r r Prtrts r - PowerPoint PPT Presentation

❙✉♣❡r ❙✐♥❣✉❧❛r P❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ❢♦r ◆♦♥✲❙❡♠✐❜♦✉♥❞❡❞ ❙❡❧❢✲❆❞❥♦✐♥t ❖♣❡r❛t♦rs ❈❤r✐st♦♣❤ ◆❡✉♥❡r ❙t♦❝❦❤♦❧♠s ❯♥✐✈❡rs✐t❡t✱ ❙✇❡❞❡♥ ❲❡✐❤♥❛❝❤ts❦♦❧❧♦q✉✐✉♠ ✭❖❚■◆❉✮ ❚❯ ❱✐❡♥♥❛ ✷✵✶✻

❖✈❡r✈✐❡✇ ●❡♥❡r❛❧✿ ●♦❛❧ ✫ ❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts ❋❡❛t✉r❡ ✭■✮✿ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❋❡❛t✉r❡✭■■✮✿ ❑r❡✐♥✬s ❢♦r♠✉❧❛ ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❆♥♥❡♠❛r✐❡ ▲✉❣❡r ❛♥❞ P❛✈❡❧ ❑✉r❛s♦✈

●♦❛❧ ▲❡t ◮ A = A ∗ ✐♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ H ✱ ♥♦♥✲s❡♠✐❜♦✉♥❞❡❞ ❀ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝❛s❡ σ ( A ) = R ◮ ❧❡t ϕ ∈ H − n ( A ) ❢♦r n ≥ ✸ ✭✧s✉♣❡r s✐♥❣✉❧❛r✧✮ ❆✐♠✿ ●✐✈❡ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠❛❧ s✉♠ A α := A + α � ϕ, ·� ϕ α ∈ R ∪ {∞} ✐♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♠♦❞❡❧

❙♦♠❡ t❡❝❤♥✐❝❛❧✐t✐❡s✿ ❙❝❛❧❡ ♦❢ ❍✐❧❜❡rt ❙♣❛❝❡s ❉❡✜♥❡ ◮ H ✵ ( A ) := H ✇✐t❤ ♥♦r♠ � · � ✵ ◮ H ✷ ( A ) := ❞♦♠ A ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♥♦r♠ � · � ✷ := � ( | A | + ✶ ) · � ✵ ❀ ( H ✷ ( A ) , � · � ✷ ) ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ◮ s✐♠✐❧❛r❧②✿ H n ( A ) ✇✐t❤ ♥♦r♠ � · � n := � ( | A | + ✶ ) n / ✷ · � ✵ ❢♦r n ≥ ✵ ◮ H − n ( A ) := H n ( A ) ∗ ❢♦r ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥❞✐❝❡s✱ ✇✐t❤ s✐♠✐❧❛r ♥♦r♠ · · · ⊇ H − n ⊇ · · · ⊇ H − ✷ ⊇ H − ✶ ⊇ H ✵ ⊇ H ✶ ⊇ H ✷ ⊇ · · · ⊇ H n ⊇ · · · ❖r✐❣✐♥❛❧❧②✱ ( A − z ) : H ✷ → H ✵ ❛♥❞ ( A − z ) − ✶ : H ✵ → H ✷ ❀ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ s❝❛❧❡ s✳t✳✿ ( A − z ) : H n → H n − ✷ ❛♥❞ ( A − z ) − ✶ : H n → H n + ✷ ❢♦r n ∈ Z

❙♦♠❡ t❡❝❤♥✐❝❛❧✐t✐❡s✿ ❙❝❛❧❡ ♦❢ ❍✐❧❜❡rt ❙♣❛❝❡s ❉❡✜♥❡ ◮ H ✵ ( A ) := H ✇✐t❤ ♥♦r♠ � · � ✵ ◮ H ✷ ( A ) := ❞♦♠ A ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♥♦r♠ � · � ✷ := � ( | A | + ✶ ) · � ✵ ❀ ( H ✷ ( A ) , � · � ✷ ) ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ◮ s✐♠✐❧❛r❧②✿ H n ( A ) ✇✐t❤ ♥♦r♠ � · � n := � ( | A | + ✶ ) n / ✷ · � ✵ ❢♦r n ≥ ✵ ◮ H − n ( A ) := H n ( A ) ∗ ❢♦r ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥❞✐❝❡s✱ ✇✐t❤ s✐♠✐❧❛r ♥♦r♠ · · · ⊇ H − n ⊇ · · · ⊇ H − ✷ ⊇ H − ✶ ⊇ H ✵ ⊇ H ✶ ⊇ H ✷ ⊇ · · · ⊇ H n ⊇ · · · ❖r✐❣✐♥❛❧❧②✱ ( A − z ) : H ✷ → H ✵ ❛♥❞ ( A − z ) − ✶ : H ✵ → H ✷ ❀ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ s❝❛❧❡ s✳t✳✿ ( A − z ) : H n → H n − ✷ ❛♥❞ ( A − z ) − ✶ : H n → H n + ✷ ❢♦r n ∈ Z

❙♦♠❡ t❡❝❤♥✐❝❛❧✐t✐❡s✿ ❙❝❛❧❡ ♦❢ ❍✐❧❜❡rt ❙♣❛❝❡s ❉❡✜♥❡ ◮ H ✵ ( A ) := H ✇✐t❤ ♥♦r♠ � · � ✵ ◮ H ✷ ( A ) := ❞♦♠ A ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♥♦r♠ � · � ✷ := � ( | A | + ✶ ) · � ✵ ❀ ( H ✷ ( A ) , � · � ✷ ) ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ◮ s✐♠✐❧❛r❧②✿ H n ( A ) ✇✐t❤ ♥♦r♠ � · � n := � ( | A | + ✶ ) n / ✷ · � ✵ ❢♦r n ≥ ✵ ◮ H − n ( A ) := H n ( A ) ∗ ❢♦r ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥❞✐❝❡s✱ ✇✐t❤ s✐♠✐❧❛r ♥♦r♠ · · · ⊇ H − n ⊇ · · · ⊇ H − ✷ ⊇ H − ✶ ⊇ H ✵ ⊇ H ✶ ⊇ H ✷ ⊇ · · · ⊇ H n ⊇ · · · ❖r✐❣✐♥❛❧❧②✱ ( A − z ) : H ✷ → H ✵ ❛♥❞ ( A − z ) − ✶ : H ✵ → H ✷ ❀ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ s❝❛❧❡ s✳t✳✿ ( A − z ) : H n → H n − ✷ ❛♥❞ ( A − z ) − ✶ : H n → H n + ✷ ❢♦r n ∈ Z

❙♦♠❡ ❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts ❢♦r A α = A + α � ϕ, ·� ϕ ◮ ϕ ∈ H ✱ A ❜♦✉♥❞❡❞ ❀ ❞❡s❝r✐❜❡ r❡s♦❧✈❡♥ts ✐♥ r❡❢❡r❡♥❝❡ t♦ A = A ✵ ( A α − z ) − ✶ = ( A − z ) − ✶ − � ( A − z ) − ✶ ϕ, ·� ( A − z ) − ✶ ϕ q ( z ) − ✶ α q ( z ) = � ϕ, ( A − z ) − ✶ ϕ � ✭◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ str❛✐❣❤❢♦r✇❛r❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✦ ✧✐♥✜♥✐t❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✧✿ α → ∞ ✭❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥✮ ◮ ϕ ❛t ♠♦st ❢r♦♠ H − ✷ ✭✧s✐♥❣✉❧❛r✧✮ ❀ ❞❡✜♥❡ ❛ s②♠♠❡tr② ✧ S := A | ϕ ⊥ ✧✱ ❝❧♦s❡❞✱ ❞❡♥s❡❧② ❞❡✜♥❡❞✱ ❞❡❢❡❝t ( ✶ , ✶ ) ❀ ❞❡❢❡❝t ❡❧❡♠❡♥t ϕ z ✱ Q ✲❢✉♥❝t✐♦♥ Q ( z ) ❢r♦♠ Q ( z ) − Q ( z ✵ ) = � ϕ z ✵ , ϕ z � z − z ✵ ❛❧❧ s✳❛✳ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ S ❛r❡ ♣❛r❛♠❡tr✐③❡❞ ❜② ❑r❡✐♥✬s ❢♦r♠✉❧❛ ( A τ − z ) − ✶ = ( A − z ) − ✶ − � ( A − z ) − ✶ ϕ, ·� ( A − z ) − ✶ ϕ Q ( z ) + ✶ τ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ τ ❛♥❞ α ✿ ❡①♣❧✐❝✐t ♦♥❧② ❢♦r ϕ ∈ H − ✶ ✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ( A α ) α ∈ R ∪{∞} = ( A τ ) τ ∈ R ∪{∞} ❛s ❢❛♠✐❧✐❡s

❙♦♠❡ ❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts ❢♦r A α = A + α � ϕ, ·� ϕ ◮ ϕ ∈ H ✱ A ❜♦✉♥❞❡❞ ❀ ❞❡s❝r✐❜❡ r❡s♦❧✈❡♥ts ✐♥ r❡❢❡r❡♥❝❡ t♦ A = A ✵ ( A α − z ) − ✶ = ( A − z ) − ✶ − � ( A − z ) − ✶ ϕ, ·� ( A − z ) − ✶ ϕ q ( z ) − ✶ α q ( z ) = � ϕ, ( A − z ) − ✶ ϕ � ✭◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ str❛✐❣❤❢♦r✇❛r❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✦ ✧✐♥✜♥✐t❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✧✿ α → ∞ ✭❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥✮ ◮ ϕ ❛t ♠♦st ❢r♦♠ H − ✷ ✭✧s✐♥❣✉❧❛r✧✮ ❀ ❞❡✜♥❡ ❛ s②♠♠❡tr② ✧ S := A | ϕ ⊥ ✧✱ ❝❧♦s❡❞✱ ❞❡♥s❡❧② ❞❡✜♥❡❞✱ ❞❡❢❡❝t ( ✶ , ✶ ) ❀ ❞❡❢❡❝t ❡❧❡♠❡♥t ϕ z ✱ Q ✲❢✉♥❝t✐♦♥ Q ( z ) ❢r♦♠ Q ( z ) − Q ( z ✵ ) = � ϕ z ✵ , ϕ z � z − z ✵ ❛❧❧ s✳❛✳ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ S ❛r❡ ♣❛r❛♠❡tr✐③❡❞ ❜② ❑r❡✐♥✬s ❢♦r♠✉❧❛ ( A τ − z ) − ✶ = ( A − z ) − ✶ − � ( A − z ) − ✶ ϕ, ·� ( A − z ) − ✶ ϕ Q ( z ) + ✶ τ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ τ ❛♥❞ α ✿ ❡①♣❧✐❝✐t ♦♥❧② ❢♦r ϕ ∈ H − ✶ ✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ( A α ) α ∈ R ∪{∞} = ( A τ ) τ ∈ R ∪{∞} ❛s ❢❛♠✐❧✐❡s

❙♦♠❡ ❑♥♦✇♥ ❘❡s✉❧ts ■■ ϕ ∈ H − n ❢♦r n ≥ ✸ ✭✧s✉♣❡r s✐♥❣✉❧❛r✧✮ ❛♥❞ A s❡♠✐❜♦✉♥❞❡❞✱ ✐✳❡✳✱ ✐♥❢ σ ( A ) > −∞ s❡✈❡r❛❧ ♠♦❞❡❧s t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡s❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s✱ ❡✳❣✳✿ ◮ ❉✐❥❦s♠❛✱ ❙❤♦♥❞✐♥ ❀ ✐♥ P♦♥tr②❛❣✐♥ s♣❛❝❡ ◮ ❑✉r❛s♦✈ ❀ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✦ ■♥❣r❡❞✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♠♦❞❡❧✿ ◮ µ ✶ , . . . , µ n − ✷ , µ ∈ R ✱ ❞✐st✐♥❝t✱ t♦ t❤❡ ❧❡❢t ♦❢ t❤❡ σ ( A ) ◮ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ b ( z ) = � n − ✷ i = ✶ ( z − µ i ) ❀ b ( z ) > ✵ ♦♥ σ ( A ) ◮ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① M = ❞✐❛❣ ( µ ✶ , . . . , µ n − ✷ ) ◮ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts a i ❢r♦♠ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❢r❛❝t✐♦♥ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ b ( z ) − ✶ ◮ ❡❧❡♠❡♥ts g ( µ i ) := ( A − µ i ) − ✶ ϕ ∈ H − n + ✷ ◮ ♦♥❡ ✈❡r② r❡❣✉❧❛r ❡❧❡♠❡♥t G ( µ ) := ( A − µ ) − ✶ � n − ✷ i = ✶ ( A − µ i ) − ✶ ϕ ∈ H n − ✷ ◮ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ s✳❛✳ ♠❛tr✐① Γ s✉❝❤ t❤❛t Γ M = M Γ