Resummation for transverse observables at hadron colliders Pier - - PowerPoint PPT Presentation

Resummation for transverse observables 
 at hadron colliders

Pier Francesco Monni CERN

Resummation, Evolution, Factorization (REF 2017) Madrid, 13 November 2017

Mainly ¡based ¡on ¡1604.02191 ¡and ¡1705.09127

• The all-order treatment for an observable that satisfies the IRC-safety criteria

relies on the concept of factorisation …

• … of the QCD amplitudes in the IRC limits
• … of the observable. This implies that hard and singular IRC modes are not mixed when

radiative corrections are considered

• The latter is often interpreted as the existence of factorised formula for the cross section in

some conjugate space.

• It is however important to translate the separation of singular modes from the hard ones into

scaling requirements for the observable for a systematic solution

• e.g. rIRC safety: scaling conditions for the observable in the presence of radiation. It

allows one to define a logarithmic hierarchy for the squared amplitudes at all perturbative orders. Resummation can be formulated systematically

• Exceptions exist: e.g. rIRC unsafe observables (e.g. old JADE and Geneva algorithms),

Sudakov-safe observables. No general structure beyond LL for these is known yet

see ¡e.g. ¡[Banfi, ¡Salam, ¡Zanderighi ¡’04] ¡(NLL)

Momentum-space resummation in QCD

2

V ({˜ p}, k1, . . . , kn)

[Banfi, ¡McAslan, ¡PM, ¡Zanderighi ¡’14-­‑‘16] ¡(NNLL)

• Transverse observables in colour-singlet production offer a clean experimental and theoretical

environment for precision physics:

• SM measurements (e.g. W, Z, photon,…): parton distributions, strong coupling, W mass,…
• BSM measurements/constraints (e.g. Higgs): light/heavy NP, Yukawa couplings,…
• Of this class, the family of inclusive observables probes directly the kinematics of the colour

singlet:

• sensitive to non-perturbative effects (hadronisation, intrinsic kt) only through transverse

recoil

• very little/no sensitivity to multi-parton interactions
• measured precisely at experiments
• Experimental uncertainty is already at the % level (or less) in some cases (e.g. Z production).

Perturbation theory must be pushed to its limits

Transverse observables

3

4

e.g. Higgs at small transverse momentum

• Study of small-pt region received a lot of attention in collider literature. Theoretically, it offers

a clean environment to test/calibrate exclusive generators against more accurate predictions. Experimentally, shape is sensitive to light-quark Yukawa couplings

• Theoretically interesting observable. Two mechanisms compete in the limit
• Sudakov (exponential) suppression when
• Azimuthal cancellations (power suppression, dominant) when
• Standard solution obtained in impact-parameter space. Information on the radiation entirely

lost

• Coefficient functions and anomalous dimensions known up to N3LL, except for four-loop cusp

pt → 0 kti ∼ pt kti pt

[Parisi, ¡Petronzio ¡’79] ¡ [Collins ¡et ¡al. ¡’85] ¡ [Bozzi ¡et ¡al. ¡’05]
 [Becher ¡et ¡al. ¡‘10+’12] [Catani, ¡Grazzini ¡’11][Catani ¡et ¡al. ¡‘12][Gehrmann, ¡Luebbert, ¡Yang ¡‘14] [De ¡Florian, ¡Grazzini ¡’01] [Becher, ¡Neubert ¡‘10] [Davies, ¡Stirling ¡‘84]

[Vladimirov ¡’16] ¡ [Li, ¡Zhu ¡’16] ¡

4

e.g. Higgs at small transverse momentum

• Study of small-pt region received a lot of attention in collider literature. Theoretically, it offers

a clean environment to test/calibrate exclusive generators against more accurate predictions. Experimentally, shape is sensitive to light-quark Yukawa couplings

• Theoretically interesting observable. Two mechanisms compete in the limit
• Sudakov (exponential) suppression when
• Azimuthal cancellations (power suppression, dominant) when
• Standard solution obtained in impact-parameter space. Information on the radiation entirely

lost

• Coefficient functions and anomalous dimensions known up to N3LL, except for four-loop cusp

pt → 0 kti ∼ pt kti pt

[Parisi, ¡Petronzio ¡’79] ¡ [Collins ¡et ¡al. ¡’85] ¡ [Bozzi ¡et ¡al. ¡’05]
 [Becher ¡et ¡al. ¡‘10+’12]

• Is it possible to obtain a more exclusive solution in momentum space ?

[Catani, ¡Grazzini ¡’11][Catani ¡et ¡al. ¡‘12][Gehrmann, ¡Luebbert, ¡Yang ¡‘14] [De ¡Florian, ¡Grazzini ¡’01] [Becher, ¡Neubert ¡‘10] [Davies, ¡Stirling ¡‘84]

[Vladimirov ¡’16] ¡ [Li, ¡Zhu ¡’16] ¡

• Write all-order cross section as ( )
• Recast all-order squared ME for n real emissions as (each correlated block is dressed with loops)

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Formulation in momentum space

V ({˜ p}, k1, . . . , kn) = |~ kt1 + · · · + ~ ktn|

All-­‑order ¡form ¡factor Real ¡emissions

[PM, ¡Re, ¡Torrielli ¡’16; ¡Bizon, ¡PM, ¡Re, ¡Rottoli, ¡Torrielli ¡’17] ¡ ¡ See ¡also ¡SCET ¡formulations ¡in ¡[Ebert, ¡Tackmann ¡’16][Kang, ¡Lee, ¡Vaidya ¡’17]

+

+ . . . e.g. ¡n ¡soft ¡partons ¡case ¡(analogous ¡considerations ¡for ¡hard-­‑collinear) + . . .

e.g. ¡[Dixon, ¡Magnea, ¡Sterman ¡’08]

e.g. ¡up ¡to ¡n=2

• Write all-order cross section as ( )
• Recast all-order squared ME for n real emissions as (each correlated block is dressed with loops)

6

Formulation in momentum space

V ({˜ p}, k1, . . . , kn) = |~ kt1 + · · · + ~ ktn|

All-­‑order ¡form ¡factor Real ¡emissions

... ...

For ¡Inclusive


• bservables

e.g. ¡[Dixon, ¡Magnea, ¡Sterman ¡’08] [PM, ¡Re, ¡Torrielli ¡’16; ¡Bizon, ¡PM, ¡Re, ¡Rottoli, ¡Torrielli ¡’17] ¡ ¡ See ¡also ¡SCET ¡formulations ¡in ¡[Ebert, ¡Tackmann ¡’16][Kang, ¡Lee, ¡Vaidya ¡’17]

• Write all-order cross section as ( )
• Recast all-order squared ME for n real emissions as (each correlated block is dressed with loops)

6

Formulation in momentum space

V ({˜ p}, k1, . . . , kn) = |~ kt1 + · · · + ~ ktn|

All-­‑order ¡form ¡factor Real ¡emissions

... ...

For ¡Inclusive


• bservables

e.g. ¡[Dixon, ¡Magnea, ¡Sterman ¡’08] [PM, ¡Re, ¡Torrielli ¡’16; ¡Bizon, ¡PM, ¡Re, ¡Rottoli, ¡Torrielli ¡’17] ¡ ¡ See ¡also ¡SCET ¡formulations ¡in ¡[Ebert, ¡Tackmann ¡’16][Kang, ¡Lee, ¡Vaidya ¡’17]

• Write all-order cross section as ( )
• Recast all-order squared ME for n real emissions as (each correlated block is dressed with loops)

6

Formulation in momentum space

V ({˜ p}, k1, . . . , kn) = |~ kt1 + · · · + ~ ktn|

All-­‑order ¡form ¡factor Real ¡emissions

... ...

LL NLL NNLL

For ¡Inclusive


• bservables

e.g. ¡[Dixon, ¡Magnea, ¡Sterman ¡’08] [PM, ¡Re, ¡Torrielli ¡’16; ¡Bizon, ¡PM, ¡Re, ¡Rottoli, ¡Torrielli ¡’17] ¡ ¡ See ¡also ¡SCET ¡formulations ¡in ¡[Ebert, ¡Tackmann ¡’16][Kang, ¡Lee, ¡Vaidya ¡’17]

• Write all-order cross section as ( )
• Recast all-order squared ME for n real emissions as (each correlated block is dressed with loops)

6

Formulation in momentum space

V ({˜ p}, k1, . . . , kn) = |~ kt1 + · · · + ~ ktn|

All-­‑order ¡form ¡factor Real ¡emissions

... ...

LL NLL NNLL

For ¡Inclusive


• bservables

e.g. ¡[Dixon, ¡Magnea, ¡Sterman ¡’08]

One-­‑to-­‑one ¡correspondence ¡between
 correlated ¡blocks ¡and ¡anomalous ¡
 dimensions

[PM, ¡Re, ¡Torrielli ¡’16; ¡Bizon, ¡PM, ¡Re, ¡Rottoli, ¡Torrielli ¡’17] ¡ ¡ See ¡also ¡SCET ¡formulations ¡in ¡[Ebert, ¡Tackmann ¡’16][Kang, ¡Lee, ¡Vaidya ¡’17]

• Subtraction of the IRC poles between and :
• introduce a phase-space resolution scale (slicing parameter)
• real emissions with (unresolved) do not modify the observable, and can be

ignored entirely in the measurement function

• compute unresolved reals and virtuals analytically in D dimensions (much easier

than full observable)

• compute resolved (reals only) in 4 dim. with (MC events !)

7

V(ΦB)

∞

X

n=0

Z

n

Y

i=1

[dki]|M(˜ p1, ˜ p2, k1, . . . , kn)|2

All-order subtraction of IRC singularities

✏ → 0

DGLAP ¡anomalous ¡dims

RGE ¡evolution ¡of ¡ ¡

• coeff. ¡functions

kti < ✏kt1

Q0 = ✏kt1

• Subtraction of the IRC poles between and :
• introduce a phase-space resolution scale (slicing parameter)
• real emissions with (unresolved) do not modify the observable, and can be

ignored entirely in the measurement function

• compute unresolved reals and virtuals analytically in D dimensions (much easier

than full observable)

• compute resolved (reals only) in 4 dim. with (MC events !)

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V(ΦB)

∞

X

n=0

Z

n

Y

i=1

[dki]|M(˜ p1, ˜ p2, k1, . . . , kn)|2

Q0 = ✏kt1

All-order subtraction of IRC singularities

✏ → 0

DGLAP ¡anomalous ¡dims

kti < ✏kt1

RGE ¡evolution ¡of ¡ ¡

• coeff. ¡functions

✏kt1 ✏kt1

R(✏kt1) ≡

Anomalous ¡dimensions ¡ start ¡differing ¡from ¡ b-­‑space ¡ones ¡at ¡N3LL Sudakov ¡radiator: ¡ integral ¡of ¡single ¡ inclusive ¡block.

• Subtraction of the IRC poles between and :
• introduce a phase-space resolution scale (slicing parameter)
• real emissions with (unresolved) do not modify the observable, and can be

ignored entirely in the measurement function

• compute unresolved reals and virtuals analytically in D dimensions (much easier

than full observable)

• compute resolved (reals only) in 4 dim. with (MC events !)

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V(ΦB)

∞

X

n=0

Z

n

Y

i=1

[dki]|M(˜ p1, ˜ p2, k1, . . . , kn)|2

All-order subtraction of IRC singularities

kti < ✏kt1

✏ → 0

DGLAP ¡anomalous ¡dims

RGE ¡evolution ¡of ¡ ¡

• coeff. ¡functions

Sudakov ¡radiator: ¡ integral ¡of ¡single ¡ inclusive ¡block.

Q0 = ✏kt1

• Since the transverse momenta of the resolved reals are of the same order, we can expand the

whole integrand about up to the desired logarithmic accuracy

• This expansion allows us to compute higher-order corrections to the NLL resolved reals by

simply including one correction at a time

Numerical implementation: RadISH

kti ∼ kt1

• Coefficient ¡functions ¡and ¡

hard-­‑virtual ¡corrections ¡ absorbed ¡into ¡effective ¡ parton ¡luminosities ¡

• The ¡ensemble ¡of ¡NLL ¡real ¡

emissions ¡dZ ¡is ¡generated ¡ as ¡a ¡parton ¡shower. ¡Fast ¡ numerical ¡evaluation ¡with ¡ Monte-­‑Carlo ¡methods. ¡

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e.g. ¡expansion ¡up ¡to ¡NLL

• Since the transverse momenta of the resolved reals are of the same order, we can expand the

whole integrand about up to the desired logarithmic accuracy

• This expansion allows us to compute higher-order corrections to the NLL resolved reals by

simply including one correction at a time kti ∼ kt1

• Coefficient ¡functions ¡and ¡

hard-­‑virtual ¡corrections ¡ absorbed ¡into ¡effective ¡ parton ¡luminosities ¡

• The ¡ensemble ¡of ¡NLL ¡real ¡

emissions ¡dZ ¡is ¡generated ¡ as ¡a ¡parton ¡shower. ¡Fast ¡ numerical ¡evaluation ¡with ¡ Monte-­‑Carlo ¡methods. ¡

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kti/kt1 = ζi = O(1)

e.g. ¡expansion ¡up ¡to ¡NLL

Numerical implementation: RadISH

• Since the transverse momenta of the resolved reals are of the same order, we can expand the

whole integrand about up to the desired logarithmic accuracy

• This expansion allows us to compute higher-order corrections to the NLL resolved reals by

simply including one correction at a time

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kti ∼ kt1

• Coefficient ¡functions ¡and ¡

hard-­‑virtual ¡corrections ¡ absorbed ¡into ¡effective ¡ parton ¡luminosities ¡

• The ¡ensemble ¡of ¡NLL ¡real ¡

emissions ¡dZ ¡is ¡generated ¡ as ¡a ¡parton ¡shower. ¡Fast ¡ numerical ¡evaluation ¡with ¡ Monte-­‑Carlo ¡methods. ¡

e.g. ¡expansion ¡up ¡to ¡NNLL

Numerical implementation: RadISH

• Since the transverse momenta of the resolved reals are of the same order, we can expand the

whole integrand about up to the desired logarithmic accuracy

• This expansion allows us to compute higher-order corrections to the NLL resolved reals by

simply including one correction at a time

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kti ∼ kt1

• Coefficient ¡functions ¡and ¡

hard-­‑virtual ¡corrections ¡ absorbed ¡into ¡effective ¡ parton ¡luminosities ¡

• The ¡ensemble ¡of ¡NLL ¡real ¡

emissions ¡dZ ¡is ¡generated ¡ as ¡a ¡parton ¡shower. ¡Fast ¡ numerical ¡evaluation ¡with ¡ Monte-­‑Carlo ¡methods. ¡

e.g. ¡expansion ¡up ¡to ¡N3LL

Numerical implementation: RadISH

• CSS result recovered by simply transforming observable into b-space (radiation

integrated out)

• Clear physical picture of the dynamics of azimuthal cancellations at small

transverse momentum

• Allows for a more (although not completely) exclusive generation of ISR
• cuts on real radiation can be in principle applied (a lot of care is required!);

access to multi-differential resummations

• Formulation can be extended to more general rIRC-safe observables
• Corrections in resolved real radiation can be worked out systematically

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Remarks and Outlook

e.g. ¡at ¡NLL

'

Sudakov ¡suppression ¡ “frozen” ¡at ¡scales ¡

• f ¡order ¡kt1

Scaling ¡at ¡smaller ¡scales ¡ is ¡set ¡by ¡the ¡kinematics ¡

• f ¡additional ¡emissions

see ¡e.g. ¡[Banfi, ¡McAslan, ¡PM, ¡Zanderighi ¡’14-­‑‘16]

Thank you for listening

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Probability ¡of ¡secondary ¡radiation ¡ given ¡the ¡first ¡emission, ¡and ¡the ¡

• bservable’s ¡value ¡v

Probability ¡of ¡emitting ¡the ¡ hardest ¡parton ¡v1 ¡= ¡v(k1)

Zeros away from the Sudakov limit

16 Transverse ¡Energy: ¡ ¡ single ¡(Sudakov) ¡suppression ¡mechanism ¡ for ¡all ¡values ¡of ¡kt1:

ET

Transverse ¡Momentum: ¡

• At ¡some ¡value ¡of ¡kt1 ¡a ¡transition ¡takes ¡place ¡

and ¡the ¡second ¡mechanism ¡becomes ¡more ¡likely ¡ way ¡to ¡get ¡pT-­‑>0: ¡power-­‑like ¡suppression few emissions : kt1 ∼ pT many emissions : kt1 pT

Σ(v) σBorn = Z v 1 σBorn dσ dv0 dv0 = 1 σBorn Z dv1P(v1)P(v|v1), P(v1) ∼ αs eR(v1) v1 ln 1 v1

Σ(v) σBorn ' P(v) σBorn Z dv1 v1 ⇣v1 v ⌘R0(v) P(v|v1) = eR(v)F(v), R0(v) = dR(v)/d ln(1/v)

kt1 ≤ ET

• Commonly and one can expand about
• Answer may diverge if for . Two mechanisms compete:

P(v|v1) 6= 0

v1 v

e.g. ¡transverse ¡momentum ¡of ¡the ¡final-­‑state ¡system

P(v|v1) ⇠ v−2

1

for v1 v

P(v|v1) = 0 for v1 v

vi ∼ v vi/v = O(1)

• At NLL resolved real radiation is soft and collinear, therefore there’s no overlapping

with the DGLAP evolution (PDFs can be evaluated at kt1)

• Beyond NLL a resolved real hard-collinear radiation is allowed; need to perform of

DGLAP evolution exclusively for a fixed number of collinear emissions

• e.g. at NNLL expand around the IR cutoff of the last resolved emission

17

Treatment of initial state radiation

ln kt/Q η z(1) < 1 z(2) < 1 ln(kt,1/Q) ln(✏kt,1/Q) ln(1/✏) DGLAP q(x, ✏kt,1) = q(x, kt,1) − ↵s(kt,1) ⇡ P(z) ⊗ q(x, kt,1) ln 1 ✏ + O(N3LL)

cutoff ¡dependence ¡cancels ¡ against ¡the ¡real ¡counterpart

real emissions Sudakov suppression

= d2Σ(v) dΦBdpt = X

c1,c2

d|MB|2

c1c2

dΦB Z b db ptJ0(ptb) f T (b0/b)Cc1;T

N1 (αs(b0/b))H(M)Cc2 N2(αs(b0/b))f(b0/b)

× exp ( −

2

X

`=1

Z M dkt kt R0

` (kt) (1 − J0(bkt))

) .

• Hard-collinear emissions off initial-state legs require some care in the treatment of
• kinematics. Final result reads
• Formulation equivalent to b-space result, up to a scheme change. Using the delta

representation for the distribution one finds

Equivalence to CSS formula

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dΣ(v) dptdΦB = Z

C1

dN1 2πi Z

C2

dN2 2πi x−N1

1

x−N2

2

X

c1,c2

d|MB|2

c1c2

dΦB f T

N1(µ0)

d ˆ Σc1,c2

N1,N2(v)

dpt fN2(µ0) = dΣ(v) dptdΦB = Z

C1

dN1 2πi Z

C2

dN2 2πi x−N1

1

x−N2

2

X

c1,c2

d|MB|2

c1c2

dΦB f T

N1(µ0)

d ˆ Σc1,c2

N1,N2(v)

dpt fN2(µ0) =