rr r - - PowerPoint PPT Presentation

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r✱ ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❡①♣❛♥s✐♦♥s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥

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• ❛✐t❤❡rs❜✉r❣✱ ▼❛r②❧❛♥❞✱ ❯✳❙✳❆✳

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• ❛✐t❤❡rs❜✉r❣✱ ▼❛r②❧❛♥❞

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✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ ❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ✸ ❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd ✹ ❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s ✺ ●❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ✻ ❖♥❣♦✐♥❣ ■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✕ ❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

▼❛✐♥ q✉❡st✐♦♥ ♦❢ ♠② r❡s❡❛r❝❤✿ ❲❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❜② st✉❞②✐♥❣ s❡♣❛r❛❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✳ ❈❛t❡❣♦r✐❡s ♦❢ P❉❊s✿

❱❛r✐❡t②✴❚②♣❡ ✭❢♦❝✉s✿ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✕ ▲❛♣❧❛❝❡✮ ❖r❞❡r ✭♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s✮ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞s

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❚❤❡ ❣❛♠♠❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✕ ❊ss❡♥t✐❛❧ ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦

• ❛♠♠❛ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ ❋♦r ❘❡ z > 0✱ Γ(z + 1) = zΓ(z)

Γ(z) := ∞ tz−1e−tdt ❋❛❝t♦r✐❛❧✿ ❋♦r n ∈ N0 := {0, 1, 2, 3, . . .} Γ(n + 1) = n! ❊✉❧❡r r❡✢❡❝t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛✿ Γ(z)Γ(1 − z) = π sin πz ❉♦✉❜❧❡ ❢❛❝t♦r✐❛❧✱ · !! : {−1, 0, 1, . . .} → N := {1, 2, 3, . . .}, ❞❡✜♥❡❞ ❛s n!! :=      n · (n − 2) · · · 2 if n even ≥ 2, n · (n − 2) · · · 1 if n odd ≥ 1, 1 if n = −1, 0. P♦❝❤❤❛♠♠❡r s②♠❜♦❧ ✭r✐s✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐❛❧✮✱ (·)n : C → C, ❞❡✜♥❡❞ ❛s (z)0 := 1, (z)n := (z)(z + 1) · · · (z + n − 1), (a)n = Γ(a + n) Γ(a) (n ∈ N0)

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❚❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

• ❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✱

2F1 : C × C × (C \ −N0) × {z ∈ C : |z| < 1} → C, ❞❡✜♥❡❞ ❛s 2F1(a, b; c; z) := ∞

• n=0

(a)n(b)n (c)nn! zn, ❙②♠♠❡tr②

2F1(a, b; c; z) = 2F1(b, a; c; z)

❯♥✐t ✈❛❧✉❡ ✭♦♥❧② t❤❡ ✜rst t❡r♠ s✉r✈✐✈❡s✮

2F1(0, b; c; z) = 2F1(a, 0; c; z) = 2F1(a, b; c; 0) = 1

❯♥✐t ❛r❣✉♠❡♥t✿ ❋♦r ❘❡(c − a − b) > 0 ❛♥❞ c ∈ −N0

2F1(a, b; c; 1) = Γ(c)Γ(c − a − b)

Γ(c − a)Γ(c − b) ❍②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✿ ❋♦r n ∈ N0✿ 2F1(−n, b; c; z) ✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ z ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✺ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

■♠♣♦rt❛♥t ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ P (α,β)

n

: [−1, 1] → R P (α,β)

n

(x) := (−1)n(−α − n)n n!

2F1

• −n, n + α + β + 1; α + 1; 1 − x

2

• ❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ Cµ

n : [−1, 1] → R

Cµ

n(x) :=

(2µ)n (µ + 1

2)n

P (µ−1/2,µ−1/2)

n

(x) ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞✱ Tn : [−1, 1] → R Tn(x) = 1 ǫn lim

µ→0

n + µ µ Cµ

n(x),

✇❤❡r❡ Tn(cos φ) := cos(nφ), ❛♥❞ ǫn ✐s t❤❡ ◆❡✉♠❛♥♥ ❢❛❝t♦r✿ ǫn := 2 − δn,0 = 1 if n = 0, 2 if n = 1, 2, 3, . . . ▲❡❣❡♥❞r❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ Pn : [−1, 1] → [−1, 1]✱ Pn(x) := C1/2

n

(x)✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✻ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

❑✉♠♠❡r✬s ✷✹ s♦❧✉t✐♦♥s✿ ✷ ❡①♣♦♥❡♥ts ❛t ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ✸ ♣♦ss✐❜❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✱ ❡❛❝❤ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❛♣♣❡❛rs ✹ t✐♠❡s ❞✉❡ t♦ ❊✉❧❡r✬s ❛♥❞ P❢❛✛✬s ❧✐♥❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❊✉❧❡r

2F1(a, b; c; z) = (1 − z)c−a−b 2F1 (c − a, c − b; c; z)

P❢❛✛ ✶

2F1(a, b; c; z) = (1 − z)−a 2F1

• a, c − b; c;

z z − 1

• P❢❛✛ ✷

2F1(a, b; c; z) = (1 − z)−b 2F1

• c − a, b; c;

z z − 1

• ◗✉❛❞r❛t✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

✭▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✮

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✼ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ (1 − z2)d2w dz2 − 2z dw dz +

• ν(ν + 1) −

µ2 1 − z2

• w = 0,

❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞✿ Pµ

ν : (−1, 1) → C

✭❛ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝✉t✮ Pµ

ν(x) :=

1 Γ(1 − µ) 1 + x 1 − x µ

2

2F1

• −ν, ν + 1; 1 − µ; 1 − x

2

• ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞✿ P µ

ν : C \ (−∞, 1] → C

P µ

ν (z) :=

1 Γ(1 − µ) z + 1 z − 1 µ

2

2F1

• −ν, ν + 1; 1 − µ; 1 − z

2

• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✽ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞

❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞✱ Qµ

ν : (−1, 1) → C

Qµ

ν(x) := √π2µ cos

π 2 (ν + µ) Γ

• ν+µ+2

2

• Γ
• ν−µ+1

2

x(1 − x2)−µ/2 ×2F1 1 − ν − µ 2 , ν − µ + 2 2 ; 3 2; x2

• − √π2µ−1 sin

π 2 (ν + µ) Γ

• ν+µ+1

2

• Γ
• ν−µ+2

2

(1 − x2)−µ/2 ×2F1 −ν − µ 2 , ν − µ + 1 2 ; 1 2; x2

• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✾ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✷♥❞ ❦✐♥❞

▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞✱ Qµ

ν : C \ (−∞, 1] → C

Qµ

ν(z) :=

√πeiπµΓ(ν + µ + 1)(z2 − 1)µ/2 2ν+1Γ(ν + 3

2)zν+µ+1

×2F1 ν + µ + 2 2 , ν + µ + 1 2 ; ν + 3 2; 1 z2

• ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ▼❛❣♥✉s✱ ❖❜❡r❤❡tt✐♥❣❡r ✫ ❙♦♥✐ ✭✶✾✻✻✮ t❛❜✉❧❛t❡s ❛

❧✐st ♦❢ ✸✻ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②s t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ●❛✉ss ❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✵ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s P❉❊s ✐♥ Rd

▲✐♥❡❛r ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭P❉❊✮ L(x)Φ(x) = f(x) ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r✿ L(x) = g

• x1, . . . , xd, ∂

∂x1 , . . . , ∂ ∂xd

• ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ P❉❊ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞

Φ(x) = L−1(x, x′) f(x′) t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐♥✈❡rs❡✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ GL Φ(x) = L−1f(x′) =

• GL(x, x′)f(x′) dx′

L(x) GL(x, x′) = δd(x − x′) ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❡♥❝❛♣s✉❧❛t❡ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ♦✈❡r t❤❡ ❡♥t✐r❡ s♣❛❝❡ Rd✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✶ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

P❉❊s ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ s♦❧✉t✐♦♥s ✈✐❛ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s

▲❛♣❧❛❝❡✬s ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❍❡❧♠❤♦❧t③ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❲❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❍❡❛t ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❑❧❡✐♥✲●♦r❞♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ❡①t❡♥s✐♦♥s✱ ❛♥❞ ♦♥ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞s✱ ❛r❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥✳ ❲❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ♥❛t✉r❛❧❧② ❛r✐s❡ ❢r♦♠ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ❛♥❞ t❤❡ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r✱ ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡s❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ▼❛✐♥ ✐♥t❡r❡st✳ ❊①♣❧♦r❡ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✐✳❡✳ t❤♦s❡ ✇❤✐❝❤ ❛r✐s❡ ❢r♦♠ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❧✐♥❡❛r ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s ✐♥ r❡❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ Rd

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✷ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

• ❧♦❜❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ Rd

❩❡r♦ ❝✉r✈❛t✉r❡ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ Rd✱ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✐♥♥❡r ✭❞♦t✮ ♣r♦❞✉❝t (·, ·) : Rd × Rd → R ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r x, y ∈ Rd s✉❝❤ t❤❛t (x, y) := x1y1 + x2y2 + . . . + xdyd ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ❢♦r x ∈ Rd ✐♥❞✉❝❡s t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ♥♦r♠ x =

• (x, x)
• ❡♦❞❡s✐❝ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts x, y ∈ Rd ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

d(x, y) = x − y ▲❛♣❧❛❝❡✲❇❡❧tr❛♠✐ ♦♣❡r❛t♦r ✭▲❛♣❧❛❝✐❛♥✮ ∆ : Cp(Rd) → Cp−2(Rd) ❢♦r p ≥ 2 ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ∆ := ∂2 ∂x2

1

+ . . . + ∂2 ∂x2

d

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✸ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ▲❛♣❧❛❝❡ ❛♥❞ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥

▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ Φ : Rd → R✱ ❤❛r♠♦♥✐❝ −∆Φ(x) = 0, P♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✱ Φ : Rd → R✱ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ (−∆)kΦ(x) = 0, ✇❤❡r❡ k ∈ N := {1, 2, 3, . . .} ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ (−∆)kGd

k(x, x′) = δ(x − x′)

✇❤❡r❡ Gd

k : Rd × Rd \ {(x, x) : x ∈ Rd} → R

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✹ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡

−∆Gd(x, x′) = δ(x − x′) ❚❤❡♦r❡♠✳ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ▲❛♣❧❛❝❡✬s ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ Rd ▲❡t d = 1, 2, 3, . . .✳ ❉❡✜♥❡ Gd : Rd × Rd \ {(x, x) : x ∈ Rd} → R, s✉❝❤ t❤❛t Gd(x, x′) =        Γ(d/2) 2πd/2(d − 2) 1 x − x′d−2 if d = 1 or d ≥ 3, − 1 2π log x − x′ if d = 2, t❤❡♥ Gd ✐s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r −∆✱ ✇❤❡r❡ ∆ ✐s t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✺ ✴ ✹✽

❙♣❡❝✐❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✫ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s

❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ Rd

(−∆)kGd

k(x, x′) = δ(x − x′)

❚❤❡♦r❡♠✳ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ Rd ▲❡t d, k ∈ N✳ ❉❡✜♥❡ Gd

k : Rd × Rd \ {(x, x) : x ∈ Rd} → R, s✉❝❤ t❤❛t

Gd

k(x, x′) =

             (−1)k+d/2+1x − x′2k−d (k − 1)! (k − d/2)! 22k−1πd/2

• log x − x′ − βk−d/2,d
• if d even, k ≥ d/2,

Γ(d/2 − k)x − x′2k−d (k − 1)! 22kπd/2

• therwise,

✇❤❡r❡ βp,d ∈ Q s✉❝❤ t❤❛t βp,d := 1

2

• Hp + Hd/2+p−1 − Hd/2−1
• , ❛♥❞

Hj ∈ Q ✐s t❤❡ j✲t❤ ❤❛r♠♦♥✐❝ ♥✉♠❜❡r H0 := 0✱ Hj := 1 + 1

2 + 1 3 + . . . + 1 j ,

t❤❡♥ Gd

k ✐s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✻ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❚❤❡♦r② ♦❢ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r (−∆)kf = 0

❙②♠♠❡tr② ❣r♦✉♣ ♦❢ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣r♦✉♣ ❙②♠♠❡tr✐❡s ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✇❤✐❝❤ ♠❛♣ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ s♦❧✉t✐♦♥s ❈♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr✐❡s ✐♥❝❧✉❞❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥s✱ r❡✢❡❝t✐♦♥s✱ ❞✐❧❛t❛t✐♦♥s ❚❤❡s❡ ❡①tr❛ s②♠♠❡tr✐❡s ✐♠♣❧② t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❜♦t❤ s✐♠♣❧❡ ❛♥❞ R✲s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s R✲s❡♣❛r❛t✐♦♥ ②✐❡❧❞s ❡①tr❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠s

R3✿ q✉❛❞r✐❝s ✕ ✷♥❞ ♦r❞❡r s✉r❢❛❝❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✐❝ s❡❝t✐♦♥s P2(x, y, z) = 0 R3✿ ❝②❝❧✐❞❡s ✕ ✹t❤ ♦r❞❡r s✉r❢❛❝❡s c(x2 + y2 + z2)2 + P2(x, y, z) = 0, c ∈ R ❛♥❞ t❤❡✐r (d − 1)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

❲❡ ❧♦♦❦ ❢♦r r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t s❡♣❛r❛❜❧❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠s

❛❧❧ s❤❛r❡ tr✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ eimφ ✭♣♦❧②✲✮❤❛r♠♦♥✐❝s

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✼ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❙✉❜❣r♦✉♣✲t②♣❡ r♦t❛t✐♦♥❛❧❧②✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✽ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❙❡♣❛r❛❜❧❡ r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠s

R3 : ❘♦t❛t✐♦♥❛❧ ✭q✉❛❞r✐❝✮ R3 : ❘♦t❛t✐♦♥❛❧ ✭❝②❝❧✐❞✐❝✮

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✶✾ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❱✐❧❡♥❦✐♥✬s ♣♦❧②s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

❚❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ tr❡❡s✿ ❛ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ s✉❜❣r♦✉♣✲t②♣❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ t❤❡ d✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤②♣❡rs♣❤❡r❡ ❊①❛♠♣❧❡✿ R2 ✲ ♣✉tt✐♥❣ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ S1 x1 = r cos φ x2 = r sin φ

• m

x1 x2

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✵ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❱✐❧❡♥❦✐♥✬s ♣♦❧②s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭❝♦♥t✳✮

❊①❛♠♣❧❡✿ R3 ✲ ♣✉tt✐♥❣ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ S2 x1 = r cos θ x2 = r sin θ cos φ x3 = r sin θ sin φ

• l
• m

x1 x2 x3

x1 = r cos θ cos φ x2 = r cos θ sin φ x3 = r sin θ

• l
• m

x1 x2 x3 ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✶ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❈❛t❛❧❛♥ ♥✉♠❜❡rs✿ ✶✱✷✱✺✱✶✹✱✹✷✱✶✸✷✱✹✷✾✱✶✹✸✵✱✹✽✻✷✱✶✻✼✾✻✱✺✽✼✽✻✱✷✵✽✵✶✷✱✳ ✳ ✳ ❲❡❞❞❡r❜✉r♥✲❊t❤❡r♥✐♥❣t♦♥ ♥✉♠❜❡rs✿ ✶✱✶✱✷✱✸✱✻✱✶✶✱✷✸✱✹✻✱✾✽✱✷✵✼✱✹✺✶✱✾✽✸✱✳ ✳ ✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✷ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❋♦✉r✐❡r einφ✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r Cµ

n(cos θ), ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ P (a,b) n

(cos θ) ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r (−∆)kΦ(x) = 0

❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ♣❡r❢♦r♠ ❋♦✉r✐❡r eimφ✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r Cµ

l (cos θ), ❛♥❞

❏❛❝♦❜✐ P a,b

l

(cos θ) ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ P❡r❢♦r♠ ❛♥ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❛ ❜❛s✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞ Tn(cos φ) = cos(nφ) ❛♥❞ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

• ❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❛r❣✉♠❡♥t ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ cos γ

❛r❡ s✐♠♣❧② ❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❤❛r♠♦♥✐❝s ♦♥ x, x′ ∈ Sd−1

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✸ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❙❡♣❛r❛❜❧❡ r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠s

❙❡♣❛r❛❜❧❡ ❝✉r✈✐❧✐♥❡❛r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠s ❛r❡ t❤♦s❡ ✇❤✐❝❤ tr❛♥s❢♦r♠ (−∆)kΦ(x) = 0 ✐♥t♦ ❛ s❡t ♦❢ d✲✉♥❝♦✉♣❧❡❞ ❖❉❊s✱ ❡❛❝❤ s❡♣❛r❛t❡❧② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ξi s✉❝❤ t❤❛t i = 1, 2, . . . , d, ✇✐t❤ (d − 1)✲s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✿ x1 = R(ξ1, ξ2, . . . , ξd−1) cos φ x2 = R(ξ1, ξ2, . . . , ξd−1) sin φ x3 = x3(ξ1, ξ2, . . . , ξd−1) ✳ ✳ ✳ xd = xd(ξ1, ξ2, . . . , ξd−1) P❛r❛♠❡tr✐③❡ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ (d − 1)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤❛❧❢✲❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ❣✐✈❡♥ ❜② φ = const ❛♥❞ R > 0 ✉s✐♥❣ s❡♣❛r❛❜❧❡ ❝✉r✈✐❧✐♥❡❛r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s (ξ1, ξ2, . . . , ξd−1)✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✹ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❋♦✉r✐❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❢♦r ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ (−∆)k

❊①♣❛♥❞✱ ♦✈❡r t❤❡ (d − 1)✲s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✱ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r (−∆)k ✐♥ t❡r♠s ♦❢ s❡♣❛r❛❜❧❡ ♣♦❧②✲❤❛r♠♦♥✐❝s ✐♥ ❡❛❝❤ r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✳ ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠s s❤❛r❡ φ ❛s ❛♥ ❛③✐♠✉t❤❛❧ ❛♥❣❧❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❡①♣❛♥❞ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛s ❛ ❛③✐♠✉t❤❛❧ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ s❡r✐❡s ♦✈❡r cos(m(φ − φ′)) ✇✐t❤ m ∈ N0 ■♥ ❛ (κ, d) r♦t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ x − x′ = √ 2RR′

• χd

κ − cos(φ − φ′)

✇❤❡r❡ χd

κ > 1 ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②

χd

κ := R2 + R′2 + (x3 − x′ 3)2 + . . . + (xd − x′ d)2

2RR′

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✺ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❊①❛♠♣❧❡✿ (2, d) ❛♥❞ (3, d) ❊✉❝❧✐❞❡❛♥✲❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧

❊♠❜❡❞❞❡❞ ✷ ❛♥❞ ✸ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

! m x1 x2 x3 x4 xd ! l " m x1 x2 x3 x4 x5 xd

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✻ ✴ ✹✽

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✕ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡ ❙②st❡♠s ♦♥ Rd

❊①❛♠♣❧❡✿ (κ, d) ❊✉❝❧✐❞❡❛♥✲❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

!

1

l1 !

2

l2 !

3

l3 !

k-3

lk-3 !

k-2

lk-2 " m

x1 x2 x3 xk-3 xk-2 xk-1 xk x

k+1 x k+2

xd

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✼ ✴ ✹✽

❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s

❆❞❞✐t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❤❛r♠♦♥✐❝s

❆❞❞✐t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❤❛r♠♦♥✐❝s Cd/2−1

l

(cos γ) = 2πd/2(d − 2) (2l + d − 2)Γ(d/2)

• K

Y K

l (

x)Y K

l (

x′), ✇❤❡r❡ x, x′ ∈ Sd−1, ❛♥❞ K ✐s ❛ s❡t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♥✉♠❜❡rs ✇❤✐❝❤ ❧❛❜❡❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ❢♦r l ✐♥ s✉❜❣r♦✉♣✲t②♣❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇❤✐❝❤ ♣❛r❛♠❡tr✐③❡ ♣♦✐♥ts ♦♥ Sd−1✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✽ ✴ ✹✽

❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s

❋♦✉r✐❡r ❛♥❞ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥s✿ ♣♦✇❡rs ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡

x − x′ν =

• 2

π eiπ(ν+1)/2 Γ (−ν/2)

• 2rr′

d−2

• i=1

sin θisin θi′ ν/2 χ2 − 1 (ν+1)/4 ×

∞

• m=−∞

eim(φ−φ′)Q−(ν+1)/2

m−1/2

(χ) χ := χd

d =

r2 + r′2 − 2rr′

d−2

• i=1

cos θicos θi′

i−1

• j=1

sin θjsin θj′ 2rr′

d−2

• i=1

sin θisin θi′ x − x′ν = eiπ(ν+d−1)/2Γ d−2

2

• 2√πΓ
• −ν

2

• r2

> − r2 <

(ν+d−1)/2 (rr′)(d−1)/2 ×

∞

• λ=0

(2λ + d − 2) Q(1−ν−d)/2

λ+(d−3)/2

r2 + r′2 2rr′

• Cd/2−1

λ

(cos γ)

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✷✾ ✴ ✹✽

❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s

❊①❛♠♣❧❡✿ ❙♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ R3

x − x′ν =

• 2

π eiπ(ν+1)/2 Γ (−ν/2)

• 2rr′ sin θ sin θ′ν/2

χ2 − 1 (ν+1)/4 ×

∞

• m=−∞

eim(φ−φ′)Q−(ν+1)/2

m−1/2

(χ), χ = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ cos θ′ 2rr′ sin θ sin θ′ x − x′ν = − eiπν/2 2Γ(−ν/2) (r2

> − r2 <)(ν+2)/2

rr′

∞

• l=0

(2l + 1)Q−(ν+2)/2

l

• r2 + r′2

2rr′

• ×

l

• m=−l

(l − m)! (l + m)!P m

l (cos θ)P m l (cos θ′)eim(φ−φ′)

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✵ ✴ ✹✽

❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s

❙✉♠ ♦✈❡r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ s♣❛❝❡

❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❞♦✉❜❧❡ s✉♠♠❛t✐♦♥s ✐♥ ✭l✱m✮ s♣❛❝❡ ✭❛✮ ✜rst ♦✈❡r m ❛t ✜①❡❞ l t♦ ❢♦r♠ ♣❛rt✐❛❧ s✉♠s ϑl ✭❜✮ ✜rst ♦✈❡r l ❛t ✜①❡❞ m t♦ ❢♦r♠ ♣❛rt✐❛❧ s✉♠s ϕm

2 4 6 8 10 l (a)

ϑ0 ϑ1 ϑ2 ϑ3 ϑ4 ϑ5 ϑ6 ϑ7 ϑ8 ϑ9 ϑ10

(b) l 2 4 6 8 10 8

ϕ

• 10

ϕ

• 9ϕ
• 8ϕ
• 7ϕ
• 6ϕ
• 5ϕ
• 4ϕ
• 3ϕ
• 2ϕ
• 1ϕ

0ϕ 1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ 5ϕ 6ϕ 7ϕ 8ϕ 9ϕ 10

• 10 -8 -6 -4 -2

2 4 6 8 10 m

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✶ ✴ ✹✽

❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥ ❊①♣❛♥s✐♦♥s ✕ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠s

❆❞❞✐t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠s ✐♥ R3

• ❡♥❡r❛❧ ❛❞❞✐t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠

Q−(ν+1)/2

m−1/2

(χ) = i√π2−(ν+3)/2(sin θ sin θ′)−ν/2 (χ2 − 1)(ν+1)/4 r2

> − r2 <

rr′ (ν+2)/2 ×

∞

• l=|m|

(2l + 1)(l − m)! (l + m)!Q−(ν+2)/2

l

• r2 + r′2

2rr′

• P m

l (cos θ)P m l (cos θ′)

❆❞❞✐t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ν = −1 Qm−1/2(χ) = π √ sin θ sin θ′

∞

• l=|m|

(l − m)! (l + m)! r< r> l+1/2 P m

l (cos θ)P m l (cos θ′)

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✷ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ t❤❡ ✶st ❦✐♥❞✿ Tn(cos θ) = cos(nθ) 1 − xρ 1 + ρ2 − 2ρx =

∞

• n=0

Tn(x)ρn ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ t❤❡ ✷♥❞ ❦✐♥❞✿ Un(cos θ) = sin((n+1)θ)

sin θ

1 1 + ρ2 − 2ρx =

∞

• n=0

Un(x)ρn

• ❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

1 (1 + ρ2 − 2ρx)µ =

∞

• n=0

Cµ

n(x)ρn

❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s 2α+β R(1 − ρ + R)α(1 + ρ + R)β =

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)ρn ✇❤❡r❡ R =

• 1 + ρ2 − 2ρx✳

❙❤♦✉❧❞ ✇❡ st✉❞② t❤❡s❡❄

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✸ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

❚❤❡ ❛❧❣✳ ❢✉♥❝t✐♦♥s

• 1 + ρ2 − 2ρx, √z − x ❢r♦♠ ❣❡♦♠❡tr②

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts x, x′ ∈ Rd ✐♥ ❛ ♣✉r❡ ❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② x − x′ =

• r2 + r′2 − 2rr′ cos γ,

✭✶✮ ✇❤❡r❡ r = x, r′ = x′, ❛♥❞ cos γ = (x, x′) rr′ ✳ ■❢ ②♦✉ ❞❡✜♥❡ r≶ := min

max{r, r′}, t❤❡♥ ②♦✉ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ ✭✶✮ ❛s

x − x′ = r>

• 1 +

r< r> 2 − 2r< r> cos γ, ♦r ✇✐t❤ ρ := r< r> ✱ ❛♥❞ x := cos γ ✇❡ ❤❛✈❡ x − x′ = r>

• 1 + ρ2 − 2ρ cos γ,

✇❤❡r❡ ρ ∈ (0, 1)✳ ❚❤❡ ♦t❤❡r ♦♣t✐♦♥ ✐s✿ x − x′ = √ 2rr′√ z − x, ✇❤❡r❡ z = 1 + ρ2 2ρ ∈ (1, ∞)

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✹ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡ ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢

• ❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ Un(x) := C1

n(x)

❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❦✐♥❞ Tn(x) := 1 ǫn lim

µ→0

n + µ µ Cµ

n(x),

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

(z2 − 1)(ν−µ)/2−1/4 (z − x)ν = 2µ+1/2Γ(µ)eiπ(µ−ν+1/2) √π Γ(ν)

∞

• n=0

(n+µ)Qν−µ−1/2

n+µ−1/2(z)Cµ n(x)

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

(z2 − 1)ν/2−1/4 (z − x)ν =

• 2

π e−iπ(ν−1/2) Γ(ν)

∞

• n=0

ǫnTn(x)Qν−1/2

n−1/2(z)

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✺ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

❙✉♣❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r Cµ

n t❤r♦✉❣❤ ✈❛r✐♦✉s ❧✐♠✐t✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❍❡✐♥❡✬s ✐❞❡♥t✐t② ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛s µ → 0✳ Pr♦❞✉❝❡s ❛♥ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✐❞❡♥t✐t② ❢♦r ❈❤❡❜②s❤❡✈ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞✳ Pr♦❞✉❝❡s ❋♦✉r✐❡r ❛♥❞ ❤②♣❡rs♣❤❡r✐❝❛❧ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✇❡rs ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✳ ❚❤r♦✉❣❤ ❧✐♠✐t✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ♣r♦❞✉❝❡s ❋♦✉r✐❡r ❛♥❞

• ❡❣❡♥❜❛✉❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❢♦r ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢

t❤❡ ♣♦❧②❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ Pr♦❞✉❝❡s ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❢♦r (1 − x)µ ❛♥❞ ✭❝❢✳ ❙③♠②t❦♦✇s❦✐ ✭✷✵✶✶✮✮ ❢♦r (y − x)µ ✇❤❡r❡ x, y ∈ (−1, 1) ❛♥❞ y > x✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✻ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

❙✉♣❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r P (α,β)

n

(x)❄

❙✉♣❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡①♣❛♥❞✐♥❣ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s Cµ

n(x) ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ s❡t Cν n(x)

❚❤✐s ❡①♣❛♥s✐♦♥s ✐s ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛❡ ❢♦r ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇❤✐❝❤ ✐❧❧✉str❛t❡ ❤♦✇ ♦♥❡ ❡①♣❛♥❞s ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ♦♥❡ ✐♥❞❡① ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡✲s✉♠ ♦✈❡r t❤❡ s❛♠❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥❞❡①✳ ❖♥❡ ♠✉st ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤✐s ❡①♣❛♥s✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❢♦r

• ❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ 3F2

❤②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✉♥✐t ❛r❣✉♠❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ❣❛♠♠❛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✉s✐♥❣ ❲❛ts♦♥✬s ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ❈❤✉✬s ✭✷✵✶✶✮ r❡❝❡♥t ❡①t❡♥s✐♦♥✳

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✼ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

❚❤❡ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳ Cµ

n(x) :=

(2µ)n

• µ + 1

2

• n

P (µ−1/2,µ−1/2)

n

(x) ❘❡❧❡✈❛♥t ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(α + β + 1)n (β + 1)n ρn = 1 (1 + ρ)α+β+1 ×2F1 α + β + 1 2 , α + β + 2 2 ; β + 1; 2ρ(1 + x) (1 + ρ)2

• ❛♥❞ ✐ts ❝♦♠♣❛♥✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(α + β + 1)n (α + 1)n ρn = 1 (1 − ρ)α+β+1 ×2F1 α + β + 1 2 , α + β + 2 2 ; α + 1; −2ρ(1 − x) (1 − ρ)2

• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✽ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(α + β + 1)n (β + 1)n ρn =

• 2

ρ(1 + x) β/2 × Γ(β + 1) (1 + ρ2 − 2ρx)(α+1)/2 P −β

α

• 1 + ρ
• 1 + ρ2 − 2ρx
• ❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(α + β + 1)n (α + 1)n ρn =

• 2

ρ(1 − x) α/2 × Γ(α + 1) (1 + ρ2 − 2ρx)(β+1)/2 P−α

β

• 1 − ρ
• 1 + ρ2 − 2ρx
• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✸✾ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

❊①t❡♥s✐♦♥s

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(2n + α + β + 1)(α + β + 1)n (β + 1)n ρn = (α + β + 1)(1 − ρ) (1 + ρ)α+β+2 ×2F1 α + β + 2 2 , α + β + 3 2 ; β + 1; 2ρ(1 + x) (1 + ρ)2

• ❛♥❞ ✐ts ❝♦♠♣❛♥✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(2n + α + β + 1)(α + β + 1)n (α + 1)n ρn = (α + β + 1)(1 + ρ) (1 − ρ)α+β+2 ×2F1 α + β + 2 2 , α + β + 3 2 ; α + 1; −2ρ(1 − x) (1 − ρ)2

• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✵ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s

▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ❡①t❡♥s✐♦♥s

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❡①t❡♥s✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(2n + α + β + 1)(α + β + 1)n (β + 1)n ρn =

• 2

ρ(1 + x) β/2 ×(α + β + 1)(1 − ρ)Γ(β + 1) (1 + ρ2 − 2ρx)(α+2)/2 P −β

α+1

• 1 + ρ
• 1 + ρ2 − 2ρx
• ❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❡①t❡♥s✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(2n + α + β + 1)(α + β + 1)n (α + 1)n ρn =

• 2

ρ(1 − x) α/2 ×(α + β + 1)(1 + ρ)Γ(α + 1) (1 + ρ2 − 2ρx)(β+2)/2 P−α

β+1

• 1 − ρ
• 1 + ρ2 − 2ρx
• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✶ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❡①t❡♥s✐♦♥

❍②♣❡r❣❡♦♠❡tr✐❝ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(2n + α + β + 1)m (α + β + 1)n (β + 1)n ×2F1

• m, −m + 1; α + β + 2n + 2; −ρ

1 − ρ

• ρn

= (α + β + 1)m(1 − ρ)m (1 − ρ)α+β+m+1 ×2F1 α + β + m + 1 2 , α + β + m + 2 2 ; β + 1; 2ρ(1 + x) (1 + ρ)2

• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✷ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ❡①t❡♥s✐♦♥s ✰ ❏❛❝♦❜✐ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❆ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

∞

• n=0

P (α,β)

n

(x)(2n + α + β + 1)(α + β + m + 1)2n Γ(α + β + n + 1) Γ(β + n + 1) ×P −α−β−2n−1

−m

1 + ρ 1 − ρ

• =

ρ(α+1)/2(1 − ρ)m (1 + ρ2 − 2ρx)(α+m+1)/2

• 2

1 + x β/2 ×P −β

α+m

• 1 + ρ
• 1 + ρ2 − 2ρx
• ❆♥❞ ✐ts ❝♦♠♣❛♥✐♦♥s

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✸ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

∞

• k=0

k! (2α)k Cα

k (x)Cα k (y)ρk = 2F1

α 2 , α + 1 2 ; α + 1 2; 4(1 − x2)(1 − y2)ρ2 (1 + ρ2 − 2xyρ)2

• =

Γ

• α + 1

2

• √πΓ(α) (ρ sin θ sin φ)α Qα−1

1 + ρ2 − 2ρ cos θ cos φ 2ρ sin θ sin φ

• ❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮

❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✹ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

∞

• n=0

P (α−2n,β−2n)

2n

(x)ρn = 2F1 −α 2 , −α + 1 2 ; 1 2; ξ

• 2F1

−β 2 , −β + 1 2 ; 1 2; η

• −1

4αβ(1 − x2)ρ2F1 −α + 1 2 , −α + 2 2 ; 3 2; ξ

• 2F1

−β + 1 2 , −β + 2 2 ; 3 2; η

• = (1 − ξ)α/2(1 − η)β/2

4

• 1+√ξ

√1−ξ

α +

• 1+√ξ

√1−ξ

−α 1+√η

√1−η

β + 1+√η

√1−η

−β −ρ(1 − x2) 4√ξη

• 1+√ξ

√1−ξ

α −

• 1+√ξ

√1−ξ

−α 1+√η

√1−η

β − 1+√η

√1−η

−β ✇❤❡r❡ ξ = (1 + x)2ρ 4 , ❛♥❞ η = (1 − x)2ρ 4 .

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✺ ✴ ✹✽

• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❙✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s
• ❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

∞

• n=0

P (α−2n,β−2n)

2n+1

(x)ρn = (1 − ξ)(α+1)/2(1 − η)(β+1)/2 8√ξ (x − 1)

• 1+√ξ

√1−ξ

α +

• 1+√ξ

√1−ξ

−α × 1+√η

√1−η

β + 1+√η

√1−η

−β +(1 − ξ)(α+1)/2(1 − η)(β+1)/2 8√η (x + 1)

• 1+√ξ

√1−ξ

α −

• 1+√ξ

√1−ξ

−α × 1+√η

√1−η

β − 1+√η

√1−η

−β

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✻ ✴ ✹✽

❖♥❣♦✐♥❣ ■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s

❖♥❣♦✐♥❣ ■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s

❆ ✇❤♦❧❡ ❤♦st ♦❢ ♦t❤❡r ❏❛❝♦❜✐ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❋❡rr❡rs ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞✳ ▼✉❧t✐✲s✉♠♠❛t✐♦♥ ✭♣♦✇❡r✲❧❛✇ ❛♥❞ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝✮ ❛❞❞✐t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠s ❆♥❛❧②s✐s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦♥ ❤✐❣❤❧② s②♠♠❡tr✐❝ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞s

❍♦✇❛r❞ ❈♦❤❧ ✭◆■❙❚✮ ❋♦✉r✐❡r✱ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ❛♥❞ ❏❛❝♦❜✐ ❖❝t♦❜❡r ✷✺✱ ✷✵✶✶ ✹✼ ✴ ✹✽