Preuves Formelles dIn egalit es et Programmation Semi-D efinie - - PowerPoint PPT Presentation

Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie

Directeur: Benjamin Werner (TypiCal) Co-Directeur: St´ ephane Gaubert (Maxplus) Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON

LIX, ´ Ecole Polytechnique

Vendredi 14 Janvier 2011

Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie

Plan

1 Contexte 2 Programmation semi-d´

efinie

3 Preuves formelles d’in´

egalit´ es convexes

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Contexte

Preuves appelant des calculs informatiques:

Primalit´ e Th´ eor` eme des 4 couleurs D´ emonstration de Hales de la conjecture de Keppler

Multiples int´ erˆ ets:

Une partie du champ math´ ematique aborde ces techniques L’interface entre la partie « conventionnelle » d´ eductive et la partie calculatoire est particuli` erement propice aux erreurs Ouverture de nouveaux champs aux syst` emes de preuves en permettant l’automatisation de certains r´ esultats

Am´ eliorer les outils d´ evelopp´ es par Roland Zumkeller en utilisant des techniques de programmation semi-d´ efinie => int´ erˆ et pour les math´ ematiques appliqu´ ees

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Programmation semi-d´ efinie

Classe de probl` emes d’optimisation sous contraintes portant sur des matrices sym´ etriques d´ efinies-positives: Trouver X ∈ Sn, solution de: (P)          inf C, X A(X) = b X 0. De nombreux probl` emes courants peuvent ˆ etre formul´ es de cette mani` ere: d´ ecomposition de polynˆ

• mes en sommes de

carr´ es, probl` emes de graphes,... R´ esolution avec l’algorithme des points int´ erieurs

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Un exemple d’in´ egalit´ e polynomiale

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Un exemple d’in´ egalit´ e polynomiale

L’in´ egalit´ e d’avant peut se ramener ` a un probl` eme de somme de carr´ es (SOS) en multipliant le polynˆ

• me par un autre de

degr´ e suffisamment grand On utilise la m´ ethode de Gram, F(x) SOS ssi F(x) = ω(x) tQω(x) avec ω(x) un vecteur de monˆ

• mes, et

Q 0 On se ram` ene au probl` eme de r´ ealisibilit´ e SDP: fα =

β+γ=α Qβ,γ (en posant F(x) = α fα)

On factorise Q = L tL (Cholesky), le SDP est donn´ e par f = Lz

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Preuves formelles d’in´ egalit´ es convexes

Comment exploiter de tels algorithmes en Coq de mani` ere ` a pouvoir en accepter les r´ esultats comme des preuves formelles? Les algorithmes sont tr` es gourmands en calcul donc:

On d´ el` egue ` a un outil ext´ erieur et rapide (C, Caml,...) le calcul, le r´ esultat ´ etant le certificat Le syst` eme de preuves doit alors seulement v´ erifier ce certificat: calcul formel

Par exemple, on peut obtenir un certificat sur la d´ ecomposition en SOS.

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Difficult´ es et points techniques

Limiter la taille du certificat en choisissant un format hybride pour repr´ esenter les nombres, mˆ elant repr´ esentations num´ eriques classiques et symboliques Les conditions de r´ ealisabilit´ e qui sont n´ ecessaires pour avoir la convergence des m´ ethodes de points int´ erieurs ne sont pas tout le temps satisfaites => points pass´ es sous silence dans la litt´ erature (Parillo, Lasserre, Peyrl, ...) Des erreurs d’arrondi peuvent faire augmenter la taille du certificat Difficult´ e d’interfacer les outils ext´ erieurs (languages de l’algorithme de r´ esolution des SDP) avec COQ => mise en relation avec des travaux r´ ecents de David Monniaux sur les SOS Int´ erˆ et de traiter le probl` eme SDP avec d’autres outils math´ ematiques r´ ecents comme les amibes

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Fin

Merci pour votre attention!

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