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Private Approximation of Search Problems - - PowerPoint PPT Presentation
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Private Approximation of Search Problems
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SLIDE 6
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SLIDE 7
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What can go wrong?
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¡ 01%% ¡ 23340 ¡ 5! %36 ¡ 17#7$53
l %389:(4;
¡ ¡ 0%<!
Talk Overview
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Private Approximation
[FeigenbaumIshaiMalkinNissimStraussWright01]
3"
¡
!!3&
¡
#$13 % #$& 0 3"
¡
53#$#$#$#$ %&
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Positive results [FIMNSW]
¡ 10"
l !!
0%0<#√$&
l 5!! 1#$=5 %33>.?
¡ "
l !!!
&
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PA of NP-Hard Functions
[HaleviKrauthgamerKushilevitzNissim01]
6 5!%"%01!-@A& 33 3 & " %3% 0&
V C ⊆ E v u >∈ < , C v∈ C u ∈
'& "
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Abstract Client-Server Model
¡ 5! 0:
5! %! &
¡ 0:
%! %14B #CD0801$&
46 75; !% 6
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- “% %
- 3 %
1!E” “5% %
- 0!%&”
“4 !!F” “…”
46 75;
Client-Server Model
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Maximal Matching Approximation
¡ B
01&
¡ 503
0&
¡ *:!!"
% * !%& ' * ( ) , .
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D
“4 !!F” “…”
' * ( ) , . ' * ( ) , .
- *
*
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Impossibility results [HKKN]
¡ 53 !
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¡ 5! %3:
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l 89:4; l 60!1!&
⊄
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¡ 01%% ¡ ¡ 5! %36 ¡ 17#7$53
l %389:(4;
¡ ¡ 0%<!
Talk Overview
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Search problems
¡ B%0– %!%3 !%& ¡ 40– %3!%&
!"0 %031!# 3 0$&
¡ 133!0 E ¡ !3!%%
1% %!%E
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Step 1: Privacy w.r.t. a Relation
– G%0!%
– 01 3"
- #$
#$
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Step 2: Defining the Relation
70!& 74#$3%3 !%& 3 3% 4#$-4#$&
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Example – Vertex Cover (Search)
¡ '6* 3
3%0&
¡
1303"
l !!13
0&
l
'6* #'$#*$
¡ 330 E
- 6
' * ( ) , . ' * ( ) , . 0" H*(IH(,I
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Search versus Functional
¡ 5:!0!%"
l 53 33%0 !
3 30&
¡ 0!%"
l B%0 – G%#6-*$& l 40 – G%#H*)I6
311!$&
' * ( ) ' * ( )
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Search versus Functional
%% 0G%3=?3 3%00E !"
¡ =?13
G%00&
¡ 50: # %3
G%00&
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¡ 01%% ¡ 23340 ¡ $%& ¡ 17#7$53
l %389:(4;
¡ ¡ 0%<!
Talk Overview
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Vertex Cover - Impossibility Result
; '"53≠ 0 ! !'::!!1 30– 0& 3"
D!
- 8%
6:
- !!
1
D!
’
!! 6:
’
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First Tool: Unique-Vertex-Cover
5!%"1! " %G%%0 <%!%";%0 ; =66+.?"41JG%:6: :&
!! 1
’ %G%:6 !! 6: ’
- %G%:6
8% 6:
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Second Tool: Adding Vertices
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) ' ( , * . / + *>> '> L
…
6
) / ( L + '> ' * *>> . ,
…
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SLIDE 30
…
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Third Tool: Random Renaming
'"!!1 % %6K&
) ' ( , * . / + *>> '> L .* ). *' '/' '.+ '' ')L +, '*/ LL /(
…
*"1! %6K0
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Summary of Proof:
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¡ – 1!%G%6 ¡ 0 ¡ !%30 ¡ 0%’←#’$ ¡ 63 – 10’
53≠%01 <
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2 1
ϕ ϕ
SAT
≈
MAX-3SAT
α ϕ
1
ϕ
2
ϕ
¡ D(B3%3
13 %3030%&
¡ !!"/M+& ¡
3 3%3 1 1&
¡ 1!!!F
SLIDE 33
¡ 01%% ¡ 23340 ¡ 5! %36 ¡ '()*(+
$
l &',-.'/
¡ ¡ 0%<!
Talk Overview
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Almost-Private Algorithms [HKKN]
¡ 7 & ¡ !!3
) "
l #$0%3#$
&
!" ;330:!! 300 &
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Almost-Private Algorithms – Search
#$ #$
- #$
#$
E
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Almost-Private Algorithms
) !03 %0"
'&
&
*&
G%003 %3G%0 03&
(&
!!0&
R R R ⊆ ' ' R ' R R
k
2 ' R
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Search versus Functional
%3=?3 3%01330 !130 !E & =?%%13%3 :!!!& 010 !&
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G%003 %0&
) (logn O
SAT
≈
Almost Private Approximation for MAX-E3SAT
SAT
≈
3 %3 11&
1
ϕ
2
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
1
α
2
α
3
α
) (logn O
α
… …
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Lemma
;31 %0% (4;3% 3 30%& 3" %0.- ! =D? & %31"&
) (log 1,..., n O
α α ϕ
i
α ϕ ) (logn O
n
x x ,...,
1
ε − 8 / 7 ) (
log ε n
O
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Proof of Lemma 1(cont.)
B ( (% " 0%'"B00%" 003& 0%*"B 3% 13 30%&
3 2 1
, , x x x
ε ε + < = ∧ = ∧ = < − 8 / 1 ] Pr[ 8 / 1
3 3 2 2 1 1
b x b x b x
3 2 1
, , b b b
ε α − > 8 / 7 ] by satisfied is Pr[C
ϕ
ε − 8 / 7
C α
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Almost Private Approximation for MAX-3SAT
; *"; :!! 1389:(4; & 3" %37& D3%%3 33 0%&
) log (log n O
) (log 1,..., n O
α α ϕ
i
α ϕ ) 8 / 7 ( ε − ) 8 / 7 ( ε −
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Solution-List Paradigm
¡ 3%& ¡ !%1
!!&
¡ % 1
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Further Results
¡ 4%:'::!!
130 * &
¡ $%
'::!!1 30%#$ &
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¡ 01%% ¡ 23340 ¡ 5! %36 ¡ 17#7$53
l %389:(4;
¡ ¡ 0%<!
Talk Overview
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Problems in P – Private Computation
¡ !%30!
13&
¡ 8 0!
!1# 3$"
l !3001!
1&&&
¡ 5!13
!E F
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Problems in P - Private Computation
740!& #!":!$ 0 4 3 3%& B!1G%" #$0 #$ 5!13 !E F
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Impossibility result for a Problem in P
5!%"D-@6A <%!%"53 0G%3 D %!%0G%3D& ;!0% 1%!%& !1!: %313G%&
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Positive Results for Problems in P
!43003"
¡ ;01!0 3%
l 4 !
3%&
¡ %
l 4 !%
%0 3 &
!"!3001 !1&&&
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Discussion – Strength of Definition
3– 13! %& 53! %E %1 3% 0!E 1 3E#!1&&&$
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¡ 01%% ¡ 23340 ¡ 5! %36 ¡ 17#7$53
l %389:(4;
¡ ¡ 1
Talk Overview
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Conclusions
¡ 23!!!3
0!
¡ $% 3!
!!30 (4;0%1!
¡ 23!!13
0!1
¡ 3(4; ¡ 0!%3!
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Open Problems
¡ 8!!!
1&
l 2113%
1&
¡ 0!%3!
&
l 1#%330$3E l 0!330
!0!%E
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