Prr t - - PowerPoint PPT Presentation

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❆ ✈❡r② ♥❛t✉r❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✜rst ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❱❛♥ ❊♠❞❡♥ ✐♥ ✶✾✽✻❀ ❨❡t✱ ♠✉❝❤ ❧❡ss ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ t❤❛♥ t❤❡ ❣❛♠❡✲s❡♠❛♥t✐❝❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣❀ ❇❛s✐❝ ✐❞❡❛✿ ❣✐✈❡♥ ❛ ♣r♦❣r❛♠ P ❛♥❞ ❛ ❣♦❛❧ q✱ t❤❡ ♣❧❛②❡r ❜❡❧✐❡✈❡s t❤❡ ❣♦❛❧ ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♦♣♣♦♥❡♥t ❞♦✉❜ts ✐t✳ ▲♦❞❞♦ ✫ ❞✐ ❈♦s♠♦ ✇❡r❡ t❤❡ ✜rst t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ✈❛♥ ❊♠❞❡♥✬s ✐❞❡❛ ♣r♦✈✐❞✐♥❣ ❛ ❣❛♠❡✲s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠s ✭❍♦r♥ ❝❧❛✉s❡s✮ ✇❤✐❝❤ ✐s s♦✉♥❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❙▲❉✲r❡s♦❧✉t✐♦♥s✳ ▲❛t❡r✱ P②♠ ✫ ❘✐tt❡r✱ ▼✐❧❧❡r✱❙❛✉r✐♥✫ ❉❡❧❛♥❞❡✱

• ❛❧❛♥❛❦✐✱❘♦♥❞♦❣✐❛♥♥✐s✫ ❲❛❞❣❡✱ ❚s♦✉❛♥❛s ♣r♦✈✐❞❡❞ ✈❛r✐♦✉s

❣❛♠❡ s❡♠❛♥t✐❝s ❢♦r ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛♥❞ ♣r♦♦❢✲s❡❛r❝❤✳

• ❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠s
• ✐✈❡♥ ❛ ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠ P ❛♥❞ ❛ ❣♦❛❧ q = ❛✶, . . . , ❛♥❀

❚❤❡ ♣❧❛②❡r P ❛✐♠s ❛t ❥✉st✐❢②✐♥❣ t❤❛t q ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ P ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❖♣♣♦♥❡♥t ❖ ❞♦✉❜ts t❤❛t t❤❡ ❣♦❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❢❡rr❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠✳ ❖ ❜❡❣✐♥s ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❥✉♥❝ts ♦❢ t❤❡ ❣♦❛❧ q✱ s❛② ❛✐✱ ❝❤❛❧❧❡♥❣✐♥❣ P t♦ ❥✉st✐❢② ❛✐✳ P s❤❛❧❧ t❤✉s s❡❧❡❝t ❛ ♣r♦❣r❛♠ ❝❧❛✉s❡ ✭❝ ∈ P✮ t♦ s✉♣♣♦rt ❤✐s ❛ss❡rt✐♦♥✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❤❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛✉s❡ ♠❛t❝❤❡s ❛✐✿ ❤✐s ❛r❣✉♠❡♥t❛t✐♦♥ r❡❧② ♦♥ t❤❡ ❜♦❞② ♦❢ t❤❡ ❝❧❛✉s❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ t❤r❡❡ ♣♦ss✐❜❧❡ s✐t✉❛t✐♦♥s✿

❛t s♦♠❡ ♣♦✐♥t✱ P ♣✐❝❦s ❛ ❝❧❛✉s❡ t❤❛t ✐s ❛ ❢❛❝t✿ ❛ ←✳ ❖ ✐s ❧❡❢t ✇✐t❤ ❛♥ ❡♠♣t② ❝♦♥❥✉♥❝t ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t ♣❧❛②✳ ❚❤❡ ❣❛♠❡ ✐s ♦✈❡r✱ P ✇✐♥s✳ ❛t s♦♠❡ ♣♦✐♥t✱ ❖ ♣✐❝❦s ❛ ❜♦❞② ❢♦r♠✉❧❛ t❤❛t ♥♦ ❝❧❛✉s❡✬s ❤❡❛❞ ♠❛t❝❤❡s✳ P ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ ❥✉st✐❢② t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❚❤❡ ❣❛♠❡ ✐s ♦✈❡r✱ ❖ ✇✐♥s✳ ♦t❤❡r✇✐s❡✱ t❤❡ ♣❧❛② ❣♦❡s ♦♥ ❢♦r❡✈❡r✱ ✐♥ s✉❝❤ ❛ ❝❛s❡✱ ❖ ✇✐♥s✳

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤✱ ✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ ❘ E✸ ❆ ❈ E✹ E✺ ❚ ■ E✻ ❖ ◆ ❉✉❛❧✐t② t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✴✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡✳ Pr♦♦❢ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❜② ❈♦♥s❡♥s✉s✿ ♠✉st s❛t✐s❢② ❛❧❧ t❡sts

✐✿

❊✐t❤❡r ❤❛s ❛♥ ❛r❣✉♠❡♥t❛t✐♦♥ t♦ ♦♣♣♦s❡ t♦ ✭✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤✮ ❛♥②

✐ ♦r ✐t s❤❛❧❧ q✉✐t ✭✐❡ ✉s❡ ❤✐s ❥♦❦❡r✮✳

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤✱ ✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ տր ❘ ↑ ↑ E✸ ❆ տ↑ր ❈ D E✹ E✺ ❚ ■ E✻ ❖ ◆ ❉✉❛❧✐t② t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✴✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡✳ Pr♦♦❢ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❜② ❈♦♥s❡♥s✉s✿ D ♠✉st s❛t✐s❢② ❛❧❧ t❡sts E✐✿ ❊✐t❤❡r D ❤❛s ❛♥ ❛r❣✉♠❡♥t❛t✐♦♥ t♦ ♦♣♣♦s❡ t♦ ✭✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤✮ ❛♥② E✐ ♦r ✐t s❤❛❧❧ q✉✐t ✭✐❡ ✉s❡ ❤✐s ❥♦❦❡r✮✳

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

▼❆▲▲ ❢♦r♠✉❧❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛❞r❡ss❡s t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s✿ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) ξ ::= | ξ✵ | ξ✶ ✭❧♦❝❛t✐♦♥s✮ ❋ξ ::= ❋ξ✵ ⊗ξ ❋ξ✶ | ❋ξ✵ ⊕ξ ❋ξ✶ | ✶ξ | ✵ξ ✭♣♦s✮ | ❋ξ✵ ξ ❋ξ✶ | ❋ξ✵ ξ ❋ξ✶ | ⊥ξ | ⊤ξ ✭♥❡❣✮

⊢ ❆ξ, ❆⊥

ζ

✐♥✐ ⊢ Γ, ❆ξ ⊢ ∆, ❆⊥

ξ

⊢ Γ, ∆ ❝✉t ⊢ ✶ξ ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ⊢ ∆, ❇ξ✶ ⊢ Γ, ∆, ❆ξ✵ ⊗ξ ❇ξ✶ ⊗ ⊢ Γ, ❆ξ✐ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ⊕ξ ❆ξ✶ ⊕✐, ✐ ∈ {✵, ✶} ⊢ Γ, ⊤ξ ⊤ ⊢ Γ ⊢ Γ, ⊥ξ ⊥ ⊢ Γ, ❆ξ✵, ❇ξ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ξ ❇ξ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ⊢ Γ, ❇ξ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ξ ❇ξ✶

• ■♥ ✱ Γ ❝♦♥t❛✐♥s ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛✳

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

▼❆▲▲ ❢♦r♠✉❧❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛❞r❡ss❡s t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s✿ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) ξ ::= | ξ✵ | ξ✶ ✭❧♦❝❛t✐♦♥s✮ ❋ξ ::= ❋ξ✵ ⊗ξ ❋ξ✶ | ❋ξ✵ ⊕ξ ❋ξ✶ | ✶ξ | ✵ξ ✭♣♦s✮ | ❋ξ✵ ξ ❋ξ✶ | ❋ξ✵ ξ ❋ξ✶ | ⊥ξ | ⊤ξ ✭♥❡❣✮

⊢ ❆ξ, ❆⊥

ζ

✐♥✐ ⊢ Γ, ❆ξ ⊢ ∆, ❆⊥

ξ

⊢ Γ, ∆ ❝✉t ⊢ Γ

• ⊢ ✶ξ ✶

⊢ Γ, ❆ξ✵ ⊢ ∆, ❇ξ✶ ⊢ Γ, ∆, ❆ξ✵ ⊗ξ ❇ξ✶ ⊗ ⊢ Γ, ❆ξ✐ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ⊕ξ ❆ξ✶ ⊕✐, ✐ ∈ {✵, ✶} ⊢ Γ, ⊤ξ ⊤ ⊢ Γ ⊢ Γ, ⊥ξ ⊥ ⊢ Γ, ❆ξ✵, ❇ξ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ξ ❇ξ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ⊢ Γ, ❇ξ✶ ⊢ Γ, ❆ξ✵ ξ ❇ξ✶

• ■♥ ✱ Γ ❝♦♥t❛✐♥s ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛✳

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) ❯s❡❞ t♦ ❜✉✐❧❞ ❜② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✭✐ ✵ ✶ ✮✿

✐

✶✵

✶✵ ✶ ✶✶ ✵

✶✶✵

✶ ✶✶✶

❝✉t

❝✉t ❡❧✐♠

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) ❯s❡❞ t♦ ❜✉✐❧❞ D ❜② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✭✐ ∈ {✵, ✶}✮✿ D✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊢ ❝✉t ↓❝✉t−❡❧✐♠ ⊢

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ✶✶✵ ✶ ✶✶✶ ✶ ✶✶✵

✶ ✶✶✶

⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ✶✶✵ ✶ ✶✶✶ ✶ ✶✶✵

✶ ✶✶✶

⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ✶✶✵ ✶ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ✶✶✵ ✶ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

=✵ ∪ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✵ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✵ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✵ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D✶ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✶ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✶

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

■♥t❡r❛❝t✐♥❣ ✇✐t❤ D✐ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✐ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) , ✐ ∈ {✵, ✶} ♦♥❡ ❝❛♥ ❣❡t ♦r D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✵

✶✶✵

✶ ✶✶✶ ✵

❇✉t ✉s❡s ✿ ✐t ✐s ❛ ❢❛✐❧✉r❡✳ ❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ t❤✐s s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢♦r ❄

■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

■♥t❡r❛❝t✐♥❣ ✇✐t❤ D✐ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✐ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) , ✐ ∈ {✵, ✶} ♦♥❡ ❝❛♥ ❣❡t ♦r D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

D′ = ⊢ ⊢ ⊥✵ ⊥ ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✵ ❇✉t D′ ✉s❡s ✿ ✐t ✐s ❛ ❢❛✐❧✉r❡✳ ❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ t❤✐s s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢♦r D′❄

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

▲✉❞✐❝s ❝♦♥t❛✐♥s ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts t♦ r❡♣r❡s❡♥t ▼❆▲▲ ♣r♦♦❢s✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ❛❞❞ ♥❡✇ t❡sts t♦ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✿ D✷ = ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) |✶ ❆❞❞✐♥❣ D✷ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❢♦r❜✐❞❞❡♥ t❤❡ s❡❛r❝❤ t❤❛t ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❢❛✐❧✉r❡ ❜② ❢♦r❝✐♥❣ t❤❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ⊕✶✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ ✶ ✿ ❙❧✐❝❡ ♦❢ t❤❡ r✉❧❡✳ ✶

❋r♦♠ ▼❆▲▲ t♦ ❞❡s✐❣♥s

▲✉❞✐❝s ❝♦♥t❛✐♥s ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts t♦ r❡♣r❡s❡♥t ▼❆▲▲ ♣r♦♦❢s✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ❛❞❞ ♥❡✇ t❡sts t♦ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✿ D✷ = ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) |✶ ❚❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ r✉❧❡ |✶ ✐s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ r✉❧❡ ✇✐t❤ ❛❝t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐♥❞❡①❡❞ ❜② ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ♦♥❡ s✉❜❢♦r♠✉❧❛ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ ✶✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ (, ✶)−✿ ❙❧✐❝❡ ♦❢ t❤❡ r✉❧❡✳

• (, ✶)−

❋r♦♠ ▼❆▲▲ t♦ ❞❡s✐❣♥s

❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❞❡s✐❣♥s✱ s❡✈❡r❛❧ st❡♣s ❛✇❛② ❢r♦♠ ▼❆▲▲✿ ❘❡t❛✐♥ ♦♥❧② t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥s✱ ♥♦t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛s ❖♥❧② t❤❡ ❡ss❡♥❝❡ ♦❢ ♣r♦♦❢ r❡♠❛✐♥s✿ ♣r♦♦❢ r✉❧❡s ♥♦t t❤❡ s❡q✉❡♥ts✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❛❝t✐♦♥s✿ (ξ, ■)−, (τ✐, {✶, ✷, ✸})+, (ξ✷, ∅)− ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧✉st❡rs ♦❢ r✉❧❡s ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ♣♦❧❛r✐t② t♦ ❡♥s✉r❡ ❛❧t❡r♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧❛r✐t②✳ ❉❛✐♠♦♥ r❡♠❛✐♥s✿ s♣❡❝✐❛❧ ❛❝t✐♦♥ ❲♦r❦ ❜② s❧✐❝❡s✿ ♥❡❣❛t✐✈❡ r✉❧❡s ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ♦❢ ✉♥❛r② r✉❧❡s✳ ❉❡s✐❣♥s✿ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ♣r♦♦❢s ✭♦r str❛t❡❣✐❡s✮✳ P♦❧❛r✐③❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡✐r ❧❛st r✉❧❡✳ ▼❛② ❤❛✈❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ♠✐st❛❦❡s t♦ ❜❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡❧② ✭❛ ❞❡s✐❣♥ ❝❛♥ ❜❡ ❧♦s✐♥❣ ♦r ✇✐♥♥✐♥❣✮✳ ❙✉❝❝❡ss❢✉❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ✭✐❡✳ ❝✉t✲❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥s✮ ❣✐✈❡ r✐s❡ t♦ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❞❡s✐❣♥s ♦❢ ♦♣♣♦s✐t❡ ♣♦❧❛r✐t②✳ ❆ ❇❡❤❛✈✐♦✉r ✐s ❛ s❡t ♦❢ ❞❡s✐❣♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❜② ❜✐♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t②✳

❋r♦♠ ▼❆▲▲ t♦ ❉❡s✐❣♥s

Di = ⊢ 10 1 ⊢

• ⊢ ⊥1i ⊥

⊢ ⊥10 ⊕1 ⊥11 ⊕i ⊢ 10 (⊥10 ⊕1 ⊥11) , i ∈ {0, 1} − →

,{0} ∅ ,{1} 1 {i} 1i,{∅}

• 1

D = ⊢ 110 1 ⊢ 111 1 ⊢ 110 1 111

• ⊢ ⊥0 ⊕ (110 1 111) ⊕1

− →

• {1}

1,{0} 10 ∅ 1,{1} 11 ∅

❙❝❤❡♠❡ ♦❢ ■P❙ ♦♥ ❛♥ ❊①❛♠♣❧❡

E = ξ,{0,1,2}

ξ0 {1} ξ01,I01 ξ1 {1} ξ11,I11

• 1

❙❝❤❡♠❡ ♦❢ ■P❙ ♦♥ ❛♥ ❊①❛♠♣❧❡

E = ξ,{0,1,2}

ξ0 {1} ξ01,I01 ξ1 {1} ξ11,I11

• 1

D0 = ∅ D1 =

ξ {0,1,2}

D2 =

ξ {0,1,2} ξ0,{1}

D3 =

ξ {0,1,2} ξ0,{1} ξ01 I01

D4 =

ξ {0,1,2} ξ0,{1} ξ01 I01 ξ1,{1}

D5 =

ξ {0,1,2} ξ0,{1} ξ01 I01 ξ1,{1} ξ11 I11

❯♣❞❛t✐♥❣ t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t

❚❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ✐s ❛ s❡t ♦❢ t❡sts ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ✇❡ s❡❛r❝❤ ❢♦r❀ ❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ t❤❡ s❡❛r❝❤❡❞ ❞❡s✐❣♥ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤♦s❡ t❡sts❀ ❇② s②♠♠❡tr②✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ❛❧s♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ ♠♦❞✐❢② t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ t❡sts❀ ⇒ ❲❡ ♠❛② ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❛❞❞ ♥❡✇ ❡❧❡♠❡♥ts t♦ t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❆ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✏♣r♦❣r❛♠✑ t♦ ❜❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ (⇒ ❘) ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ t❤❡ ❧♦❛❞✐♥❣ ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡✳ ❈❤❛♥❣❡s t❤❡ s❡❛r❝❤ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✭❜♦t❤ ✐♥ t❤❡ ✐♥t✉✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❢♦r♠❛❧ s❡♥s❡✮✿ ✐❢ ❊ ⊆ ❊′ t❤❡♥ ❊′⊥ ⊆ ❊⊥✳ ❚❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s❡❛r❝❤ ✐s t❛❦✐♥❣ ♣❧❛❝❡ ❣❡ts ♠♦r❡ ❛♥❞ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡✳✳✳ t❤❡r❡ ❛r❡ ♠♦r❡ t❡sts t♦ ❝♦♥str❛✐♥ t❤❡ s❡❛r❝❤✳

❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣

❚❤❡ ❜❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✉♥❞♦✐♥❣ t❤❡ ❧❛st ❝❤♦✐❝❡ ❛♥❞ ❣♦✐♥❣ ❢♦r ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✳ ❲❤❡♥ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ ❤❛s ✜♥✐s❤❡❞ ❛♥❞ t❤❡ s❡❛r❝❤❡❞ ❞❡s✐❣♥ ✉s❡s ❛ ✱ ♦♥❡ ♠❛② ✇✐s❤ t♦ s❡❛r❝❤ ❛❣❛✐♥✳ ❲❡ s❤❛❧❧ ❛❧❧♦✇ ❡♥❧❛r❣✐♥❣ t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❊❊◆❱ ✇✐t❤ ♥❡✇ ❞❡s✐❣♥s t❤❛t ✇✐❧❧ ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ ❣✉✐❞❡ t❤❡ s❡❛r❝❤✳ ❚❤♦s❡ ❞❡s✐❣♥s s❤❛❧❧ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❝♦♠♣✉t❡❞ ❞❡s✐❣♥ ✐s ♥♦t ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ t❤❡s❡ ❞❡s✐❣♥s✿ ❛❞❞ r❡str✐❝t❡❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❞❛✐♠♦♥s ✇❤✐❝❤ ❢♦r❜✐❞ ❡①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡s t❤❛t ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❧❡❞ t♦ ❢❛✐❧✉r❡s✳

❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣✱ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡❧②

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ■ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ տր ❘ ↑ ↑ E✸ ❆ տ↑ր ❈ D E✹ E✺ ❚ ■ E✻ ❖ ◆ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣❛t❤s ❢♦r

❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣✱ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡❧②

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ■ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ տր ❘ ↑ ↑ E✸ ❆ տ↑ր ❈ D E✹ E✺ ❚ ■ E✻ Backtrack(D) ❖ ◆ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣❛t❤s ❢♦r D

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

❘❡❧❛t❡ ❝✉t✲❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣r♦♦❢✲s❡❛r❝❤✿ ♣r♦♦❢✲s❡❛r❝❤ ❜② ❝✉t✲❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✳ ❆ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❣✉✐❞✐♥❣ t❤❡ s❡❛r❝❤ ♦❢ ❛♥ ✉♥s♣❡❝✐✜❡❞ ♣r♦♦❢ D❀ P♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡♥r✐❝❤ t❤❡ s❡❛r❝❤ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❜② ❛❞❞✐♥❣ ♥❡✇ t❡sts❀ ❯♥✐❢♦r♠ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ♣r♦♦❢✲s❡❛r❝❤✿ t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❣❛t❤❡r ✉s✉❛❧ ❧♦❣✐❝❛❧ s❡❛r❝❤ ✐♥str✉❝t✐♦♥s ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❝♦♥str❛✐♥ts t♦ t❤❡ s❡❛r❝❤ str❛t❡❣②❀ ■♥✈❡st✐❣❛t❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✇❤❡r❡ ❋P ❛♥❞ ▲P ❝♦✉❧❞ ❜❡ r❡❧❛t❡❞❄ D ❝♦✉❧❞ ❜❡ ♣❛rt✐❛❧❧② s♣❡❝✐✜❡❞✱ ✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤ t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❊ ❛♥❞ t❤❡♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❛s ❛ ♣r♦♦❢ ✉♥❞❡r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✭❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛❞❞ ♥❡✇ s❧✐❝❡s t♦ D✱ ♦r ❝❤❛♥❣❡ t♦ ♣r♦♣❡r ♣♦s✐t✐✈❡ ❛❝t✐♦♥s (ξ, ■)+✳✳✳✮

❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣✱ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡❧②

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭Test(♣)✮

Test(ǫ) = ∅❀ Test(κ) = {κ+}❀ Test(s · κ · κ′) = {s · κ · κ′+, s · κ−} ∪ Test(s)✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭Backtrack(♣)✮

Backtrack(♣) ✐s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❞❡s✐❣♥ s✉❝❤ t❤❛t✿ Backtrack(♣) ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝❤r♦♥✐❝❧❡s ♦❢ Test(♣) ❡①❝❡♣t ♣+❀ ✐❢ χ ∈ Backtrack(♣) ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝❤r♦♥✐❝❧❡ ❡♥❞✐♥❣ ✇✐t❤ ❛ ♣r♦♣❡r ❛❝t✐♦♥ (ξ, ■)+✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② ✐ ∈ ■ ❛♥❞ ❏ ∈ P❢ (ω) s✉❝❤ t❤❛t χ · (ξ✐, ❏)− ∈ Test(♣)✱ t❤❡♥ χ · (ξ✐, ❏)− · ∈ Backtrack(♣)✳

❈♦♥tr♦❧ ❖♣❡r❛t♦rs ✐♥ ▲♦❣✐❝ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣

❚✇♦ ✐♠♣♦rt❛♥t ✉s❡s ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✿ ❙♣❡❡❞ ✉♣ t❤❡ s❡❛r❝❤✱ s❛✈❡ r❡ss♦✉r❝❡s ✭❡✣❝✐❡♥❝②✮ ♣r✉♥✐♥❣ ❛ ✜♥✐t❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡ ❋✐♥❞ ♥❡✇ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✉♥r❡❛❝❤❛❜❧❡ ✐♥ ✜♥✐t❡ t✐♠❡ ✭❡①♣r❡ss✐✈❡♥❡ss✮ ♣r✉♥✐♥❣ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡

❈♦♥tr♦❧ ❖♣❡r❛t♦rs ✐♥ ▲♦❣✐❝ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣

❚✇♦ ✐♠♣♦rt❛♥t ✉s❡s ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✿ ❙♣❡❡❞ ✉♣ t❤❡ s❡❛r❝❤✱ s❛✈❡ r❡ss♦✉r❝❡s ✭❡✣❝✐❡♥❝②✮ ♣r✉♥✐♥❣ ❛ ✜♥✐t❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡ ❋✐♥❞ ♥❡✇ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✉♥r❡❛❝❤❛❜❧❡ ✐♥ ✜♥✐t❡ t✐♠❡ ✭❡①♣r❡ss✐✈❡♥❡ss✮ ♣r✉♥✐♥❣ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❈♦♥tr♦❧

❈♦♥tr♦❧ tr❡❛t❡❞ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡❧② ❜② ✉♣❞❛t✐♥❣ t❤❡ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❊ t❤❛♥❦s t♦ φ✿ ●✐✈❡♥ ❛ t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❊✱ ❛ ❞❡s✐❣♥ D ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣❛t❤ ♣D✱ φ ♦✉t♣✉ts ❛ s❡t ♦❢ ❞❡s✐❣♥s {Eφ,D,♣D

✐

, ✐ ∈ ■} ✉s❡❞ t♦ ❡♥❧❛r❣❡ ❊✿ ❊ − → ❊ ∪ {Eφ,D,♣D

✐

, ✐ ∈ ■}

• ✐✈❡♥ ❊ = {E✐, ✐ ∈ ■} ❛♥❞ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ❛♥s✇❡rs D✵, D✶, . . . , D♥, . . .

❆♣♣❧②✐♥❣ φ ❛❢t❡r ♦❜t❛✐♥✐♥❣ D✵✱ ♦♥❡ ♠❛② ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ❏ = {✐ > ✵, D✐ ∈ (❊ ∪ {E

φ,D✵,♣D✵ ✐

, ✐ ∈ ■})⊥} ✐❢ ❏ ✐s ✐♥✜♥✐t❡✱ ♦♥❡ s❦✐♣♣❡❞ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ s❡❛r❝❤❡❞ r❡s✉❧ts ✐❢ ❏ ✐s ✜♥✐t❡✱ t❤❛t ✇✐❧❧ ♣♦ss✐❜❧② ❛❧❧♦✇ t♦ ✜♥❞ ♥❡✇ s♦❧✉t✐♦♥s ✭t❤❛t ✇❡r❡ ♥♦t r❡❛❝❤❛❜❧❡ ❛t ✜rst✮✳ ❯s❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r❛❧ t❤❡♦r② t♦ ❛♥❛❧②③❡ t❤♦s❡ ❝♦♥tr♦❧ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❈♦♥tr♦❧

❈♦♥s✐❞❡r ♦t❤❡r ✉s✉❛❧ ♣r✉♥✐♥❣ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ✐♥ Pr♦❧♦❣ ❛♥❞ ❛♥❞ s❡❡ ❤♦✇ ✏✐♥t❡r❛❝t✐✈❡✑ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡✿ ✦✴✵❀

❛ ✿✲ ❜✱ ❝✱ ✦✱ ❞✳ ❛ ✿✲ ❡✱ ✦✱ ❢✳ ❛ ✿✲ ❣✳

s♦❢t ❝✉t❀ ♦♥❝❡❀ ♦t❤❡r ❜❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣ ♠♦❞✐✜❡rs ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❜❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣ ✳✳✳