P rt t - - PowerPoint PPT Presentation

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P rt t t t s rs rs


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❚✐♠❡✲✐♥❞❡①❡❞ ❈♦♥❋▲ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❆♥♥✉❛❧ ♠❛✐♥t❡♥❛♥❝❡ ❝♦st ❢♦r ✉s❡❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s ❛♥❞ ✉s❡❞ ❛r❝s ✿ ✶ ✐❢ ❢❛❝✐❧✐t② ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ✱ ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✿ ✶ ✐❢ ❛r❝ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ✱ ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❆♥♥✉❛❧ r❡✈❡♥✉❡s ❢♦r s❡r✈❡❞ ❝✉st♦♠❡rs ✿ ✶ ✐❢ ❝✉st♦♠❡r ✐s s❡r✈❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ✱ ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❙❡t✉♣ ❝♦st ❢♦r ✉s❡❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s ❛♥❞ ✉s❡❞ ❡❞❣❡s ✿ ✶ ✐❢ ❡❞❣❡ ✭❢❛❝✐❧✐t② ✮ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ✱ ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✼

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SLIDE 20

■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✕ ❱❛r✐❛❜❧❡s

❚✐♠❡✲✐♥❞❡①❡❞ ❈♦♥❋▲ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r ❆♥♥✉❛❧ ♠❛✐♥t❡♥❛♥❝❡ ❝♦st ❢♦r ✉s❡❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s ❛♥❞ ✉s❡❞ ❛r❝s zt

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❙❡t✉♣ ❝♦st ❢♦r ✉s❡❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s ❛♥❞ ✉s❡❞ ❡❞❣❡s ✿ ✶ ✐❢ ❡❞❣❡ ✭❢❛❝✐❧✐t② ✮ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ✱ ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✼

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SLIDE 21

■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✕ ❱❛r✐❛❜❧❡s

❚✐♠❡✲✐♥❞❡①❡❞ ❈♦♥❋▲ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r ❆♥♥✉❛❧ ♠❛✐♥t❡♥❛♥❝❡ ❝♦st ❢♦r ✉s❡❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s ❛♥❞ ✉s❡❞ ❛r❝s zt

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zt

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♦t❤❡r✇✐s❡

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✼

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SLIDE 22

■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✕ ❖❜❥❡❝t✐✈❡

▼❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ♥❡t ♣r❡s❡♥t ✈❛❧✉❡ max

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  • t=✶

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  • i∈F

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i −

  • e∈E

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  • i∈F

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i −

  • (i,j)∈A

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■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✽

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SLIDE 23

■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✕ ❖❜❥❡❝t✐✈❡

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■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✽

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SLIDE 24

■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✕ ❈♦♥str❛✐♥ts

❙t❛♥❞❛r❞ ❈♦♥❋▲ ❝♦♥str❛✐♥ts ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞ t ∈ T ❆ss✐❣♥ s❡r✈❡❞ ❝❧✐❡♥ts

  • i∈F(j)

xt

ij = yt j

∀j ∈ R, t ∈ T ✭✶✮ ❖♣❡♥ ❛ss✐❣♥❡❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s xt

ij ≤ zt i

∀(i, j) ∈ AR, t ∈ T ✭✷✮ ❈♦♥♥❡❝t r♦♦t t♦ ♦♣❡♥ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s

  • (u,v)∈δ−(W )

xt

uv ≥ zt j

∀W ⊆ S\{r}, j ∈ W ∩ F, t ∈ T ✭✸✮

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✾

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SLIDE 25

■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✕ ❈♦♥str❛✐♥ts

❙❡t✉♣ ✉s❡❞ ❡❞❣❡s ❛♥❞ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s xt

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  • k=✶

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  • k=✶

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∀i ∈ F, t ∈ T ✭✺✮ ▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡♠❛♥❞ ❝♦✈❡r❛❣❡

  • j∈R

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∀t ∈ T ✭✻✮ ◆♦ s❡r✈✐❝❡ ✇✐t❤❞r❛✇❛❧ yt

j ≥ yt−✶ j

∀j ∈ R, t ∈ T ✭✼✮

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✵

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SLIDE 26

❙❚❘❊◆●❚❍❊◆■◆● ■◆❊◗❯❆▲■❚■❊❙

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✶

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SLIDE 27

❑♥❛♣s❛❝❦ ❈♦✈❡r ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ♦♥ ❈✉st♦♠❡rs

❉❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦✈❡r❛❣❡ ❝♦♥str❛✐♥t

j∈R djyj ≥ D✳

▲❡t J ❜❡ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜s❡t ♦❢ ❝✉st♦♠❡rs s✉❝❤ t❤❛t ✐ts ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ¯ J = R \ J ❝❛♥♥♦t s❛t✐s❢② t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❞❡♠❛♥❞✱ ✐✳❡✳✱ D( ¯ J) < D ❛♥❞ dk + D( ¯ J) ≥ D✱ ❢♦r ❛♥② k ∈ J✳ J ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦✈❡r ✇rt D✳ ▲❡t ❈❖❱ R ❜❡ t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ s✉❝❤ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦✈❡rs✳ ❑♥❛♣s❛❝❦ ❝♦✈❡r ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦r P(D)✿ y(J) ≥ ✶ J ∈ ❈❖❱ R ✭✽✮

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✷

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SLIDE 28

❙❡t✲❯♥✐♦♥ ❑♥❛♣s❛❝❦ ❈♦✈❡r ✭❙❯❑❈✮ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❈♦♥s✐❞❡r ❢❛❝✐❧✐t② ❧♦❝❛t✐♦♥ ❢♦r s✐♥❣❧❡ ♣❡r✐♦❞ t

❊①❛♠♣❧❡✿ F \ {r} = {✶, . . . , ✺}✱ D = ✶✼✹✱ Dt = ✼✻✳ ❱❛❧✐❞ ▲P s♦❧✉t✐♦♥✿ zt

i = ✼✻/✶✼✹ ❢♦r i = ✶, . . . , ✺

✭♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r ❤✐❣❤ ❝♦r❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❝♦sts✮

❈♦♠❜✐♥❡❞ ❞❡♠❛♥❞ ♦❢ ❝❧✐❡♥ts ♦❢ ✶ ✷ ✸ ✐s ✼✺ ❊✐t❤❡r ✹ ♦r ✺ ❤❛s t♦ ❜❡ ♦♣❡♥

15 17 21 9 13 35 41 23 1 2 3 4 5

❉❡♠❛♥❞ r❡q✉✐r❡♠❡♥t Dt = ✼✻

❉❡✜♥✐t✐♦♥

✐s ❝♦✈❡r ✐❢ ❝❛♥♥♦t s❡r✈❡ ❡♥♦✉❣❤ ❝❧✐❡♥ts t♦ ♠❡❡t ✳ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦✈❡r ✐❢ ♥♦ ❝♦✈❡r ❡①✐sts✳ ✿❂ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦✈❡rs ❢♦r ♣❡r✐♦❞

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✸

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SLIDE 29

❙❡t✲❯♥✐♦♥ ❑♥❛♣s❛❝❦ ❈♦✈❡r ✭❙❯❑❈✮ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❈♦♥s✐❞❡r ❢❛❝✐❧✐t② ❧♦❝❛t✐♦♥ ❢♦r s✐♥❣❧❡ ♣❡r✐♦❞ t

❊①❛♠♣❧❡✿ F \ {r} = {✶, . . . , ✺}✱ D = ✶✼✹✱ Dt = ✼✻✳ ❱❛❧✐❞ ▲P s♦❧✉t✐♦♥✿ zt

i = ✼✻/✶✼✹ ❢♦r i = ✶, . . . , ✺

✭♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r ❤✐❣❤ ❝♦r❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❝♦sts✮

❈♦♠❜✐♥❡❞ ❞❡♠❛♥❞ ♦❢ ❝❧✐❡♥ts ♦❢ {✶, ✷, ✸} ✐s ✼✺ < Dt ⇒ ❊✐t❤❡r ✹ ♦r ✺ ❤❛s t♦ ❜❡ ♦♣❡♥

15 17 21 9 13 35 41 23 1 2 3 4 5

❉❡♠❛♥❞ r❡q✉✐r❡♠❡♥t Dt = ✼✻

❉❡✜♥✐t✐♦♥

I t ⊂ F ✐s ❝♦✈❡r ✐❢ F \ I t ❝❛♥♥♦t s❡r✈❡ ❡♥♦✉❣❤ ❝❧✐❡♥ts t♦ ♠❡❡t Dt✳ I t ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦✈❡r ✐❢ ♥♦ ❝♦✈❡r Jt I t ❡①✐sts✳ COV t✿❂ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦✈❡rs ❢♦r ♣❡r✐♦❞ t

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✸

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SLIDE 30

❙❯❑❈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❚❤❡♦r❡♠

✭✐✮

❚❤❡ ❙❯❑❈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

  • i∈I t

zt

i ≥ ✶

∀t ∈ T, I t ∈ COV t ✭✾✮ ❛r❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡❣❡r s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✮✕✭✼✮✳

✭✐✐✮

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥st❛♥❝❡s ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✭♦♣t✐♠❛❧✮ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ✭✶✮✕✭✼✮ t❤❛t ❞♦ ♥♦t s❛t✐s❢② ✭✾✮✳ ❙❡♣❛r❛t✐♦♥

❙❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥♥♦t ❝♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ❞❡♠❛♥❞ ❙❡t ✉♥✐♦♥ ❦♥❛♣s❛❝❦ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❊❛❝❤ ✐t❡♠ ❤❛s ❛ ♣r♦✜t✱ ❛♥❞ ❝♦✈❡rs ❛ s❡t ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❊❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ❤❛s ❛ ✇❡✐❣❤t✳ ❋✐♥❞ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ✐t❡♠s ♦❢ ♠❛①✐♠✉♠ ♣r♦✜t t❤❛t ❝♦✈❡rs ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ✇❡✐❣❤t ❛t ♠♦st ✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✹

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SLIDE 31

❙❯❑❈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❚❤❡♦r❡♠

✭✐✮

❚❤❡ ❙❯❑❈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

  • i∈I t

zt

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∀t ∈ T, I t ∈ COV t ✭✾✮ ❛r❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡❣❡r s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✮✕✭✼✮✳

✭✐✐✮

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥st❛♥❝❡s ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✭♦♣t✐♠❛❧✮ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ✭✶✮✕✭✼✮ t❤❛t ❞♦ ♥♦t s❛t✐s❢② ✭✾✮✳ ❙❡♣❛r❛t✐♦♥

❙❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ♦❢ I t ✇❤✐❝❤ ❝❛♥♥♦t ❝♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ❞❡♠❛♥❞ ❙❡t ✉♥✐♦♥ ❦♥❛♣s❛❝❦ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❊❛❝❤ ✐t❡♠ ❤❛s ❛ ♣r♦✜t✱ ❛♥❞ ❝♦✈❡rs ❛ s❡t ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❊❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ❤❛s ❛ ✇❡✐❣❤t✳ ❋✐♥❞ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ✐t❡♠s ♦❢ ♠❛①✐♠✉♠ ♣r♦✜t t❤❛t ❝♦✈❡rs ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ✇❡✐❣❤t ❛t ♠♦st B✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✹

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SLIDE 32

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❯❑❈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❯❑❈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❙❡t ✉♥✐♦♥ ❦♥❛♣s❛❝❦ ♣r♦❜❧❡♠✱ str♦♥❣❧② ◆P✲❤❛r❞ ●♦❧❞s❝❤♠✐❞t ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✹✮

  • r❡❡❞② ❣✐✈❡s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❢❛❝t♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡

min

  • i∈F

ˆ zt

i αi

  • j∈R

djβj ≤ Dt − ǫ βj ≥ ✶ − αi ∀(i, j) ∈ AR αi, βj ∈ {✵, ✶} ∀i ∈ F, j ∈ R

◮ ˆ

zt ✕ ❝✉rr❡♥t ✭❢r❛❝t✐♦♥❛❧✮ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❢❛❝✐❧✐t② ✈❛r✐❛❜❧❡s

◮ αi ∈ {✵, ✶}✱ ∀i ∈ F✿

αi = ✶ ✐✛ ❢❛❝✐❧✐t② ✐♥ I t

◮ βj ∈ {✵, ✶}✱ ∀j ∈ R✿

βj = ✶ ✐✛ ❝❧✐❡♥t j ❝❛♥ ❜❡ s❡r✈❡❞ ❜② F \I t

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✺

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SLIDE 33

❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❯❑❈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❍❡✉r✐st✐❝ ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✶✿ H := ∅ ✷✿ ▲❡t wj ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s s❡r✈✐♥❣ ❝✉st♦♠❡r j✱ j ∈ R✳ ✸✿ ✇❤✐❧❡ F = ∅ ❞♦ ✹✿

♣✐❝❦ ❛ ❢❛❝✐❧✐t② i ∈ F t❤❛t ♠❛①✐♠✐③❡s

ˆ zi

  • j∈Ri

dj wj

❛♥❞ r❡♠♦✈❡ ✐t ❢r♦♠ F

✺✿

✐❢ D(RH) + D(Ri) < D t❤❡♥

✻✿

H := H ∪ {i}✱ R := R\{Ri}

✼✿ r❡t✉r♥ ❙❯❑❈ I := F\H

  • r❡❡❞② ❤❡✉r✐st✐❝ ♣r♦✈✐❞❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❣✉❛r❛♥t❡❡s ❢♦r s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s

❆r✉❧s❡❧✈❛♥ ✭✷✵✶✹✮

◮ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s s❡r✈✐♥❣ ❛ ❝✉st♦♠❡r ✐s ❜♦✉♥❞❡❞

❈♦✈❡r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥ts ♦❢ s✐③❡ ✷ ❛♥❞ ✸ ❛r❡ ❡♥✉♠❡r❛t❡❞ ❛♥❞ ❛❞❞❡❞

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✻

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SLIDE 34

❈✉t✲s❡t✲❙❯❑❈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❙✉♣♣♦s❡ zt

i = ✶/|I t| ❢♦r ❛❧❧ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s i ✐♥ s♦♠❡ ❝♦✈❡r I t✳

❚❤❡♥ LP ❡♥❢♦r❝❡s ♦♥❧② ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✶/|I t| ❢r♦♠ r t♦ I t✳ ❇✉t✿ I t ♠✉st ❜❡ ✶✲❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❢r♦♠ r ✐♥ ■▲P s♦❧✉t✐♦♥✳

❚❤❡♦r❡♠

✭✐✮

❚❤❡ ❝✉t✲s❡t ❝♦✈❡r ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

✶ ✭✶✵✮

❛r❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡❣❡r s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✮✕✭✼✮✳

✭✐✐✮

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥st❛♥❝❡s ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✭♦♣t✐♠❛❧✮ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ✭✶✮✕✭✼✮✱ ✭✾✮ t❤❛t ❞♦ ♥♦t s❛t✐s❢② ✭✶✵✮✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✼

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SLIDE 35

❈✉t✲s❡t✲❙❯❑❈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❙✉♣♣♦s❡ zt

i = ✶/|I t| ❢♦r ❛❧❧ ❢❛❝✐❧✐t✐❡s i ✐♥ s♦♠❡ ❝♦✈❡r I t✳

❚❤❡♥ LP ❡♥❢♦r❝❡s ♦♥❧② ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✶/|I t| ❢r♦♠ r t♦ I t✳ ❇✉t✿ I t ♠✉st ❜❡ ✶✲❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❢r♦♠ r ✐♥ ■▲P s♦❧✉t✐♦♥✳

❚❤❡♦r❡♠

✭✐✮

❚❤❡ ❝✉t✲s❡t ❝♦✈❡r ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

  • uv∈δ−(W )

xt

uv ≥ ✶

∀t ∈ T, I t ∈ COV t, W ⊆ S \ {r}, I t ⊆ W ✭✶✵✮

❛r❡ ✈❛❧✐❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡❣❡r s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✮✕✭✼✮✳

✭✐✐✮

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥st❛♥❝❡s ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✭♦♣t✐♠❛❧✮ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ✭✶✮✕✭✼✮✱ ✭✾✮ t❤❛t ❞♦ ♥♦t s❛t✐s❢② ✭✶✵✮✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✼

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❙❖▼❊ ▲■❋❚■◆● ■❉❊❆❙

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✶✽

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▲✐❢t✐♥❣

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❈❖▼P❯❚❆❚■❖◆❆▲ ❘❊❙❯▲❚❙

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■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

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SLIDE 41

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SLIDE 42

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SLIDE 43

B Bc r♦♦t ❣❛♣ ❋✐♥❛❧

  • ❛♣

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  • ❛♣

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  • ❛♣

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SLIDE 44

B Bc r♦♦t ❣❛♣ ❋✐♥❛❧

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❈✉ts ♥♦❞❡s r♦♦t ❣❛♣ ❋✐♥❛❧

  • ❛♣

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SLIDE 45

B Bc r♦♦t ❣❛♣ ❋✐♥❛❧

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  • ❛♣

❈✉ts ♥♦❞❡s ❛ ✻✼✳✻ ✺✾✳✹ ✷✶✵✸✷ ✶✷✼ ✻✾✳✾ ✻✻✳✻ ✾✼✼✻✴✽✵✻ ✼✻✼ ❜ ✺✾✳✸ ✺✻✳✹ ✶✹✼✸✵ ✷✹✵ ✻✷✳✼ ✺✻✳✾ ✺✶✻✼✴✹✾✻ ✹✼✽ ❝ ✺✻✳✺ ✺✶✳✵ ✶✺✻✸✶ ✶✵✹✻ ✺✽✳✵ ✺✷✳✶ ✼✾✸✻✴✶✵✶✻ ✶✵✵✽ ❞ ✹✼✳✸ ✹✼✳✸ ✻✼✸✹ ✵ ✺✶✳✵ ✺✶✳✵ ✷✻✾✷✴✺✵ ✵ ❡ ✹✻✳✻ ✹✻✳✻ ✶✵✸✹✻ ✺ ✹✾✳✽ ✹✾✳✽ ✹✸✵✵✴✼✽ ✸✵ ❢ ✹✾✳✻ ✹✾✳✻ ✶✷✷✹✻ ✶✶ ✺✷✳✼ ✺✷✳✼ ✺✶✵✽✴✾✹ ✹✺ ❣ ✹✽✳✼ ✹✽✳✼ ✼✸✺✻ ✵ ✺✶✳✾ ✺✶✳✾ ✷✻✻✹✴✺✵ ✵ ❤ ✻✶✳✶ ✻✶✳✶ ✺✸✵✹ ✵ ✻✺✳✻ ✻✺✳✻ ✷✸✼✸✴✹✹ ✵ B+ B++ r♦♦t ❣❛♣ ❋✐♥❛❧

  • ❛♣

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  • ❛♣

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SLIDE 46

15 20 25 30 35 40 45 20 40 60 80 100 root gap (%) Cumulative % of Instances

  • Model

B B+

✭❛✮

15 20 25 30 35 40 45 20 40 60 80 100 final gap (%) Cumulative % of Instances

  • Model

B B+

✭❜✮

❚❤r❡❡✲♣❡r✐♦❞ ✐❈♦♥❋▲ r❡s✉❧ts ❢♦r ❝♦✈❡r❛❣❡ r❛t❡s✿ ✺✵%✱ ✼✺% ❛♥❞ ✾✵%✳ ❈♦♥❋▲ ✐♥st❛♥❝❡s✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✷✼

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SLIDE 47
  • B50B+50B75B+75B90B+90102030405060

(Model,Coverage) root gap (%)

(B,50%) (B+,50%) (B,75%) (B+,75%) (B,90%) (B+,90%) 10 20 30 40 50 60

✭❛✮ ●❛♣ ❛t t❤❡ r♦♦t ♥♦❞❡✳

  • B50B+50B75B+75B90B+90102030

(Model,Coverage) root gap (%)

(B,50%) (B+,50%) (B,75%) (B+,75%) (B,90%) (B+,90%) 10 20 30

✭❜✮ ❋✐♥❛❧ ❣❛♣✳

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ r♦♦t✲ ❛♥❞ ✜♥❛❧ ❣❛♣s ✇✐t❤ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❝♦✈❡r❛❣❡ r❛t❡s✳ ❈♦♥❋▲ ✐♥st❛♥❝❡s✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✷✽

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SLIDE 48

❊①♣❡r✐♠❡♥ts

✭❛✮ ✭❜✮ ✭❝✮

❚❤r❡❡✲♣❡r✐♦❞ ✐❈♦♥❋▲ r❡s✉❧ts ❢♦r ❝♦✈❡r❛❣❡ r❛t❡s ❢♦r ❆❤♦r♥✿ ✺✵%✱ ✼✺% ❛♥❞ ✾✵%✳ ❈♦♥❋▲ ✐♥st❛♥❝❡s✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✷✾

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SLIDE 49

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

❙✉♠♠❛r②

■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❢❛❝✐❧✐t② ❧♦❝❛t✐♦♥ ❱❛❧✐❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ str❡♥❣t❤❡♥✐♥❣ ❊①♣❡r✐♠❡♥ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts

■♥t❡r❡st✐♥❣ q✉❡st✐♦♥s

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❜✉❞❣❡t❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❢❛❝✐❧✐t② ❧♦❝❛t✐♦♥ ❇✉②✲❛t✲❜✉❧❦ ♥❡t✇♦r❦ ❞❡s✐❣♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❛♥❞ ❜✉❞❣❡t❡❞ s❡tt✐♥❣s

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✸✵

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SLIDE 50

▲✐t❡r❛t✉r❡ ■

▼✳ ❆❧❜❛r❡❞❛✲❙❛♠❜♦❧❛✱ ❊✳ ❋❡r♥á♥❞❡③✱ ❨✳ ❍✐♥♦❥♦s❛✱ ❛♥❞ ❏✳ P✉❡rt♦✳ ❚❤❡ ♠✉❧t✐✲♣❡r✐♦❞ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧ s❡r✈✐❝❡ ❢❛❝✐❧✐t② ❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❈♦♠♣✉t❡rs ✫ ❖♣❡r❛t✐♦♥s ❘❡s❡❛r❝❤✱ ✸✻✿✶✸✺✻✕✶✸✼✺✱ ▼❛② ✷✵✵✾✳ ❆✳ ❆r✉❧s❡❧✈❛♥✳ ❆ ♥♦t❡ ♦♥ s❡t ✉♥✐♦♥ ❦♥❛♣s❛❝❦ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❉✐s❝r❡t❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳✱ ✶✻✾✿✷✶✹✕✷✶✽✱ ✷✵✶✹✳ ❆✳ ❆r✉❧s❡❧✈❛♥✱ ❖✳ ▼❛✉r❡r✱ ❛♥❞ ▼✳ ❙❦✉t❡❧❧❛✳ ❆♥ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤❡ ✉♥❝❛♣❛❝✐t❛t❡❞ ❢❛❝✐❧✐t② ❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ◆❡t✇♦r❦s✱ ✻✺✭✹✮✿✸✵✻✕✸✶✶✱ ✷✵✶✺✳ ▼✳ ❇❛r❞♦ss② ❛♥❞ ❙✳ ❘❛❣❤❛✈❛♥✳ ❉✉❛❧✲❇❛s❡❞ ▲♦❝❛❧ ❙❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ❈♦♥♥❡❝t❡❞ ❋❛❝✐❧✐t② ▲♦❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❘❡❧❛t❡❞ Pr♦❜❧❡♠s✳ ■◆❋❖❘▼❙ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❈♦♠♣✉t✐♥❣✱ ✷✷✭✹✮✿✺✽✹✕✻✵✷✱ ✷✵✶✵✳ ▼✳ ❇❛①t❡r✱ ❚✳ ❊❧❣✐♥❞②✱ ❆✳ ❊r♥st✱ ❚✳ ❑❛❧✐♥♦✇s❦✐✱ ❛♥❞ ▼✳ ❙❛✈❡❧s❜❡r❣❤✳ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❞❡s✐❣♥ ✇✐t❤ s❤♦rt❡st ♣❛t❤s✳ ❊✉r♦♣❡❛♥ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣❡r❛t✐♦♥❛❧ ❘❡s❡❛r❝❤✱ ✷✸✽✭✸✮✿✻✼✺✕✻✽✹✱ ✷✵✶✹✳

■✈❛♥❛ ▲❥✉❜✐➣ ✭❊❙❙❊❈✮ ▼■P ▼♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❈♦♥❋▲ ■◆❋❖❘▼❙ ❚❡❧❡❝♦♠ ✷✵✶✽ ✸✶

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SLIDE 51

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SLIDE 52

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