rt r tts - - PowerPoint PPT Presentation

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❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✻ ✴ ✷✹

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❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✻ ✴ ✷✹

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❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✻ ✴ ✷✹

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⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ a✶ a✵ · · · a✷ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜②

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❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

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✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ a✶ a✵ · · · a✷ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n − ✶ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

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⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ −an−✶ · · · −a✶ a✶ a✵ · · · −a✷ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n + ✶

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❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

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⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ + a✷ a✶ a✵ + an−✶ · · · a✷ + a✸ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵ + an−✶      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n − X − ✶

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❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

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⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ + a✷ a✶ a✵ + an−✶ · · · a✷ + a✸ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵ + an−✶      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n − X − ✶

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❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

• i

tiX i : (t✵, · · · , tn−✶)T ∈ L(M❛)

• = ❛ ⊂ Z[X]/(X n − X − ✶)

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r

✭ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✶✵

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭❢r❡❡✮ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ n nk ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r

✭ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✶✵

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭❢r❡❡✮ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

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❘✐♥❣ R

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▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

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❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❘❡♠✐♥❞❡r

R = Z[X]/P(X)

✶

r♦♦ts ♦❢

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ k M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ nk ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z

❈♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❛

✵ ✶ ✶ ✶ ✵ ✶ ✶

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❛ ❛

✶❛

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✸ ✴ ✷✹

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❘❡♠✐♥❞❡r

R = Z[X]/P(X)

✶

r♦♦ts ♦❢

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ k M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ nk ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z

❈♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

σ : R → Rn ❛ = a✵ + a✶X + · · · + an−✶X n−✶ → (a✵, a✶, · · · , an−✶)T ❛ − → M❛ =   | | | σ(❛) σ(X❛) · · · σ(X n−✶❛) | | |  

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✸ ✴ ✷✹

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❘❡♠✐♥❞❡r

R = Z[X]/P(X) α✶, · · · , αn r♦♦ts ♦❢ P

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ k M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ nk ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

σ : R → Cn ❛ = a✵ + a✶X + · · · + an−✶X n−✶ → (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T ❛ − → M❛ =   | | | σ(❛) σ(X❛) · · · σ(X n−✶❛) | | |  

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✸ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ ❛ ❛

✐❢ ❛ t❤❡♥ ❛

❛ ❛

✶

❛

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤

✶ ✷ ✶ ✷

✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

❛ ❛

✶

❛

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤

✶ ✷ ✶ ✷

✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤

✶ ✷ ✶ ✷

✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤ Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) ✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ = (✶, · · · , ✶) ❛♥❞ H = ✶⊥

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

Log r = h + a✶✱ ✇✐t❤ h ∈ H Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) a ≥ ✵ ✐❢ r ∈ R

✭a = log(N(r))/n✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

Λ = {Log(u) : u ∈ R×}

Λ ⊂ H Λ ✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ = (✶, · · · , ✶) ❛♥❞ H = ✶⊥

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

Log r = h + a✶✱ ✇✐t❤ h ∈ H Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) a ≥ ✵ ✐❢ r ∈ R

✭a = log(N(r))/n✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

Λ = {Log(u) : u ∈ R×}

Λ ⊂ H Λ ✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ = (✶, · · · , ✶) ❛♥❞ H = ✶⊥

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

Log r = h + a✶✱ ✇✐t❤ h ∈ H Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) a ≥ ✵ ✐❢ r ∈ R

✭a = log(N(r))/n✮ r ≃ ✷ Log r∞

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ t❛❧❦

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▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

✷

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✷✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✺ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✶✵ ✼ ✷ ✷

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r♦t❛t✐♦♥

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M = ✶✵ ✼ ✷ ✷

• ❈

❈♦♠♣✉t❡ ◗❘ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

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• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

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M = ✶✵.✷ ✼.✸ ✵ ✵.✻

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❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r❡❞✉❝❡ b✷ ✇✐t❤ b✶

✶

M = ✶✵.✷ ✼.✸ ✵ ✵.✻

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✏❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥✑ ✭♦✈❡r R✮ ♦❢ ✼.✸ ❜② ✶✵.✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

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• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

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M = ✶✵.✷ −✷.✾ ✵ ✵.✻

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❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

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• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

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M = −✷.✾ ✶✵.✷ ✵.✻ ✵

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

st❛rt ❛❣❛✐♥

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M = −✷.✾ ✶✵.✷ ✵.✻ ✵

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r♦t❛t✐♦♥

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M = −✷.✾ ✶✵.✷ ✵.✻ ✵

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r♦t❛t✐♦♥

✶

M = ✸ −✶✵ ✵ −✷

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r❡❞✉❝❡ b✷ ✇✐t❤ b✶

✶

M = ✸ −✶✵ ✵ −✷

• ❈

✏❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥✑ ✭♦✈❡r R✮ ♦❢ −✶✵ ❜② ✸

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

✶

M = ✸ −✶ ✵ −✷

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

✶

M = ✸ −✶ ✵ −✷

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r R✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

• ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

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M = ✸ −✶ ✵ −✷

• ❈

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r R✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ⇒ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ⇒ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

■♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦✈❡r R

❋♦r a = (a✶, · · · , ak) ∈ K k ❛♥❞ b = (b✶, · · · , bk) ∈ K k✱

• a,

bK =

• i

aibi ∈ K Pr♦♣❡rt✐❡s ❚r ♦✈❡r ❚r

✶ ✶ ✷

❚r

✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✼ ✴ ✷✹

■♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦✈❡r R

❋♦r a = (a✶, · · · , ak) ∈ K k ❛♥❞ b = (b✶, · · · , bk) ∈ K k✱

• a,

bK =

• i

aibi ∈ K Pr♦♣❡rt✐❡s ❚r( a, bK) = σ( a), σ( b) ♦✈❡r C ⇒

• ❚r(

a, aK) = (σ(a✶), · · · , σ(ak))

✶ ✷

❚r(x) = n

i=✶ σ(x)i

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✼ ✴ ✷✹

■♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦✈❡r R

❋♦r a = (a✶, · · · , ak) ∈ K k ❛♥❞ b = (b✶, · · · , bk) ∈ K k✱

• a,

bK =

• i

aibi ∈ K Pr♦♣❡rt✐❡s ❚r( a, bK) = σ( a), σ( b) ♦✈❡r C ⇒

• ❚r(

a, aK) = (σ(a✶), · · · , σ(ak))

• N(

a, aK) = ∆−✶/✷

K

· det(L( a)) ❚r

✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✼ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✳

❖✈❡r

❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ♦✉t♣✉t ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r

❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ♦✉t♣✉t ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ⇒ s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❘❡❧❛①❡❞ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❉✐✈✐s✐♦♥

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✾ ✴ ✷✹

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ t❤❡♥

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ t❤❡♥

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa − yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ t❤❡♥

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa − yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ Log(u) − Log(v) ≤ ε t❤❡♥ u − v ε · min(u, v)

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ Log t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa − yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ Log(u) − Log(v) ≤ ε t❤❡♥ u − v ε · min(u, v)

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ Log t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t Log(xa) − Log(yb) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n)

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

Log(xa) − Log(yb) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

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Log(xa) − Log(yb) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

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(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

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(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

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(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

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(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ L ✇✐t❤ t❛r❣❡t t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

L =      Λ Log r✶ · · · Log rn✷ ✵ ✶ · · · ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ · · · ✶      , t =        Log(b/a) ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵       

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(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ L ✇✐t❤ t❛r❣❡t t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

L =      Λ Log r✶ · · · Log rn✷ ✵ ✶ · · · ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ · · · ✶      , t =        Log(b/a) ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵       

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ L ✇✐t❤ t❛r❣❡t t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

L =      Λ Log r✶ · · · Log rn✷ ✵ ✶ · · · ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ · · · ✶      , t =        Log(b/a) ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵       

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