FP ⊗ FP

α−✶

P ⊗α−✶ P

− − − − − − → P ⊗ P

✶✵ ✴ ✺✺

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

❙♦✉♥❞♥❡ss

❚❤❡♦r❡♠ ✭❙♦✉♥❞♥❡ss✮

❊✈❡r② ❛❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❊❈▲◆▲ ✐s ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② s♦✉♥❞✳

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

❈♦♥❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❊❈▲◆▲

❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ Pr♦t♦✲◗✉✐♣♣❡r✲▼ ♠♦❞❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ▲◆▲ ♠♦❞❡❧✿ ✷ ❆ s✐♠♣❧❡r ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ s❛♠❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ✇❤❡r❡ ✐♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s ❈ ▼♦♣ ❙❡t

✷❚❤❛♥❦s t♦ ❙❛♠ ❙t❛t♦♥ ❢♦r ❛s❦✐♥❣ ✇❤② ❞♦ ✇❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❋❛♠ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❢♦r t❤✐s✳ ✶✷ ✴ ✺✺

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

❈♦♥❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❊❈▲◆▲

❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ Pr♦t♦✲◗✉✐♣♣❡r✲▼ ♠♦❞❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ▲◆▲ ♠♦❞❡❧✿ ✷ ❆ s✐♠♣❧❡r ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ s❛♠❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ✇❤❡r❡ ✐♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s ❈ = [▼♦♣, ❙❡t].

✷❚❤❛♥❦s t♦ ❙❛♠ ❙t❛t♦♥ ❢♦r ❛s❦✐♥❣ ✇❤② ❞♦ ✇❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❋❛♠ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❢♦r t❤✐s✳ ✶✷ ✴ ✺✺

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

❈♦♥❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ♦❢ t❤❡ ❜❛s❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✭❝♦♥t❞✳✮

❋✐① ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r② ▼✳ ❊q✉✐♣♣✐♥❣ ▼ ✇✐t❤ t❤❡ ❢r❡❡ ❈P❖✲❡♥r✐❝❤♠❡♥t ②✐❡❧❞s ❛♥♦t❤❡r ❝♦♥❝r❡t❡ ✭♦r❞❡r✲❡♥r✐❝❤❡❞✮ ❊❈▲◆▲ ♠♦❞❡❧✿ ✇❤❡r❡ ❈ = [▼♦♣, ❈P❖].

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

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❊①t❡♥❞ t❤❡ s②♥t❛①✿ Φ, x :!A; ∅ ⊢ m : A ✭r❡❝✮ Φ; ∅ ⊢ r❡❝ x!A m : A ❊①t❡♥❞ t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ s❡♠❛♥t✐❝s✿ (C, m[❧✐❢t r❡❝ x!Am/x]) ⇓ (C ′, v) (C, r❡❝ x!Am) ⇓ (C ′, v)

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

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❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ r❡❝✉rs✐♦♥❄

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❆♥ ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r T : ❈ → ❈ ✐s ♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t✱ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② A ∈ ❖❜(❈)✱ t❤❡ ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r A ⊗ T(−) ❤❛s ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❛❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❛ ✜♥❛❧ ❝♦❛❧❣❡❜r❛ ✇❤♦s❡ ❝❛rr✐❡rs ❝♦✐♥❝✐❞❡✳

❚❤❡♦r❡♠

❆ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❛ ❧✐♥❡❛r✴♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❧❛♠❜❞❛ ❝❛❧❝✉❧✉s ❡①t❡♥❞❡❞ ✇✐t❤ r❡❝✉rs✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛♥ ▲◆▲ ♠♦❞❡❧✿ ❱ ⊢ ❈

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✇❤❡r❡ FG ✭♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② GF✮ ✐s ♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t ✸✳

✸❇❡♥t♦♥ ✫ ❲❛❞❧❡r✳ ▲✐♥❡❛r ❧♦❣✐❝✱ ♠♦♥❛❞s ❛♥❞ t❤❡ ❧❛♠❜❞❛ ❝❛❧❝✉❧✉s✳ ▲✐❈❙✬✾✻✳ ✶✺ ✴ ✺✺

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− ⊙ I C(I,−)

✐s ♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t✳

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❈e F ×n F Θ ⊢ P Θ ⊢ P = ⇒

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

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B(H)

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• ❡q✉❛❧ t♦ ▼n(C) ✐❢ H = Cn❀
• ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ ♦✈❡r C ✇❤❡r❡ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❛♥❞ s❝❛❧❛r ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ♣♦✐♥t✇✐s❡✱

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

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B(H)

• ✐✈❡♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ H✱ t❤❡ s❡t B(H) ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs H → H ✐s✿
• ❡q✉❛❧ t♦ ▼n(C) ✐❢ H = Cn❀
• ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ ♦✈❡r C ✇❤❡r❡ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❛♥❞ s❝❛❧❛r ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ♣♦✐♥t✇✐s❡✱

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• ❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦r♠ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♥♦r♠ ♦♥ H✿

a = sup{ah : h ∈ H, h = ✶}✳ ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ✈✐❛ t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ ✿ ❢♦r ❡❛❝❤ ❀

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

B(H)

• ✐✈❡♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ H✱ t❤❡ s❡t B(H) ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs H → H ✐s✿
• ❡q✉❛❧ t♦ ▼n(C) ✐❢ H = Cn❀
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♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥❀

• ❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦r♠ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♥♦r♠ ♦♥ H✿

a = sup{ah : h ∈ H, h = ✶}✳

• ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ a → a∗ ✈✐❛ t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ H✿ k, ak = a∗k, h

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• ❡♥❡r❛❧ r❡❝✉rs✐♦♥

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• ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛s ❛r❡ ❝❧♦s❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡❀

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• ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛s ❛r❡ ❝❧♦s❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡❀
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❚❤❡ st❛t❡s ♦❢ ❛ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛ ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥✈❡① s♣❛❝❡❀ ♣♦✐♥ts ✐♥ ✐ts ❡①tr❡♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♣✉r❡ st❛t❡s✳ ❋♦r ✱ ❣✐✈❡♥ ❛ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦r ✱ t❤❡ ♠❛♣ ❚r ❞❡✜♥❡s ❛ st❛t❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡s ❛r❡ ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ❢♦r ✉♥✐t ✈❡❝t♦rs ✳

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▲❡t A ⊆ B(H) ❜❡ ❛ ✉♥✐t❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ♦r❞❡r ≤ ❜❡ t❤❡ ♦r❞❡r ♦♥ As❛ = {a ∈ A : a∗ = a} ❜② a ≤ b ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ h, ah ≤ h, bh ❢♦r ❡❛❝❤ h ∈ H✳

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▲❡t A ❜❡ ❛ ✉♥✐t❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ ❛ st❛t❡ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ω : A → C s✉❝❤ t❤❛t ✭✶✮ ω(✶A) = ✶❀ ✭✷✮ a ≤ b ✐♠♣❧✐❡s ω(a) ≤ ω(b) ❢♦r ❡❛❝❤ a, b ∈ As❛✳ ❚❤❡ st❛t❡s ♦❢ ❛ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛ ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥✈❡① s♣❛❝❡❀ ♣♦✐♥ts ✐♥ ✐ts ❡①tr❡♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♣✉r❡ st❛t❡s✳ ❋♦r ✱ ❣✐✈❡♥ ❛ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦r ✱ t❤❡ ♠❛♣ ❚r ❞❡✜♥❡s ❛ st❛t❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡s ❛r❡ ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ❢♦r ✉♥✐t ✈❡❝t♦rs ✳

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▲❡t A ⊆ B(H) ❜❡ ❛ ✉♥✐t❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ♦r❞❡r ≤ ❜❡ t❤❡ ♦r❞❡r ♦♥ As❛ = {a ∈ A : a∗ = a} ❜② a ≤ b ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ h, ah ≤ h, bh ❢♦r ❡❛❝❤ h ∈ H✳

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▲❡t A ❜❡ ❛ ✉♥✐t❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ ❛ st❛t❡ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ω : A → C s✉❝❤ t❤❛t ✭✶✮ ω(✶A) = ✶❀ ✭✷✮ a ≤ b ✐♠♣❧✐❡s ω(a) ≤ ω(b) ❢♦r ❡❛❝❤ a, b ∈ As❛✳ ❚❤❡ st❛t❡s ♦❢ ❛ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛ A ❢♦r♠ ❛ ❝♦♥✈❡① s♣❛❝❡❀ ♣♦✐♥ts ✐♥ ✐ts ❡①tr❡♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♣✉r❡ st❛t❡s✳ ❋♦r A = B(H)✱ ❣✐✈❡♥ ❛ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦r d✱ t❤❡ ♠❛♣ a → ❚r(ad) ❞❡✜♥❡s ❛ st❛t❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡s ❛r❡ ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s a → h, ah ❢♦r ✉♥✐t ✈❡❝t♦rs h ∈ H✳

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▲❡t ❜❡ ❛ ❲✯✲❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ ✵ ✶ ✐s ❛ ❞❝♣♦✳ ◆♦t❡✿ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛s ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✵ ✶ ✐s ❛ ❞❝♣♦ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♠♣❧❡t❡✳

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❘❡❝✉rs✐✈❡ ❚②♣❡s ❆ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

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▲❡t A ⊆ B(H) ❜❡ ❛ ✉♥✐t❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♦r❞❡r ♦♥ As❛ = {a ∈ A : a∗ = a} ❞❡✜♥❡❞ ❜② a ≤ b ⇐ ⇒ h, ah ≤ h, bh ❢♦r ❡❛❝❤ h ∈ H. ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ [✵, ✶]A = {a ∈ As❛ : ✵ ≤ a ≤ ✶.}✳

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▲❡t M ❜❡ ❛ ❲✯✲❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ [✵, ✶]M ✐s ❛ ❞❝♣♦✳ ◆♦t❡✿ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛s ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✵ ✶ ✐s ❛ ❞❝♣♦ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♠♣❧❡t❡✳

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▲❡t A ⊆ B(H) ❜❡ ❛ ✉♥✐t❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♦r❞❡r ♦♥ As❛ = {a ∈ A : a∗ = a} ❞❡✜♥❡❞ ❜② a ≤ b ⇐ ⇒ h, ah ≤ h, bh ❢♦r ❡❛❝❤ h ∈ H. ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ [✵, ✶]A = {a ∈ As❛ : ✵ ≤ a ≤ ✶.}✳

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▲❡t M ❜❡ ❛ ❲✯✲❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡♥ [✵, ✶]M ✐s ❛ ❞❝♣♦✳ ◆♦t❡✿ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛s A ❢♦r ✇❤✐❝❤ [✵, ✶]A ✐s ❛ ❞❝♣♦ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♠♣❧❡t❡✳

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