rr r - PowerPoint PPT Presentation

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r✱ ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❡①♣❛♥s✐♦♥s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❍♦✇❛r❞ ❙✳ ❈♦❤❧ ⋆ † ⋆ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ▲❛❜♦r❛t♦r②✱ ◆❛t✐♦♥❛❧ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ❙t❛♥❞❛r❞s ❛♥❞ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ●❛✐t❤❡rs❜✉r❣✱ ▼❛r②❧❛♥❞✱ ❯✳❙✳❆✳ ❆♣♣❧✐❡❞ ✫ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❉✐✈✐s✐♦♥ ❙❡♠✐♥❛r ❙❡r✐❡s✱ ■❚▲✱ ◆■❙❚ ●❛✐t❤❡rs❜✉r❣✱ ▼❛r②❧❛♥❞ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶ ✴ ✹✽

❖✉t❧✐♥❡ ✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ ❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ✸ ❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ R d ✹ ❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s ✺ ●❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ✻ ❖♥❣♦✐♥❣ ■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷ ✴ ✹✽

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✕ ❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ▼❛✐♥ q✉❡st✐♦♥ ♦❢ ♠② r❡s❡❛r❝❤✿ ❲❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❜② st✉❞②✐♥❣ s❡♣❛r❛❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✳ ❈❛t❡❣♦r✐❡s ♦❢ P❉❊s✿ ❱❛r✐❡t②✴❚②♣❡ ✭❢♦❝✉s✿ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✕ ▲❛♣❧❛❝❡ ✮ ❖r❞❡r ✭♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s✮ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞s ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❚❤❡ ❣❛♠♠❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✕ ❊ss❡♥t✐❛❧ ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦ ●❛♠♠❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿ ❋♦r ❘❡ z > 0 ✱ Γ( z + 1) = z Γ( z ) � ∞ t z − 1 e − t dt Γ( z ) := 0 ❋❛❝t♦r✐❛❧✿ ❋♦r n ∈ N 0 := { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } Γ( n + 1) = n ! π ❊✉❧❡r r❡✢❡❝t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛✿ Γ( z )Γ(1 − z ) = sin πz ❉♦✉❜❧❡ ❢❛❝t♦r✐❛❧ ✱ · !! : {− 1 , 0 , 1 , . . . } → N := { 1 , 2 , 3 , . . . } , ❞❡✜♥❡❞ ❛s  n · ( n − 2) · · · 2 if n even ≥ 2 ,   n !! := n · ( n − 2) · · · 1 if n odd ≥ 1 ,   1 if n = − 1 , 0 . P♦❝❤❤❛♠♠❡r s②♠❜♦❧ ✭r✐s✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐❛❧✮✱ ( · ) n : C → C , ❞❡✜♥❡❞ ❛s ( z ) 0 := 1 , ( z ) n := ( z )( z + 1) · · · ( z + n − 1) , ( a ) n = Γ( a + n ) ( n ∈ N 0 ) Γ( a ) ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❚❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✱ 2 F 1 : C × C × ( C \ − N 0 ) × { z ∈ C : | z | < 1 } → C , ❞❡✜♥❡❞ ❛s ∞ � ( a ) n ( b ) n ( c ) n n ! z n , 2 F 1 ( a, b ; c ; z ) := n =0 ❙②♠♠❡tr② 2 F 1 ( a, b ; c ; z ) = 2 F 1 ( b, a ; c ; z ) ❯♥✐t ✈❛❧✉❡ ✭♦♥❧② t❤❡ ✜rst t❡r♠ s✉r✈✐✈❡s✮ 2 F 1 (0 , b ; c ; z ) = 2 F 1 ( a, 0; c ; z ) = 2 F 1 ( a, b ; c ; 0) = 1 ❯♥✐t ❛r❣✉♠❡♥t ✿ ❋♦r ❘❡ ( c − a − b ) > 0 ❛♥❞ c �∈ − N 0 2 F 1 ( a, b ; c ; 1) = Γ( c )Γ( c − a − b ) Γ( c − a )Γ( c − b ) ❍②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✿ ❋♦r n ∈ N 0 ✿ 2 F 1 ( − n, b ; c ; z ) ✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ z ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n ✳ ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✺ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ■♠♣♦rt❛♥t ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✱ P ( α,β ) : [ − 1 , 1] → R n � � ( x ) := ( − 1) n ( − α − n ) n − n, n + α + β + 1; α + 1; 1 − x P ( α,β ) 2 F 1 n n ! 2 ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✱ C µ n : [ − 1 , 1] → R (2 µ ) n C µ P ( µ − 1 / 2 ,µ − 1 / 2) n ( x ) := ( x ) n ( µ + 1 2 ) n ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞ ✱ T n : [ − 1 , 1] → R T n ( x ) = 1 n + µ C µ lim n ( x ) , ǫ n µ µ → 0 ✇❤❡r❡ T n (cos φ ) := cos( nφ ) , ❛♥❞ ǫ n ✐s t❤❡ ◆❡✉♠❛♥♥ ❢❛❝t♦r ✿ � 1 if n = 0 , ǫ n := 2 − δ n, 0 = 2 if n = 1 , 2 , 3 , . . . ▲❡❣❡♥❞r❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✱ P n : [ − 1 , 1] → [ − 1 , 1] ✱ P n ( x ) := C 1 / 2 ( x ) ✳ n ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✻ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❑✉♠♠❡r✬s ✷✹ s♦❧✉t✐♦♥s✿ ✷ ❡①♣♦♥❡♥ts ❛t ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ✸ ♣♦ss✐❜❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✱ ❡❛❝❤ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❛♣♣❡❛rs ✹ t✐♠❡s ❞✉❡ t♦ ❊✉❧❡r✬s ❛♥❞ P❢❛✛✬s ❧✐♥❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ 2 F 1 ( a, b ; c ; z ) = (1 − z ) c − a − b ❊✉❧❡r 2 F 1 ( c − a, c − b ; c ; z ) � � z 2 F 1 ( a, b ; c ; z ) = (1 − z ) − a P❢❛✛ ✶ 2 F 1 a, c − b ; c ; z − 1 � � z 2 F 1 ( a, b ; c ; z ) = (1 − z ) − b P❢❛✛ ✷ 2 F 1 c − a, b ; c ; z − 1 ◗✉❛❞r❛t✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✮ ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✼ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ � � (1 − z 2 ) d 2 w µ 2 dz 2 − 2 z dw dz + ν ( ν + 1) − w = 0 , 1 − z 2 ❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞✿ P µ ν : ( − 1 , 1) → C ✭❛ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝✉t✮ � 1 + x � µ � � 1 − ν, ν + 1; 1 − µ ; 1 − x 2 P µ ν ( x ) := 2 F 1 Γ(1 − µ ) 1 − x 2 ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞ ✿ P µ ν : C \ ( −∞ , 1] → C � z + 1 � µ � � 1 − ν, ν + 1; 1 − µ ; 1 − z 2 P µ ν ( z ) := 2 F 1 Γ(1 − µ ) z − 1 2 ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✽ ✴ ✹✽