rt r tts - - PowerPoint PPT Presentation

r t r tt s
SMART_READER_LITE
LIVE PREVIEW

rt r tts - - PowerPoint PPT Presentation

rt r tts Ptr t


slide-1
SLIDE 1

❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❈❤❛♥❣♠✐♥ ▲❡❡✶✱ ❆❧✐❝❡ P❡❧❧❡t✲▼❛r②✷✱ ❉❛♠✐❡♥ ❙t❡❤❧é✶ ❛♥❞ ❆❧❡①❛♥❞r❡ ❲❛❧❧❡t✸

✶ ❊◆❙ ❞❡ ▲②♦♥✱ ✷ ❑❯ ▲❡✉✈❡♥✱ ✸ ◆❚❚ ❚♦❦②♦

❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t✱ ◆♦✈❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✾ ❤tt♣s✿✴✴❡♣r✐♥t✳✐❛❝r✳♦r❣✴✷✵✶✾✴✶✵✸✺

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶ ✴ ✷✹

slide-2
SLIDE 2

❈r②♣t♦❣r❛♣❤② ❛♥❞ ❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❈r②♣t♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♠✐t✐✈❡s

✭❡✳❣✳ ❝♦♥✜❞❡♥t✐❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✮

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥

❊❛✈❡s❞r♦♣♣❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

✭❙✉♣♣♦s❡❞❧②✮ ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡ ♣r♦❜❧❡♠s

❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❞✐s❝r❡t❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✇♦r❧❞

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷ ✴ ✷✹

slide-3
SLIDE 3

❈r②♣t♦❣r❛♣❤② ❛♥❞ ❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❈r②♣t♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♠✐t✐✈❡s

✭❡✳❣✳ ❝♦♥✜❞❡♥t✐❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✮

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥

❊❛✈❡s❞r♦♣♣❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

✭❙✉♣♣♦s❡❞❧②✮ ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡ ♣r♦❜❧❡♠s

❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❞✐s❝r❡t❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s . . .

✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✇♦r❧❞

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷ ✴ ✷✹

slide-4
SLIDE 4

❈r②♣t♦❣r❛♣❤② ❛♥❞ ❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❈r②♣t♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♠✐t✐✈❡s

✭❡✳❣✳ ❝♦♥✜❞❡♥t✐❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✮

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥

❊❛✈❡s❞r♦♣♣❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

✭❙✉♣♣♦s❡❞❧②✮ ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡ ♣r♦❜❧❡♠s

❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❞✐s❝r❡t❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s . . .

✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✇♦r❧❞

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷ ✴ ✷✹

slide-5
SLIDE 5

❈r②♣t♦❣r❛♣❤② ❛♥❞ ❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❈r②♣t♦❣r❛♣❤✐❝ ♣r✐♠✐t✐✈❡s

✭❡✳❣✳ ❝♦♥✜❞❡♥t✐❛❧ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✮

❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥

❊❛✈❡s❞r♦♣♣❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

✭❙✉♣♣♦s❡❞❧②✮ ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡ ♣r♦❜❧❡♠s

❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❞✐s❝r❡t❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s . . .

✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✇♦r❧❞

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷ ✴ ✷✹

slide-6
SLIDE 6

▲❛tt✐❝❡s

▲❛tt✐❝❡

❆ ✭❢✉❧❧✲r❛♥❦✮ ❧❛tt✐❝❡ L ✐s ❛ s✉❜s❡t ♦❢ Rn ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ L = {Bx | x ∈ Zn}, ✇✐t❤ B ∈ Rn×n ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ B ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ L✳ ✸ ✶ ✵ ✷

  • ❛♥❞

✶✼ ✶✵ ✹ ✷

  • ❛r❡ t✇♦ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❧❛tt✐❝❡✳

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✸ ✴ ✷✹

slide-7
SLIDE 7

▲❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

λ✶

❙❤♦rt❡st ❱❡❝t♦r Pr♦❜❧❡♠ ✭❙❱P✮

❋✐♥❞ ❛ s❤♦rt❡st ✭✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ♥♦r♠✮ ♥♦♥✲③❡r♦ ✈❡❝t♦r✳ ■ts ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ♥♦r♠ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ λ✶✳

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✹ ✴ ✷✹

slide-8
SLIDE 8

▲❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

≤ ✷λ✶

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❙❤♦rt❡st ❱❡❝t♦r Pr♦❜❧❡♠ ✭❛♣♣r♦①✲❙❱P✮

❋✐♥❞ ❛ s❤♦rt ✭✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ♥♦r♠✮ ♥♦♥✲③❡r♦ ✈❡❝t♦r✳ ✭❡✳❣✳ ♦❢ ♥♦r♠ ≤ ✷λ✶✮✳

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✹ ✴ ✷✹

slide-9
SLIDE 9

▲❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

  • t
  • ❈❧♦s❡st ❱❡❝t♦r Pr♦❜❧❡♠ ✭❈❱P✮
  • ✐✈❡♥ ❛ t❛r❣❡t ♣♦✐♥t t✱ ✜♥❞ ❛ ♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❝❧♦s❡st t♦ t✳

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✹ ✴ ✷✹

slide-10
SLIDE 10

▲❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

  • t
  • ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❈❧♦s❡st ❱❡❝t♦r Pr♦❜❧❡♠ ✭❛♣♣r♦①✲❈❱P✮
  • ✐✈❡♥ ❛ t❛r❣❡t ♣♦✐♥t t✱ ✜♥❞ ❛ ♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❝❧♦s❡ t♦ t✳

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✹ ✴ ✷✹

slide-11
SLIDE 11

❍❛r❞♥❡ss ♦❢ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

❇❡st ❚✐♠❡✴❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ tr❛❞❡✲♦✛ ❢♦r ❙❱P ❛♥❞ ❈❱P ✭❡✈❡♥ q✉❛♥t✉♠❧②✮✿ ❇❑❩ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬❙❝❤✽✼✱❙❊✾✹❪

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧② ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧②

❬❙❝❤✽✼❪ ❈✳✲P✳ ❙❝❤♥♦rr✳ ❆ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ❧❛tt✐❝❡ ❜❛s✐s r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳ ❚❈❙✳ ❬❙❊✾✹❪ ❈✳✲P✳ ❙❝❤♥♦rr ❛♥❞ ▼✳ ❊✉❝❤♥❡r✳ ▲❛tt✐❝❡ ❜❛s✐s r❡❞✉❝t✐♦♥✿ ✐♠♣r♦✈❡❞ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛♥❞ s♦❧✈✐♥❣ s✉❜s❡t s✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✺ ✴ ✷✹

slide-12
SLIDE 12

❍❛r❞♥❡ss ♦❢ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s

❇❡st ❚✐♠❡✴❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ tr❛❞❡✲♦✛ ❢♦r ❙❱P ❛♥❞ ❈❱P ✭❡✈❡♥ q✉❛♥t✉♠❧②✮✿ ❇❑❩ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬❙❝❤✽✼✱❙❊✾✹❪

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧② ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧②

  • ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❬▲▲▲✽✷❪ ❆✳ ❑✳ ▲❡♥str❛✱ ❍✳ ❲✳ ▲❡♥str❛✱ ▲✳ ▲♦✈ás③✳ ❋❛❝t♦r✐♥❣ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ r❛t✐♦♥❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡ ❆♥♥❛❧❡♥✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✺ ✴ ✷✹

slide-13
SLIDE 13

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ❊①❛♠♣❧❡✿ ◆■❙❚ ♣♦st✲q✉❛♥t✉♠ st❛♥❞❛r❞✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✷✻ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ✭✷♥❞ r♦✉♥❞✮ ✶✷ ❧❛tt✐❝❡✲❜❛s❡❞ ✶✶ ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ❋r♦❞♦ ✭❧✈❧ ✶✮ ❑②❜❡r ✭❧✈❧ ✶✮ ✭✉♥str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✮ ✭str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✮ s❡❝r❡t ❦❡② s✐③❡ ✭✐♥ ❇②t❡s✮ ✶✾ ✽✽✽ ✶ ✻✸✷ ♣✉❜❧✐❝ ❦❡② s✐③❡ ✭✐♥ ❇②t❡s✮ ✾ ✻✶✻ ✽✵✵

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✻ ✴ ✷✹

slide-14
SLIDE 14

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ❊①❛♠♣❧❡✿ ◆■❙❚ ♣♦st✲q✉❛♥t✉♠ st❛♥❞❛r❞✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✷✻ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ✭✷♥❞ r♦✉♥❞✮ ✶✷ ❧❛tt✐❝❡✲❜❛s❡❞ ✶✶ ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ❋r♦❞♦ ✭❧✈❧ ✶✮ ❑②❜❡r ✭❧✈❧ ✶✮ ✭✉♥str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✮ ✭str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✮ s❡❝r❡t ❦❡② s✐③❡ ✭✐♥ ❇②t❡s✮ ✶✾ ✽✽✽ ✶ ✻✸✷ ♣✉❜❧✐❝ ❦❡② s✐③❡ ✭✐♥ ❇②t❡s✮ ✾ ✻✶✻ ✽✵✵

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✻ ✴ ✷✹

slide-15
SLIDE 15

❙tr✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ❊①❛♠♣❧❡✿ ◆■❙❚ ♣♦st✲q✉❛♥t✉♠ st❛♥❞❛r❞✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✷✻ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ✭✷♥❞ r♦✉♥❞✮ ✶✷ ❧❛tt✐❝❡✲❜❛s❡❞ ✶✶ ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ❋r♦❞♦ ✭❧✈❧ ✶✮ ❑②❜❡r ✭❧✈❧ ✶✮ ✭✉♥str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✮ ✭str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✮ s❡❝r❡t ❦❡② s✐③❡ ✭✐♥ ❇②t❡s✮ ✶✾ ✽✽✽ ✶ ✻✸✷ ♣✉❜❧✐❝ ❦❡② s✐③❡ ✭✐♥ ❇②t❡s✮ ✾ ✻✶✻ ✽✵✵

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✻ ✴ ✷✹

slide-16
SLIDE 16

■❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ str✉❝t✉r❡❞ ❧❛tt✐❝❡s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜②

✵ ✶ ✶ ✶

♠♦❞ ✶ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

✵ ✶ ❛

❛ ✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

slide-17
SLIDE 17

■❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ a✶ a✵ · · · a✷ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜②

✵ ✶ ✶ ✶

♠♦❞ ✶ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

✵ ✶ ❛

❛ ✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

slide-18
SLIDE 18

■❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ a✶ a✵ · · · a✷ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n − ✶ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

✵ ✶ ❛

❛ ✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

slide-19
SLIDE 19

■❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ −an−✶ · · · −a✶ a✶ a✵ · · · −a✷ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n + ✶

✭n = ✷ℓ✮

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

✵ ✶ ❛

❛ ✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

slide-20
SLIDE 20

■❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ + a✷ a✶ a✵ + an−✶ · · · a✷ + a✸ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵ + an−✶      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n − X − ✶

✭n ♣r✐♠❡✮

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

✵ ✶ ❛

❛ ✶

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

slide-21
SLIDE 21

■❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❙❝❤❡♠❡s ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t

✭st♦r❛❣❡✿ n✷✱ ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♠✉❧t✿ n✷✮

⇒ ✐♠♣r♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ✉s✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❜❛s✐s M❛ =      a✵ an−✶ · · · a✶ + a✷ a✶ a✵ + an−✶ · · · a✷ + a✸ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ an−✶ an−✷ . . . a✵ + an−✶      ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜② a✵ +a✶X +· · ·+an−✶X n−✶ ♠♦❞ X n − X − ✶

✭n ♣r✐♠❡✮

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭♣r✐♥❝✐♣❛❧✮ ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡

  • i

tiX i : (t✵, · · · , tn−✶)T ∈ L(M❛)

  • = ❛ ⊂ Z[X]/(X n − X − ✶)

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✼ ✴ ✷✹

slide-22
SLIDE 22

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r

✭ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✶✵

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭❢r❡❡✮ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

slide-23
SLIDE 23

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ n nk ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r

✭ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✶✵

❜❛s✐s ♦❢ ❛ ✭❢r❡❡✮ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

slide-24
SLIDE 24

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ n nk ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶ ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷ ❛ ✶ ❛ ✷ ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r

✭ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✶✵

■s ❙❱P st✐❧❧ ❤❛r❞ ✇❤❡♥ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

slide-25
SLIDE 25

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ n nk ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ k ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R

✭k = r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✶✵

■s ❙❱P st✐❧❧ ❤❛r❞ ✇❤❡♥ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

slide-26
SLIDE 26

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❘✐♥❣ R

R = Z[X]/P(X) ✇✐t❤ P ♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❞❡❣r❡❡ n M❛ ❂ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ⊂ R

M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ n nk ❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✶ k ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R

✭k = r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✮

❚②♣✐❝❛❧❧② ✺✵✵ ≤ nk ≤ ✶✵✵✵ ❚②♣✐❝❛❧❧② k ≤ ✶✵

■s ❙❱P st✐❧❧ ❤❛r❞ ✇❤❡♥ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✽ ✴ ✷✹

slide-27
SLIDE 27

❖❜❥❡❝t✐✈❡

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧② ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧②

  • ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▲❛tt✐❝❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦✈❡r Z

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❧❛r❣❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r Z s♠❛❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r R ❈❛♥ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ❧❛tt✐❝❡s ♦✈❡r ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✾ ✴ ✷✹

slide-28
SLIDE 28

❖❜❥❡❝t✐✈❡

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧② ✷n ✷n✵.✺ ♣♦❧②

  • ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▲❛tt✐❝❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦✈❡r Z

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

❧❛r❣❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r Z s♠❛❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦✈❡r R ❈❛♥ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ❧❛tt✐❝❡s ♦✈❡r R❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✾ ✴ ✷✹

slide-29
SLIDE 29

Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦s ❛♥❞ r❡s✉❧t

❬◆❛♣✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❬❋P✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❢♦r s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ❬❑▲✶✼❪ ▲▲▲ ❢♦r ♥♦r♠✲❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✜❡❧❞s ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❜✉t ♥♦t ♦♥ q✉❛❧✐t② ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❢♦r ❜✐q✉❛❞r❛t✐❝ ✜❡❧❞s ❬▲P❙❲✶✾❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❛♥❞ r✉♥✲t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ ❛ ✜①❡❞ ❧❛tt✐❝❡ ✭❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✮

❬◆❛♣✾✻❪ ❍✳ ◆❛♣✐❛s✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲▲▲✲❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ r✐♥❣s ♦r ♦r❞❡rs✳ ❏♦✉r♥❛❧ ❞❡ t❤é♦r✐❡ ❞❡s ♥♦♠❜r❡s ❞❡ ❇♦r❞❡❛✉①✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✵ ✴ ✷✹

slide-30
SLIDE 30

Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦s ❛♥❞ r❡s✉❧t

❬◆❛♣✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❬❋P✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❢♦r s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ❬❑▲✶✼❪ ▲▲▲ ❢♦r ♥♦r♠✲❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✜❡❧❞s ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❜✉t ♥♦t ♦♥ q✉❛❧✐t② ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❢♦r ❜✐q✉❛❞r❛t✐❝ ✜❡❧❞s ❬▲P❙❲✶✾❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❛♥❞ r✉♥✲t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ ❛ ✜①❡❞ ❧❛tt✐❝❡ ✭❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✮

❬❋P✾✻❪ ❈✳ ❋✐❡❦❡r✱ ▼✳ ❊✳ P♦❤st✳ ▲❛tt✐❝❡s ♦✈❡r ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s✳ ❆◆❚❙✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✵ ✴ ✷✹

slide-31
SLIDE 31

Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦s ❛♥❞ r❡s✉❧t

❬◆❛♣✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❬❋P✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❢♦r s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ❬❑▲✶✼❪ ▲▲▲ ❢♦r ♥♦r♠✲❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✜❡❧❞s ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❜✉t ♥♦t ♦♥ q✉❛❧✐t② ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❢♦r ❜✐q✉❛❞r❛t✐❝ ✜❡❧❞s ❬▲P❙❲✶✾❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❛♥❞ r✉♥✲t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ ❛ ✜①❡❞ ❧❛tt✐❝❡ ✭❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✮

❬❑▲✶✼❪ ❚✳ ❑✐♠✱ ❈✳ ▲❡❡✳ ▲❛tt✐❝❡ r❡❞✉❝t✐♦♥s ♦✈❡r ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ r✐♥❣s ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❝r②♣t❛♥❛❧②s✐s✳ ■▼❆❈❈✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✵ ✴ ✷✹

slide-32
SLIDE 32

Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦s ❛♥❞ r❡s✉❧t

❬◆❛♣✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❬❋P✾✻❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♥♦ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ✴ r✉♥✲t✐♠❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❢♦r s♣❡❝✐✜❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ❬❑▲✶✼❪ ▲▲▲ ❢♦r ♥♦r♠✲❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✜❡❧❞s ❜♦✉♥❞ ♦♥ r✉♥✲t✐♠❡ ❜✉t ♥♦t ♦♥ q✉❛❧✐t② ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❢♦r ❜✐q✉❛❞r❛t✐❝ ✜❡❧❞s ❬▲P❙❲✶✾❪ ▲▲▲ ❢♦r ❛♥② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❜♦✉♥❞ ♦♥ q✉❛❧✐t② ❛♥❞ r✉♥✲t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ ❛ ✜①❡❞ ❧❛tt✐❝❡ ✭❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ R✮

❬▲P❙❲✶✾❪ ❈✳ ▲❡❡✱ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r②✱ ❉✳ ❙t❡❤❧é✱ ❆✳ ❲❛❧❧❡t✳ ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❚♦ ❛♣♣❡❛r ❛t ❆s✐❛❝r②♣t ✷✵✶✾✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✵ ✴ ✷✹

slide-33
SLIDE 33

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ t❛❧❦

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✷✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✶ ✴ ✷✹

slide-34
SLIDE 34

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ t❛❧❦

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✷✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✷ ✴ ✷✹

slide-35
SLIDE 35

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❘❡♠✐♥❞❡r

R = Z[X]/P(X)

r♦♦ts ♦❢

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ k M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ nk ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z

❈♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

✵ ✶ ✶ ✶ ✵ ✶ ✶

❛ ❛

✶❛

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✸ ✴ ✷✹

slide-36
SLIDE 36

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❘❡♠✐♥❞❡r

R = Z[X]/P(X)

r♦♦ts ♦❢

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ k M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ nk ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z

❈♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

σ : R → Rn ❛ = a✵ + a✶X + · · · + an−✶X n−✶ → (a✵, a✶, · · · , an−✶)T ❛ − → M❛ =   | | | σ(❛) σ(X❛) · · · σ(X n−✶❛) | | |  

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✸ ✴ ✷✹

slide-37
SLIDE 37

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

❘❡♠✐♥❞❡r

R = Z[X]/P(X) α✶, · · · , αn r♦♦ts ♦❢ P

❛✶✶ ❛✶✷ ❛✶k ❛✷✶ ❛✷✷ ❛✷k ❛k✶ ❛k✷ ❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ k M❛✶✶ M❛✶✷ M❛✶k M❛✷✶ M❛✷✷ M❛✷k M❛k✶ M❛k✷ M❛kk · · · · · · · · · ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ nk ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k ♦✈❡r R ❞✐♠❡♥s✐♦♥ nk ♦✈❡r Z

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣

σ : R → Cn ❛ = a✵ + a✶X + · · · + an−✶X n−✶ → (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T ❛ − → M❛ =   | | | σ(❛) σ(X❛) · · · σ(X n−✶❛) | | |  

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✸ ✴ ✷✹

slide-38
SLIDE 38

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ ❛ ❛

✐❢ ❛ t❤❡♥ ❛

❛ ❛

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤

✶ ✷ ✶ ✷

✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-39
SLIDE 39

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

❛ ❛

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤

✶ ✷ ✶ ✷

✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-40
SLIDE 40

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤

✶ ✷ ✶ ✷

✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-41
SLIDE 41

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ ✶ ✶ ❛♥❞ ✶

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

✶✱ ✇✐t❤ Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) ✵ ✐❢

✭ ✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-42
SLIDE 42

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ = (✶, · · · , ✶) ❛♥❞ H = ✶⊥

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

Log r = h + a✶✱ ✇✐t❤ h ∈ H Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) a ≥ ✵ ✐❢ r ∈ R

✭a = log(N(r))/n✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-43
SLIDE 43

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

Λ = {Log(u) : u ∈ R×}

Λ ⊂ H Λ ✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ = (✶, · · · , ✶) ❛♥❞ H = ✶⊥

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

Log r = h + a✶✱ ✇✐t❤ h ∈ H Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) a ≥ ✵ ✐❢ r ∈ R

✭a = log(N(r))/n✮ ✷

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-44
SLIDE 44

❙♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✴ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❘❡♠✐♥❞❡r✿ σ(❛) = (❛(α✶), · · · , ❛(αn))T K = Q[X]/P(X) = {❛/❜ : ❛, ❜ ∈ R} ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥♦r♠✿ N(❛) =

i σ(❛)i

◮ ✐❢ ❛ ∈ R t❤❡♥ N(❛) ∈ Z

Log(❛) = (log |❛(α✶)|, · · · , log |❛(αn)|)T

▲♦❣ ✉♥✐t ❧❛tt✐❝❡

Λ = {Log(u) : u ∈ R×}

Λ ⊂ H Λ ✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡

▲❡t ✶ = (✶, · · · , ✶) ❛♥❞ H = ✶⊥

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ▲♦❣

Log r = h + a✶✱ ✇✐t❤ h ∈ H Log(r✶ · r✷) = Log(r✶) + Log(r✷) a ≥ ✵ ✐❢ r ∈ R

✭a = log(N(r))/n✮ r ≃ ✷ Log r∞

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✹ ✴ ✷✹

slide-45
SLIDE 45

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ t❛❧❦

▼♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✷✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✺ ✴ ✷✹

slide-46
SLIDE 46
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✶✵ ✼ ✷ ✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-47
SLIDE 47
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r♦t❛t✐♦♥

M = ✶✵ ✼ ✷ ✷

❈♦♠♣✉t❡ ◗❘ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-48
SLIDE 48
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✶✵.✷ ✼.✸ ✵ ✵.✻

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-49
SLIDE 49
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r❡❞✉❝❡ b✷ ✇✐t❤ b✶

M = ✶✵.✷ ✼.✸ ✵ ✵.✻

✏❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥✑ ✭♦✈❡r R✮ ♦❢ ✼.✸ ❜② ✶✵.✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-50
SLIDE 50
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✶✵.✷ −✷.✾ ✵ ✵.✻

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-51
SLIDE 51
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

s✇❛♣

M = −✷.✾ ✶✵.✷ ✵.✻ ✵

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-52
SLIDE 52
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

st❛rt ❛❣❛✐♥

M = −✷.✾ ✶✵.✷ ✵.✻ ✵

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-53
SLIDE 53
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r♦t❛t✐♦♥

M = −✷.✾ ✶✵.✷ ✵.✻ ✵

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-54
SLIDE 54
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r♦t❛t✐♦♥

M = ✸ −✶✵ ✵ −✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-55
SLIDE 55
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

r❡❞✉❝❡ b✷ ✇✐t❤ b✶

M = ✸ −✶✵ ✵ −✷

✏❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥✑ ✭♦✈❡r R✮ ♦❢ −✶✵ ❜② ✸

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-56
SLIDE 56
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✸ −✶ ✵ −✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r ✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-57
SLIDE 57
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✸ −✶ ✵ −✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r R✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-58
SLIDE 58
  • ❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭♦✈❡r Z✮

M = ✸ −✶ ✵ −✷

❋♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦✈❡r R✱ ✇❡ ♥❡❡❞

r♦t❛t✐♦♥ ⇒ ♦❦ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ⇒ ❄

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✻ ✴ ✷✹

slide-59
SLIDE 59

■♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦✈❡r R

❋♦r a = (a✶, · · · , ak) ∈ K k ❛♥❞ b = (b✶, · · · , bk) ∈ K k✱

  • a,

bK =

  • i

aibi ∈ K Pr♦♣❡rt✐❡s ❚r ♦✈❡r ❚r

✶ ✶ ✷

❚r

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✼ ✴ ✷✹

slide-60
SLIDE 60

■♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦✈❡r R

❋♦r a = (a✶, · · · , ak) ∈ K k ❛♥❞ b = (b✶, · · · , bk) ∈ K k✱

  • a,

bK =

  • i

aibi ∈ K Pr♦♣❡rt✐❡s ❚r( a, bK) = σ( a), σ( b) ♦✈❡r C ⇒

  • ❚r(

a, aK) = (σ(a✶), · · · , σ(ak))

✶ ✷

❚r(x) = n

i=✶ σ(x)i

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✼ ✴ ✷✹

slide-61
SLIDE 61

■♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦✈❡r R

❋♦r a = (a✶, · · · , ak) ∈ K k ❛♥❞ b = (b✶, · · · , bk) ∈ K k✱

  • a,

bK =

  • i

aibi ∈ K Pr♦♣❡rt✐❡s ❚r( a, bK) = σ( a), σ( b) ♦✈❡r C ⇒

  • ❚r(

a, aK) = (σ(a✶), · · · , σ(ak))

  • N(

a, aK) = ∆−✶/✷

K

· det(L( a)) ❚r

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✼ ✴ ✷✹

slide-62
SLIDE 62

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✳

❖✈❡r

❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ♦✉t♣✉t ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-63
SLIDE 63

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r

❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ♦✉t♣✉t ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-64
SLIDE 64

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② ✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-65
SLIDE 65

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✷ ♣♦❧② s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-66
SLIDE 66

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-67
SLIDE 67

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-68
SLIDE 68

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-69
SLIDE 69

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-70
SLIDE 70

❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐✈✐s✐♦♥

❖✈❡r Z

■♥♣✉t✿ a, b ∈ Z✱ a = ✵ ❖✉t♣✉t✿ r ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t |b + ra| ≤ |a|/✷ ❈❱P ✐♥ Z ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a✳

❖✈❡r R

❈❱P ✐♥ R ✇✐t❤ t❛r❣❡t −b/a ⇒ ♦✉t♣✉t r ∈ R ❉✐✣❝✉❧t②✿ ❚②♣✐❝❛❧❧② b + ra ≈ √n · a ≫ a✳

❘❡❧❛① t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ⇒ s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ●❛✉ss✬ ❛❧❣♦

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✽ ✴ ✷✹

slide-71
SLIDE 71

❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❘❡❧❛①❡❞ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❉✐✈✐s✐♦♥

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✶✾ ✴ ✷✹

slide-72
SLIDE 72

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ t❤❡♥

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

slide-73
SLIDE 73

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa + yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ t❤❡♥

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

slide-74
SLIDE 74

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa − yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ t❤❡♥

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

slide-75
SLIDE 75

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa − yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ Log(u) − Log(v) ≤ ε t❤❡♥ u − v ε · min(u, v)

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ Log t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ s✉❝❤ t❤❛t

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

slide-76
SLIDE 76

❯s✐♥❣ t❤❡ ▲♦❣ s♣❛❝❡

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t

xa − yb ≤ a/✷ y ≤ ♣♦❧②(n) ❉✐✣❝✉❧t②✿ ▲♦❣ ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ×✱ ❜✉t ♥♦t ✇✐t❤ + ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ■❢ Log(u) − Log(v) ≤ ε t❤❡♥ u − v ε · min(u, v)

✭r❡q✉✐r❡s t♦ ❡①t❡♥❞ Log t♦ t❛❦❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✮

◆❡✇ ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❋✐♥❞ x, y ∈ R s✉❝❤ t❤❛t Log(xa) − Log(yb) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n)

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✵ ✴ ✷✹

slide-77
SLIDE 77

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

Log(xa) − Log(yb) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

✵ ✶ ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❛♥❞ ✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-78
SLIDE 78

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

Log(xa) − Log(yb) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

✵ ✶ ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❛♥❞ ✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-79
SLIDE 79

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

✵ ✶ ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❛♥❞ ✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-80
SLIDE 80

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

✵ ✶ ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❛♥❞ ✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-81
SLIDE 81

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ ✇✐t❤ t❛r❣❡t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

✵ ✶ ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❛♥❞ ✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-82
SLIDE 82

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ L ✇✐t❤ t❛r❣❡t t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

L =      Λ Log r✶ · · · Log rn✷ ✵ ✶ · · · ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ · · · ✶      , t =        Log(b/a) ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵       

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ a ❛♥❞ b✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-83
SLIDE 83

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ L ✇✐t❤ t❛r❣❡t t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

L =      Λ Log r✶ · · · Log rn✷ ✵ ✶ · · · ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ · · · ✶      , t =        Log(b/a) ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵       

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ a ❛♥❞ b✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-84
SLIDE 84

■❞❡❛

❖❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞ x, y ∈ R s✳t✳

(Log(x) − Log(y)) − Log(b/a) ≤ ε Log(y)∞ ≤ O(log n) ❙♦❧✈❡ ❡①❛❝t ❈❱P ✐♥ L ✇✐t❤ t❛r❣❡t t ✇✐t❤ ❛♥ ♦r❛❝❧❡

L =      Λ Log r✶ · · · Log rn✷ ✵ ✶ · · · ✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✵ ✵ · · · ✶      , t =        Log(b/a) ✵ ✵ ✳ ✳ ✳ ✵       

✭▲ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ a ❛♥❞ b✮

❈♦♠♣❧❡①✐t②

◗✉❛♥t✉♠ ♣♦❧② t✐♠❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❛❝❧❡✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✶ ✴ ✷✹

slide-85
SLIDE 85

❯♥❞❡r t❤❡ ❝❛r♣❡t

❍❡✉r✐st✐❝s

◮ ♠❛t❤s ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ◮ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✭✐♥ ✈❡r② s♠❛❧❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✮

❆♥② ♠♦❞✉❧❡ ✴ ✐❞❡❛❧

◮ ✉s❡ ♣s❡✉❞♦✲❜❛s✐s ◮ ❛❞❞ ❝❧❛ss ❣r♦✉♣ t♦ L ✭❝❢ ❬❇✉❝✽✽❪✮

❋✉❧❧ ▲▲▲ ❛❧❣♦ ♦✈❡r R

◮ ◗❘ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ◮ ▲♦✈ás③✬ s✇❛♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ◮ s✇✐t❝❤ ❜❡t✇❡❡♥ N(·) ❛♥❞ · ❬❇✉❝✽✽❪ ❏✳ ❇✉❝❤♠❛♥♥✳ ❆ s✉❜❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❧❛ss ❣r♦✉♣s ❛♥❞ r❡❣✉❧❛t♦rs ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s✳ ❙é♠✐♥❛✐r❡ ❞❡ t❤é♦r✐❡ ❞❡s ♥♦♠❜r❡s✳ ❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✷ ✴ ✷✹

slide-86
SLIDE 86

❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ✐♠♣❛❝t

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♣♦✇❡r✲♦❢✲t✇♦ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ✜❡❧❞s

❆♣♣r♦①✿ q✉❛s✐✲♣♦❧②✭♥✮O(k) = ✷log(n)O(✶)·k ❚✐♠❡✿ q✉❛♥t✉♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ L ✭♦❢ ❞✐♠ O(n✷+ε)✮ ✭✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✿ n ← log(∆K)✮ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡❄ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❜② ❛ ❈❱P s♦❧✈❡r

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷ ✷ ♣♦❧② ✷ ✷ ✷

♣♦❧② ❇❑❩ tr❛❞❡✲♦✛s

t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧t ✭♥♦t ♣r❛❝t✐❝❛❧✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✸ ✴ ✷✹

slide-87
SLIDE 87

❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ✐♠♣❛❝t

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♣♦✇❡r✲♦❢✲t✇♦ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ✜❡❧❞s

❆♣♣r♦①✿ q✉❛s✐✲♣♦❧②✭♥✮O(k) = ✷log(n)O(✶)·k ❚✐♠❡✿ q✉❛♥t✉♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ L ✭♦❢ ❞✐♠ O(n✷+ε)✮ ✭✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✿ n ← log(∆K)✮ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡❄ ⇒ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❜② ❛ ❈❱P s♦❧✈❡r

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷nk ✷k ♣♦❧② ✷nk ✷n ✷n✷ ♣♦❧② ❇❑❩ tr❛❞❡✲♦✛s

t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧t ✭♥♦t ♣r❛❝t✐❝❛❧✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✸ ✴ ✷✹

slide-88
SLIDE 88

❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ✐♠♣❛❝t

▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♣♦✇❡r✲♦❢✲t✇♦ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ ✜❡❧❞s

❆♣♣r♦①✿ q✉❛s✐✲♣♦❧②✭♥✮O(k) = ✷log(n)O(✶)·k ❚✐♠❡✿ q✉❛♥t✉♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✐❢ ♦r❛❝❧❡ s♦❧✈✐♥❣ ❈❱P ✐♥ L ✭♦❢ ❞✐♠ O(n✷+ε)✮ ✭✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✿ n ← log(∆K)✮ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡❄ ⇒ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ♦r❛❝❧❡ ❜② ❛ ❈❱P s♦❧✈❡r

❚✐♠❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✷nk ✷k ♣♦❧② ✷nk ✷n ✷n✷ ♣♦❧② ❇❑❩ tr❛❞❡✲♦✛s

⇒ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧t ✭♥♦t ♣r❛❝t✐❝❛❧✮

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✸ ✴ ✷✹

slide-89
SLIDE 89

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠s✿ ❇❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L

◮ r❡❞✉❝❡ ✐ts ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t♦ O(n)❄ ◮ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❤❡✉r✐st✐❝s❄ ◮ ❜❡tt❡r ❈❱P s♦❧✈❡r ❢♦r L❄

  • ❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ ▲▲▲ t♦ ❛❧❧ t❤❡ ❇❑❩ tr❛❞❡✲♦✛s❄

s✐❡✈✐♥❣✴❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ ✐♥ ♠♦❞✉❧❡s❄

❚❤❛♥❦ ②♦✉

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✹ ✴ ✷✹

slide-90
SLIDE 90

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠s✿ ❇❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L

◮ r❡❞✉❝❡ ✐ts ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t♦ O(n)❄ ◮ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❤❡✉r✐st✐❝s❄ ◮ ❜❡tt❡r ❈❱P s♦❧✈❡r ❢♦r L❄

  • ❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ ▲▲▲ t♦ ❛❧❧ t❤❡ ❇❑❩ tr❛❞❡✲♦✛s❄

◮ s✐❡✈✐♥❣✴❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ ✐♥ ♠♦❞✉❧❡s❄

❚❤❛♥❦ ②♦✉

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✹ ✴ ✷✹

slide-91
SLIDE 91

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠s✿ ❇❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L

◮ r❡❞✉❝❡ ✐ts ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t♦ O(n)❄ ◮ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❤❡✉r✐st✐❝s❄ ◮ ❜❡tt❡r ❈❱P s♦❧✈❡r ❢♦r L❄

  • ❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ ▲▲▲ t♦ ❛❧❧ t❤❡ ❇❑❩ tr❛❞❡✲♦✛s❄

◮ s✐❡✈✐♥❣✴❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ ✐♥ ♠♦❞✉❧❡s❄

❚❤❛♥❦ ②♦✉

❆✳ P❡❧❧❡t✲▼❛r② ❆♥ ▲▲▲ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠♦❞✉❧❡ ❧❛tt✐❝❡s ❙é♠✐♥❛✐r❡ ▲❢❛♥t ✷✹ ✴ ✷✹