r qts trst r - - PowerPoint PPT Presentation

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r qts trst r - - PowerPoint PPT Presentation

Dec 02, 2023 107 likes •1.36k views

r qts trst r rtr tttrt r qts

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SLIDE 1

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SLIDE 2

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  • ✐✈❡♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U = V ✱ ✇❤❡r❡ U, V ∈ (Σ ∪ X)∗❀

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SLIDE 3

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  • ✐✈❡♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U = V ✱ ✇❤❡r❡ U, V ∈ (Σ ∪ X)∗❀

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SLIDE 4

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  • ✐✈❡♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U = V ✱ ✇❤❡r❡ U, V ∈ (Σ ∪ X)∗❀

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  • ✐✈❡♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U = V ✱ ✇❤❡r❡ U, V ∈ (Σ ∪ X)∗❀

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SLIDE 6

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  • ✐✈❡♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U = V ✱ ✇❤❡r❡ U, V ∈ (Σ ∪ X)∗❀

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SLIDE 7

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SLIDE 8

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SLIDE 10

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SLIDE 17

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SLIDE 18

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❈❤❡❝❦✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ♦❢ t✇♦ ❡①♣❧✐❝✐t ✇♦r❞s

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SLIDE 19

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s✿ ❡①♣❧✐❝✐t ✇♦r❞

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❘❡q✉✐r❡✿ t✇♦ ✇♦r❞s u, v t♦ ❜❡ t❡st❡❞ ❢♦r ❡q✉❛❧✐t②

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SLIDE 20

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SLIDE 24

P❛✐r ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ♦♥ ✇♦r❞ ❡q✉❛t✐♦♥

■♥ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ✇♦r❞ S(U) ♦r S(V )✿ ♣❛✐r ✐s ❢r♦♠ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ❖❑✱ ✇❡ r❡♣❧❛❝❡ ✐t ✐t ✐s ❢r♦♠ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❢♦r ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡✿ ❖❑✱ s♦❧✉t✐♦♥ ❝❤❛♥❣❡s ♣❛rt✐❛❧❧② ❤❡r❡ ❛♥❞ t❤❡r❡✿ ❥✉st ♣♦♣ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠❛t✐❝ ❧❡tt❡r ♦✉t

P❛✐r❈♦♠♣r❡ss✐♦♥

✶✿ ❢♦r X ∈ X ❞♦ ✷✿

❧❡t b✿ ✜rst ❧❡tt❡r ♦❢ S(X) ⊲ ●✉❡ss

✸✿

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✹✿

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✺✿

✐❢ S(X) = ǫ t❤❡♥ ⊲ ●✉❡ss

✻✿

r❡♠♦✈❡ X ❢r♦♠ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

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❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✻ ✴ ✸✺

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SLIDE 25

❇❧♦❝❦ ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥

❇❧♦❝❦❈♦♠♣r❡ss✐♦♥

✶✿ ❢♦r X ∈ X ❞♦ ✷✿

❧❡t S(X) = aℓwbr ⊲ ●✉❡ss

✸✿

r❡♣❧❛❝❡ X ✇✐t❤ aℓXbr

✹✿

✐❢ S(X) = ǫ t❤❡♥ ⊲ ●✉❡ss

✺✿

r❡♠♦✈❡ X ❢r♦♠ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

✻✿ ♣❡r❢♦r♠ ❜❧♦❝❦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ♦♥ s✐❞❡s ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✼ ✴ ✸✺

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SLIDE 26

❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠

✶✿ ✇❤✐❧❡ s✐❞❡s ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r❡ ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❞♦ ✷✿

Σ ← ❧❡tt❡rs ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

✸✿

♣❡r❢♦r♠ Σ✲❜❧♦❝❦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

✹✿

✇❤✐❧❡ s♦♠❡ ♣❛✐r ✐♥ Σ✷ ✇❛s ♥♦t ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❞♦

✺✿

❣✉❡ss ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ Σ t♦ (Σℓ, Σr) ⊲ ■♠♣♦rt❛♥t

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♣❡r❢♦r♠ (Σℓ, Σr) ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❆ ♣❤❛s❡ ✐s ♦♥❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ ❧♦♦♣

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 27

❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠

✶✿ ✇❤✐❧❡ s✐❞❡s ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r❡ ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ ❞♦ ✷✿

Σ ← ❧❡tt❡rs ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

✸✿

♣❡r❢♦r♠ Σ✲❜❧♦❝❦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

✹✿

✇❤✐❧❡ s♦♠❡ ♣❛✐r ✐♥ Σ✷ ✇❛s ♥♦t ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❞♦

✺✿

❣✉❡ss ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ Σ t♦ (Σℓ, Σr) ⊲ ■♠♣♦rt❛♥t

✻✿

♣❡r❢♦r♠ (Σℓ, Σr) ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❆ ♣❤❛s❡ ✐s ♦♥❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ ❧♦♦♣

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SLIDE 28

◆♦t❡s ♦♥ ❛♥❛❧②s✐s

❆ ♥♦♥❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s✿ s♦✉♥❞ tr❛♥s❢♦r♠s s❛t✐s✜❛❜❧❡ t♦ s❛t✐s✜❛❜❧❡✱ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ ❝❤♦✐❝❡s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣✐✈❡♥ ❛ s❛t✐s✜❛❜❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ✐t tr❛♥s❢♦r♠s ✐t t♦ ❛ s❛t✐s✜❛❜❧❡ ♦♥❡ ■♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✇❡ ❝❛♥ ❛♥❛❧②s❡ ♦♥❧② ✏❣♦♦❞ ❝❤♦✐❝❡s✑✿ ✐❢ ✇❡ ❡①❝❡❡❞ t❤❡ s♣❛❝❡ t❤❡♥ ✇❡ r❡❥❡❝t✳

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SLIDE 29

◆♦t❡s ♦♥ ❛♥❛❧②s✐s

❆ ♥♦♥❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s✿ s♦✉♥❞ tr❛♥s❢♦r♠s s❛t✐s✜❛❜❧❡ t♦ s❛t✐s✜❛❜❧❡✱ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ ❝❤♦✐❝❡s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣✐✈❡♥ ❛ s❛t✐s✜❛❜❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ✐t tr❛♥s❢♦r♠s ✐t t♦ ❛ s❛t✐s✜❛❜❧❡ ♦♥❡ ■♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✇❡ ❝❛♥ ❛♥❛❧②s❡ ♦♥❧② ✏❣♦♦❞ ❝❤♦✐❝❡s✑✿ ✐❢ ✇❡ ❡①❝❡❡❞ t❤❡ s♣❛❝❡ t❤❡♥ ✇❡ r❡❥❡❝t✳

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SLIDE 30

❙♦❧✉t✐♦♥s

❙♦❧✉t✐♦♥

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  • ✐✈❡♥

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■❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ♦✈❡r Σ ❂ ❧❡tt❡rs ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ▼❛♣ ❛❧❧ ❧❡tt❡rs ♦✉ts✐❞❡ Σ t♦ ❛ ✜①❡❞ ♦♥❡ ✐♥ Σ✳ ❉♦♥❡ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✳ ❚❤❡♥ st✐❝❦ ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥✳

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  • ✐✈❡♥

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SLIDE 32

❙♦❧✉t✐♦♥s

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■❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ♦✈❡r Σ ❂ ❧❡tt❡rs ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ▼❛♣ ❛❧❧ ❧❡tt❡rs ♦✉ts✐❞❡ Σ t♦ ❛ ✜①❡❞ ♦♥❡ ✐♥ Σ✳ ❉♦♥❡ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✳ ❚❤❡♥ st✐❝❦ ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥✳

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SLIDE 33

❙♦❧✉t✐♦♥s

❙♦❧✉t✐♦♥

■❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ♦✈❡r Σ ❂ ❧❡tt❡rs ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ▼❛♣ ❛❧❧ ❧❡tt❡rs ♦✉ts✐❞❡ Σ t♦ ❛ ✜①❡❞ ♦♥❡ ✐♥ Σ✳ ❉♦♥❡ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✳ ❚❤❡♥ st✐❝❦ ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥✳

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SLIDE 34

P❛✐r ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥✿ ❝♦rr❡❝t♥❡ss

▲❡♠♠❛

P❛✐r❈♦♠♠♣r❡ss✐♦♥ ✐s s♦✉♥❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡✳ ❚♦ ❜❡ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡✿ ■❢ ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t❤❡♥ ❛❢t❡r P❛✐r❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦♥❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❝❤♦✐❝❡s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② r❡♠♦✈✐♥❣ ♣♦♣♣❡❞ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ♦♥ ✳

Pr♦♦❢✳

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SLIDE 35

P❛✐r ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥✿ ❝♦rr❡❝t♥❡ss

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P❛✐r❈♦♠♠♣r❡ss✐♦♥ ✐s s♦✉♥❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡✳ ❚♦ ❜❡ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡✿ ■❢ U = V ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ S t❤❡♥ ❛❢t❡r P❛✐r❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦♥❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❝❤♦✐❝❡s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② r❡♠♦✈✐♥❣ ♣♦♣♣❡❞ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ S(X) ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ♦♥ S(X)✳

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SLIDE 36

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Pr♦♦❢✳

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SLIDE 37

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❙❤♦rt❡♥✐♥❣ ♣r♦♣❡rt②

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❋♦r S ♦✈❡r Σ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝❤♦✐❝❡s ❛❢t❡r ♦♥❡ ♣❤❛s❡ ❛♠♦♥❣ ❡❛❝❤ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ❧❡tt❡rs ✐♥ S(U) ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳

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❙♣❛❝❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✿ ✐♥✐t✐❛❧ ♥♦t❡s

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▲♦♥❣ ❜❧♦❝❦s ❛r❡ ❛ ♣r♦❜❧❡♠❀ ❛ ✜① ✐s ❛❧r❡❛❞② ❦♥♦✇♥✿ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❣✉❡ss ❡①♣❧✐❝✐t ❧❡♥❣t❤s✱ r❛t❤❡r ❞❡♥♦t❡ t❤❡♠ ❛s ✐♥t❡❣❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❜❧♦❝❦s❀ ❧❡♥❣t❤s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤♦s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ s❛♠❡ ❧❡♥❣t❤s✿ ❡q✉❛❧✐t✐❡s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✈❡r✐❢② t❤❡ s②st❡♠ ♦❢ s✉❝❤ ✐♥t❡❣❡r✲❡q✉❛t✐♦♥s ❝♦♠♣r❡ss

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❇❧♦❝❦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ s♣❛❝❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ st♦r❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥✳

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❙♣❛❝❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✿ ✐♥✐t✐❛❧ ♥♦t❡s

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▲♦♥❣ ❜❧♦❝❦s ❛r❡ ❛ ♣r♦❜❧❡♠❀ ❛ ✜① ✐s ❛❧r❡❛❞② ❦♥♦✇♥✿ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❣✉❡ss ❡①♣❧✐❝✐t ❧❡♥❣t❤s✱ r❛t❤❡r ❞❡♥♦t❡ t❤❡♠ ❛s ✐♥t❡❣❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❜❧♦❝❦s❀ ❧❡♥❣t❤s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤♦s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ s❛♠❡ ❧❡♥❣t❤s✿ ❡q✉❛❧✐t✐❡s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✈❡r✐❢② t❤❡ s②st❡♠ ♦❢ s✉❝❤ ✐♥t❡❣❡r✲❡q✉❛t✐♦♥s ❝♦♠♣r❡ss

▲❡♠♠❛

❇❧♦❝❦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ s♣❛❝❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ st♦r❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥✳

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❙♣❛❝❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✿ ✐♥✐t✐❛❧ ♥♦t❡s

❍✉✛♠❛♥ ❝♦❞✐♥❣

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❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ✐♥t❡r✈❛❧

❋♦r ❛ ❧❡tt❡r ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐t ❞❡♣❡♥❞s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ✐♥t❡r✈❛❧✮

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❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ✐♥t❡r✈❛❧

❋♦r ❛ ❧❡tt❡r ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐t ❞❡♣❡♥❞s✳

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❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ✐♥t❡r✈❛❧

❋♦r ❛ ❧❡tt❡r ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐t ❞❡♣❡♥❞s✳

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❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✻ ✴ ✸✺

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❉❡♣✐♥ts✿ ✐❞❡❛

❉❡♣✐♥ts

❛ss✐❣♥ t♦ ❡❛❝❤ ❧❡tt❡r ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ UV [D] ❧❡tt❡rs ✇✐t❤ t❤✐s ❢r❛❣♠❡♥t ❛ss✐❣♥❡❞ ❛r❡ ♥✉♠❜❡r❡❞ ✶, ✷, . . . , k ✇❡ ❛ss✐❣♥ t♦ t❤❡♠ ❝♦❞❡s UV [D]#✶, UV [D]#✷, . . . , UV [D]#k ❢♦r♠❛❧❧② ♥♦t ❡♥❝♦❞✐♥❣✿ ❛ss✐❣♥s ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❞❡s t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❧❡tt❡r ♥❡✈❡r ❛ss✐❣♥s t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❧❡tt❡rs ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❍✉✛♠❛♥ ❝♦❞✐♥❣❀ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✐ts ❜✐t✲s✐③❡

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❉❡♣✐♥ts✿ ✐❞❡❛

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❛ss✐❣♥ t♦ ❡❛❝❤ ❧❡tt❡r ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ UV [D] ❧❡tt❡rs ✇✐t❤ t❤✐s ❢r❛❣♠❡♥t ❛ss✐❣♥❡❞ ❛r❡ ♥✉♠❜❡r❡❞ ✶, ✷, . . . , k ✇❡ ❛ss✐❣♥ t♦ t❤❡♠ ❝♦❞❡s UV [D]#✶, UV [D]#✷, . . . , UV [D]#k ❢♦r♠❛❧❧② ♥♦t ❡♥❝♦❞✐♥❣✿ ❛ss✐❣♥s ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❞❡s t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❧❡tt❡r ♥❡✈❡r ❛ss✐❣♥s t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❧❡tt❡rs ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❍✉✛♠❛♥ ❝♦❞✐♥❣❀ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✐ts ❜✐t✲s✐③❡

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❉❡♣✐♥ts✿ ✐❞❡❛

❉❡♣✐♥ts

❛ss✐❣♥ t♦ ❡❛❝❤ ❧❡tt❡r ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ UV [D] ❧❡tt❡rs ✇✐t❤ t❤✐s ❢r❛❣♠❡♥t ❛ss✐❣♥❡❞ ❛r❡ ♥✉♠❜❡r❡❞ ✶, ✷, . . . , k ✇❡ ❛ss✐❣♥ t♦ t❤❡♠ ❝♦❞❡s UV [D]#✶, UV [D]#✷, . . . , UV [D]#k ❢♦r♠❛❧❧② ♥♦t ❡♥❝♦❞✐♥❣✿ ❛ss✐❣♥s ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❞❡s t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❧❡tt❡r ♥❡✈❡r ❛ss✐❣♥s t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❧❡tt❡rs ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❍✉✛♠❛♥ ❝♦❞✐♥❣❀ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✐ts ❜✐t✲s✐③❡

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✼ ✴ ✸✺

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SLIDE 50

❍♦✇ ❛r❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ❢❛❝t♦rs ❞❡✜♥❡❞

❞❡♣(j) ❢♦r j✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❧②✿ ❞❡♣(UV [i]) = {i} s❤♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❝♦♠♣r❡ss❡❞ str✐♥❣s✿ ✇❤❡♥ ✇❡ ❝♦♠♣r❡ss ✐♥s✐❞❡ ✇✐t❤ ❞❡♣✐♥ts

✶ ✷

t❤❡♥ ❡❛❝❤ ❣❡ts ❛ ❞❡♣✐♥t

✶ ✷

✳ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥✿ ✇✐t❤ ❞❡♣

✶ ❛♥❞

❞❡♣ ✶

✷ ❣❡ts ❛ ❞❡♣✐♥t ✶ ✷

s②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r ✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 51

❍♦✇ ❛r❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ❢❛❝t♦rs ❞❡✜♥❡❞

❞❡♣(j) ❢♦r j✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❧②✿ ❞❡♣(UV [i]) = {i} s❤♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❝♦♠♣r❡ss❡❞ str✐♥❣s✿ ✇❤❡♥ ✇❡ ❝♦♠♣r❡ss aℓ ✐♥s✐❞❡ baℓc ✇✐t❤ ❞❡♣✐♥ts Db, D✶, D✷, . . . , Dℓ, Dc t❤❡♥ ❡❛❝❤ a ❣❡ts ❛ ❞❡♣✐♥t Db ∪ D✶ ∪ D✷ ∪ · · · ∪ Dℓ ∪ Dc✳ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥✿ ✇✐t❤ ❞❡♣

✶ ❛♥❞

❞❡♣ ✶

✷ ❣❡ts ❛ ❞❡♣✐♥t ✶ ✷

s②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r ✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 52

❍♦✇ ❛r❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ❢❛❝t♦rs ❞❡✜♥❡❞

❞❡♣(j) ❢♦r j✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❧②✿ ❞❡♣(UV [i]) = {i} s❤♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❝♦♠♣r❡ss❡❞ str✐♥❣s✿ ✇❤❡♥ ✇❡ ❝♦♠♣r❡ss aℓ ✐♥s✐❞❡ baℓc ✇✐t❤ ❞❡♣✐♥ts Db, D✶, D✷, . . . , Dℓ, Dc t❤❡♥ ❡❛❝❤ a ❣❡ts ❛ ❞❡♣✐♥t Db ∪ D✶ ∪ D✷ ∪ · · · ∪ Dℓ ∪ Dc✳ (Σℓ, Σr) ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥✿ a = UV [i] ∈ Σℓ ✇✐t❤ ❞❡♣(i) = D✶ ❛♥❞ ❞❡♣(i + ✶) = D✷ ❣❡ts ❛ ❞❡♣✐♥t D✶ ∪ D✷ s②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r Σr✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 53

❈r✉❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❋♦r ❛ ❞❡♣✐♥t D ❝❛❧❧ P♦s(D) = {i | ❞❡♣(i) = D} ✭✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥✮ [i, j] ≤ [i′, j′] ⇐ ⇒ i ≤ i′ ❛♥❞ j ≤ j′ ✭❉✶✮ P♦s ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✭✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥✮✳ ✭❉✷✮ ❋♦r t❤❛t ❤❛✈❡ s②♠❜♦❧s ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❡✐t❤❡r✿ ♦r ✳ ✭❉✸✮ ■❢ t❤❡♥ P♦s P♦s ✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✾ ✴ ✸✺

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SLIDE 54

❈r✉❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❋♦r ❛ ❞❡♣✐♥t D ❝❛❧❧ P♦s(D) = {i | ❞❡♣(i) = D} ✭✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥✮ [i, j] ≤ [i′, j′] ⇐ ⇒ i ≤ i′ ❛♥❞ j ≤ j′ ✭❉✶✮ P♦s(D) ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✭✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥✮✳ ✭❉✷✮ ❋♦r D, D′ t❤❛t ❤❛✈❡ s②♠❜♦❧s ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❡✐t❤❡r✿ D ≤ D′ ♦r D ≥ D′✳ ✭❉✸✮ ■❢ D ∼ D′ t❤❡♥ UV [P♦s(D)] = UV [P♦s(D′)]✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✶✾ ✴ ✸✺

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SLIDE 55

❉✉❛❧ ✈✐❡✇

P♦s⊇(D) = {j | ❞❡♣(j) ⊇ D} P♦s⊆(D) = {j | ❞❡♣(j) ⊆ D} ❲❡ ❢♦❝✉s ♦♥ P♦s⊇(D)✳

▲❡♠♠❛

P♦s ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳

Pr♦♦❢✳

❲❡ ♣r♦✈❡ ✐t t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❉✶✕❉✸✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❡❛s② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❡①❝❡♣t ❉✸✿ P♦s P♦s ✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠♣❧❡ ✇✐t❤ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ t❤r♦✉❣❤ P♦s

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✵ ✴ ✸✺

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❉✉❛❧ ✈✐❡✇

P♦s⊇(D) = {j | ❞❡♣(j) ⊇ D} P♦s⊆(D) = {j | ❞❡♣(j) ⊆ D} ❲❡ ❢♦❝✉s ♦♥ P♦s⊇(D)✳

▲❡♠♠❛

P♦s⊇(D) ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳

Pr♦♦❢✳

❲❡ ♣r♦✈❡ ✐t t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❉✶✕❉✸✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❡❛s② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❡①❝❡♣t ❉✸✿ P♦s P♦s ✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠♣❧❡ ✇✐t❤ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ t❤r♦✉❣❤ P♦s

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❉✉❛❧ ✈✐❡✇

P♦s⊇(D) = {j | ❞❡♣(j) ⊇ D} P♦s⊆(D) = {j | ❞❡♣(j) ⊆ D} ❲❡ ❢♦❝✉s ♦♥ P♦s⊇(D)✳

▲❡♠♠❛

P♦s⊇(D) ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳

Pr♦♦❢✳

❲❡ ♣r♦✈❡ ✐t t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❉✶✕❉✸✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❡❛s② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❡①❝❡♣t ❉✸✿ D ∼ D′ ⇒ UV [P♦s(D)] = UV [P♦s(D′)]✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠♣❧❡ ✇✐t❤ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ t❤r♦✉❣❤ P♦s⊆(D)

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✵ ✴ ✸✺

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SLIDE 58

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

✐♥t❡r✈❛❧s✿ ✇❡ ♦♥❧② ❧♦♦s❡ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ❜♦t❤ ❡♥❞s ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ❣❛✐♥ ❢r♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥s✐❞❡✿ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉ts✐❞❡✿ ✭♣r♦♦❢ ❜② ❡①❛♠♣❧❡✮ ❞❡♣

✶ ✐s ❧❡❢t✲♠♦st ✇✐t❤ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ❛♥❞ ✐♥

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s♦♠❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥✲❡①❝❧✉s✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

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SLIDE 59

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

✐♥t❡r✈❛❧s✿ ✇❡ ♦♥❧② ❧♦♦s❡ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ❜♦t❤ ❡♥❞s ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ❣❛✐♥ ❢r♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥s✐❞❡✿ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉ts✐❞❡✿ ✭♣r♦♦❢ ❜② ❡①❛♠♣❧❡✮ ❞❡♣

✶ ✐s ❧❡❢t✲♠♦st ✇✐t❤ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ❛♥❞ ✐♥

✐ts ❞❡♣✐♥t ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ✇❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❝❛r❡ ❛❜♦✉t ✐t ✐t ✇♦r❦s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r

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SLIDE 60

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

✐♥t❡r✈❛❧s✿ ✇❡ ♦♥❧② ❧♦♦s❡ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ❜♦t❤ ❡♥❞s ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ❣❛✐♥ ❢r♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥s✐❞❡✿ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉ts✐❞❡✿ ✭♣r♦♦❢ ❜② ❡①❛♠♣❧❡✮ ❞❡♣

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SLIDE 61

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

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SLIDE 62

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

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SLIDE 63

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

◮ ✐♥t❡r✈❛❧s✿ ✇❡ ♦♥❧② ❧♦♦s❡ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ❜♦t❤ ❡♥❞s ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ❣❛✐♥ ❢r♦♠

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◮ ✐♥s✐❞❡✿ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ◮ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉ts✐❞❡✿ ✭♣r♦♦❢ ❜② ❡①❛♠♣❧❡✮

❞❡♣(a) ∈ D′ ⊆ D✶ ✐s ❧❡❢t✲♠♦st ✇✐t❤ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ❛♥❞ ✐♥ Σr ✐ts ❞❡♣✐♥t ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ⇒ ✇❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❝❛r❡ ❛❜♦✉t ✐t ✐t ✇♦r❦s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r D✷✳

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SLIDE 64

Pr♦♦❢✖❝t❞✳

Pr♦♦❢✳

❋✐① ❞❡♣✐♥t D ∼ D′❀ ❝♦♥s✐❞❡r P♦s⊆(D) ❛♥❞ P♦s⊆(D′) ❈❧❛✐♠✿ ❚❤♦s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡tt❡rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♣✐♥ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r✳ ■♥❞✉❝t✐♦♥✿

◮ ✐♥t❡r✈❛❧s✿ ✇❡ ♦♥❧② ❧♦♦s❡ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ❜♦t❤ ❡♥❞s ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ❣❛✐♥ ❢r♦♠

✈❛r✐❛❜❧❡s

◮ ✐♥s✐❞❡✿ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ◮ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉ts✐❞❡✿ ✭♣r♦♦❢ ❜② ❡①❛♠♣❧❡✮

❞❡♣(a) ∈ D′ ⊆ D✶ ✐s ❧❡❢t✲♠♦st ✇✐t❤ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ❛♥❞ ✐♥ Σr ✐ts ❞❡♣✐♥t ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ⇒ ✇❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❝❛r❡ ❛❜♦✉t ✐t ✐t ✇♦r❦s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r D✷✳

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❊♥❝♦❞✐♥❣

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❊♥❝♦❞✐♥❣✮

❋✐① ❞❡♣✐♥t D✱ ❡♥❝♦❞❡ ❧❡tt❡rs ✇✐t❤ t❤✐s ❞❡♣✐♥t ❛s U✵V✵[D]#✶#, U✵V✵[D]#✷#, . . . i ✐♥ ❜✐♥❛r② U✵V✵[D] ❛s ✐♥ t❤❡ ✐♥♣✉t ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r D ∼ D′ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r♠❛❧❧② ♥♦t ❡♥❝♦❞✐♥❣✿ ❛ss✐❣♥s ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❞❡s t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❧❡tt❡r ♥❡✈❡r ❛ss✐❣♥s t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❧❡tt❡rs ✐s ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❍✉✛♠❛♥ ❝♦❞✐♥❣ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✐ts ❜✐t✲s✐③❡

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❊♥❝♦❞✐♥❣

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❋✐① ❞❡♣✐♥t D✱ ❡♥❝♦❞❡ ❧❡tt❡rs ✇✐t❤ t❤✐s ❞❡♣✐♥t ❛s U✵V✵[D]#✶#, U✵V✵[D]#✷#, . . . i ✐♥ ❜✐♥❛r② U✵V✵[D] ❛s ✐♥ t❤❡ ✐♥♣✉t ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r D ∼ D′ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r♠❛❧❧② ♥♦t ❡♥❝♦❞✐♥❣✿ ❛ss✐❣♥s ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❞❡s t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❧❡tt❡r ♥❡✈❡r ❛ss✐❣♥s t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❧❡tt❡rs ✐s ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❍✉✛♠❛♥ ❝♦❞✐♥❣ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✐ts ❜✐t✲s✐③❡

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❊♥s✉r❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♣♦♣s O(✶) ❧❡tt❡rs ♣❡r ♣❤❛s❡ ❡❛❝❤ P♦s⊇(D) ❡①♣❛♥❞s ❜② O(✶) ♣♦s✐t✐♦♥s ♣❡r ♣❤❛s❡ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t P♦s ✶ ✿ ♦❧❞ P♦s ❧♦♦s❡s ✶ ✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ✭❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✮ ✷ ✸ ❜♦✉♥❞ ✸ ❚❤❡ s♣❛❝❡ ✐s ❧✐♥❡❛r ♦❝❝✉rs ✸ t✐♠❡s ✐♥ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts ❧❡tt❡r ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥♣✉t ♦❝❝✉rs ✸ t✐♠❡s ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣s ❡❛❝❤ ❞❡♣✐♥t ❤❛s ❧❡♥❣t❤ ✸❝ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❛r❡ ❝♦♥st❛♥t✲❧❡♥❣t❤ ▼❛❦❡ t❤✐s ✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

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❊♥s✉r❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♣♦♣s O(✶) ❧❡tt❡rs ♣❡r ♣❤❛s❡ ❡❛❝❤ P♦s⊇(D) ❡①♣❛♥❞s ❜② O(✶) ♣♦s✐t✐♦♥s ♣❡r ♣❤❛s❡ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t |P♦s⊇(D)| = O(✶) ✿ ♦❧❞ P♦s⊇(D) ❧♦♦s❡s ✶/✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ✭❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✮ k′ ≤ ✷ ✸k + c ⇒ ❜♦✉♥❞ ✸c ❚❤❡ s♣❛❝❡ ✐s ❧✐♥❡❛r ♦❝❝✉rs ✸ t✐♠❡s ✐♥ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts ❧❡tt❡r ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥♣✉t ♦❝❝✉rs ✸ t✐♠❡s ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣s ❡❛❝❤ ❞❡♣✐♥t ❤❛s ❧❡♥❣t❤ ✸❝ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❛r❡ ❝♦♥st❛♥t✲❧❡♥❣t❤ ▼❛❦❡ t❤✐s ✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

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❊♥s✉r❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♣♦♣s O(✶) ❧❡tt❡rs ♣❡r ♣❤❛s❡ ❡❛❝❤ P♦s⊇(D) ❡①♣❛♥❞s ❜② O(✶) ♣♦s✐t✐♦♥s ♣❡r ♣❤❛s❡ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t |P♦s⊇(D)| = O(✶) ✿ ♦❧❞ P♦s⊇(D) ❧♦♦s❡s ✶/✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ✭❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✮ k′ ≤ ✷ ✸k + c ⇒ ❜♦✉♥❞ ✸c ❚❤❡ s♣❛❝❡ ✐s ❧✐♥❡❛r i ♦❝❝✉rs ✸c t✐♠❡s ✐♥ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts ⇒ ❧❡tt❡r ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥♣✉t ♦❝❝✉rs ✸c t✐♠❡s ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣s ❡❛❝❤ ❞❡♣✐♥t ❤❛s ❧❡♥❣t❤ ≤ ✸❝ ⇒ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❛r❡ ❝♦♥st❛♥t✲❧❡♥❣t❤ ▼❛❦❡ t❤✐s ✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

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❊♥s✉r❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♣♦♣s O(✶) ❧❡tt❡rs ♣❡r ♣❤❛s❡ ❡❛❝❤ P♦s⊇(D) ❡①♣❛♥❞s ❜② O(✶) ♣♦s✐t✐♦♥s ♣❡r ♣❤❛s❡ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t |P♦s⊇(D)| = O(✶) ✿ ♦❧❞ P♦s⊇(D) ❧♦♦s❡s ✶/✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ✭❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✮ k′ ≤ ✷ ✸k + c ⇒ ❜♦✉♥❞ ✸c ❚❤❡ s♣❛❝❡ ✐s ❧✐♥❡❛r i ♦❝❝✉rs ✸c t✐♠❡s ✐♥ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts ⇒ ❧❡tt❡r ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥♣✉t ♦❝❝✉rs ✸c t✐♠❡s ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣s ❡❛❝❤ ❞❡♣✐♥t ❤❛s ❧❡♥❣t❤ ≤ ✸❝ ⇒ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❛r❡ ❝♦♥st❛♥t✲❧❡♥❣t❤ ▼❛❦❡ t❤✐s ✐♥ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

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SLIDE 76

❇❧♦❝❦✐♥❣

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SLIDE 77

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SLIDE 78

❙tr❛t❡❣②

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  • X∈X

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nX +

  • X∈X

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nX

  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

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✶ +

  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

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SLIDE 79

❙tr❛t❡❣②

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  • X∈X

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nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX

  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

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  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

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SLIDE 80

❙tr❛t❡❣② ❡①✐sts

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  • X∈X

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nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX ❆ r❛♥❞♦♠ ♣❛rt✐t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤✐s s✉♠ ❜② ✶✴✷✿ ♦r ♦r ♥♦ ✐s ❧❡❢t✲❜❧♦❝❦❡❞ ♦r ♥♦ ✶ ✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❧❡❢t✲♣♦♣♣❡❞ ✶ ✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 81

❙tr❛t❡❣② ❡①✐sts

Pr♦♦❢✳

  • X∈X

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX ❆ r❛♥❞♦♠ ♣❛rt✐t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤✐s s✉♠ ❜② ✶✴✷✿ S(X) = abc . . . ♦r ♦r ♥♦ ✐s ❧❡❢t✲❜❧♦❝❦❡❞ ♦r ♥♦ ✶ ✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❧❡❢t✲♣♦♣♣❡❞ ✶ ✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 82

❙tr❛t❡❣② ❡①✐sts

Pr♦♦❢✳

  • X∈X

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nX +

  • X∈X

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nX ❆ r❛♥❞♦♠ ♣❛rt✐t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤✐s s✉♠ ❜② ✶✴✷✿ S(X) = abc . . . a / ∈ Σ ♦r b / ∈ Σ ♦r ♥♦ b X ✐s ❧❡❢t✲❜❧♦❝❦❡❞ ♦r ♥♦ ✶ ✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❧❡❢t✲♣♦♣♣❡❞ ✶ ✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 83

❙tr❛t❡❣② ❡①✐sts

Pr♦♦❢✳

  • X∈X

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  • X∈X

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nX ❆ r❛♥❞♦♠ ♣❛rt✐t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤✐s s✉♠ ❜② ✶✴✷✿ S(X) = abc . . . a / ∈ Σ ♦r b / ∈ Σ ♦r ♥♦ b X ✐s ❧❡❢t✲❜❧♦❝❦❡❞ c / ∈ Σ ♦r ♥♦ c ✶/✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t a ✐s ❧❡❢t✲♣♦♣♣❡❞ a, b, c ∈ Σ ✶/✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t b ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 84

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  • X∈X

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  • X∈X

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  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 85

❙tr❛t❡❣② ❡①✐sts

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  • X∈X

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nX +

  • X∈X

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nX ❆ r❛♥❞♦♠ ♣❛rt✐t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤✐s s✉♠ ❜② ✶✴✷✿ S(X) = abc . . . a / ∈ Σ ♦r b / ∈ Σ ♦r ♥♦ b X ✐s ❧❡❢t✲❜❧♦❝❦❡❞ c / ∈ Σ ♦r ♥♦ c ✶/✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t a ✐s ❧❡❢t✲♣♦♣♣❡❞ a, b, c ∈ Σ ✶/✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t b ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 86

❙tr❛t❡❣② ❡①✐sts

Pr♦♦❢✳

  • X∈X

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX ❆ r❛♥❞♦♠ ♣❛rt✐t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t❤✐s s✉♠ ❜② ✶✴✷✿ S(X) = abc . . . a / ∈ Σ ♦r b / ∈ Σ ♦r ♥♦ b X ✐s ❧❡❢t✲❜❧♦❝❦❡❞ c / ∈ Σ ♦r ♥♦ c ✶/✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t a ✐s ❧❡❢t✲♣♦♣♣❡❞ a, b, c ∈ Σ ✶/✷ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t b ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

  • ♦ ❢♦r ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

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SLIDE 87

❯♣♣❡r✲❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

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❚❤❡ ❞❡♣✐♥t✲❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U, V ✐s ♥♦t ❧❛r❣❡r t❤❛♥ H(U, V )✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✇♦r❦s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ ✇❡ ✉s❡ ♦♥❧② ✜①✲s✐③❡ ❢♦r ❡❛❝❤ s②♠❜♦❧ ✭str❡❛♠❧✐♥✐♥❣✮✳ ▲❡t ✐s t❤❡ ❜✐t✲s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥❝♦❞✐♥❣✳ ❡

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

P♦s

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✷ P♦s ❧♦❣ P♦s ✶ t❤❡ ✜rst ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② ♥✉♠❜❡rs ✐♥

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SLIDE 88

❯♣♣❡r✲❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

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❚❤❡ ❞❡♣✐♥t✲❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U, V ✐s ♥♦t ❧❛r❣❡r t❤❛♥ H(U, V )✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✇♦r❦s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ ✇❡ ✉s❡ ♦♥❧② ✜①✲s✐③❡ ❢♦r ❡❛❝❤ s②♠❜♦❧ ✭str❡❛♠❧✐♥✐♥❣✮✳ ▲❡t ✐s t❤❡ ❜✐t✲s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥❝♦❞✐♥❣✳ ❡

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

P♦s

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✷ P♦s ❧♦❣ P♦s ✶ t❤❡ ✜rst ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② ♥✉♠❜❡rs ✐♥

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SLIDE 89

❯♣♣❡r✲❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

▲❡♠♠❛

❚❤❡ ❞❡♣✐♥t✲❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U, V ✐s ♥♦t ❧❛r❣❡r t❤❛♥ H(U, V )✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✇♦r❦s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ ✇❡ ✉s❡ ♦♥❧② ✜①✲s✐③❡ ❢♦r ❡❛❝❤ s②♠❜♦❧ ✭str❡❛♠❧✐♥✐♥❣✮✳ ▲❡t e ✐s t❤❡ ❜✐t✲s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥❝♦❞✐♥❣✳ Hd(U, V ) = ❡ ·

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

|P♦s⊇(D)| Hn(U, V ) =

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

✷|P♦s⊇(D)| · ❧♦❣(|P♦s⊇(D)| + ✶) , H(U, V ) = Hd(U, V ) + Hn(U, V ) t❤❡ ✜rst ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② ♥✉♠❜❡rs ✐♥

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✼ ✴ ✸✺

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SLIDE 90

❯♣♣❡r✲❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

▲❡♠♠❛

❚❤❡ ❞❡♣✐♥t✲❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ U, V ✐s ♥♦t ❧❛r❣❡r t❤❛♥ H(U, V )✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✇♦r❦s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ ✇❡ ✉s❡ ♦♥❧② ✜①✲s✐③❡ ❢♦r ❡❛❝❤ s②♠❜♦❧ ✭str❡❛♠❧✐♥✐♥❣✮✳ ▲❡t e ✐s t❤❡ ❜✐t✲s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥❝♦❞✐♥❣✳ Hd(U, V ) = ❡ ·

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

|P♦s⊇(D)| Hn(U, V ) =

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

✷|P♦s⊇(D)| · ❧♦❣(|P♦s⊇(D)| + ✶) , H(U, V ) = Hd(U, V ) + Hn(U, V ) t❤❡ ✜rst ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② UV [D] t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞s t❤❡ ❜✐ts ✉s❡❞ ❜② ♥✉♠❜❡rs ✐♥ UV [D]#i

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✼ ✴ ✸✺

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SLIDE 91

Pr♦♦❢

❙✐③❡ ♦❢ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts✿ ▲❡t D = i ❜❡ ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ U✵V✵[i] ❤❛s s✐③❡ e ❛♥❞ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❝♦❞❡ ❢♦r |P♦s⊇(D)| ♠❛♥② s②♠❜♦❧s✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e · |P♦s⊇(D)| = Hd(U, V ) ❙✐③❡ ♦❢ ♥✉♠❜❡rs✿ ❲❤❡♥ ❞❡♣✐♥t ❤❛s ♣♦s✐t✐♦♥s✱ t❤❡② ✉s❡ ✷ ❧♦❣ ❜✐ts✳

❞❡♣✐♥t

P♦s

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

P♦s ❊❛s✐❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿

✶ ✷ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥ts

❧♦❣ P♦s ❧♦❣ P♦s

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 92

Pr♦♦❢

❙✐③❡ ♦❢ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts✿ ▲❡t D = i ❜❡ ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ U✵V✵[i] ❤❛s s✐③❡ e ❛♥❞ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❝♦❞❡ ❢♦r |P♦s⊇(D)| ♠❛♥② s②♠❜♦❧s✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e · |P♦s⊇(D)| = Hd(U, V ) ❙✐③❡ ♦❢ ♥✉♠❜❡rs✿ ❲❤❡♥ ❞❡♣✐♥t D′ ❤❛s k ♣♦s✐t✐♦♥s✱ t❤❡② ✉s❡ ≤ ✷k ❧♦❣ k = h(k) ❜✐ts✳

  • D′: ❞❡♣✐♥t

h(|#P♦s(D′)|)

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

P♦s ❊❛s✐❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿

✶ ✷ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥ts

❧♦❣ P♦s ❧♦❣ P♦s

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 93

Pr♦♦❢

❙✐③❡ ♦❢ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts✿ ▲❡t D = i ❜❡ ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ U✵V✵[i] ❤❛s s✐③❡ e ❛♥❞ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❝♦❞❡ ❢♦r |P♦s⊇(D)| ♠❛♥② s②♠❜♦❧s✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e · |P♦s⊇(D)| = Hd(U, V ) ❙✐③❡ ♦❢ ♥✉♠❜❡rs✿ ❲❤❡♥ ❞❡♣✐♥t D′ ❤❛s k ♣♦s✐t✐♦♥s✱ t❤❡② ✉s❡ ≤ ✷k ❧♦❣ k = h(k) ❜✐ts✳

  • D′: ❞❡♣✐♥t

h(|#P♦s(D′)|)

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

P♦s ❊❛s✐❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿ D′ = D✶ ∪ D✷ ∪ · · · ∪ Dℓ

  • ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥ts

⇒ ❧♦❣ |#P♦s(D)| ≤ ❧♦❣ |P♦s⊇(Di)|

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 94

Pr♦♦❢

❙✐③❡ ♦❢ ❛❧❧ ❞❡♣✐♥ts✿ ▲❡t D = i ❜❡ ❛ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ U✵V✵[i] ❤❛s s✐③❡ e ❛♥❞ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❝♦❞❡ ❢♦r |P♦s⊇(D)| ♠❛♥② s②♠❜♦❧s✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e · |P♦s⊇(D)| = Hd(U, V ) ❙✐③❡ ♦❢ ♥✉♠❜❡rs✿ ❲❤❡♥ ❞❡♣✐♥t D′ ❤❛s k ♣♦s✐t✐♦♥s✱ t❤❡② ✉s❡ ≤ ✷k ❧♦❣ k = h(k) ❜✐ts✳

  • D′: ❞❡♣✐♥t

h(|#P♦s(D′)|) ≤

  • D:❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

h(|P♦s⊇(D)|) = Hn(U, V ) ❊❛s✐❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿ D′ = D✶ ∪ D✷ ∪ · · · ∪ Dℓ

  • ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥ts

⇒ ❧♦❣ |#P♦s(D)| ≤ ❧♦❣ |P♦s⊇(Di)|

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 95

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

▲❡t (U, V ) ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ (U′, V ′) ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ (U✵, V✵)✿ ✐♥♣✉t ❡q❛✉t✐♦♥ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ str❛t❡❣② ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t ✺ ✻

✵ ✵

❇② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ❛♥

✵ ✵

❜♦✉♥❞ ♦♥ ✳ ❆♥❞

✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✳

❙✐♠✐❧❛r ❜♦✉♥❞ ✐s s❤♦✇♥ ❢♦r ✳ ❙♦ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐s ❧✐♥❡❛r✲s✐③❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✾ ✴ ✸✺

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SLIDE 96

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

▲❡t (U, V ) ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ (U′, V ′) ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ (U✵, V✵)✿ ✐♥♣✉t ❡q❛✉t✐♦♥ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ str❛t❡❣② ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t Hd(U′, V ′) = ✺ ✻Hd(U, V ) + αHd(U✵, V✵) ❇② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ❛♥

✵ ✵

❜♦✉♥❞ ♦♥ ✳ ❆♥❞

✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✳

❙✐♠✐❧❛r ❜♦✉♥❞ ✐s s❤♦✇♥ ❢♦r ✳ ❙♦ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐s ❧✐♥❡❛r✲s✐③❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✾ ✴ ✸✺

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SLIDE 97

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

▲❡t (U, V ) ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ (U′, V ′) ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ (U✵, V✵)✿ ✐♥♣✉t ❡q❛✉t✐♦♥ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ str❛t❡❣② ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t Hd(U′, V ′) = ✺ ✻Hd(U, V ) + αHd(U✵, V✵) ❇② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ t❤✐s ❣✐✈❡s ❛♥ O(Hd(U✵, V✵)) ❜♦✉♥❞ ♦♥ Hd✳ ❆♥❞ H(U✵, V✵) = Hd(U✵, V✵) + Hn(U✵, V✵) = O(e|U✵V✵|)✳ ❙✐♠✐❧❛r ❜♦✉♥❞ ✐s s❤♦✇♥ ❢♦r Hn(U, V )✳ ❙♦ t❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐s ❧✐♥❡❛r✲s✐③❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✷✾ ✴ ✸✺

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SLIDE 98

▲✐♠✐t✐♥❣ Hd✿ ♥❡✇ ❧❡tt❡rs

❇✐t✲s✐③❡ ♦❢ ❧❡tt❡rs ♣♦♣♣❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❜✐ts✐③❡ e✳

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✿ ❛t ♠♦st ✷

✵ ✵

✷ ✳ ❇② str❛t❡❣②✿ ❛t ❧❡❛st ❤❛❧✈❡❞ ❡✈❡r② ♦t❤❡r st❡♣✱ s♦ ❛t ♠♦st ✷ ✷ ✽

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✵ ✴ ✸✺

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SLIDE 99

▲✐♠✐t✐♥❣ Hd✿ ♥❡✇ ❧❡tt❡rs

❇✐t✲s✐③❡ ♦❢ ❧❡tt❡rs ♣♦♣♣❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❜✐ts✐③❡ e✳ e    

  • X∈X

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX     ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✿ ❛t ♠♦st ✷

✵ ✵

✷ ✳ ❇② str❛t❡❣②✿ ❛t ❧❡❛st ❤❛❧✈❡❞ ❡✈❡r② ♦t❤❡r st❡♣✱ s♦ ❛t ♠♦st ✷ ✷ ✽

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✵ ✴ ✸✺

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SLIDE 100

▲✐♠✐t✐♥❣ Hd✿ ♥❡✇ ❧❡tt❡rs

❇✐t✲s✐③❡ ♦❢ ❧❡tt❡rs ♣♦♣♣❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❜✐ts✐③❡ e✳ e    

  • X∈X

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX     ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✿ ❛t ♠♦st ✷e|U✵V✵| = ✷n✳ ❇② str❛t❡❣②✿ ❛t ❧❡❛st ❤❛❧✈❡❞ ❡✈❡r② ♦t❤❡r st❡♣✱ s♦ ❛t ♠♦st ✷ ✷ ✽

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✵ ✴ ✸✺

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SLIDE 101

▲✐♠✐t✐♥❣ Hd✿ ♥❡✇ ❧❡tt❡rs

❇✐t✲s✐③❡ ♦❢ ❧❡tt❡rs ♣♦♣♣❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ♣❛✐r ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❜✐ts✐③❡ e✳ e    

  • X∈X

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

nX     ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✿ ❛t ♠♦st ✷e|U✵V✵| = ✷n✳ ❇② str❛t❡❣②✿ ❛t ❧❡❛st ❤❛❧✈❡❞ ❡✈❡r② ♦t❤❡r st❡♣✱ s♦ ❛t ♠♦st ✷n + ✷n + n + n + . . . ≤ ✽n

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✵ ✴ ✸✺

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SLIDE 102

❊①t❡♥❞✐♥❣ P♦s⊇(D)

❙✐♠✐❧❛r ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳

❇✐t s✐③❡ ♦❢ ♥❡✇ P♦s⊇(D) ❧❡tt❡rs❄

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t ❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶

❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶ ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ t❤✐s ✐s ❛t ♠♦st ✷

✵ ✵

✷ ✳ ❚❤❡ r❡st ✐s s✐♠✐❧❛r ❛s ❜❡❢♦r❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✶ ✴ ✸✺

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SLIDE 103

❊①t❡♥❞✐♥❣ P♦s⊇(D)

❙✐♠✐❧❛r ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳

❇✐t s✐③❡ ♦❢ ♥❡✇ P♦s⊇(D) ❧❡tt❡rs❄

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ e    

  • D ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶ +

  • D ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶     ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ t❤✐s ✐s ❛t ♠♦st ✷

✵ ✵

✷ ✳ ❚❤❡ r❡st ✐s s✐♠✐❧❛r ❛s ❜❡❢♦r❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✶ ✴ ✸✺

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SLIDE 104

❊①t❡♥❞✐♥❣ P♦s⊇(D)

❙✐♠✐❧❛r ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳

❇✐t s✐③❡ ♦❢ ♥❡✇ P♦s⊇(D) ❧❡tt❡rs❄

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ e    

  • D ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶ +

  • D ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶     ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ t❤✐s ✐s ❛t ♠♦st ✷e|U✵V✵| = ✷n✳ ❚❤❡ r❡st ✐s s✐♠✐❧❛r ❛s ❜❡❢♦r❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✶ ✴ ✸✺

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SLIDE 105

❊①t❡♥❞✐♥❣ P♦s⊇(D)

❙✐♠✐❧❛r ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳

❇✐t s✐③❡ ♦❢ ♥❡✇ P♦s⊇(D) ❧❡tt❡rs❄

❆t ♠♦st ✶ ♣❡r ♥♦t ❜❧♦❝❦❡❞ s✐❞❡ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t✳ e    

  • D ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶ +

  • D ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞

✶     ❆t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ t❤✐s ✐s ❛t ♠♦st ✷e|U✵V✵| = ✷n✳ ❚❤❡ r❡st ✐s s✐♠✐❧❛r ❛s ❜❡❢♦r❡✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✶ ✴ ✸✺

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SLIDE 106

❙❤♦rt❡♥✐♥❣ ♦❢ P♦s⊇(D)

❘❡❝❛❧❧

Hd(U, V ) =

  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e|P♦s⊇(D)| ❈♦♥s✐❞❡r P♦s ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✳ ❇② ▲❡♠♠❛✱ ❛♠♦♥❣ t✇♦ ♣♦s✐t✐♦♥s ✐♥ P♦s ❛t ❧❡❛st ✶ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙♦ P♦s ❧♦♦s❡s ✶ ✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ❞✉❡ t♦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥✳ ✷ ✸

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✷ ✴ ✸✺

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SLIDE 107

❙❤♦rt❡♥✐♥❣ ♦❢ P♦s⊇(D)

❘❡❝❛❧❧

Hd(U, V ) =

  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e|P♦s⊇(D)| ❈♦♥s✐❞❡r P♦s⊇(D) ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✳ ❇② ▲❡♠♠❛✱ ❛♠♦♥❣ t✇♦ ♣♦s✐t✐♦♥s ✐♥ P♦s⊇(D) ❛t ❧❡❛st ✶ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙♦ P♦s⊇(D) ❧♦♦s❡s ✶/✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ❞✉❡ t♦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥✳ ✷ ✸

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✷ ✴ ✸✺

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SLIDE 108

❙❤♦rt❡♥✐♥❣ ♦❢ P♦s⊇(D)

❘❡❝❛❧❧

Hd(U, V ) =

  • D: ❜❛s✐❝ ❞❡♣✐♥t

e|P♦s⊇(D)| ❈♦♥s✐❞❡r P♦s⊇(D) ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡✳ ❇② ▲❡♠♠❛✱ ❛♠♦♥❣ t✇♦ ♣♦s✐t✐♦♥s ✐♥ P♦s⊇(D) ❛t ❧❡❛st ✶ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞✳ ❙♦ P♦s⊇(D) ❧♦♦s❡s ✶/✸ ♦❢ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥s ❞✉❡ t♦ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥✳ Hd(U′, V ′) ≤ ✷ ✸Hd(U, V ) + O(Hd(U✵, V✵))

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✷ ✴ ✸✺

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SLIDE 109

Hn

pD, eD, kD✿ ♣♦♣♣❡❞ P♦s⊇(D)✱ ❡①t❡♥❞❡❞ P♦s⊇(D)✱ P♦s⊇(D) ❢r♦♠ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✷ ✸ ✇❤❡r❡

✵ ✵

♥♦✇ ✷ ✸ ✇❤❡r❡ ❙♦♠❡t❤✐♥❣ ♠♦r❡ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✭tr✉❡✱ ❜✉t s❡♣❛r❛t❡ ❛♥❛❧②s✐s✮✿

✶ ✷

✷✱ ✐s ❛❧♠♦st ❧✐♥❡❛r ✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✸ ✴ ✸✺

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SLIDE 110

Hn

pD, eD, kD✿ ♣♦♣♣❡❞ P♦s⊇(D)✱ ❡①t❡♥❞❡❞ P♦s⊇(D)✱ P♦s⊇(D) ❢r♦♠ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② Hd(U, V ) = e

  • D

kD → e

  • D

✷ ✸kD + pD + eD

  • = Hd(U′, V ′)

✇❤❡r❡

  • D

eD + pD = O(|U✵V✵|) ♥♦✇ ✷ ✸ ✇❤❡r❡ ❙♦♠❡t❤✐♥❣ ♠♦r❡ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✭tr✉❡✱ ❜✉t s❡♣❛r❛t❡ ❛♥❛❧②s✐s✮✿

✶ ✷

✷✱ ✐s ❛❧♠♦st ❧✐♥❡❛r ✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✸ ✴ ✸✺

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SLIDE 111

Hn

pD, eD, kD✿ ♣♦♣♣❡❞ P♦s⊇(D)✱ ❡①t❡♥❞❡❞ P♦s⊇(D)✱ P♦s⊇(D) ❢r♦♠ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② Hd(U, V ) = e

  • D

kD → e

  • D

✷ ✸kD + pD + eD

  • = Hd(U′, V ′)

✇❤❡r❡

  • D

eD + pD = O(|U✵V✵|) ♥♦✇ Hn(U, V ) =

  • D

h (kD) →

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • = Hn(U′, V ′),

✇❤❡r❡

  • D

h(pD + eD) = O(|U✵V✵|) ❙♦♠❡t❤✐♥❣ ♠♦r❡ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✭tr✉❡✱ ❜✉t s❡♣❛r❛t❡ ❛♥❛❧②s✐s✮✿

✶ ✷

✷✱ ✐s ❛❧♠♦st ❧✐♥❡❛r ✳

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SLIDE 112

Hn

pD, eD, kD✿ ♣♦♣♣❡❞ P♦s⊇(D)✱ ❡①t❡♥❞❡❞ P♦s⊇(D)✱ P♦s⊇(D) ❢r♦♠ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② Hd(U, V ) = e

  • D

kD → e

  • D

✷ ✸kD + pD + eD

  • = Hd(U′, V ′)

✇❤❡r❡

  • D

eD + pD = O(|U✵V✵|) ♥♦✇ Hn(U, V ) =

  • D

h (kD) →

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • = Hn(U′, V ′),

✇❤❡r❡

  • D

h(pD + eD) = O(|U✵V✵|) ❙♦♠❡t❤✐♥❣ ♠♦r❡ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✭tr✉❡✱ ❜✉t s❡♣❛r❛t❡ ❛♥❛❧②s✐s✮✿

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✷✱ ✐s ❛❧♠♦st ❧✐♥❡❛r ✳

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SLIDE 113

Hn

pD, eD, kD✿ ♣♦♣♣❡❞ P♦s⊇(D)✱ ❡①t❡♥❞❡❞ P♦s⊇(D)✱ P♦s⊇(D) ❢r♦♠ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② Hd(U, V ) = e

  • D

kD → e

  • D

✷ ✸kD + pD + eD

  • = Hd(U′, V ′)

✇❤❡r❡

  • D

eD + pD = O(|U✵V✵|) ♥♦✇ Hn(U, V ) =

  • D

h (kD) →

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • = Hn(U′, V ′),

✇❤❡r❡

  • D

h(pD + eD) = O(|U✵V✵|) ❙♦♠❡t❤✐♥❣ ♠♦r❡ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✭tr✉❡✱ ❜✉t s❡♣❛r❛t❡ ❛♥❛❧②s✐s✮✿

∞

  • i=✶

i ✷i = ✷✱ h ✐s ❛❧♠♦st ❧✐♥❡❛r✳

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SLIDE 114

■❞❡❛

❊st✐♠❛t❡

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • ✜rst ❡st✐♠❛t❡

D h (pD) , D h (eD) ❛s O(|U✵, V✵|)

✹ ✹

✵ ✵

✐❢ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ❖❑ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ✷ ✸ ✺ ✷ ✸ ✺ ✻ ✺ ✺ ✺ ✻

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 115

■❞❡❛

❊st✐♠❛t❡

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • ✜rst ❡st✐♠❛t❡

D h (pD) , D h (eD) ❛s O(|U✵, V✵|)

h(pD + eD) ≤ ✹h(pD) + ✹h(pD)

✵ ✵

✐❢ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ❖❑ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ✷ ✸ ✺ ✷ ✸ ✺ ✻ ✺ ✺ ✺ ✻

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 116

■❞❡❛

❊st✐♠❛t❡

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • ✜rst ❡st✐♠❛t❡

D h (pD) , D h (eD) ❛s O(|U✵, V✵|)

h(pD + eD) ≤ ✹h(pD) + ✹h(pD)

  • D h (pD + eD) = O(|U✵, V✵|)

✐❢ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ❖❑ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ✷ ✸ ✺ ✷ ✸ ✺ ✻ ✺ ✺ ✺ ✻

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 117

■❞❡❛

❊st✐♠❛t❡

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • ✜rst ❡st✐♠❛t❡

D h (pD) , D h (eD) ❛s O(|U✵, V✵|)

h(pD + eD) ≤ ✹h(pD) + ✹h(pD)

  • D h (pD + eD) = O(|U✵, V✵|)

✐❢ ✷

✸kD + pD + eD ≤ ✺ ✻kd✿ ❖❑

♦t❤❡r✇✐s❡ ✷

✸ ✺ ✻

✿ ✷ ✸ ✺ ✷ ✸ ✺ ✻ ✺ ✺ ✺ ✻

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 118

■❞❡❛

❊st✐♠❛t❡

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • ✜rst ❡st✐♠❛t❡

D h (pD) , D h (eD) ❛s O(|U✵, V✵|)

h(pD + eD) ≤ ✹h(pD) + ✹h(pD)

  • D h (pD + eD) = O(|U✵, V✵|)

✐❢ ✷

✸kD + pD + eD ≤ ✺ ✻kd✿ ❖❑

♦t❤❡r✇✐s❡ ✷

✸kd + pD + eD > ✺ ✻kd ⇒✿

✷ ✸kD + pD + eD ≤ ✺(pD + eD) ✷ ✸ ✺ ✻ ✺ ✺ ✺ ✻

✵ ✵

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 119

■❞❡❛

❊st✐♠❛t❡

  • D

h ✷ ✸kd + pD + eD

  • ✜rst ❡st✐♠❛t❡

D h (pD) , D h (eD) ❛s O(|U✵, V✵|)

h(pD + eD) ≤ ✹h(pD) + ✹h(pD)

  • D h (pD + eD) = O(|U✵, V✵|)

✐❢ ✷

✸kD + pD + eD ≤ ✺ ✻kd✿ ❖❑

♦t❤❡r✇✐s❡ ✷

✸kd + pD + eD > ✺ ✻kd ⇒✿

✷ ✸kD + pD + eD ≤ ✺(pD + eD)

  • D

h ✷ ✸kD + pD + eD

  • ≤ ✺

✻

  • D

h (kD) +

  • D

h (✺pD + ✺eD) ≤ ✺ ✻Hn(U, V ) + O(|U✵, V✵|)

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 120
  • D h (pD) ✭

D h (eD) ✐s s✐♠✐❧❛r✮

❚❤✐s ✐s ♦♥❧② ❢♦r D ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ▲❡t D✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ X✳ ✷ ❧♦❣ ✷✺

✶

❧❡❢t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ r✐❣❤t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ r✐❣❤t s✐❞❡ ✐s

✷ ✿ s♦♠❡ s✐❞❡ ✇❛s ✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ❢♦r

✷ ♣❛rt✐t✐♦♥s✳ ✷✺ ❥✉st ❢♦r s♠❛❧❧ ✷✺

✶ ❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥ r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥

✈❛❧✉❡ ✐♥ ❜r❛❝❡s ✐s

✵ ✵ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❛♥❞ ❤❛❧✈❡s ❡✈❡r② ♦t❤❡r ♣❛rt✐t✐♦♥

✇❡ s✉♠✲✉♣ ❛ s❡r✐❡s

✷

✷✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✺ ✴ ✸✺

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SLIDE 121
  • D h (pD) ✭

D h (eD) ✐s s✐♠✐❧❛r✮

❚❤✐s ✐s ♦♥❧② ❢♦r D ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ▲❡t D✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ X✳ h(pD) = ✷pD ❧♦❣ pD ≤ ✷✺ +

  • i≥✶

i · ([X❧❡❢t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ Ii] + [Xr✐❣❤t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ Ii]) . r✐❣❤t s✐❞❡ ✐s

✷ ✿ s♦♠❡ s✐❞❡ ✇❛s ✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ❢♦r

✷ ♣❛rt✐t✐♦♥s✳ ✷✺ ❥✉st ❢♦r s♠❛❧❧ ✷✺

✶ ❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥ r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥

✈❛❧✉❡ ✐♥ ❜r❛❝❡s ✐s

✵ ✵ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❛♥❞ ❤❛❧✈❡s ❡✈❡r② ♦t❤❡r ♣❛rt✐t✐♦♥

✇❡ s✉♠✲✉♣ ❛ s❡r✐❡s

✷

✷✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✺ ✴ ✸✺

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SLIDE 122
  • D h (pD) ✭

D h (eD) ✐s s✐♠✐❧❛r✮

❚❤✐s ✐s ♦♥❧② ❢♦r D ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ▲❡t D✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ X✳ h(pD) = ✷pD ❧♦❣ pD ≤ ✷✺ +

  • i≥✶

i · ([X❧❡❢t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ Ii] + [Xr✐❣❤t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ Ii]) . r✐❣❤t s✐❞❡ ✐s Ω(p✷

D)✿ s♦♠❡ s✐❞❡ ✇❛s ✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ❢♦r pD/✷ ♣❛rt✐t✐♦♥s✳

✷✺ ❥✉st ❢♦r s♠❛❧❧ pD ✷✺

✶ ❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥ r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥

✈❛❧✉❡ ✐♥ ❜r❛❝❡s ✐s

✵ ✵ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❛♥❞ ❤❛❧✈❡s ❡✈❡r② ♦t❤❡r ♣❛rt✐t✐♦♥

✇❡ s✉♠✲✉♣ ❛ s❡r✐❡s

✷

✷✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✺ ✴ ✸✺

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SLIDE 123
  • D h (pD) ✭

D h (eD) ✐s s✐♠✐❧❛r✮

❚❤✐s ✐s ♦♥❧② ❢♦r D ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ▲❡t D✿ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ X✳ h(pD) = ✷pD ❧♦❣ pD ≤ ✷✺ +

  • i≥✶

i · ([X❧❡❢t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ Ii] + [Xr✐❣❤t✲✉♥❜❧✳ ✐♥ Ii]) . r✐❣❤t s✐❞❡ ✐s Ω(p✷

D)✿ s♦♠❡ s✐❞❡ ✇❛s ✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ❢♦r pD/✷ ♣❛rt✐t✐♦♥s✳

✷✺ ❥✉st ❢♦r s♠❛❧❧ pD

  • X∈X

✷✺nX +

  • i≥✶

i ·    

  • X∈X

❧❡❢t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥ Ii

nX +

  • X∈X

r✐❣❤t✲✉♥❜❧♦❝❦❡❞ ✐♥ Ii

nX     . ✈❛❧✉❡ ✐♥ ❜r❛❝❡s ✐s |U✵, V✵| ✐♥✐t✐❛❧❧② ❛♥❞ ❤❛❧✈❡s ❡✈❡r② ♦t❤❡r ♣❛rt✐t✐♦♥ ✇❡ s✉♠✲✉♣ ❛ s❡r✐❡s ∼

i i ✷i = ✷✳

❆✳ ❏❡➺ ❲♦r❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ◆▲✐♥❙P❆❈❊ ✺✳✵✹✳✶✼ ✸✺ ✴ ✸✺