P s ss r - - PDF document

SLIDE 1

❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ✶✸t❤ ❖❝t♦❜❡r ✷✵✵✹

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶

▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s

◮ ▲❛♠❜❞❛ ❝❛❧❝✉❧✉s s❡r✈❡s ❛s ❛ ❢♦r♠❛❧ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢♦r ❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡

s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✿

◮ ❉❡✜♥❡s r❡❢❡r❡♥t✐❛❧❧② tr❛♥s♣❛r❡♥t ♥❛♠✐♥❣ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❜② ❢♦r♠❛❧❧②

s♣❡❝✐❢②✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r ♣❛ss✐♥❣ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ❛♥❞ s❝♦♣✐♥❣ r✉❧❡s

◮ ❘❡♣r❡s❡♥ts ❜❛s✐❝ ❞❛t❛ t②♣❡s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ◮ ■♠♣❧❡♠❡♥ts r❡❝✉rs✐♦♥ ✇✐t✐❤♦✉t ✈✐♦❧❛t✐♥❣ r❡❢❡r❡♥t✐❛❧ tr❛♥s♣❛r❡♥❝② ◮ Pr♦✈✐❞❡s ❛ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ✐♥t❡r♣r❡t❡rs ❢♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷

SLIDE 2

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s ❘❡✇r✐t✐♥❣

◮ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ tr❛♥s❢♦r♠s ❡①✐st✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♥t♦ r❡s✉❧t✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ◮ ■♥ λ✲❈❛❧❝✉❧✉s ◮ ❘❡♣r❡s❡♥t ✐♥✐t✐❛❧ ✈❛❧✉❡s ❛s λ✲❈❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s ◮ ❚r❛♥s❢♦r♠ λ✲❈❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐♥t♦ ♥❡✇ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ◮ ■♥t❡r♣r❡t r❡s✉❧t✐♥❣ λ✲❈❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥ t♦ ❣❡t r❡s✉❧t ◮ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ≡ r❡✇r✐t✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ r✉❧❡s ◮ ■❢ r✉❧❡ ρ tr❛♥s❢♦r♠s λ✲❈❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❊✶ t♦ ❊✷ ✇r✐t❡

❊✶

ρ

→ ❊✷

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸

Pr❡s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❡♠❛♥t✐❝s

◮ ❊✈❡r② tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♣r❡s❡r✈❡s s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ◮ ❘❡♣r❡s❡♥t✿ ✷✰✵ ❛s λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❊✶ ◮ ❚r❛♥s❢♦r♠ ❊✶

ρ

→ ❊✷

◮ ❊❣✱ tr❛♥s❢♦r♠ ✏✷✰✵✑ ✐♥t♦ ✏✷✑✱ ♦r tr❛♥s❢♦r♠ ✏✹✯✭✷✰✵✮✑ ✐♥t♦

✏✹✯✷✑

◮ ◆♦✇ ❊✷ ♠✉st st✐❧❧ r❡♣r❡s❡♥t ✷✰✵ ✭♣❡r❤❛♣s ✏✷✑✮ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹

SLIDE 3

❙②♥t❛①

◮ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✉s❡ ◮ ❧♦✇❡r ❝❛s❡ ❧❡tt❡rs✿ ④ ❛✱ ❜✱ ❝✱ ❞✱ . . . ⑥ ◮ ❢♦✉r s②♠❜♦❧s✿ λ ⑤ ✭ ✮ ◮ ❊❛❝❤ ❧❡tt❡r r❡♣r❡s❡♥ts ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ◮ ❚❤r❡❡ ❦✐♥❞s ♦❢ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ◮ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t ◮ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ◮ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❊①♣r❡ss✐♦♥s

❢ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❞❡♥t✐❢❡r ✭❢ ❣✮ ❛♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢ t♦ ❣ ✭λ①⑤ ✭① ②✮✮ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r ① ❛♥❞ ❜♦❞② ✭① ②✮ ❇♦❞② ✐s ❛♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✦ ✭λ② ⑤ ✭λ①⑤ ✭② ✭② ①✮✮✮ ✮ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r ② ❛♥❞ ❜♦❞② ✭λ① ⑤ ✭② ✭② ①✮✮✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✻

SLIDE 4

❋♦r♠❛❧ ❇◆❋ ●r❛♠♠❛r

❡①♣r❡ss✐♦♥✿❂✐❞❡♥t✐❢✐❡r ⑤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ⑤ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✿❂ ✧✭✧ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✧✮✧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿❂ ✧✭λ✧ ✐❞❡♥t✐❢✐❡r ✧⑤✧ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✧✮✧ ✐❞❡♥t✐❢✐❡r✿❂ ❛ ⑤ ❜ ⑤ ❝ ⑤ · · ·

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✼

❚❤❡ λ ❉❡✜♥✐t✐♦♥

◮ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r♠✿ ✭λ✐❞❡♥t✐❢✐❡r ⑤

❡①♣r❡ss✐♦♥✮

◮ λ ✐s ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛ s✐♥❣❧❡ ✐❞❡♥t✐✜❡r✱

❝❛❧❧❡❞ ❛ ❢♦r♠❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦r ✈❛r✐❛❜❧❡

◮ ❲❤❡♥ t❤❡ λ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛♥ ❛r❣✉♠❡♥t ❊✱

t❤❡ ❢♦r♠❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ✇✐❧❧ ❜✐♥❞ t♦ ❊✳ ❇❡❧♦✇ t❤❡ ✐❞❡♥t✐❢✐❡r① ❜✐♥❞s t♦ ✈❛❧✉❡ ② ✭ ✭λ① ⑤ ❜♦❞②✮ ② ✮

◮ ❆♣♣❡❛r❛♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❡r ✐♥ t❤❡ ❜♦❞② ♦❢ t❤❡ λ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞

✐♥st❛♥❝❡s

◮ ❊✈❡r② ✐♥st❛♥❝❡ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✖ t❤❡ ♦♥❡ λ ✇❛s

❝❛❧❧❡❞ ♦♥✳ ■♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❜❡❧♦✇✱ ❡❛❝❤ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ① r❡❢❡rs t♦ ②✳

✭ ✭λ① ⑤ ✭ ①

• ✐♥st❛♥❝❡

①

• ✐♥st❛♥❝❡

✮✮ ② ✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✽

SLIDE 5

◆♦t❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡s

◮ ❲❤❡r❡ ♦r❞❡r ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐s ❝❧❡❛r✱ ❝❛♥ ❞r♦♣ ❜r❛❝❦❡ts ◮ ❈❛♥ ✉s❡ s♣❛❝✐♥❣ ❛r❜✐tr❛r✐❧② t♦ ❛✐❞ r❡❛❞❛❜✐❧✐t② ◮ ■♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥✐t✐♦♥

✭λ①⑤ ✭① ②✮✮ ≡ ✭λ①⑤ ① ②✮ ≡ ✭λ①⑤ ①②✮

◮ ■♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

✭❢ ❣✮ ≡ ❢ ❣ ≡ ❢❣

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✾

❆ss♦❝✐❛t✐✈✐t② ♦❢ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ♦♣❡r❛t♦rs

◮ ❆ss♦❝✐❛t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❧✐❦❡ ✐♥t❡❣❡r ❛❞❞✐t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥

❛♥② ♦r❞❡r ✭✶✰✷✮✰✸ ❂ ✶ ✰ ✭✷✰✸✮

◮ ◆♦♥✲❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❧✐❦❡ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝♦♠♣♦s❡❞

✐♥ ❛♥② ♦r❞❡r ✭✺✲✸✮✲✷ = ✺✲✭✸✲✷✮

◮ λ✲❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡

✭λ❈ ♠✉st ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ r❡♣r❡s❡♥t ♥♦♥✲❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✦✮

◮ ❇② ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥✱ λ✲❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ❧❡❢t✲❛ss♦❝✐❛t✐✈❡✳✳✳ t❡r♠s ❣r♦✉♣

❢r♦♠ t❤❡ ❧❡❢t ❢ ❣ ❤ ≡ ✭✭❢ ❣✮ ❤✮ ≡ ✭❢ ✭❣ ❤✮✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✵

SLIDE 6

▼♦r❡ ▲❡❢t✲❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t② ❊①❛♠♣❧❡s

❢ ❣ ❤

?

≡ ✭❢ ❣✮ ❤ ❨❊❙ ✭λ❛ ⑤ ✭❛ ✭❛ ❜✮✮✮

?

≡ ✭λ❛ ⑤ ❛ ❛ ❜✮ ◆❖ ✭λ③ ⑤ ✭❛ ✭λ②⑤ ❜✮✮✮

?

≡ ✭λ③ ⑤ ❛ ✭λ②⑤ ❜✮✮ ❨❊❙ ❛ ❜ ✭❝ ❞✮

?

≡ ❛ ❜ ❝ ❞ ◆❖ ✭❛ ❜✮ ❝ ❞

?

≡ ❛ ❜ ❝ ❞ ❨❊❙

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✶

❋r❡❡ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ❱❛r✐❛❜❧❡s

◮ ❆♥ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✈ ✐s ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❊ ✇❤❡♥ ✐t ✐s✿ ◮ ❛ ❢♦r♠❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦❢ ❛ λ ◮ ✐t ✐s ❡♥❝❧♦s❡❞ ❜② ❛ λ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❊

✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ③✮ ✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

✮ ✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ② ①

• ❜♦✉♥❞

③✮ ✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ✭λ ②

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

②

• ❜♦✉♥❞

✮ ✮ ✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ✭λ ②

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

②

• ❜♦✉♥❞

✮ ✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✷

SLIDE 7

❋r❡❡ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ❱❛r✐❛❜❧❡s

◮ ❆ ✈❛r✐❛❜❧❡ t❤❛t ✐s ♥♦t ❜♦✉♥❞ ✐s ❢r❡❡

②

• ❢r❡❡

✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ②

• ❢r❡❡

✮ ✭ ②

• ❢r❡❡

✭ λ②

• ❜♦✉♥❞

⑤ ②

• ❜♦✉♥❞

✮ ✮ ✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ✭⑤ q

• ❢r❡❡

②

• ❢r❡❡

✮ ✮

◮ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ❢r❡❡ ✐♥st❛♥❝❡s ♦❢ s❛♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤✐♥ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥✿

✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

②

• ❢r❡❡

✭ λ②

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

②

• ❜♦✉♥❞

③

• ❢r❡❡

✮ ②

• ❢r❡❡

✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✸

▼♦r❡ ♦♥ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s

◮ ❋r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❧❛t❡r ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❛♥

❡♥❝❧♦s✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

②

• ❢r❡❡

✮ ✭ λ②

• ❜♦✉♥❞

✭ λ①

• ❜♦✉♥❞

⑤ ①

• ❜♦✉♥❞

②

• ❜♦✉♥❞

✮✮

◮ ❱❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❞❡r✐✈❡ t❤❡✐r ♠❡❛♥✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t

t❤❡ ❡♥❝❧♦s✐♥❣ λ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦

◮ ❚❤❡② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✧❛ss✐❣♥❡❞✧ ❛ ♥❡✇ ✧✈❛❧✉❡✧ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✹

SLIDE 8

▼♦r❡ ❈♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✿ ❈♦❧❧❛♣s✐♥❣ ❊♥❝❧♦s✐♥❣ λ✬s

◮ ❚❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ ❛ λ ✐s t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ t♦ ✇❤✐❝❤ ✐ts ❜✐♥❞✐♥❣s ❛♣♣❧②

✭λ① ⑤ ✭λ②⑤②✮ ①✮✮ ✭✭λ✇ ⑤ ✇✮ ✈ ✮

◮ ❙❝♦♣❡ ♦❢ ♦✉t❡r λ ✐♥❝❧✉❞❡s ✭λ②⑤②✮ ① ◮ ■❢ t❤❡ s❝♦♣❡s ♦❢ ♥❡st❡❞ λ✬s ❝♦✐♥❝✐❞❡✱ t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ❝❛♥ ❜❡

❝♦❛❧❡s❝❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♠✉❧t✐✲❛r❣✉♠❡♥t λ ✭ λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ②✮✮ ≡ ✭λ①② ⑤ ①②✮

◮ ❏✉st ♥♦t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✦✦ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✺

λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥

◮ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐s ✳✳✳

❘❡❞✉❝✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡① ❡①♣r❡ss✐♦♥ t♦ ✏s✐♠♣❧❡r✑ ❢♦r♠

◮ ✭ ✭λ③ ⑤ ✭③ ②✮✮ ✇ ✮ →✭✇ ②✮

❬❊✈❡r② ♦❝❝✉r❛♥❝❡ ♦❢ ③ →✇❪

◮ ✭ ✭λ③ ⑤ ✭③ ②✮✮ ✭λ✇ ⑤ ✇✮ ✮ →✭ ✭λ✇ ⑤ ✇✮ ②✮ ✮

❬❊✈❡r② ♦❝❝✉r❛♥❝❡ ♦❢ ③ →✭λ✇ ⑤ ✇✮❪ ✭ ✭λ✇ ⑤ ✇✮ ②✮ ✮ → ② ❬❊✈❡r② ♦❝❝✉r❛♥❝❡ ♦❢ ✇ →②❪

◮ ◆❡❡❞ t♦

✏❘❡♣❧❛❝❡ ❡✈❡r② ♦❝❝✉r❛♥❝❡ ♦❢ ③ ✐♥ ✭③ ②✮ ✇✐t❤ ✭λ✇ ⑤ ✇✮✑ ✏❘❡♣❧❛❝❡ ❡✈❡r② ♦❝❝✉r❛♥❝❡ ♦❢ ✐❞❡♥t✐✜❡r ✐♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✇✐t❤ ❡①♣r❡ss✐♦♥✬✑

◮ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✻

SLIDE 9

❙✉❜st✐t✉t✐♦♥

◮ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s r✉❧❡s ✉s❡s ❛ s♣❡❝✐❛❧ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ◮ ●❡♥❡r❛❧❧②✿ ✇r✐t❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ ① ❢♦r ② ✐♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥

❊❛s✿ [①/②] ❊ ❬①✴②❪ ✭③ ②✮ → ✭③ ①✮ ❬✭❛ ❜✮✴②❪ ✭λ③ ⑤✭③ ②✮✮ → ✭λ③ ✭③ ✭❛ ❜✮✮✮

◮ ■♥ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s✱ ♦♥❧② ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ r❡♣❧❛❝❡❞✿

❬①✴②❪ ✭③ ✭λ②⑤③ ②✮✮ → ✭③ ✭λ②⑤③ ②✮✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✼

▲❡❣❛❧ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥

◮ ▲❡❣❛❧ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ◮ ▲❡❣❛❧✿ ❙✉❜st✐t✉t❡ ① ❢♦r ②

❬①✴②❪ ✭λ③ ⑤ ②③✮ → ✭λ③ ⑤ ①③✮

◮ ■❧❧❡❣❛❧ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❜✐♥❞✐♥❣s ♥♦t ♣r❡s❡♥t ✐♥ ♦r✐❣✐♥❛❧

❡①♣r❡ss✐♦♥s ❬③✴②❪ ✭λ③ ⑤ ②③✮ →✭λ③⑤③③✮

◮ ■❧❧❡❣❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♥❛♠❡❞ ② ✐♥ ✭λ③ ⑤ ②③✮

✇❛s ❢r❡❡ ❜✉t ♥♦✇✱ ❛s ③✱ ✐s ❜♦✉♥❞ ❬ ✭λ①⑤①③✮ ✴ ②❪ ✭λ③⑤②③✮ → ✭λ③⑤✭λ①⑤①③✮③✮

◮ ■❧❧❡❣❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ ③ ✇❛s ❢r❡❡ ✐♥ ✭λ①⑤①③✮ ❜✉t ♥♦✇ ✐s

❜♦✉♥❞

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✽

SLIDE 10

β ✭❇❡t❛ ❘✉❧❡✮✿ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

◮ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

✭✭λ① ⑤ ❊✮ ❋✮ ❤❛s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭λ① ⑤ ❊✮ ❛♥❞ ❛r❣✉♠❡♥t ❋

◮ β✲r✉❧❡✿ ❛♣♣❧②

✭λ① ⑤ ❊✮ t♦ ❋ ≡ s✉❜st✐t✉t❡ ❋ ❢♦r ❡✈❡r② ❢r❡❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ ① ✐♥ ❜♦❞② ❊ ❡✈❛❧❬ ✭λ① ⑤ ❊✮ ❋ ✮ ❪ ≡ ❬❋✴①❪λ ❊ ✐❢ ❬❋✴①❪λ ✐s ❧❡❣❛❧

◮ β ❞❡✜♥❡s ❛ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ s②♠❜♦❧s ❛♥❞

❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✶✾

❙✉❜st✐t✉t✐♦♥ ▲❡❣❛❧✐t② ❛♥❞ t❤❡ β✲r✉❧❡

◮ β✲r✉❧❡ st❛rts ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ ✭ ✭λ① ⑤ ❊✮ ❋ ✮ ◮ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✐s ✐❧❧❡❣❛❧ ♦♥❧② ✐❢

∃ ❢r❡❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡s ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ ❋ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡❝♦♠❡ ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❊

◮ ▲❛t❡r✱ ❛ ✇❛② t♦ ✜① t❤✐♥❣s ✇❤❡♥ ❛ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✐❧❧❡❣❛❧ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✵

SLIDE 11

β ❡①❛♠♣❧❡✿ ❝♦♥st❛♥t ❛r❣✉♠❡♥t

✭λ❢ ⑤ ✭❢ ①✮✮ s

β

→ ❬s✴❢❪ ✭❢ ①✮ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ s t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✱ ❣♦ ❛❤❡❛❞ ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t❡ ≡✭s ①✮ ❈❛♥ ✇❡ ❞♦ ♠♦r❡❄ ◆♦ ✲ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✶

β ❡①❛♠♣❧❡✿ λ❛r❣✉♠❡♥t

✭ ✭λ❢ ⑤ ✭❢ ①✮✮ ✭λ② ⑤ ②✮ ✮

β

→ ❬✭λ② ⑤ ②✮✴❢ ❪ ✭❢ ①✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭λ② ⑤ ②✮ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✳ ≡ ✭ ✭λ②⑤ ②✮ ①✮ ✭ ✭λ②⑤ ②✮ ①✮

β

→ ❬① ✴ ②❪ ② ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ① ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✳ ≡ ①

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✷

SLIDE 12

β ❡①❛♠♣❧❡✿ ❝♦♥st❛♥t s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

✭ ✭λ❢ ⑤ ✭❢ ✭❢ ①✮✮✮ s✮

β

→ ❬s ✴❢❪ ✭❢ ✭❢ ①✮✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ s ❣❡t ❜♦✉♥❞❄◆♦✳ ≡✭s ✭s ①✮✮ ❈❛♥ ✇❡ ❞♦ ♠♦r❡❄ ◆♦ ✲ ✐♥ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✸

β ❡①❛♠♣❧❡✿ λ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s

✭ ✭λ❢ ⑤ ✭❢ ✭❢ ①✮✮✮ ✭λ② ⑤ ②✮ ✮

β

→❬ ✭λ② ⑤ ②✮ ✴ ❢ ❪ ✭❢ ✭❢ ①✮✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭❢ ✭❢ ①✮✮ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✳ ≡✭ ✭λ②⑤ ②✮ ✭✭λ② ⑤ ②✮ ①✮✮ ❆r❡ ✇❡ ❞♦♥❡❄ ◆♦ ✭ ✭λ②⑤ ②✮ ✭✭λ② ⑤ ②✮ ①✮✮

β

→✭ ✭λ②⑤ ②✮ ❬① ✴ ②❪ ② ✮ ✭ ✭λ②⑤ ②✮ ①✮ ◆♦✇ ❛r❡ ✇❡ ❞♦♥❡❄ ◆♦ ✭ ✭λ②⑤ ②✮ ①✮

β

→ ❬① ✴ ②❪ ② →①

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✹

SLIDE 13

β ❡①❛♠♣❧❡✿ ❝♦♠♣❧❡① ♠✉❧t✐♣❧❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥

✭ ✭λ❢ ⑤ ✭❢ ✭❢ ①✮✮✮ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮ ✮ ✮ ≡✭λ❢ ⑤ ✭❢ ✭❢ ①✮✮✮ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮ ✮

β

→ ❬✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮ ✮✴❢❪ ✭❢ ✭❢ ①✮✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮ ✮ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦ ≡✭ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ✭ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ①✮✮✮ ✭ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ✭✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ①✮✮✮

β

→✭ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ❬①✴②❪ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ✮✮ ≡ ✭ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ①✮✮✮ ✮ ✭ ✭λ② ⑤ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮✮ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ①✮✮✮ ✮

β

→❬✭❣ ✭❣ ✭❣ ①✮✮✮ ✴ ② ❪ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ②✮✮✮ →✭❣ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ✭❣ ①✮✮✮ ✮✮✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✺

❆ ❢♦r♠❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ β✲s✉❜st✐t✉t✐♦♥

◮ ▲❡t ❊✱ ❋ ❛♥❞ ● ❜❡ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s❀

① ❛♥❞ ② ❜❡ ❞✐st✐♥❝t λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✐❞❡♥t✐✜❡rs ✭❝♦♥st❛♥ts✮ ❬❊ ✴ ①❪ ① → ❊ ❬❊ ✴ ①❪ ② → ② ❬❊ ✴ ①❪ ✭❋ ●✮ → ✭ ❬❊ ✴ ①❪ ❋ ❬❊ ✴ ①❪ ● ✮ ❬❊ ✴ ①❪ ✭λ① ⑤ ❋✮ → ✭λ① ⑤ ❋✮ ❬❊ ✴ ①❪ ✭λ② ⑤ ❋✮ ✇❤❡r❡ ❊ ❤❛s ♥♦ ❢r❡❡ ✐♥✲ st❛♥❝❡s ♦❢ ② → ✭λ② ⑤ ❬❊ ✴ ①❪ ❋✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✻

SLIDE 14

❱❛r✐❛❜❧❡ ◆❛♠❡s ✐♥ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s

◮ ❚❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❡r ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t ❛ ❇❖❯◆❉ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ✐rr❡❧❡✈❛♥t ◮ ▼❡❛♥✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ λ t❤❛t ✐♥tr♦❞✉❝❡s ✐t ✳✳✳

❛♥❞ ❤♦✇ ✐t ✐s ✉s❡❞ ✐♥ λ✬s ❜♦❞②

◮ ■❢ ✇❡ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❡r ✉s❡❞ ✐♥ ❛ ❢♦r♠❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞ ❛❧❧

♦❢ ✐ts ❜♦✉♥❞ ♦❝❝✉r❡♥❝❡s✱ t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ✉♥❛❧t❡r❡❞ ✭λ① ⑤ ① ✮

?

≡ ✭λ② ⑤ ②✮ ❨❊❙✦ ✭λ① ⑤ ① ✮

?

≡ ✭λ① ⑤ ②✮ ◆♦✦ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ②✮✮

?

≡ ✭λ❛ ⑤ ✭λ❜ ⑤ ❛ ❜✮✮ ❨❊❙✦ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ②✮✮

?

≡ ✭λ❛ ⑤ ✭λ❜ ⑤ ❜ ❛✮✮ ◆❖✦

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✼

❱❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s

✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ②✮✮

?

≡ ✭λ② ⑤ ✭λ① ⑤ ② ①✮✮ ❨❊❙✦ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ②✮✮

?

≡ ✭λ② ⑤ ✭λ① ⑤ ① ②✮✮ ◆❖✦ ✭λ① ⑤ ✭λ✇ ⑤ ✇✮ ①✮

?

≡ ✭λ② ⑤ ✭λ✇ ⑤ ✇✮ ②✮ ❨❊❙ ✦ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ②✮ ①✮

?

≡ ✭λ② ⑤ ✭λ② ⑤ ②✮ ②✮ ❨❊❙ ✭s❛♠❡ ❛s ❛❜♦✈❡✦✮ ✳✳✳ ❜✉t ❝♦♥❢✉s✐♥❣✦ ❚❤✐♥❦ ✳✳✳✭λ② ⑤ ✭λ② ⑤ ②✮ ②✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✽

SLIDE 15

α ✭❆❧♣❤❛ ❘✉❧❡✮✿ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥

◮ ❚❤❡β✲r✉❧❡ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ✳✳✳

✭ ✭λ② ⑤ ✭λ③ ⑤ ②③✮✮ ③ ✮

β

→❬③ ✴ ②❪ ✭λ③ ⑤ ②③✮ ≡ ✭λ③ ⑤ ③③ ✮ ❲❤② ♥♦t❄ ③ ✇❛s ❢r❡❡ ✐♥ ③ ❜✉t ❜♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ r❡s✉❧t ⇒ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✐s ✐❧❧❡❣❛❧✦

◮

✭λ② ✭λ③⑤②③✮✮ ✭λ①⑤①③✮

β

→❬✭λ①⑤①③✮✴ ②❪ ✭λ③⑤②③✮ ≡ ✭λ③⑤✭λ①⑤①③✮③✮

◮ ❇✉t✱ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐❞❡♥t✐✜❡rs ✐♥ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡♠s❡❧✈❡s ❛r❡ ✐rr❡❧❡✈❛♥t ◮ ❚❤❡ α✲r✉❧❡ ❝❤❛♥❣❡s ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐❞❡♥t✐✜❡rs ✇✐t❤♦✉t ❛❧t❡r✐♥❣

♠❡❛♥✐♥❣

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✷✾

α ✭❆❧♣❤❛ ❘✉❧❡✮✿ ❘❡♥❛♠✐♥❣

◮ α✲r✉❧❡✿ s✉❜st✐t✉t❡ ❛ ♥❡✇ ✐❞❡♥t✐✜❡r ❢♦r t❤❡ ✐♥st❛♥❝❡s ♦❢ ❛♥②

❜♦✉♥❞ ✈❛r✐❛❜❧❡✳✳✳ ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✐s ❧❡❣❛❧

◮ ❏✉st ❝❤♦♦s❡ ❛♥ ✐❞❡♥t✐✜❡r ♥♦t ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✳✳✳

❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❜❡ ❧❡❣❛❧ ✭λ③⑤②③✮

α:q/③

→ ✭λq⑤②q✮

◮ ◆♦t❡✿ ❘❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ❢♦r♠❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞ ❊❱❊❘❨

✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ③ ✇✐t❤ q

◮ ◆♦t❡✿

q ✐s ❛ ◆❊❲ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ♥❡✈❡r ✉s❡❞ ✳✳✳

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✵

SLIDE 16

α ✭❆❧♣❤❛ ❘✉❧❡✮✿ ❊①❛♠♣❧❡s

✭λ❛ ⑤ ❜ ✭λ❝ ⑤ ❝ ❛✮ ❞✮

α:③/❛

→ ✭λ③ ⑤ ❜ ✭λ❝ ⑤ ❝ ③✮ ❞✮ ▲❡❣❛❧ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ② ③✮ ✮

α:②/③

→ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ② ②✮ ✮ ■❧❧❡❣❛❧

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✶

❋♦r♠❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ α

◮ ▲❡t ❊ ❛♥❞❋ ❜❡ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s❀

① ❛♥❞ ② ❜❡ ❞✐st✐♥❝t λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❝♦♥st❛♥ts

◮ ▲❡t ③ ❜❡ ❛ ♥❡✇❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ λ ❝❛❧❝✉❧✉s ❝♦♥st❛♥t

❬❊ ✴ ①❪ ✭λ② ⑤ ❋✮ → ✭λ③ ⑤ ❬❊ ✴①❪ ❬③✴②❪ ❋ ✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✷

SLIDE 17

❯s✐♥❣ α ❛♥❞ β ❚♦❣❡t❤❡r ■

✭λ② ✭λ③⑤②③✮✮ ✭λ①⑤①③✮

◮ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ✉s❡ β r✉❧❡ t♦ s✐♠✉❧❛t❡ ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

β

→❬ ✭λ①⑤①③✮✴ ② ❪ ✭λ③⑤②③✮

◮ ▲❡❣❛❧ s✉❜st✐t✉t✐♦♥❄ ◆♦✳ ❋r❡❡ ③ ✐♥ ✭λ①⑤①③✮ ❜❡❝♦♠❡s ❜♦✉♥❞ ◮ ❯s❡ α r✉❧❡ t♦ r❡♥❛♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡

α

→❬ ✭λ①⑤①③✮✴ ② ❪ ❬q✴③❪ ✭λ③⑤②③✮≡❬ ✭λ①⑤①③✮✴ ② ❪ ✭λq⑤②q✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✸

❯s✐♥❣ α ❛♥❞ β ❚♦❣❡t❤❡r ■■

◮ ◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣❧② β✲s✉❜st✐t✉t✐♦♥

❬ ✭λ①⑤①③✮✴ ② ❪ ✭λq⑤②q✮≡ ✭λq⑤ ✭λ①⑤①③✮ q✮ ✭λq⑤ ✭λ①⑤①③✮ q✮

β

→ ✭λq⑤ ❬q ✴① ❪ ①③✮ ≡✭λq⑤ q ③✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✹

SLIDE 18

α ❛♥❞ β ❆r❡ ❈♦♠♣❧❡t❡

❇P✿ ✐t ✐s st✐❧❧ ✉♥❝❧❡❛r t♦ ♠❡ ✐❢ t❤✐s ✐s ♠♦r❡ t❤❛♥ ❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✲ ❛s ✐♥ t❤❡ ✬❈❤✉r❝❤✲❚✉r✐♥❣ ❚❤❡s✐s✧✳

◮ ❲❡ ❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t ❛♥② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❛s ❛ λ ❝❛❧❝✉❧✉s

❡①♣r❡ss✐♦♥✦✦

◮ ❚✉r✐♥❣ ❊q✉✐✈❛❧❡♥ts✦ ◮ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ≡❆♣♣❧② α✱ β r✉❧❡s ✭♠❛♥② t✐♠❡s✦✮ t♦ r❡❞✉❝❡

❣✐✈❡♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ t♦ ✏✉♥r❡❞✉❝✐❜❧❡✑ ❢♦r♠

◮ ■♥t❡r♣❡t ✈❛❧✉❡ ♦❢ r❡s✉❧t✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛s r❡s✉❧t ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ◮ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ r❡q✉✐r❡s ♦♥❧② t✇♦ r✉❧❡s ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✺

η ✭❊t❛ ❘✉❧❡✮✿ ◆✉❧❧ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

◮ ❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ β✲r✉❧❡✿ (λ① |❊) ✈

β

→ [✈/①] ❊

◮ ❆❝❝❡❧❡r❛t❡s ❘✉❧❡ ✺ ♦❢ β s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ◮ ■❢ ① ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r ❛s ❛ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥❊✱ t❤❡♥ ❊ ❞♦❡s♥✬t

❝❤❛♥❣❡

◮ η✲r✉❧❡✿ ◮ ■❢ ① ✐s ♥♦t ❢r❡❡ ✐♥

❊ t❤❡♥ ✭✭λ① ⑤ ❊✮ ✈✮

η

→ ❊

✭✭λ❛ ⑤ ❝ ❞✮ q✮ → ✭❝ ❞✮ ✭λ① ⑤ ✭λ① ⑤ ① ②✮✮ ✈ → ✭λ① ⑤ ① ②✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✻

SLIDE 19

λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ■♥t❡r♣r❡t❡rs

◮ ❚♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ❛ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✐♥t❡r♣r❡t❡r ◮ ▼✉st ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✐❢ ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❢r❡❡ ♦r ❜♦✉♥❞

✳✳✳ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❧❛s❤❡s ✇✐t❤ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

◮ ❋❛st❡r t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ st❛t✉s ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ① ✐♥ ❊✱ t❤❛♥ t♦

✏❜✉✐❧❞✑ ❛ ♥❡✇ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✇✐t❤♦✉t ❛♥② ❝❤❛♥❣❡s ⇒η✲r✉❧❡

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✼

❖♥ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s

◮ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s r❡❞✉❝❡s ❡①♣r❡ss✐♦♥s t♦ ✏s✐♠♣❧❡r✑ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✉s✐♥❣

β ❛♥❞ η r✉❧❡s

◮ ❲❤② s❝❛r❡ q✉♦t❡s❄ ◮ β✲r✉❧❡ ❛♥❞ η✲r✉❧❡ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ r❡❞✉❝t✐♦♥s ✭α ✐s ♥♦t ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥✮ ◮ ■❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ◆ ❢r♦♠ ▼ ✉s✐♥❣ ❛ sq✉❡♥❝❡ ♦❢ β ❛♥❞ η

♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ t❤❡♥ ▼ ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡ t♦ ◆

◮ ❆♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ r❡❞✉① ◮ ❈❛♥ ♦♥❧② r❡❞✉❝❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t❤❛t ❝♦♥t❛✐♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ◮ ❈❛♥♥♦t r❡❞✉❝❡

❢✱ ✭❢ ❣✮✱ ✭λ❢ ⑤ ✭❢ ❣✮✮

◮ ❈❛♥ r❡❞✉❝❡

✭ ✭λ① ⑤ ✭✇ ①✮✮ ②✮

◮ ❆♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ♥♦ r❡❞✉①❡s ✐s ✐♥ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

✭✐✳❡✳ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✽

SLIDE 20

❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ◗✉❡st✐♦♥s

◮ ❙♦ ✏✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✑ ≡✑r❡❞✉❝✐♥❣ t♦ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✑ ◮ ◗✉❡st✐♦♥s✳✳✳ ◮ ■s t❤❡r❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ✇❛② t♦ r❡❞✉❝❡ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥❄ ◮ ■s t❤❡r❡ ♦♥❡ ✉♥✐q✉❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❡✈❡r② ❡①♣r❡ss✐♦♥❄ ◮ ■s ❡✈❡r② ❡①♣r❡ss✐♦♥ r❡❞✉❝✐❜❧❡❄ ◮ ■❢ ♥♦t✱ ✇❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s❄ ◮ ❋✐rst t♦♣✐❝✿ ❖r❞❡r ♦❢ r❡❞✉❝t✐♦♥s✳✳✳ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✸✾

❖r❞❡r ♦❢ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s✿ ◆♦r♠❛❧ ■

◮ ◆♦r♠❛t✐✈❡ ❖r❞❡r✿ ❧❡❢t♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✜rst ◮ ❲❤✐❝❤ ✐s ❧❡❢t♠♦st ❢✉♥❝t✐♦♥❄

✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮ ✭λ①⑤✭λ②⑤①✮✮

• ❧❡❢t♠♦st

✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮ ✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮

β

→❬✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮ ✴ ①❪ ✭λ② ⑤①✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦ ≡✭λ② ⑤ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✵

SLIDE 21

❖r❞❡r ♦❢ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s✿ ◆♦r♠❛❧ ■■

✭λ② ⑤ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮✮ ▲❡❢t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥❄ ✭λ② ⑤ ✭✭λ✉⑤③✮ ✉✮

• ❧❡❢t♠♦st

✮ ✭λ② ⑤ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮ ✮

β

→ ✭λ② ⑤ ❬✉ ✴ ✉ ❪ ③ ✮ ❆♥② ❢r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✉ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✳ →✭λ② ⑤ ③ ✮ ❉♦♥❡❄ ❨❡s ✲ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✶

❖r❞❡r ♦❢ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ■

◮ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ❖r❞❡r✿ ✐♥♥❡r♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✜rst ◮ ▲✐❦❡ ▲■❙P✿ ❡✈❛✉❧❛t❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✜rst✱ t❤❡♥ ❛♣♣❧② ❢✉♥❝t✐♦♥

✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮ ✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ✭ ✭λ✉⑤③✮ ✐♥♥❡r♠♦st ✉✮ ✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ✭✭λ✉ ⑤ ③✮ ✉ ✮

β

→ ✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ❬✉ ✴✉ ❪ ✭λ✉ ⑤ ③✮ ❛♥② ❢r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✉ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄◆♦✳ ≡ ✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ③ ❉♦♥❡❄ ◆♦♣❡

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✷

SLIDE 22

❖r❞❡r ♦❢ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ■■

✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ③ ■♥♥❡r♠♦st❄ ✭λ①⑤(λ②⑤①✮✮

• ✐♥♥❡r♠♦st

③ ✭λ①⑤✭λ② ⑤①✮✮ ③

β

→❬③ ✴ ①❪ ✭λ② ⑤①✮ ❆♥② ❢r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ① ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦ ≡ ✭λ② ⑤ ③✮ ❉♦♥❡❄ ❨❡s ✲ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✸

❖r❞❡r ♦❢ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s✿ ❈♦♠♠❡♥t

◮ ❨♦✉ ♠❛② ❝❤♦♦s❡ ◮ ♥♦r♠❛t✐✈❡ ✭❧❡❢t✲♠♦st ❧❡❣❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✮ ♦r ◮ ❛♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r ✭✐♥♥❡r♠♦st ❧❡❣❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✮ ♦r ◮ ✳✳✳ ◮ ❍♦✇❡✈❡r✱ s✐♥❝❡ λ ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❧❡❢t✲❛ss♦❝✐❛t✐✈❡✱ ◮ ❛t ❛♥② ❣✐✈❡♥ ❧❡✈❡❧ ✇✐t❤✐♥ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ②♦✉ ♠✉st r❡❞✉❝❡ t❤❡

❧❡❢t♠♦st ♦❢ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✜rst

◮ ❙♦ ✐♥✿ ❛❜❝✭❝❞❡✮ ◮ ▼❛② ❛♣♣❧② ❝ t♦ ❞ ✭❛♣♣❧✐❝❛t✐✈❡✮ ♦r ❛ t♦ ❜ ✭♥♦r♠❛t✐✈❡✮ ◮ ❈❆◆◆❖❚ ❛♣♣❧②

❜ t♦ ❝ ♥♦r ❝ t♦ ✭❝❞❡✮ ♥♦r ❞ t♦ ❡ ✭✈✐♦❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❧❡❢t✲❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t②✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✹

SLIDE 23

❈❤✉r❝❤ ❛♥❞ ❘♦ss❡r ❚❤❡♦r❡♠

◮ ▲❡t ❆✱❇✱❈✱❉ ❜❡ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s

❛♥❞

✶

→✱

✷

→,

✸

→ ❛♥❞

✹

→ ❜❡ r❡❞✉❝t✐♦♥s ♦❢ ③❡r♦ ♦r ♠♦r❡ st❡♣s

◮ ❈❤✉r❝❤ ❛♥❞ ❘♦ss❡r ❚❤❡♦r❡♠ ■ ◮ ■❢

❆

✶

→❇ ❛♥❞ ❆

✷

→ ❈✱

◮ ❚❤❡♥ ∃ ❉

✸

→ ❛♥❞

✹

→ s✳t✳ ❇

✸

→ ❉ ❛♥❞ ❈

✹

→❉

◮ ✐✳❡✳✱ ❞✐✛❡r❡♥t r❡❞✉❝t✐♦♥s ♦❢ ❆ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ t♦ t❤❡

s❛♠❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭❢✉♥❝t✐♦♥✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✺

❯♥✐q✉❡♥❡ss ❈♦r♦❧❧❛r②

◮ ❈♦r♦❧❧❛r②✿ ●✐✈❡♥ t✇♦ r❡❞✉❝t✐♦♥s ❆

✶

→❇ ❛♥❞ ❆ ✷ → ❈

◮ ■❢ ❇ ❛♥❞ ❈ ❛r❡ ✐♥ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱ ♥❡✐t❤❡r ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞

❢✉rt❤❡r

◮ ❇② ❈❤✉r❝❤ ❛♥❞ ❘♦ss❡r ■✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡❞✉❝❡ ❈ ❛♥❞ ❇ t♦ ❛♥

✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✐♥ ③❡r♦ ♦r ♠♦r❡ st❡♣s

◮ ❙✐♥❝❡ ❜♦t❤ ❈ ❛♥❞ ❇ ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡❞ r❡❞✉❝t✐♦♥

♠✉st ❜❡ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ③❡r♦ ❛♥❞ ❈ ❛♥❞ ❇ ❛r❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧

◮ ❆❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥s t❤❛t r❡s✉❧t ✐♥ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱

r❡s✉❧t ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✉♥✐q✉❡ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ✦

◮ ✳✳✳ ❞♦❡s ❡✈❡r② r❡❞✉❝t✐♦♥ r❡s✉❧t ✐♥ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠❄❄❄ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✻

SLIDE 24

❊①✐st❡♥❝❡ ❚❤❡♦r❡♠

◮ ❈❤✉r❝❤ ❛♥❞ ❘♦ss❡r ❚❤❡♦r❡♠ ■■ ◮ ■❢ ❆→❇

❛♥❞ ❇ ✐s ✐♥ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ t❤❡♥ ❆→❇ ❜② ♥♦r♠❛t✐✈❡ ♦r❞❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

◮ ■❢ ❆ ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱

✐t ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② ♥♦r♠❛❧ ♦r❞❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

◮ ◆♦t ❡✈❡r② ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❤❛s ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

✭λ①⑤ ① ①✮ ✭λ ①⑤ ① ①✮ ✭λ①⑤ ① ①✮ ✭λ ①⑤ ① ①✮ → ✭λ①⑤ ① ①✮ ✭λ ①⑤ ① ①✮

◮ ❇❡❝❛✉s❡ r❡❞✉❝t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ t❡r♠✐♥❛t❡✱

t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

◮ ❚❤✐s r❡s✉❧t ♣r❡❞❛t❡s t❤❡ ❤❛❧t✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✦ ❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✼

❘❡❞✉❝t✐♦♥ ❖r❞❡rs ❛s P❛r❛♠❡t❡r ❚②♣❡s

◮ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r r❡❞✉❝t✐♦♥ ❡✈❛❧✉❛t❡s ✐♥♥❡r♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

✜rst

◮ ≈ ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ ❛r❣✉♠❡♥ts ❜❡❢♦r❡ ♣❛ss✐♥❣ t❤❡♠ ◮ ❈❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ✧❝❛❧❧ ❜② ✈❛❧✉❡✧ ◮ ◆♦r♠❛t✐✈❡ ♦r❞❡r r❡❞✉❝t✐♦♥ ❡✈❛❧✉❛t❡s ❧❡❢t♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✜rst ◮ ≈♣❛ss✐♥❣ ✉♥❡✈❛❧✉❛t❡❞ ❡①♣r❡ss✐♦♥s t♦ ❢✉♥❝t✐♦♥ ◮ ❈❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ✧❝❛❧❧ ❜② ♥❛♠❡✧ ◮ P❛ss❡❞✲✐♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♠✉st st✐❧❧ ❜❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ✐♥ ❜♦❞② ♦❢

❢✉♥❝t✐♦♥

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✽

SLIDE 25

❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ♦❢ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ✈s✳ ◆♦r♠❛❧ ❖r❞❡r

◮ ❚❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t t♦

✭λ① ⑤ ② ✮ ❞♦❡s ♥♦t ♠❛tt❡r

◮ ✭ ✭λ① ⑤ ② ✮❊✮ → ②

❢♦r ❛♥② ❊

◮ ❍❡r❡✱ ❡①♣r❡ss✐♦♥❊✐s ❛♥ ✉♥♥❡❡❞❡❞ ❛r❣✉♠❡♥t ◮ η✲r❡❞✉❝t✐♦♥s ◮ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r ♠❛② ❡✈❛❧✉❛t❡ ✉♥♥❡❡❞❡❞ ❛r❣✉♠❡♥ts ◮ ■❢ ❛r❣✉♠❡♥t ❞♦❡s ♥♦t ❤❛✈❡ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱

❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛r❣✉♠❡♥ts ✇✐❧❧ ♥♦t ❤❛❧t

◮ ◆♦r♠❛❧ ♦r❞❡r ❞♦❡s ♥♦t ❡✈❛❧✉❛t❡ ✉♥♥❡❡❞❡❞ ❛r❣✉♠❡♥ts ◮ ■❢ ♦♥❧② ✉♥♥❡❡❞❡❞ ❛r❣✉♠❡♥ts ❧❛❝❦ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱

t❤❡♥ ◆♦r♠❛❧ ♦r❞❡r ✇✐❧❧ ✜♥❞ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

◮ ∃ ❢♦r♠✉❧❛s t❤❛t ❤❛✈❡ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜②

♥♦r♠❛❧ ♦r❞❡r r❡❞✉❝t✐♦♥✱ ❜✉t t❤❛t ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② ❛♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r r❡❞✉❝t✐♦♥

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✹✾

❘❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ◆♦r♠❛❧ ❊①❛♠♣❧❡

✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮ ✭λ③ ✭λ② ⑤ ②✮✮

• ❧❡❢t♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮ ✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮

β

→ ❬ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮✴ ③❪ ✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ❆♥② ❢r❡❡ ✈❛rs ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✳ ≡ ✭λ②⑤ ②✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✵

SLIDE 26

■rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ❊①❛♠♣❧❡

◮ ❯♥❞❡r ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r

✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮ ✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮

• ✐♥♥❡r♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮ ✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮

β

→✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ❬ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✴ ① ❪ ① ① ❆♥② ❢r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦✳ ≡✭λ③ ✭λ②⑤ ②✮✮ ✭ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮ ✮ ◆♦t✐❝❡ ❛♥②t❤✐♥❣ ✜s❤② ❤❡r❡❄ ❲❡ ❛r❡ ❜❛❝❦ t♦ ✇❤❛t ✇❡ st❛rt❡❞ ✇✐t❤✦

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✶

❊①❛♠♣❧❡ ✶ ✿ ◆♦r♠❛❧ ❖r❞❡r

✭λ① ⑤ ✭ λ② ① ⑤ ①✮ ③✮✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮ ❋✐rst st❡♣❄ ■❞❡♥t✐❢② ❧❡❢t♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭λ① ⑤ ✭ λ② ①⑤ ①✮ ③✮✮

• ❧❡❢t♠♦st

✭λ① ⑤ ① ②✮ ✭λ① ⑤ ✭ λ② ① ⑤ ①✮ ③✮✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮ ❘❡❝❛❧❧ ✭λ② ① ⑤ ①✮ ♠❡❛♥s ✭λ② ⑤ ✭ λ① ⑤ ①✮✮

✭λ① ⑤ ✭ λ② ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ③✮✮✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮

β

→❬✭λ① ⑤ ① ②✮ ✴ ①❪ ✭λ② ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ③✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭λ① ⑤ ① ②✮❄ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ◆♦ ❢r❡❡ ✐♥st❛♥❝❡s ♦❢ ① ✇✐t❤✐♥ ✭λ② ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ③✮ ≡ ✭λ ② ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ③✮ ✭λ② ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ③✮

η

→ ✭λ① ⑤ ①✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✷

SLIDE 27

❊①❛♠♣❧❡ ✶ ✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡

✭λ① ⑤ ✭ λ② ① ⑤ ①✮ ③✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮ ❋✐rst st❡♣❄ ■❞❡♥t✐❢② ✐♥♥❡r♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭λ① ⑤ ✭λ② ①⑤ ①✮ ③

• ✐♥♥❡r♠♦st

✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮ ❘❡❝❛❧❧✿ ✭ λ② ① ⑤ ①✮ ♠❡❛♥s ✭ λ② ⑤ ✭ λ① ⑤ ①✮✮ ✭λ① ⑤ ✭ λ② ✭ λ① ⑤ ①✮✮ ③✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮

β

→ ✭λ① ⑤ ❬③ ✴ ② ❪✭ λ① ⑤ ①✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮ ◆♦ ❢r❡❡ ✐♥st❛♥❝❡s ♦❢ ② ✐♥ ✭λ① ⑤ ①✮ ≡ ✭λ① ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮ ✭λ① ⑤ ✭λ① ⑤ ①✮ ✮ ✭λ① ⑤ ① ②✮

η

→ ✭λ① ⑤ ①✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✸

❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ◆♦r♠❛❧ ❖r❞❡r ■

✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮ ❋✐rst t❛s❦✿ ✜♥❞ ❧❡❢t♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭λ① ⑤ ✭λ②⑤ ①✮✮

• ❧❡❢t♠♦st

✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮

β

→❬✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮ ✴ ①❪ ✭λ② ⑤ ①✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭✭ λ① ⑤ ②✮ ①✮ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ❨❊❙✦ →✭λ② ⑤✭✭ λ① ⑤ ②✮ ①✮✮ ❯s❡ α r✉❧❡✳

α

→❬✭✭ λ① ⑤ ②✮ ①✮ ✴① ❪ ❬③✴②❪ ✭λ② ⑤ ①✮ ≡ ❬✭✭ λ① ⑤ ②✮ ①✮ ✴① ❪ ✭λ③ ⑤ ①✮ ✭λ③ ⑤ ✭✭ λ① ⑤ ②✮ ①✮ ✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✹

SLIDE 28

❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ◆♦r♠❛❧ ❖r❞❡r ■■

✭λ③ ⑤ ✭λ① ⑤ ②✮ ① ✮ ✭λ③ ⑤ ✭λ①⑤②✮ ❧❡❢t♠♦st ①✮ ✭λ③ ⑤ ✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮✮

η

→ ✭λ③ ⑤ ② ✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✺

❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ■

✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮ ❋✐rst st❡♣❄ ❋✐♥❞ ✐♥♥❡r♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮

• ✐♥♥❡r♠♦st

✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ✭✭λ① ⑤ ②✮ ①✮

η

→✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ②

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✻

SLIDE 29

❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ■■

✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ①✮✮ ②

✭λ①⑤✭λ②⑤①✮✮

• ✐♥♥❡r♠♦st

②

β

→❬②✴①❪ ✭λ② ⑤ ①✮ ❋r❡❡ ✈❛rs ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ❨❡s

α

→❬②✴①❪❬③✴②❪✭λ② ⑤ ①✮ ≡❬②✴①❪✭λ③ ⑤ ①✮ ≡✭λ③ ⑤ ②✮

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✼

❊①❛♠♣❧❡ ✸✿ ◆♦r♠❛❧ ■ ✭✭λ① ② ⑤ ②✮ ✭✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮✮✮ ❛

❋✐rst st❡♣❄ ❋✐♥❞ ❧❡❢t♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✭λ① ② ⑤ ②✮

• ❧❡❢t♠♦st

✭✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮✮ ❛ ❘❡✲ ❝❛❧❧✿ ✭λ① ② ⑤ ②✮ ≡ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ②✮✮

✭✭λ① ⑤✭λ② ⑤ ②✮✮

• ❧❡❢t♠♦st

✭✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮✮✮ ❛

η

→✭λ② ⑤ ②✮ ❛

β

→❬❛✴②❪ ② ≡ ❛

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✽

SLIDE 30

❊①❛♠♣❧❡ ✸✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐✈❡ ■

✭λ① ② ⑤ ②✮ ✭✭λ① ⑤ ① ①✮ ✭λ① ⑤ ① ①✮✮ ❛ ❋✐rst st❡♣❄ ❋✐♥❞ ✐♥♥❡r♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ✭λ① ② ⑤ ②✮ ✭✭λ① ⑤ ① ①✮

• ✐♥♥❡r♠♦st

✭λ① ⑤ ① ①✮✮ ❛

β

→✭✭λ① ② ⑤ ②✮ ❬ ✭λ① ⑤ ① ①✮✴ ①❪ ✭① ①✮✮ ❛ ❲✐❧❧ ❢r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ❣❡t ✭λ① ⑤ ① ①✮ ❜♦✉♥❞❄ ◆♦ ❢r❡❡ ✈❛rs✦ ≡ ✭λ① ② ⑤ ②✮ ✭✭λ① ⑤ ① ①✮✭λ① ⑤ ① ①✮✮ ❛ ❲❡ ❣❡t t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❜❛❝❦ ❛❣❛✐♥✦

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✺✾

❙❤♦rt❝✉ts ❢♦r ▼✉❧t✐✲❛r❣✉♠❡♥t λ✬s

✭λ① ② ③ ⑤ ❊ ✮ ❆ ❇ ❈ ≡ ✭λ① ⑤ ✭λ② ⑤ ✭λ③ ⑤ ❊✮ ❆ ❇ ❈

β

→ ❬❆✴①❪ ✭λ② ⑤ ✭λ③ ⑤ ❊✮ ❇ ❈ ■❢ ❆ ❤❛s ❢r❡❡ ② ♦r ③✱ ♠✉st r❡✲ ♥❛♠❡ ✭λ② ⑤ ✭λ③ ⑤ ❊✮

β

→ ❬❇✴②❪ ✭λ③ ⑤ ❊✮ ■❢ ❇ ❤❛s ❢r❡❡ ③✱ ♠✉st r❡♥❛♠❡ ✭λ③ ⑤ ❊✮

β

→ ❬❈✴③❪ ❊ ■❢ ❈ ❤❛s ❢r❡❡ ✈❛r ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❊✱ ♠✉st r❡♥❛♠❡ ✳✳✳

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✻✵

SLIDE 31

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ▼✉❧t✐✲❛r❣✉♠❡♥t λ✬s

◮ ❖✉r ❜❛s✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

✭λ ① ② ⑤ ① ②✮ ✭◆ ②✮ ▼ ≡ ✭λ ① ⑤ ✭λ② ⑤ ① ②✮✮ ✭◆ ②✮▼

β

→❬ ✭◆ ②✮ ✴ ① ❪ ✭λ② ⑤ ① ②✮ ▼ ❋r❡❡ ✈❛rs ✐♥ ✭◆ ②✮ ❣❡t ❜♦✉♥❞❄ ❨❡s✦ ▼✉st r❡♥❛♠❡ ② ✐♥ ✭λ② ⑤ ① ②✮✳ ❙❛② ③

α

→❬ ✭◆ ②✮ ✴ ① ❪ ❬③✴②❪ ✭λ② ⑤ ① ②✮ ▼ ≡❬ ✭◆ ②✮ ✴ ① ❪ ✭λ③ ⑤ ① ③✮ ▼ ≡✭λ③ ⑤ ✭◆ ②✮ ③✮ ▼

β

→❬▼ ✴ ③❪ ✭◆ ②✮ ③ ≡ ✭◆ ②✮ ▼

◮ ◆♦t❡✿ ✇❡ r❡♣❧❛❝❡❞

② ✇✐t❤ ③✱ ❜✉t t❤❡♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② r❡♣❧❛❝❡ ③ ✇✐t❤ ▼

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✻✶

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ▼✉❧t✐✲❛r❣✉♠❡♥t λ✬s

◮ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❝❛♥ ♣❡r❢♦r♠ ♠✉❧t✐♣❧❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ◮ ■❢ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✱

❣✐✈❡♥ ✭λ① ⑤ ✭λ② ✳✳✳ ✮✮ ❆ ❇✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ t♦ ❝❤❡❝❦ ❢♦r ❢r❡❡ ②✬s ✐♥ ❆ ❛s ❇ ✇✐❧❧ ❜❡ s✉❜st✐t✉t❡❞ ❢♦r t❤❡ ✧✭λ②✧ ❛♥❞ ❛♥② ❢r❡❡ ②✬s ✐♥ ❆ ✇✐❧❧ r❡♠❛✐♥ ❢r❡❡✳

◮ ❊①❛♠♣❧❡ ❞♦♥❡ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥

✭λ ① ② ⑤ ① ②✮ ✭◆ ②✮ ▼

β

→❬✭◆ ②✮✴①✱ ▼✴②❪ ✭① ②✮ ≡ ✭◆ ②✮ ▼

◮ ◆✳❇✿ st✐❧❧ ♥❡❡❞ t♦ ❝❤❡❝❦ ❢♦r ❢r❡❡ ✈❛rs t❤❛t ❣❡t ❜♦✉♥❞ ✇❤❡♥

❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ ❇ ✐♥ t❤❡ ❜♦❞② ♦❢ t❤❡ ✭λ② ✳✳✳✮ ❝❧❛✉s❡✳

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✻✷

SLIDE 32

❈✉rr✐❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s

◮ ❈❛♥ r❡♣r❡s❡♥t ♥✲❛r②

❢✉♥❝t✐♦♥s ❛s ♥❡st❡❞ ✉♥❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥s

◮ ✭λ① ② ⑤ ❊✮ ❛ ❜

≡ ✭λ① ✭λ② ❊✮✮ ❛ ❜

◮ ❈❛♥ tr❡❛t ❛♥ ♥✲❛r②

❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❛ ✉♥❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t r❡t✉r♥s ❛♥ ♥✲✶✕❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥

◮ ❚r❡❛t✐♥❣ ♥✲❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥

❛s ✉♥❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t r❡t✉r♥s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝✉rr②✐♥❣

❉r✳ ❇✳ Pr✐❝❡ ❛♥❞ ❉r✳ ❘✳ ●r❡✐♥❡r ❈▼P❯❚ ✸✷✺ ✿ ▲❛♠❜❞❛ ❈❛❧❝✉❧✉s ❇❛s✐❝s ✻✸