r strt P t - - PowerPoint PPT Presentation

❖r❜✐❢♦❧❞ ❞❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥

P✳ ❇❛♥t❛② ❉✉❜r♦✈♥✐❦✱ ❏✉♥❡ ✷✵✶✾

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❈♦♠♠♦♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❞②♥❛♠✐❝s ✭❊❖▼✱ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r✐♥❝✐♣❧❡s✱ ✳✳✳✮ ✉s✉❛❧❧② r❡q✉✐r❡ ✭q✉❛s✐✲✮tr✐✈✐❛❧ t♦♣♦❧♦❣② r❡❛❧✐③❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ s♣❛❝❡ ❛s ❡✐t❤❡r ❛ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦r ❛ q✉♦t✐❡♥t ♦❢ s♦♠❡ ♥✐❝❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ str✉❝t✉r❡✿ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❞②♥❛♠✐❝s ✈s ❣❛✉❣❡ s②♠♠❡tr✐❡s✳ ❉②♥❛♠✐❝s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ♦♥ ❝♦✈❡r✐♥❣ s♣❛❝❡ st❛t❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥s✳ ❝♦✈❡r✐♥❣ ✭❞❡❝❦✮ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s = ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ◆❡✇ s✉♣❡rs❡❧❡❝t✐♦♥ s❡❝t♦rs ❢r♦♠ ✬t✇✐st❡❞✬ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❉✐✣❝✉❧t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ✭♠♦st❧② ♥✉♠❡r✐❝❛❧✱ ❡✳❣✳ ❧❛tt✐❝❡ ◗❈❉✮✳

❇❡st ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❢♦r ✷❉ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ♠♦❞❡❧s ✭♦r❜✐❢♦❧❞✐♥❣✮✳ ❇❛s✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s✿ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t✇✐st❡❞ s❡❝t♦rs ❛♥❞ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t r❡s♦❧✉t✐♦♥ ✭✉s✉❛❧❧② r❡q✉✐r❡ ❛❞ ❤♦❝ t❡❝❤♥✐q✉❡s✮✳ ❯♥❞❡r ❝♦♥tr♦❧ ♦♥❧② ✐♥ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✿

• t♦r♦✐❞❛❧ ♦r❜✐❢♦❧❞s ✭❝♦♠♣❛❝t✐✜❡❞ ❢r❡❡ ❜♦s♦♥s✱ ✐✳❡✳ ❧❛tt✐❝❡ ♠♦❞❡❧s✮❀
• ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ♦r❜✐❢♦❧❞s ✭s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♠♦❞❡❧s✮❀
• ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦r❜✐❢♦❧❞s ✭♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ s②♠♠❡tr✐❡s✮✳

▼♦♦r❡✬s ✬❝♦♥❥❡❝t✉r❡✬✿ ❛❧❧ r❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ♠♦❞❡❧s ❛r❡ ●❑❖ ❝♦s❡ts ♦r ♦r❜✐❢♦❧❞s t❤❡r❡♦❢✳ ❈❛♥ ♦♥❡ r❡✈❡rs❡ ♦r❜✐❢♦❧❞✐♥❣❄

❖r❜✐❢♦❧❞s

✷❉ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ♠♦❞❡❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❝❤✐r❛❧ s②♠♠❡tr② ❛❧❣❡❜r❛ V ✭♥✐❝❡ ❱❖❆✮ ❛♥❞ ▲✲❘ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✭♣❛rt✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✮✳ Pr✐♠❛r② ✜❡❧❞s ✭s✐♠♣❧❡ V✲♠♦❞✉❧❡s✱ ❛❦❛✳ s✉♣❡rs❡❧❡❝t✐♦♥ s❡❝t♦rs✮ ❝❤❛r❛❝t❡r✐✲ ③❡❞ ❜② t❤❡✐r ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤t hp ✭❧♦✇❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ L0✮ ❛♥❞ ❝❤✐r❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r ✭tr❛❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ χp(q) = Trp

• qL0−c/24

❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ L0✳ ❋✉s✐♦♥ r✉❧❡s✿ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ s✉♣❡rs❡❧❡❝t✐♦♥ s❡❝t♦rs ✭t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝ts✮✳ ❋✉s✐♦♥ r✉❧❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ ♠♦❞✉❧❛r ♣r♦♣❡rt✐❡s ✈✐❛ ❱❡r❧✐♥❞❡✬s ❢♦r♠✉❧❛✳

❋♦r G < Aut(V)✱ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ G✲♦r❜✐❢♦❧❞ ✐s t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t s✉❜❛❧❣❡❜r❛ VG ={v∈V | gv=v ❢♦r ❛❧❧ g∈G}✳ Pr✐♠❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ G✲♦r❜✐❢♦❧❞ ❢r♦♠ G✲t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡s ♦❢ V✳ G ♣❡r♠✉t❡s t❤❡ G✲t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡s ✭♦✉t❡r ❛❝t✐♦♥✮✱ ✇✐t❤ h ∈ G t❛❦✐♥❣ ❛ g✲t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡ t♦ ❛ hgh ✲1✲t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡ G✲♦r❜✐ts ♦r❣❛♥✐③❡❞ ✐♥t♦ t✇✐st❡❞ s❡❝t♦rs ❧❛❜❡❧❡❞ ❜② ❝♦♥❥✉❣❛❝② ❝❧❛ss❡s✳ ❚✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡s ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ G✲♦r❜✐t ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ✭✬st❛t❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥✬✮✳ ❙t❛❜✐❧✐③❡r GM ={g∈G | gM =M} ♦❢ t❤❡ t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡ M r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡❧② ♦♥ M ✭✇✐t❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✷✲❝♦❝②❝❧❡ ϑM✮ M s♣❧✐ts ✐♥t♦ ✐s♦t②♣✐❝ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts Mφ ❧❛❜❡❧❡❞ ❜② ✐rr❡♣s φ∈Irr(GM|ϑM)✳

✐s♦t②♣✐❝ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♣r✐♠❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ ♦r❜✐❢♦❧❞ G✲♦r❜✐ts ♦❢ ✭t✇✐st❡❞✮ ♠♦❞✉❧❡s ❜❧♦❝❦s ♦❢ ♣r✐♠❛r✐❡s ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣r✐♠❛r✐❡s = 1 |G|

• xy=yx
• M∈❋✐①(x,y)

ϑM(x, y) ϑM(y, x) ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜❧♦❝❦s =

• M

1 [G : GM] ❊❛❝❤ ❜❧♦❝❦ b ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ✐♥❡rt✐❛ s✉❜❣r♦✉♣ Ib ✭st❛❜✐❧✐③❡r GM ♦❢ ❛♥② ♠♦❞✉❧❡ M ✐♥ t❤❡ ♦r❜✐t ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ b✮ ❛♥❞ ✷✲❝♦❝②❝❧❡ ϑb ∈Z2(Ib, C)✳ ■♥t❡❣r❛❧❧② s♣❛❝❡❞ L0 s♣❡❝tr✉♠ ❢♦r ✉♥t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡s t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ♣r✐♠❛r✐❡s ❢r♦♠ ❛ ❜❧♦❝❦ ✐♥ t❤❡ ✉♥t✇✐st❡❞ s❡❝t♦r ❞✐✛❡r ❜② ✐♥t❡❣❡rs✳

❱❛❝✉✉♠ ❜❧♦❝❦ b0 ✭✉♥t✇✐st❡❞ s❡❝t♦r✮ ❤❛s tr✐✈✐❛❧ ❝♦❝②❧❡ ❛❧❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ b0 ❤❛✈❡ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts✱ ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ✭♦r❞✐♥❛r②✮ ✐rr❡♣s ♦❢ G✱ ✇✐t❤ ♠❛t❝❤✐♥❣ ❢✉s✐♦♥ r✉❧❡s ❛♥❞ ✭q✉❛♥t✉♠✮ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✈❛❝✉✉♠ ❜❧♦❝❦ ✐s ❛ t✇✐st❡r✿ ❛ s❡t ♦❢ ♣r✐♠❛r✐❡s ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts ✭❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✮ ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❢✉s✐♦♥✳ ◗✉❡st✐♦♥✿ ❝❛♥ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ♦r❜✐❢♦❧❞ ❢r♦♠ ✐ts ✈❛❝✉✉♠ ❜❧♦❝❦❄ ❇r❛✐❞✐♥❣ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ❛ t✇✐st❡r ✐s ✐♥✈♦❧✉t✐✈❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ t✇✐st❡r g ❛r❡ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♦❜❥❡❝ts ♦❢ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r②✳ ❉❡❧✐❣♥❡✬s t❤❡♦r❡♠✿ t❤❡ s✉❜r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❢✉s✐♦♥ r✐♥❣ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❛ t✇✐st❡r ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r r✐♥❣ ♦❢ s♦♠❡ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✳

❋✉s✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s

❋♦r ❛ ♣r✐♠❛r② p ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢✉s✐♦♥ ♠❛tr✐① [N(p)]qr = N r

pq

❙♣❛♥ ❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠❛tr✐① ❛❧❣❡❜r❛ ✭t❤❡ ❱❡r❧✐♥❞❡ ❛❧❣❡❜r❛ V✮ N(p) N(q) =

• r

N r

pqN(r)

❈♦♠♠✉t✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦♠♠♦♥ P❡rr♦♥✲ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✭q✉❛♥t✉♠ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✮ dp ≥1✳

• r

N r

pqdr = dpdq

▼♦❞✉❧❛r S✲♠❛tr✐① Spq = 1

• r d2

r

• r

N r

pqdr exp{

2πi(hp+hq−hr) } ❱❡r❧✐♥❞❡✬s t❤❡♦r❡♠✿ ρp(N(q)) = Sqp S0p ✐s ❛♥ ✐rr❡♣ ♦❢ V ❢♦r ❡❛❝❤ ♣r✐♠❛r② p✱ ✇❤❡r❡ 0 ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✈❛❝✉✉♠ ♣r✐♠❛r②✳ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ V ♣r✐♠❛r② ✜❡❧❞s P❡rr♦♥✬s t❤❡♦r❡♠ |ρp(N(q)) | ≤ ρ0(N(q)) = dq

❚✇✐st❡rs

❆ s❡t g ♦❢ ♣r✐♠❛r✐❡s ✐s ❢✉s✐♦♥ ❝❧♦s❡❞ ✐❢ N r

pq >0 ❢♦r p, q∈g ✐♠♣❧✐❡s r∈g✳

❋♦r♠ ❛ ♠♦❞✉❧❛r ✭❡✈❡♥ ❆r❣✉❡s✐❛♥✮ ❧❛tt✐❝❡ L ✳

• g✿ s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ V s♣❛♥♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢✉s✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s N(α) ❢♦r α∈g✳

Pr✐♠❛r✐❡s p ❛♥❞ q ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❛♠❡ t✇✐st ❝❧❛ss ✐❢ t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥s t♦ g ♦❢ t❤❡ ✐rr❡♣s ρp ❛♥❞ ρq ❝♦✐♥❝✐❞❡✳ t✇✐st ❝❧❛ss❡s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ g t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✇✐st ❝❧❛ss❡s ❡q✉❛❧s t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ g✳ ◆♦t❛t✐♦♥✿ ❢♦r ❛ ❝❧❛ss C ❛♥❞ α∈g ❧❡t α(C)=ρp(α) ❢♦r ❛♥② p∈C✳ ❖rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② r❡❧❛t✐♦♥s✿ ❢♦r α, β ∈g

• C

α(C) β(C) C =

• 1

✐❢ α=β; ♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❤❡r❡ C = 1

• p∈C

S2

0p

❙❡❝♦♥❞ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t②✿ ❢♦r t✇✐st ❝❧❛ss❡s C1 ❛♥❞ C2

• α∈g

α(C1) α(C2) =

• C1

✐❢ C1 =C2; ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❚r✐✈✐❛❧ ❝❧❛ss g⊥✿ t✇✐st ❝❧❛ss ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ✈❛❝✉✉♠ ♣r✐♠❛r② 0✳ ❘❡♠❛r❦✿ p∈g⊥ ✐✛ hq − hp − hα ∈Z ✇❤❡♥❡✈❡r N q

αp >0 ❢♦r s♦♠❡ α∈g✳

Pr♦❞✉❝t r✉❧❡✿ ■❢ p ∈ g⊥ ❛♥❞ N r

pq > 0✱ t❤❡♥ q ❛♥❞ r ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡

s❛♠❡ t✇✐st ❝❧❛ss✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡✿ g⊥ ∈L ❛♥❞ (g⊥)⊥ =g✱ ❤❡♥❝❡ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L ✐s s❡❧❢✲❞✉❛❧✳ ❇❧♦❝❦s ♦❢ g ❂ t✇✐st ❝❧❛ss❡s ♦❢ g⊥ ✭♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜❧♦❝❦s ❂ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ g⊥✮✳ ❇❧♦❝❦s ♣❛rt✐t✐♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣r✐♠❛r✐❡s✿ p ❛♥❞ q ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❜❧♦❝❦ ✐✛ N q

αp >0 ❢♦r s♦♠❡ α∈g ✭g ✐s t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❜❧♦❝❦✮✳

❘❡str✐❝t✐♦♥ ♦❢ ❢✉s✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s t♦ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ❜❧♦❝❦ b ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ Nb ♦❢ g✳ ❝❧❛ss❡s✿ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜❧♦❝❦s✿ ✐♥t❡❣r❛❧

• r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢

g ❖✈❡r❧❛♣

• b, C
• ✿ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ♦❢ ✐rr❡♣ ρC ✐♥ Nb ✭♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r✮
• b, C
• =
• p∈b
• q∈C

|Spq|2 |b|=

C

• b, C
• ❛♥❞ |C|=

b

• b, C
• ✳

◆♦t❡✿

• b, C
• =0 ✐♠♣❧✐❡s Spq =0 ❢♦r ❛❧❧ p∈b ❛♥❞ q∈C✳
• g, C
• =1 ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧❛ss C ❛♥❞
• b, g⊥

=1 ❢♦r ❡✈❡r② ❜❧♦❝❦ b✳

■♥t❡❣r❛❧✐t② t❤❡♦r❡♠✿ g⊆g⊥ ✐♠♣❧✐❡s dα ∈Z ❛♥❞ hα ∈ 1

2Z ❢♦r ❛❧❧ α∈g✳

g⊆g⊥ ✐✛ N γ

αβ >0 ❢♦r α, β, γ ∈g ✐♠♣❧✐❡s hγ−hα−hβ ∈Z ✐✛ ❡✈❡r② ❝❧❛ss ✐s

❛ ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❜❧♦❝❦s✳ g∈L ✐s ❛ t✇✐st❡r ✐❢ hα ∈Z ❢♦r ❛❧❧ α∈g ✭❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② g⊆g⊥✮✳ ❊✈❡r② g⊆g⊥ ✐s ❛ t✇✐st❡r ♦r ❛ Z2✲❡①t❡♥s✐♦♥ t❤❡r❡♦❢ ✭✬s✇✐st❡r✬❄✮✳ ■❢ g∈L ✐s ❛ t✇✐st❡r✱ t❤❡♥ ✶✳ ❛ ❜❧♦❝❦ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❧❛ss g⊥ ✐✛ t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ✐ts ❡❧❡♠❡♥ts ❞✐✛❡r ❜② ✐♥t❡❣❡rs❀ ✷✳ t♦ ❡❛❝❤ ❜❧♦❝❦ b ❝♦rrr❡s♣♦♥❞s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r Db ✭✬❜❧♦❝❦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✬✮ s✉❝❤ t❤❛t dp Db ∈Z+ ❢♦r ❛❧❧ p∈b✳

❆ t✇✐st❡r ❞❡t❡r♠✐♥❡s ❛ ❚❛♥♥❛❦✐❛♥ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧❛r t❡♥s♦r ❝❛t❡❣♦r② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ♠♦❞❡❧ t❤❡ r✐♥❣ g ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ t✇✐st❡r ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ r✐♥❣ ♦❢ s♦♠❡ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣ G ✭❉❡❧✐❣♥❡✬s t❤❡♦r❡♠✮✳ Pr♦❜❧❡♠✿ t❤❡r❡ ♠❛② ❡①✐st s❡✈❡r❛❧ ♥♦♥✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ r✐♥❣s ✭❡✳❣✳ D8✱ t❤❡ ❞✐❤❡❞r❛❧ ❣r♦✉♣ ♦❢ ♦r❞❡r 8✱ ❛♥❞ Q✱ t❤❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ ✉♥✐t q✉❛t❡r♥✐♦♥s✮✳ ❍♦✇ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s❄ ❙♦❧✉t✐♦♥✿ ✉s❡ t❤❡ λ✲r✐♥❣ str✉❝t✉r❡ ✭❡①t❡r✐♦r ♣♦✇❡rs✮ ♦❢ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ r✐♥❣✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ❆❞❛♠s ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳

❆❞❛♠s ♦♣❡r❛t✐♦♥s

❋♦r n∈Z ❛♥❞ ❡❧❡♠❡♥ts α, β ∈g ♦❢ ❛ t✇✐st❡r g ❧❡t Zn(α, β) =

• p,q

N q

αpSβpS0qe2πin(hα+hp−hq)

❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ Ψn ∈❊♥❞( g) s✉❝❤ t❤❛t

• Ψn (α)=

β∈g

Zn(α, β)β ❢♦r α∈g❀

• Ψn (α)=αn ❢♦r ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ❡❧❡♠❡♥ts α∈

g❀

• Ψn ✐s ❢✉♥❝t♦r✐❛❧❀
• Ψn ◦ Ψm =Ψnm✳

Ψn ∈❊♥❞( g) ✐s t❤❡ nt❤ ❆❞❛♠s ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦♥ g✱ ❡♥❞♦✇✐♥❣ t❤❡ ❧❛tt❡r ✇✐t❤ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❛ λ✲r✐♥❣✱ ❛❜❧❡ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ✭❜✉t ❢♦r ❇r❛✉❡r ♣❛✐rs✮ ♥♦♥✲ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❢✉s✐♦♥ r✉❧❡s✱ ❡✳❣✳ D8 ❛♥❞ Q✳ Ψn ♣❡r♠✉t❡s t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ t✇✐st ❝❧❛ss❡s ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦✇❡r ♠❛♣s C→Cn ❢♦r ❡❛❝❤ n∈Z✳ ❖r❞❡r ♦❢ t❤❡ t✇✐st ❝❧❛ss C ❂ ❧❡❛st ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r n s✉❝❤ t❤❛t Cn =g⊥✳ ■❢ ❛ ❜❧♦❝❦ b ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛ t✇✐st ❝❧❛ss ♦❢ ♦r❞❡r n✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts ✐♥s✐❞❡ b ❝❛♥ ♦♥❧② ❞✐✛❡r ❜② ✐♥t❡❣❡r ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ 1

n✳

❖r❜✐❢♦❧❞ ❞❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥

✈❛❝✉✉♠ ❜❧♦❝❦ t✇✐st❡r ✐rr❡♣ ♦❢ t✇✐st ❣r♦✉♣ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t✇✐st❡r t✇✐st❡❞ s❡❝t♦rs t✇✐st ❝❧❛ss❡s ♦r❜✐ts ♦❢ t✇✐st❡❞ ♠♦❞✉❧❡s ❜❧♦❝❦s st❛❜✐❧✐③❡r ♦❢ ♦r❜✐t ✐♥❡rt✐❛ s✉❜❣r♦✉♣ ❙t❡♣ ✶✿ s❡❧❡❝t ❛ t✇✐st❡r✳ ❙t❡♣ ✷✿ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t✇✐st ❝❧❛ss❡s ❛♥❞ ❜❧♦❝❦s✳ ❙t❡♣ ✸✿ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r t❛❜❧❡ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠❛♣s✳

❙t❡♣ ✹✿ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ t✇✐st ❣r♦✉♣ G ✭✉♣ t♦ ♣♦ss✐❜❧❡ ❇r❛✉❡r ♣❛✐rs✮✳ ❙t❡♣ ✺✿ ❢♦r ❡❛❝❤ ❜❧♦❝❦ b ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❧❛ss ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ✐♥❡rt✐❛ s✉❜❣r♦✉♣ Ib ❛♥❞ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✷✲❝♦❝②❝❧❡ ϑb ∈Z2(Ib, C×)✳ ❘❡♠❛r❦✳ ❋♦r ♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ♦r❞❡r eb ♦❢ ✭t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❝❧❛ss ♦❢✮ ϑb ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞❡① [G:Ib] ♦❢ t❤❡ ✐♥❡rt✐❛ s✉❜❣r♦✉♣✳ ❙t❡♣ ✻✿ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ t❤❡ ❞❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ♠♦❞❡❧✳ ❘❡♠❛r❦✳ ❚♦ ❡❛❝❤ ❜❧♦❝❦ b⊆g⊥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ [G:Ib] ❞✐✛❡r❡♥t ♣r✐♠❛r✐❡s ♦❢ r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts hb =min {hp | p∈b}✱ q✉❛♥t✉♠ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s db = Db eb [G:Ib]

❛♥❞ ❝❤✐r❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡rs χb(τ) = eb Db

• p∈b

dpχp(τ) ❙t❡♣ ✼✿ ✐❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❞✐❞ ♥♦t s✐♥❣❧❡ ♦✉t t❤❡ ❞❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ♠♦❞❡❧✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❜❧♦❝❦✲❢✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts N c

ab = eaebec

|Ia||Ib|

• p∈a
• q∈b
• r∈c

N r

pq

dpdqdr DaDbDc ✭✶✮ t❤❛t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❢✉s✐♦♥ r✉❧❡s ♦❢ t❤❡ ❞❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ♠♦❞❡❧ ✭❜✉t ❢♦r ✜①❡❞✲♣♦✐♥t r❡s♦❧✉t✐♦♥✮✳

❆ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦r❜✐❢♦❧❞ ❡①❛♠♣❧❡

D ❂ tr❛♥s✐t✐✈❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ 4 ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❝②❝❧✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s (1, 2, 3, 4) ❛♥❞ (2, 4) ✭✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ ❞✐❤❡❞r❛❧ ❣r♦✉♣ ♦❢ ♦r❞❡r 8✱ t❤❡ s②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ sq✉❛r❡✮✳ P❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦r❜✐❢♦❧❞ V♮ ≀ D✿ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ c = 96✱ ✇✐t❤ 22 ♣r✐♠❛r✐❡s ♦❢ ❦♥♦✇♥ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤ts✱ ❝❤✐r❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡rs✱ ❡t❝✳ ▼♦♦♥s❤✐♥❡ ♠♦❞✉❧❡ ✐s s❡❧❢✲❞✉❛❧ ❢✉s✐♦♥ r✉❧❡s ❛♥❞ ♠♦❞✉❧❛r ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ✭✉♥t✇✐st❡❞✮ ❞♦✉❜❧❡ ♦❢ D✳ 45 ❢✉s✐♦♥ ❝❧♦s❡❞ s❡ts ✭♦❢ ✇❤✐❝❤ 22 t✇✐st❡rs✮✱ ✇✐t❤ ❍❛ss❡✲❞✐❛❣r❛♠

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• J(q)2 − 196884

2 D8 J(q)4 − 393768J(q)2 − 42987519J(q) − 1728009288 Z3

2

J(q)4 − 393768J(q)2 − 42987519J(q) + 37035300168 ❚❛❜❧❡ ✶✳ ▼❛①✐♠❛❧ ❞❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ♦❢ V♮ ≀ D ▼❛①✐♠❛❧ ❞❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t tr❛❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❡② ❛❧❧ ❞✐✛❡r ❢r♦♠ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳

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