Rainbow Connection in Hypergraphs Henry Liu Universidade Nova de - - PowerPoint PPT Presentation
Rainbow Connection in Hypergraphs Henry Liu Universidade Nova de Lisboa, Portugal Joint work with Rui Carpentier, Manuel Silva and Teresa Sousa Bordeaux Graph Workshop, 21 to 24 November 2012 Introduction Hypergraph Cycles Complete
Henry Liu
Universidade Nova de Lisboa, Portugal Joint work with Rui Carpentier, Manuel Silva and Teresa Sousa
Bordeaux Graph Workshop, 21 to 24 November 2012
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
All graphs and hypergraphs are simple and finite.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
All graphs and hypergraphs are simple and finite.
Definition
The rainbow connection number rc(G) of a connected graph G is the minimum number of colours needed to colour the edges of G such that, any two vertices are connected by a path with distinct colours (i.e., a rainbow path).
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
All graphs and hypergraphs are simple and finite.
Definition
The rainbow connection number rc(G) of a connected graph G is the minimum number of colours needed to colour the edges of G such that, any two vertices are connected by a path with distinct colours (i.e., a rainbow path). The function rc(G) was first introduced by Chartrand, Johns, McKeon and Zhang in 2008.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
All graphs and hypergraphs are simple and finite.
Definition
The rainbow connection number rc(G) of a connected graph G is the minimum number of colours needed to colour the edges of G such that, any two vertices are connected by a path with distinct colours (i.e., a rainbow path). The function rc(G) was first introduced by Chartrand, Johns, McKeon and Zhang in 2008. The study of rc(G) has since attracted a lot of interest. Many generalisations and variant functions have been considered. Recently, a survey by Li, Shi and Sun, and a book by Li and Sun, were published on the rainbow connection subject.
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Example (Chartrand et al., 2008)
rc(G) = e(G) if and only if G is a tree.
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Example (Chartrand et al., 2008)
rc(G) = e(G) if and only if G is a tree.
Example (Chartrand et al., 2008)
rc(C3) = 1, and rc(Cn) = ⌈ n
2⌉ if n ≥ 4.
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Example (Chartrand et al., 2008)
rc(G) = e(G) if and only if G is a tree.
Example (Chartrand et al., 2008)
rc(C3) = 1, and rc(Cn) = ⌈ n
2⌉ if n ≥ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs. But, what is a path in a hypergraph?
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs. But, what is a path in a hypergraph?
Definition
A (Berge) path consists of distinct vertices v1, . . . , vℓ+1 and distinct edges e1, . . . , eℓ such that vi, vi+1 ∈ ei for 1 ≤ i ≤ ℓ.
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs. But, what is a path in a hypergraph?
Definition
A (Berge) path consists of distinct vertices v1, . . . , vℓ+1 and distinct edges e1, . . . , eℓ such that vi, vi+1 ∈ ei for 1 ≤ i ≤ ℓ.
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs. But, what is a path in a hypergraph?
Definition
A (Berge) path consists of distinct vertices v1, . . . , vℓ+1 and distinct edges e1, . . . , eℓ such that vi, vi+1 ∈ ei for 1 ≤ i ≤ ℓ.
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v3 e2
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs. But, what is a path in a hypergraph?
Definition
A (Berge) path consists of distinct vertices v1, . . . , vℓ+1 and distinct edges e1, . . . , eℓ such that vi, vi+1 ∈ ei for 1 ≤ i ≤ ℓ.
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Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
We consider the rainbow connection notion for hypergraphs. But, what is a path in a hypergraph?
Definition
A (Berge) path consists of distinct vertices v1, . . . , vℓ+1 and distinct edges e1, . . . , eℓ such that vi, vi+1 ∈ ei for 1 ≤ i ≤ ℓ.
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v3 e2
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v4 e3
Definition
The rainbow connection number rc(H) of a connected hypergraph H is the minimum number of colours needed to colour the edges of H such that, any two vertices are connected by a rainbow path.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For 1 ≤ s < r, an (r, s)-path is an r-uniform interval hypergraph where every two consecutive edges intersect in s vertices.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For 1 ≤ s < r, an (r, s)-path is an r-uniform interval hypergraph where every two consecutive edges intersect in s vertices.
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(5, 2)-path of length 3
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For 1 ≤ s < r, an (r, s)-path is an r-uniform interval hypergraph where every two consecutive edges intersect in s vertices.
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(5, 2)-path of length 3
Definition
The (r, s)-rainbow connection number rc(H, r, s) of a connected hypergraph H is the minimum number of colours needed to colour the edges of H such that, any two vertices are connected by a rainbow (r, s)-path (if the minimum exists).
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For 1 ≤ s < r, an (r, s)-path is an r-uniform interval hypergraph where every two consecutive edges intersect in s vertices.
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(5, 2)-path of length 3
Definition
The (r, s)-rainbow connection number rc(H, r, s) of a connected hypergraph H is the minimum number of colours needed to colour the edges of H such that, any two vertices are connected by a rainbow (r, s)-path (if the minimum exists). Hence, we have two generalisations of rc(G) to hypergraphs.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Theorem 1 (CLSS, 2012)
Let H be a connected hypergraph with e(H) ≥ 1. Then, rc(H) = e(H) if and only if H is minimally connected.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Theorem 1 (CLSS, 2012)
Let H be a connected hypergraph with e(H) ≥ 1. Then, rc(H) = e(H) if and only if H is minimally connected.
Remark
It is not true that rc(H) = e(H) if and only if H is a hypertree. For example, let H = · · ·
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Theorem 1 (CLSS, 2012)
Let H be a connected hypergraph with e(H) ≥ 1. Then, rc(H) = e(H) if and only if H is minimally connected.
Remark
It is not true that rc(H) = e(H) if and only if H is a hypertree. For example, let H = · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Theorem 1 (CLSS, 2012)
Let H be a connected hypergraph with e(H) ≥ 1. Then, rc(H) = e(H) if and only if H is minimally connected.
Remark
It is not true that rc(H) = e(H) if and only if H is a hypertree. For example, let H = · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rc(H) = 2
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Theorem 1 (CLSS, 2012)
Let H be a connected hypergraph with e(H) ≥ 1. Then, rc(H) = e(H) if and only if H is minimally connected.
Remark
It is not true that rc(H) = e(H) if and only if H is a hypertree. For example, let H = · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rc(H) = 2 e(H) = 3
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
A connected hypergraph H is minimally connected if H − e is disconnected for all e ∈ E(H).
Theorem 1 (CLSS, 2012)
Let H be a connected hypergraph with e(H) ≥ 1. Then, rc(H) = e(H) if and only if H is minimally connected.
Remark
It is not true that rc(H) = e(H) if and only if H is a hypertree. For example, let H = · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rc(H) = 2 e(H) = 3 Minimally connected hypergraphs and hypertrees are two rather different families, unlike in the graphs setting.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For n > r ≥ 2, the (n, r)-cycle is the r-uniform hypergraph Cr
n ...
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For n > r ≥ 2, the (n, r)-cycle is the r-uniform hypergraph Cr
n ...
(7, 3)-cycle
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For n > r ≥ 2, the (n, r)-cycle is the r-uniform hypergraph Cr
n ...
(7, 3)-cycle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For n > r ≥ 2, the (n, r)-cycle is the r-uniform hypergraph Cr
n ...
(7, 3)-cycle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For n > r ≥ 2, the (n, r)-cycle is the r-uniform hypergraph Cr
n ...
(7, 3)-cycle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rc(Cr
n, r, s) well-defined for all 1 ≤ s < r. We consider r ≥ 3.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 2 (CLSS, 2012)
Let n > r ≥ 3. Then for sufficiently large n, (a) rc(Cr
n) = rc(Cr n, r, 1) = ⌈ n 2(r−1)⌉.
(b) rc(Cr
n, r, r − 1) = ⌈ n 2⌉.
(c) rc(Cr
n, r, s) ∈ {d, d + 1} for 1 ≤ s ≤ r − 2, where
d = ⌈ n+1−2s
2(r−s) ⌉, the “ (r, s)-diameter of Cr n”.
Hence, rc(Cr
n, r, s) = ⌈ n 2(r−s)⌉ + O(1) for all 1 ≤ s < r.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
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Theorem 2 (CLSS, 2012)
Let n > r ≥ 3. Then for sufficiently large n, (a) rc(Cr
n) = rc(Cr n, r, 1) = ⌈ n 2(r−1)⌉.
(b) rc(Cr
n, r, r − 1) = ⌈ n 2⌉.
(c) rc(Cr
n, r, s) ∈ {d, d + 1} for 1 ≤ s ≤ r − 2, where
d = ⌈ n+1−2s
2(r−s) ⌉, the “ (r, s)-diameter of Cr n”.
Hence, rc(Cr
n, r, s) = ⌈ n 2(r−s)⌉ + O(1) for all 1 ≤ s < r.
Proof (sketch).
Lower bound: Computation of d is easy ⇒ (a) (except for n ≡ 1 (mod 2(r − 1))) and (c). Remaining lower bounds also easy.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 2 (CLSS, 2012)
Let n > r ≥ 3. Then for sufficiently large n, (a) rc(Cr
n) = rc(Cr n, r, 1) = ⌈ n 2(r−1)⌉.
(b) rc(Cr
n, r, r − 1) = ⌈ n 2⌉.
(c) rc(Cr
n, r, s) ∈ {d, d + 1} for 1 ≤ s ≤ r − 2, where
d = ⌈ n+1−2s
2(r−s) ⌉, the “ (r, s)-diameter of Cr n”.
Hence, rc(Cr
n, r, s) = ⌈ n 2(r−s)⌉ + O(1) for all 1 ≤ s < r.
Proof (sketch).
Lower bound: Computation of d is easy ⇒ (a) (except for n ≡ 1 (mod 2(r − 1))) and (c). Remaining lower bounds also easy. Upper bound: Colour a “wraparound” (r, s)-path with the required number of colours.
Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For t ≥ r ≥ 2 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt, the r-uniform hypergraph Kr
n1,...,nt is ...
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For t ≥ r ≥ 2 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt, the r-uniform hypergraph Kr
n1,...,nt is ...
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K3
2,2,3,4
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For t ≥ r ≥ 2 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt, the r-uniform hypergraph Kr
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K3
2,2,3,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Definition
For t ≥ r ≥ 2 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt, the r-uniform hypergraph Kr
n1,...,nt is ...
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K3
2,2,3,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kr
n1,...,nt is a complete multipartite hypergraph.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
rc(K2
n1,...,nt) determined by Chartrand et al. Let r ≥ 3.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
rc(K2
n1,...,nt) determined by Chartrand et al. Let r ≥ 3.
Theorem 3 (CLSS, 2012)
Let t ≥ r ≥ 3 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt. Then, rc(Kr
n1,...,nt) =
1 if nt = 1, 2 if nt−1 ≥ 2, or t > r, nt−1 = 1 and nt ≥ 2, nt if t = r and nt−1 = 1.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
rc(K2
n1,...,nt) determined by Chartrand et al. Let r ≥ 3.
Theorem 3 (CLSS, 2012)
Let t ≥ r ≥ 3 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt. Then, rc(Kr
n1,...,nt) =
1 if nt = 1, 2 if nt−1 ≥ 2, or t > r, nt−1 = 1 and nt ≥ 2, nt if t = r and nt−1 = 1. Proof not too difficult. For the last case, Kr
n1,...,nt is minimally
connected.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
rc(K2
n1,...,nt) determined by Chartrand et al. Let r ≥ 3.
Theorem 3 (CLSS, 2012)
Let t ≥ r ≥ 3 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt. Then, rc(Kr
n1,...,nt) =
1 if nt = 1, 2 if nt−1 ≥ 2, or t > r, nt−1 = 1 and nt ≥ 2, nt if t = r and nt−1 = 1. Proof not too difficult. For the last case, Kr
n1,...,nt is minimally
connected. More interesting to consider rc(Kr
n1,...,nt, r, s).
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 4 (CLSS, 2012)
Let t ≥ r ≥ 3, s ≤ r − 2 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt be such that nt = 1 or n2(t−r)+s+1 ≥ 2. Then, rc(Kr
n1,...,nt, r, s) =
if nt = 1, 2 if nt ≥ 2.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 4 (CLSS, 2012)
Let t ≥ r ≥ 3, s ≤ r − 2 and 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt be such that nt = 1 or n2(t−r)+s+1 ≥ 2. Then, rc(Kr
n1,...,nt, r, s) =
if nt = 1, 2 if nt ≥ 2. Proof still not difficult. But surprisingly, rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) is a
lot more difficult to determine ...
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 5 (CLSS, 2012)
Let t ≥ r ≥ 3, 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt, n = nt and b =
S
where S ranges over all subsets of {1, . . . , t − 1} with size r − 1. Then, rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) =
1 if nt = 1, ⌈ b √n ⌉ if t = r and n1 = 1, min(⌈ b √n ⌉, r + 2) if t = r and n1 ≥ 2, min(⌈ b √n ⌉, 3) if t > r.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch).
Upper bound rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≤ ⌈ b
√n ⌉ =: k.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch).
Upper bound rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≤ ⌈ b
√n ⌉ =: k.
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Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch).
Upper bound rc(Kr
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⇒ i1 i2 ir−1 This is a good k-colouring.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch).
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c
⇒ i1 i2 ir−1 This is a good k-colouring. rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≤ r + 2 if t = r and n1 ≥ 2; and
rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≤ 3 if t > r: similar idea.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch, ctd.).
Lower bound for t > r: rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≥ min(⌈ b
√n ⌉, 3).
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch, ctd.).
Lower bound for t > r: rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≥ min(⌈ b
√n ⌉, 3). Take a 2-colouring.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch, ctd.).
Lower bound for t > r: rc(Kr
n1,...,nt, r, r − 1) ≥ min(⌈ b
√n ⌉, 3). Take a 2-colouring.
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n1 n2 · · · nt−1 nt
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch, ctd.).
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Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (sketch, ctd.).
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√n ⌉, 3). Take a 2-colouring.
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n1 n2 · · · nt−1 nt
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c ∈ {1, 2}
w
i1 i2 ir−1
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t−1
r−1
Then ∃ w, w′ with the same t−1
r−1
(r, r − 1)-path, and the 2-colouring is bad. Other lower bounds: similar.
Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 6 (CLSS, 2012)
Let a > 0, r ≥ 3 and 1 ≤ s = s′ < r. Then, there exists an r-uniform hypergraph H such that rc(H, r, s) − rc(H) ≥ a, and there exists an r-uniform hypergraph H such that rc(H, r, s) − rc(H, r, s′) ≥ a.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Theorem 6 (CLSS, 2012)
Let a > 0, r ≥ 3 and 1 ≤ s = s′ < r. Then, there exists an r-uniform hypergraph H such that rc(H, r, s) − rc(H) ≥ a, and there exists an r-uniform hypergraph H such that rc(H, r, s) − rc(H, r, s′) ≥ a.
Proof.
First part with s > 1, and second part with s > s′, take H = Cr
n.
⇒ Difference is at least n 2(r − s) − n 2(r − s′) + O(1) ≥ Ω(n).
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (ctd.).
First part with s = 1 and second part with s < s′, take the following construction for H.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (ctd.).
First part with s = 1 and second part with s < s′, take the following construction for H.
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s r u v
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (ctd.).
First part with s = 1 and second part with s < s′, take the following construction for H.
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Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
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s′ r − s′ − 1, “fixed”
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Above colouring ⇒ rc(H) = rc(H, r, s′) = 2.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Proof (ctd.).
First part with s = 1 and second part with s < s′, take the following construction for H.
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s r u v
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s′ r − s′ − 1, “fixed”
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Above colouring ⇒ rc(H) = rc(H, r, s′) = 2. Considering u and v ⇒ rc(H, r, s) ≥ length of (r, s)-path.
Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
connection in graphs, Math. Bohem. 133(1) (2008), 85-98.
survey, Graphs Combin., to appear.
Springer-Verlag, New York, 2012, viii+103pp.
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs
Introduction Hypergraph Cycles Complete Multipartite Hypergraphs Separation Results
Henry Liu Rainbow Connection in Hypergraphs