r rr r t - - PowerPoint PPT Presentation

❆ ✉♥✐❢♦r♠ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥s

❊✛❡❝ts ✐♥ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ❚❛❧❧✐♥♥ ❉❡❝❡♠❜❡r ✷✵✵✼

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❲❤❛t ✐s ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧❄

❉❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ❂ ❝❛❧❧✲❝❝ ✰ ❛❜♦rt ✰ ❛ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❞❡❧✐♠✐t❡r ❏♦❤♥ss♦♥✱ ❏♦❤♥ss♦♥ ❛♥❞ ❉✉❣❣❛♥ ✶✾✽✼

• ▲✿ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✇✐t❤ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧

❋❡❧❧❡✐s❡♥ ✶✾✽✽ ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ♣r♦♠♣t ✭✇r✐tt❡♥ F ❛♥❞ #✮ ❉❛♥✈② ❛♥❞ ❋✐❧✐♥s❦✐ ✶✾✽✾ s❤✐❢t ❛♥❞ r❡s❡t ✭✇r✐tt❡♥ S ❛♥❞ ❴✮ ❋✐❧✐♥s❦✐ ✶✾✾✹ s❤✐❢t✴r❡s❡t ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❢♦r r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ♠♦♥❛❞s

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❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♥❣ ♠♦♥❛❞s

▲❡t (T, η, ∗) ❜❡ ❛ ❝♦♥❝r❡t❡ ♠♦♥❛❞ ✐♥ s♦♠❡ ❣✐✈❡♥ ❝❛❧❝✉❧✉s✳ ❖♥❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ ♠♦♥❛❞ ✐♥ ✏❞✐r❡❝t st②❧❡✑ ✐❢ ♦♥❡ ❤❛s ❼ ❛ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦♥str✉❝t♦r µ(t) : X ❢♦r t : T(X)✱ ❼ ❛ r❡✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥str✉❝t♦r [t] : T(X) ❢♦r t : X t❤❛t ❛❧❧♦✇ t♦ ❧♦❝❛❧❧② s✇✐t❝❤ t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ r✐❝❤❡r ♠♦♥❛❞✐❝ str✉❝t✉r❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❢♦r t❤❡ st❛t❡ ♠♦♥❛❞ ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❡①❝❡♣t✐♦♥ ♠♦♥❛❞✿ T(X) S → X × S T(X) A + exn η(x) λs.(x, s) η(x) inl x f ∗ λx.λs.let (x′, s′) = x s in f x′ s′ f ∗ λx.case x of inl y → f y | inr z → inr z t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ µ ❛♥❞ [ ] ❛❧❧♦✇s t♦ ❞❡✜♥❡✿ read () µ(λs.(s, s)) : unit → S raise x µ(inr x) write s µ(λ❴.((), s)) : S → unit try t with z → u case [t] of inl y → y | inr z → u ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋✐❧✐♥s❦✐✮ ●✐✈❡♥ η ❛♥❞ ∗✱ µ ❛♥❞ [ ] ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❢r♦♠ S ❛♥❞ ✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✭❋✐❧✐♥s❦✐✮ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✇✐t❤ s❤✐❢t✴r❡s❡t ❝❛♥ s✐♠✉❧❛t❡ ❛❧❧ ♠♦♥❛❞✐❝ ❡✛❡❝ts ✐♥ ❞✐r❡❝t st②❧❡✳

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▲❡t✬s ♥♦✇ ❢♦❝✉s ♦♥ ♣✉r❡ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧✳✳✳

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❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ t❛❧❦

❆ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♥tr♦❧✿ λµt♣✲❝❛❧❝✉❧✉s ✭t♣ ❛ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t✮ ❆ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧✿ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s ✭ t♣ ❛ ❞②♥❛♠✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡✮ ✲ ❈❇❱ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s ≃ s❤✐❢t✴r❡s❡t ❝❛❧❝✉❧✉s ֒ → ❝♦♠♣❧❡t❡ ❢♦r r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ s②♥t❛❝t✐❝ ♠♦♥❛❞s ✭❡①❝❡♣t✐♦♥s✱ r❡❢❡r❡♥❝❡s✱ ✳✳✳✮ ✲ ❈❇◆ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s ≃ ❞❡ ●r♦♦t❡ ❛♥❞ ❙❛✉r✐♥✬s λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s ֒ → ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥❛❧❧② ✭❇ö❤♠✮ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✲ ❚❤❡ t✇♦ ✏❧❛③②✑ ✈❛r✐❛♥ts ♦❢ ❈❇◆ ❛♥❞ ❈❇❱

✺

❚❤❡ ✇❡❛❦♥❡ss❡s ♦❢ ❋❡❧❧❡✐s❡♥ ❡t ❛❧✬s λC✲❝❛❧❝✉❧✉s

✲ ❝❛♥♥♦t ❢❛✐t❤❢✉❧❧② ❡①♣r❡ss t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❝❛❧❧❝❝ ✲ ❝❛♥♥♦t ❢❛✐t❤❢✉❧❧② ❡①♣r❡ss ✐ts ♦✇♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ s❡♠❛♥t✐❝s ✲ ♠❛② ✐♥tr♦❞✉❝❡ s♣❛❝❡ ❧❡❛❦s ✐♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ֒ → ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ ❞✉❡ t♦ r❡✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❝♦♥t❡①ts ❛s ♦r❞✐♥❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥s E[C(λk... k t ...)] ւ ց . . . (λx.E[x]) t . . . . . . E[t] . . .

• s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

r❡✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t❡①t

• (str✉❝t✉r❛❧ s✉❜st✐t✉t✐♦♥)

(λC − st②❧❡) (λµ − st②❧❡)

✻

❚❤❡ ✇❡❛❦♥❡ss ♦❢ ♣✉r❡ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s

P❛r✐❣♦t✬s λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❝❛♥♥♦t ❡①♣r❡ss abort✱ ❤❡♥❝❡ ♥♦t t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❝❛❧❧❝❝ ❡✐t❤❡r✳✳✳ ❛ ❞❡♥♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t♦♣❧❡✈❡❧ ✐s ♠✐ss✐♥❣✳

✼

❚❤❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ t♦♣❧❡✈❡❧ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❡①♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❝❛❧❧❝❝

★ ❧❡t ② ❂ ❝❛❧❧❝❝ ✭❢✉♥ ❦ ✲❃ ❢✉♥ ① ✲❃ t❤r♦✇ ❦ ✭❢✉♥ ② ✲❃ ①✰②✮✮❀❀ ✈❛❧ ② ✿ ✐♥t ✲❃ ✐♥t ❂ ❁❢✉♥❃ ★ ② ✸❀❀ ✈❛❧ ② ✿ ✐♥t ✲❃ ✐♥t ❂ ❁❢✉♥❃ ✭✯ ✦✦✦✦ ✯✮ ❚❤❡ r❡❛s♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ y ✐s ✏♣r✐♥t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ y✑✳ ▲❡t✬s ❝❛❧❧ ✐t k0✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ y ✐s ❢✉♥ ① ✲❃ t❤r♦✇ k0 ✭❢✉♥ ② ✲❃ ①✰②✮✳ ❲❤❡♥ y ✐s ❛♣♣❧✐❡❞✱ t❤r♦✇ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥❞ ✐t r❡t✉r♥s t♦ k0✳ ❲❡ ❝❛♥♥♦t ❡①♣r❡ss t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ callcc ✇✐t❤♦✉t r❡❢❡rr✐♥❣ t♦ t❤❡ t♦♣❧❡✈❡❧ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✳ ❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧❧②✱ t❤✐s s❡♠❛♥t✐❝s ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❛❜♦rt✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r A ✇❤✐❝❤ ✐ts❡❧❢ ❤✐❞❡s ❛ ❝❛❧❧ t♦ t❤❡ t♦♣❧❡✈❡❧ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✳ E[callcc(λk.M)] → E[M[λx.A(E[x])/k]]

✽

❆ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♥tr♦❧✿ λµt♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

t ::= V | t t | µα.c ✭t❡r♠s✮ c ::= [β]t | [t♣]t ✭❝♦♠♠❛♥❞s ♦r st❛t❡s✮ V ::= x | λx.t ✭✈❛❧✉❡s✮ λµt♣✲❝❛❧❝✉❧✉s s❛t✐s✜❡s✿ ✲ ❋❛✐t❤❢✉❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❛❧❧❝❝✱ A✱ C✱ ✳✳✳ ✲ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ λC ✭❜✉t ♥♦t ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✮ ✲ ❙t❛♥❞❛r❞ ❡①♣❡❝t❡❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✲ ■♥t❡r♥❛❧ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ λµt♣✲❝❛❧❝✉❧✉s s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♠♦st ❣❡♥❡r❛❧ t②♣❡ ❢♦r C ✐s ♥♦t ¬¬A → A ❜✉t ((A → B) → T) → A ✇❤❡r❡ T ✐s t❤❡ t♦♣❧❡✈❡❧ t②♣❡✳

✾

❆ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧✿ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

t ::= V | t t | µα.c | µ t♣.c ✭t❡r♠s✮ c ::= [β]t | [ t♣]t ✭❝♦♠♠❛♥❞s ♦r st❛t❡s✮ V ::= x | λx.t ✭✈❛❧✉❡s✮ ❚❤❡ ♥❡✇ ♦♣❡r❛t♦r µ t♣.c ❞❡❧✐♠✐ts ❛ ❧♦❝❛❧ t♦♣❧❡✈❡❧✿ ✐t ❜✐♥❞s t♣ ❞②♥❛♠✐❝❛❧❧② ✭ t♣ ✐s ♥♦t r❡♥❛♠❡❞ ✇❤❡♥ s✉❜st✐t✉t❡❞ ❜❡❧♦✇ ❛ µ t♣✮✳

✶✵

❊①♣r❡ss✐✈❡♥❡ss ♦❢ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

t µ t♣.[ t♣]t A t µ❴.[ t♣]t S(λk.t) µα.[ t♣](t[λx.µ t♣.[α]x/k]) C(λk.t) µα.[ t♣](t[λx.µ❴.[α]x/k]) callcc(λk.t) µα.[α](t[λx.µ❴.[α]x/k]) raise t µ❴.[ t♣]t try t with ♣❛tt❡r♥s ❝❛s❡ µ t♣.[ t♣](❱❛❧ t) ♦❢ | ❱❛❧ x ⇒ x | ♣❛tt❡r♥s | x ⇒ µ❴.[ t♣]x µ(t) µα.[ t♣]((λx.µ t♣.[α]x)∗ t) [t] µ t♣.[ t♣](η t) read λ().µα.[ t♣]λs.((µ t♣.[α]s) s) write λs.µα.[ t♣]λ❴.((µ t♣.[α]()) s)

✶✶

▲❡t✬s ❢♦❝✉s ♦♥ ❝❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥❛❧ ✭❇ö❤♠✮ ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ✐♥ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s✳✳✳

✶✷

❋❛✐❧✉r❡ ♦❢ s❡♣❛r❛❜✐❧✐t② ✐♥ ❝❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s

❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s②♥t❛① ♦❢ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ t ::= x | λx.t | t t | µα.c c ::= [α]t ❊①t❡♥❞✐♥❣ t❤❡ ❝❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ s❡♠❛♥t✐❝s ✇✐t❤ η r✉❧❡s✿ (β) (λx.t) u → t[u/x] (η) λx.(t x) → t ✐❢ x ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥ t (µapp) (µα.c) u → µα.c[[α]( u))/α] (µvar) [β]µα.c → c[β/α] (ηµ) µα.[α]t → t ✐❢ α ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥ t ❉❛✈✐❞✲P② ❬✷✵✵✶❪✿ ❚❤❡r❡ ❡①✐st t✇♦ ❝❧♦s❡❞ t❡r♠s W0 ❛♥❞ W1 ✐♥ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ❡q✉❛❧ ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t✐❡s β✱ η✱ µapp✱ µvar ❛♥❞ ηµ ❜✉t ✇❤♦s❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✐s ♥♦t s❡♣❛r❛❜❧❡✳

✶✸

❙✉❝❝❡ss ♦❢ s❡♣❛r❛❜✐❧✐t② ✐♥ ❙❛✉r✐♥✬s λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s

❆ s❧✐❣❤t❧② ❞✐✛❡r❡♥t✱ ❛♣♣❛r❡♥t❧② ✐♥♦✛❡♥s✐✈❡✱ s②♥t❛① ✭♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❢r♦♠ ❞❡ ●r♦♦t❡✮✿ t ::= x | λx.t | t t | µα.t | [β]t ❚❤❡ s❛♠❡ ✭❛♣♣❛r❡♥t✮ r❡❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s✿ (β) (λx.t) u → t[u/x] (η) λx.(t x) → t ✐❢ x ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥ t (µapp) (µα.t) u → µα.t[[α]( u))/α] (µvar) [β]µα.t → t[β/α] (ηµ) µα.[α]t → t ✐❢ α ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥ t ❇✉t ❛ ♠❛❥♦r ❞✐✛❡r❡♥❝❡✿ t [β]µα.u → t (u[β/α])✳ ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t r✐❞ ♦❢ µ ✇❤❛t ✇❛s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✭✐♥❞❡❡❞ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐s ❡✈❡♥ ♥♦t ❡①♣r❡ss✐❜❧❡✮✳ ❙❛✉r✐♥ ❬✷✵✵✺❪✿ ❚❤❡ ♠♦❞✐✜❡❞ s②♥t❛① ♦❢ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✇✐t❤ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t✐❡s β✱ η✱ µapp✱ µvar ❛♥❞ ηµ ❤❛s t❤❡ ❇ö❤♠ s❡♣❛r❛❜✐❧✐t② ♣r♦♣❡rt②✳

✶✹

❋r♦♠ ❙❛✉r✐♥✬s λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s t♦ ❝❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

■♥ ❙❛✉r✐♥✬s ❝❛❧❝✉❧✉s✱ t❤❡ s②♥t❛❝t✐❝ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❡r♠s ❛♥❞ ❝♦♠♠❛♥❞s ✐s ❧♦st✱ ♠❛❦✐♥❣ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ✐t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ✭❡✳❣✳ ✐♥ ❛♥ ❛❜str❛❝t ♠❛❝❤✐♥❡✱ ✐✳❡✳ ✐♥ λµ˜ µ✲❝❛❧❝✉❧✉s✮✳ ❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s µ t♣ ❛♥❞ [ t♣] ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦✈❡❞ t♦ ❜❡ ❛❞❡q✉❛t❡ ❝♦❡r❝✐♦♥s ❢r♦♠ ❙❛✉r✐♥✬s ❝❛❧❝✉❧✉s t♦ ❛ ❝❛❧❝✉❧✉s ✇❡❧❧✲s✉✐t❡❞ ❢♦r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✳ ▼❛❝r♦✲❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❙❛✉r✐♥✬s ❝❛❧❝✉❧✉s ♦♥ t♦♣ ♦❢ λµ t♣ µα.t µα.[ t♣]t [α]t µ t♣.[α]t ■t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❞❡ ●r♦♦t❡ ❛♥❞ ❙❛✉r✐♥✬s λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛ ❝❛❧❝✉❧✉s ♦❢ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❝❛❧❧✲❜②✲ ♥❛♠❡ λµ t♣✳

✶✺

❈❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

(β) (λx.t) u → t[u/x] (η) λx.(t x) → t ✐❢ x ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥ t (µapp) (µα.c) u → µα.c[[α]( u))/α] (µn

var) [β]µα.c

→ c[β/α] β = t♣ (ηµ) µα.[α]t → t ✐❢ α ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥ t ( µvar) [ t♣]µ t♣.c → c (η

µ)

µ t♣.[ t♣]t → t ❡✈❡♥ ✐❢ t♣ ♦❝❝✉rs ✐♥ t ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ t = u ✐♥ ❙❛✉r✐♥✬s λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✐✛ t = u ✐♥ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s✳ ❈♦r♦❧❧❛r② λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥❛❧❧② ❝♦♠♣❧❡t❡ ♦♥ ✜♥✐t❡ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠s✳

✶✻

❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

✭t✇♦ ♥❡✇ ❝❛❧❝✉❧✐✮ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❛✐r ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ (λx.t) (µα.c) ւ ✭❈❇❱✮ s✉❜s✐❞✐❛r② ❝❤♦✐❝❡ (λx.t) (µ t♣.c)

✭ µ ♥♦t ✈❛❧✉❡✮ ւ

ց ✭

µ ✈❛❧✉❡✮

shift/❧❛③② reset shift/reset ✭❙❛❜r②✮ ✭❉❛♥✈②✲❋✐❧✐♥s❦✐✮

❝♣s✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❙❛❜r②✮ ❝♣s✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❑❛♠❡②❛♠❛✲❍❛s❡❣❛✇❛✮ t②♣❡❞ ✏❞♦♠❛✐♥✑✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❙✐t❛r❛♠✲❋❡❧❧❡✐s❡♥✮ ✭❈❇◆✮ ց

s✉❜s✐❞✐❛r② ❝❤♦✐❝❡ [ t♣]µα.c

✭ t♣ ❝♦✲✈❛❧✉❡✮ ւ

ց ✭

t♣ ♥♦t ❝♦✲✈❛❧✉❡✮

❈❇◆ s❤✐❢t✴r❡s❡t Λµ ✭❉❛♥✈②✮ ✭❞❡ ●r♦♦t❡✴❙❛✉r✐♥✮

❇ö❤♠✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❙❛✉r✐♥✮

✶✼

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❞✉❛❧✐t② ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇

❙②♥t❛① ♦❢ λµ˜ µ t♣ t ::= V | µα.c | µ t♣.c ✭t❡r♠s✮ V ::= x | λx.t ✭✈❛❧✉❡s✮ E ::= K | ˜ µx.c | t♣ ✭❡✈✳ ❝♦♥t❡①ts✮ K ::= α | t · E | ✭❧✐♥❡❛r ❡✈✳ ❝♦♥t❡①ts✮ c ::= t| |E ✭❝♦♠♠❛♥❞s✮ ❇❛s✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ λµ˜ µ t♣ (µ) µα.c| |E → c[E/α] (˜ µ) t| |˜ µx.c → c[t/x] (→) λx.t| |t′ · E → t′| |˜ µx.t| |E (µ t♣) µ t♣.c| | t♣ → c

✶✽

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❞✉❛❧✐t② ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇

❙②♥t❛① ♦❢ λµ˜ µ t♣ ✇✐t❤ λµ✲♥♦t❛t✐♦♥s t ::= V | µα.c | µ t♣.c ✭t❡r♠s✮ V ::= x | λx.t ✭✈❛❧✉❡s✮ E[ ] ::= K[ ] | let x = [ ] in c | [ t♣]([ ]) ✭❡✈✳ ❝♦♥t❡①ts✮ K[ ] ::= [α]([ ]) | E[[ ] t] ✭❧✐♥❡❛r ❡✈✳ ❝♦♥t❡①ts✮ c ::= E[t] ✭❝♦♠♠❛♥❞s✮ ❇❛s✐❝ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ λµ˜ µ t♣ ✇✐t❤ λµ✲♥♦t❛t✐♦♥s (µ) [q](E[µα.c]) → c[[q](E[ ])/α] (˜ µ) let x = t in c → c[t/x] (→) E[(λx.t) t′] → E[let x = t′ in t] (µ t♣) [ t♣]µ t♣.c → c

✶✾

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❞✉❛❧✐t② ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇

✭t✇♦ ♥❡✇ ❝❛❧❝✉❧✐✮ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❛✐r ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ µα.c| |˜ µx.c′ ւ ✭❈❇❱✮ s✉❜s✐❞✐❛r② ❝❤♦✐❝❡ µ t♣.c| |˜ µx.c′

✭µ t♣ ♥♦t ✈❛❧✉❡✮ ւ

ց ✭µ

t♣ ✈❛❧✉❡✮

shift/❧❛③② reset shift/reset ✭❙❛❜r②✮ ✭❉❛♥✈②✲❋✐❧✐♥s❦✐✮

❝♣s✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❙❛❜r②✮ ❝♣s✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❑❛♠❡②❛♠❛✲❍❛s❡❣❛✇❛✮ t②♣❡❞ ✏❞♦♠❛✐♥✑✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❙✐t❛r❛♠✲❋❡❧❧❡✐s❡♥✮ ✭❈❇◆✮ ց

s✉❜s✐❞✐❛r② ❝❤♦✐❝❡ µα.c| |t1 · . . . · tn · t♣

✭ t♣ ✏❧✐♥❡❛r✑✮ ւ

ց ✭

t♣ ♥♦t ✏❧✐♥❡❛r✑✮

❈❇◆ s❤✐❢t✴r❡s❡t Λµ ✭❉❛♥✈②✮ ✭❞❡ ●r♦♦t❡✴❙❛✉r✐♥✮

❇ö❤♠✲❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✭❙❛✉r✐♥✮

✷✵

❙✐♠♣❧❡ t②♣✐♥❣ ✇✐t❤ ❡✛❡❝ts ♦❢ ❝❛❧❧✲❜②✲✈❛❧✉❡ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

X ∈ ❚②♣❡❈♦♥st❛♥ts A, B, T, U ::= X | A → BT

U

Γ ::= · | Γ, x : A ∆ ::= · | ∆, α : AT Γ, x : A ⊢ x:AT; ∆; t♣:T Γ, x : A ⊢ M :BU; ∆; t♣:T Γ ⊢ λx.M :(A → BT

U)T ′; ∆;

t♣:T ′ Γ ⊢M :(A →BT1

U2)U1; ∆;

t♣:T2 Γ ⊢N :AT1; ∆; t♣:U1 Γ ⊢ MN :BU2; ∆; t♣:T2 Γ ⊢ c: ⊥ ⊥; ∆, α : AU; t♣:T Γ ⊢ µα.c:AU; ∆; t♣:T Γ ⊢ c: ⊥ ⊥; ∆; t♣:A Γ ⊢ µ t♣.c:AT; ∆; t♣:T Γ ⊢ M :AU; ∆, α : AU; t♣:T Γ ⊢ [α]M : ⊥ ⊥; ∆, α : AU; t♣:T Γ ⊢ M :UU; ∆; t♣:T Γ ⊢ [ t♣]M : ⊥ ⊥; ∆; t♣:T

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λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s ❛♥❞ t②♣❡s

❚❤❡r❡ ❛r❡ s❡✈❡r❛❧ ♣♦ss✐❜❧❡ s②st❡♠s ♦❢ s✐♠♣❧❡ t②♣❡s ❛♥❞ t❤❡② ❛❧❧ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ t♦♣❧❡✈❡❧ t②♣❡✱ s❛② T✳ ❚❤❡② ❛ss✐❣♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t②♣❡s t♦ ♦♣❡r❛t♦rs✿ t : T → T A t : T → A S(λk.t) : ((A → T) → T) → A C(λk.t) : ((A → B) → T) → A callcc(λk.t) : ((A → B) → A) → A ❆ ❈✉rr②✲❍♦✇❛r❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❤♦❧❞s ✐❢ t❤❡ t♦♣❧❡✈❡❧ t②♣❡ T ✐s t❛❦❡♥ t♦ ❜❡ ⊥✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❣❡t t②♣❡s ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ✇✐t❤ ●r✐✣♥✬s s❡♠✐♥❛❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❬✶✾✾✵❪ ♦♥ ❈✉rr②✲❍♦✇❛r❞ ❢♦r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝✳ t : ⊥ → ⊥ ✭♥♦ ❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥t❡♥t✮ A t : ⊥ → A ✭❡① ❢❛❧s♦ q✉♦❞❧✐❜❡t✮ S(λk.t) : ((A → ⊥) → ⊥) → A ✭❞♦✉❜❧❡ ♥❡❣❛t✐♦♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✮ C(λk.t) : ((A → B) → ⊥) → A ✭❛♥ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ✐t ✐s ❞♦✉❜❧❡ ♥❡❣❛t✐♦♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✮ callcc(λk.t) : ((A → B) → A) → A ✭P❡✐r❝❡✬s ❧❛✇✮

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❙✐♠♣❧❡ t②♣✐♥❣ ✇✐t❤ ❡✛❡❝ts ♦❢ ❝❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ λµ t♣✲❝❛❧❝✉❧✉s

X ∈ ❚②♣❡❈♦♥st❛♥ts A, B ::= X | AΣ → B Γ ::= ∅ | Γ, x : AΣ ∆ ::= ∅ | ∆, α : A Σ, Ξ ::= ⊥ | A · Σ Γ, x : AΣ ⊢Σ x:A; ∆ Γ, x : AΣ ⊢Ξ M :B; ∆ Γ ⊢Ξ λx.M :(AΣ → B); ∆ Γ ⊢Ξ M :(AΣ → B); ∆ Γ ⊢Σ N :A; ∆ Γ ⊢Ξ M N :B; ∆ Γ ⊢Σ c: ⊥ ⊥; ∆, α:A Γ ⊢Σ µα.c:A; ∆ Γ ⊢A·Σ c: ⊥ ⊥; ∆ Γ ⊢Σ µ t♣.c:A; ∆ Γ ⊢Σ M :A; ∆, α : A Γ ⊢Σ [α]M : ⊥ ⊥; ∆, α : A Γ ⊢Σ M :A; ∆ Γ ⊢A·Σ [ t♣]M : ⊥ ⊥; ∆

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❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❬✶❪ ❩❡♥❛ ▼✳ ❆r✐♦❧❛ ❛♥❞ ❍✉❣♦ ❍❡r❜❡❧✐♥✳ ❈♦♥tr♦❧ ❘❡❞✉❝t✐♦♥ ❚❤❡♦r✐❡s✿ ❚❤❡ ❇❡♥❡✜t ♦❢ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✷✵✵✼✳ ❚♦ ❛♣♣❡❛r✳ ❬✷❪ ❩❡♥❛ ▼✳ ❆r✐♦❧❛✱ ❍✉❣♦ ❍❡r❜❡❧✐♥ ❛♥❞ ❆♠r ❙❛❜r②✳ ❆ t②♣❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ♦❢ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥s✳ ■♥ ❍✐❣❤❡r✲❖r❞❡r ❛♥❞ ❙②♠❜♦❧✐❝ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥✱ ✷✵✵✼✳ ❚♦ ❛♣♣❡❛r✳ ❬✸❪ ❖❧✐✈✐❡r ❉❛♥✈② ❛♥❞ ❆♥❞r③❡❥ ❋✐❧✐♥s❦✐✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛❜str❛❝t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡❞ ❝♦♥t❡①ts✳ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❘❡♣♦rt ✽✾✴✶✷✱ ❉■❑❯✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈♦♣❡♥❤❛❣❡♥✱ ❈♦♣❡♥❤❛❣❡♥✱ ❉❡♥♠❛r❦✱ ❆✉❣✉st ✶✾✽✾✳ ❬✹❪ ▼❛tt❤✐❛s ❋❡❧❧❡✐s❡♥✱ ❉❛♥✐❡❧ P✳ ❋r✐❡❞♠❛♥✱ ❊✉❣❡♥❡ ❑♦❤❧❜❡❝❦❡r ❛♥❞ ❇r✉❝❡ ❋✳ ❉✉❜❛✳ ❘❡❛s♦♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❝♦♥t✐♥✉❛✲ t✐♦♥s✳ ❋✐rst s②♠♣♦s✐✉♠ ♦♥ ❧♦❣✐❝ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡r s❝✐❡♥❝❡✱ ♣❛❣❡s ✶✸✶✕✶✹✶✱ ✶✾✽✻✳ ❬✺❪ ❆♥❞r③❡❥ ❋✐❧✐♥s❦✐✳ ❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ♠♦♥❛❞s✳ ■♥ ❈♦♥❢✳ ❘❡❝♦r❞ ✷✶st ❆❈▼ ❙■●P▲❆◆✲❙■●❆❈❚ ❙②♠♣✳ ♦♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡s ♦❢ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ✭P❖P▲ ✬✾✹✮✱ P♦rt❧❛♥❞✱ ❖❘✱ ❯❙❆✱ ♣❛❣❡s ✹✹✻✕✹✺✼✳ ❏❛♥✉❛r② ✶✾✾✹✳ ❬✻❪ ❍✉❣♦ ❍❡r❜❡❧✐♥✱ ❙✐❧✈✐❛ ●❤✐❧❡③❛♥✱ ❆♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❝❛❧❧✲❜②✲♥❛♠❡ ❞❡❧✐♠✐t❡❞ ❝♦♥tr♦❧✳✳ ■♥ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ Pr✐♥❝✐♣❧❡s ♦❢ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ▲❛♥❣✉❛❣❡s ✭P❖P▲ ✬✵✽✮✳ ❏❛♥✉❛r② ✶✾✽✽✳ ❬✼❪ ▼✐❝❤❡❧ P❛r✐❣♦t✳ ▲❛♠❜❞❛✲♠✉✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❆♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥✳ ■♥ ▲♦❣✐❝ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛♥❞ ❆✉t♦♠❛t❡❞ ❘❡❛s♦♥✐♥❣✿ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢✳ ▲P❆❘ ✬✾✷ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s✱ ♣❛❣❡s ✶✾✵✕✷✵✶✱ ✶✾✾✷✳ ❬✽❪ ❆♠r ❙❛❜r②✳ ◆♦t❡ ♦♥ ❛①✐♦♠❛t✐③✐♥❣ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❘❡♣♦rt ❈■❙✲❚❘✲✾✻✲✵✸✱ ❉❡♣t ♦❢ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❙❝✐❡♥❝❡✱ ❯♥✐✈✳ ♦❢ ❖r❡❣♦♥✱ ✶✾✾✻✳ ❬✾❪ ❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥✳ ❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ str❡❛♠s ✐♥ t❤❡ λµ✲❝❛❧❝✉❧✉s✳ ■♥ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s✱ ✷✵t❤ ❆♥♥✉❛❧ ■❊❊❊ ❙②♠♣♦s✐✉♠ ♦♥ ▲♦❣✐❝ ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ✭▲■❈❙ ✬✵✺✮✱ ♣❛❣❡s ✸✺✻✕✸✻✺✳ ■❊❊❊ ❈♦♠♣✉t❡r ❙♦❝✐❡t② Pr❡ss✱ ✷✵✵✺✳

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