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◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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①✵ ⊕①✷ = ✵ ①✶ = ✵ ①✸ = ✶ ①✹ = ✶ ①✺ = ✶ ①✼ = ✵ ①✽ = ✶ ①✾ = ✵ ①✶✵ = ✵ ①✶✷ = ✶ ❋(①✵,...,①✻) = ✶ ❋(①✶,...,①✼) = ①✷ ⊕✶ ❋(①✷,...,①✽) = ✵ ❋(①✸,...,①✾) = ✵ ❋(①✹,...,①✶✵) = ✶ ❋(①✺,...,①✶✶) = ✶ ❋(①✻,...,①✶✷) = ✵

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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✵ ❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋ ❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋❋ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✶ ✶❆✵✵✶✵✷✶✾✽✸✽✸✻❈❇ ✶❆✵✵✶✵✷✶✾✽✸✽✸✻❈❇ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✷ ✺✽✵✾✽✸✷❆✶❉❊❆✷✹✺✽ ✺✽✵✾✽✸✷❆✶❉❊❆✷✹✺✽ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✸ ✽❆❊❋✺❋❊❇❊❇✾❋❉❆❆❇ ✽❆❊❋✺❋❊❇❊❇✾❋❉❆❆❇ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✹ ✸✷❋✾❉✽✺✼✽✵✶✺❉✷✾✼ ✸✷❋✾❉✽✺✼✽✵✶✺❉✷✾✼ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✺ ✵❉✵✸✶✸✼✷✹✷✸❇✾✶❆❈ ✵❉✵✸✶✸✼✷✹✷✸❇✾✶❆❈ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✻ ❇✽✵✹❆❈✵✽❈❉✾✼❊✸✹✽ ❇✽✵✹❆❈✵✽❈❉✾✼❊✸✹✽ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✼ ❊✽❇❇✽❊✻✹✾❉❈✸❇✸✺❋ ❊✷❇❇✾❊✹✺✵❉❋✸✽✺✾❈ ✵❆✵✵✶✵✷✶✾✵✸✵✸✻❈✸

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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❆◆❋ ♦❢ ❋ ❝♦♥t❛✐♥s ❤✐❣❤❡st ❞❡❣r❡❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧ ⇒❋ ✐s ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ■❢ ❛,...,❣ ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞✱ t❤❡♥ Pr[❋(❛,❜,❝,❞,❡,❢ ,❣)[❥] = ✵] = ✵.✺+✷−✼

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r0[0] = k0[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✶ ❘♦✉♥❞

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r1[0] = k1[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✷ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r2[0] = k2[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✸ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r3[0] = k3[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r4[0] = k4[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r5[0] = k5[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✻ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r6[0] = k6[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✼ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r7[0] = k7[0]

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✼ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 r7[0] = k7[0] L(r0)[0]=0

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 L(r1)[0]=0 Pr(r0[0]=0)=1+2-7

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✾ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 L(r2)[0]=0 Pr(r1[0]=0)=1+2-7

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐st✐♥❣✉✐s❤❡r✿ ❆❢t❡r ✶✵ ❘♦✉♥❞s

r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 L(r3)[0]=0 Pr(r2[0]=0)=1+2-7

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 L(r4)[0]=0 Pr(r3[0]=0)=1+2-7

◆✐❝❦② ▼♦✉❤❛ ❡t ❛❧✳ ❈r②♣t❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❊❙❙❊◆❈❊ ❋❛♠✐❧② ♦❢ ❍❛s❤ ❋✉♥❝t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❊❙❙❊◆❈❊ ✸✶✲❘♦✉♥❞ ❙❡♠✐✲❋r❡❡ ❙t❛rt ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ❆tt❛❝❦ ❋✐rst ◆✐♥❡ ❘♦✉♥❞s ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ ❆tt❛❝❦s ❙❧✐❞❡ ❆tt❛❝❦s ✰ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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r6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 r7 F L F L k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 k0 L(r5)[0]=0 Pr(r4[0]=0)=1+2-7

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