[PPT] - Machine Learning: a Basic Toolkit Lorenzo Rosasco, - Universita di PowerPoint Presentation

SLIDE 1

Lorenzo Rosasco,

Universita’ di Genova
Istituto Italiano di Tecnologia

August 2015 - BMM Summer School

Machine Learning: a Basic Toolkit

SLIDE 2

Intro

Machine Learning

Intelligent Systems

Data Science

SLIDE 3

An introduction to essential Machine Learning:

Concepts
Algorithms

ML Desert Island Compilation

SLIDE 4

Local methods
Bias-Variance and Cross Validation
Regularization I: Linear Least Squares
Regularization II: Kernel Least Squares
Variable Selection: OMP
Dimensionality Reduction: PCA

PART I PART II PART III PART IV

Matlab practical session

Morning Afternoon

SLIDE 5

Local methods
Bias-Variance and Cross Validation

PART I

GOAL: Investigate the trade-off between stability and fitting starting from simple machine learning approaches

SLIDE 6

The goal of supervised learning is to find an underlying input-output relation f(xnew) ∼ y, given data. The data, called training set, is a set of input-output pairs,

The data, called training set, is a set of n input-output pairs, S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)}. Each pair is called an example. We consider the approach to machine learning

SLIDE 7

Xn =    x1

1

. . . . . . . . . xp

1

. . . . . . . . . . . . . . . x1

n

. . . . . . . . . xp

n

  

Yn =    y1 . . . yn   

+1 −1

SLIDE 8

Given an input ¯ x, let i0 = arg min

i=1,...,n k¯

x xik2 and define the nearest neighbor (NN) estimator as ˆ f(¯ x) = yi0.

Nearest Neighbor

v

Local Methods: Nearby points have similar labels

?

v

How does it work?

SLIDE 9

15-Nearest Neighbor Classifier

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Plot

SLIDE 10

Consider d¯

x = (k¯

x xik2)n

i=1

the array of distances of a new point ¯ x to the input points in the training set. Let s¯

x

be the above array sorted in increasing order and I¯

x

the corresponding vector of indices, and K¯

x = {I1 ¯ x, . . . , IK ¯ x }

be the array of the first K entries of I¯

x. The K-nearest neighbor estimator (KNN) is defined as,

ˆ f(¯ x) = X

i02K¯

x

yi0, P

K-Nearest Neighbors

v

?

v

SLIDE 11

15-Nearest Neighbor Classifier

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Plot

SLIDE 12

There is one parameter controlling fit/stability Remarks:

NN each of the K neighbors has equal weights in determining the output of a new point. re general approach is to consider estimators of the form, ˆ f(¯ x) = Pn

i=1 yik(¯

x, xi) Pn

i=1 k(¯

x, xi) ,

Gaussian k(x0, x) = ekxx0k2/2σ2.

r

Exponential k(x0, x) = ekxx0k/

p 2σ

Generalization I: closer points should count more

Parzen Windows

Generalization II: other metric/similarities

} dH(x, ¯ x) = 1 D

D

X

j=1

1[xj6=¯

xj]

generalized to consider i.e. X = {0, 1}D,

SLIDE 13

How do we choose it? Is there an optimal value? Can we compute it?

SLIDE 14

Is there an optimal value?

Ideally we would like to choose K that minimizes the expected error ESEx,y(y − ˆ fK(x))2.

Next: Characterize corresponding minimization problem to uncover

ne of the most

fundamental aspect of machine learning.

SLIDE 15

For the sake of simplicity we consider a regression model yi = f∗(xi) + δi, EδI = 0, Eδ2

i = σ2

i = 1, . . . , n

ESEx,y(y − ˆ fK(x))2 = Ex ESEy|x(y − ˆ fK(x))2 | {z }

"(K)

. Ey|x ˆ fK(x) = 1 K X

`∈Kx

f∗(x`).

ESEy|x(f∗(x) − ˆ fK(x))2 = (f∗(x) − ESEy|x ˆ fK(x))2 | {z }

Bias

+ ESEy|x(Ey|x ˆ fK(x) − ˆ fK(x))2 | {z }

V ariance

{z } | + (f∗(x) + 1 K X

`∈Kx

f∗(x`))2

+ σ2 K

SLIDE 16

Bias Variance Trade-Off

| {z } | ε(K) = σ2 + (f∗(x) + 1 K X

`∈Kx

f∗(x`))2 + σ2 K

Can we compute it? Is there an optimal value? YES!

SLIDE 17

Not quite… …enter Cross Validation Split data: train on some, tune on some other

| {z } | ε(K) = σ2 + (f∗(x) + 1 K X

`∈Kx

f∗(x`))2 + σ2 K

SLIDE 18

Cross Validation Flavors Hold-Out

Validation Validation Validation Validation Validation

SLIDE 19

Cross Validation Flavors V-Fold, (V=n is Leave-One-Out)

Validation Validation Validation Validation Validation

SLIDE 20

Local methods
Bias-Variance and Cross Validation

End of PART I

Stability - Overfitting - Bias/Variance - Cross-Validation End of the Story?

SLIDE 21

tell me the length of the edge

f a cube containing 1% of the

volume of a cube with edge 1

High Dimensions and Neighborhood

Cubes and Dth-roots

Curse of dimensionality!

SLIDE 22

Regularization I: Linear Least Squares
Regularization II: Kernel Least Squares

PART II

GOAL: Introduce the basic (global) regularization methods with parametric and non parametric models

Going Global + Impose Smoothness

SLIDE 23

v v

Of all the principles which can be proposed for that purpose, I think there is none more general, more exact, and more easy of application, that of which we made use in the preceding researches, and which consists of rendering the sum of squares

f the errors a minimum.

(Legendre 1805)

We consider the following algorithm min

w∈RD

1 n

n

X

i=1

(yi wTxi))2 + λwTw, λ 0.

? ?

Tikhonov ‘62 Phillips ‘62 Hoerl et al. ‘62

f(x) = wT x = 0

SLIDE 24

Of all the principles which can be proposed for that purpose, I think there is none more general, more exact, and more easy of application, that of which we made use in the preceding researches, and which consists of rendering the sum of squares

f the errors a minimum.

i=1

(yi wTxi))2 + λwTw, λ 0.

1 n

n

X

i=1

(yi wTxi))2 = 1 nkYn Xnwk2.

Notation −2 nXT

n (Yn − Xnw),

and, 2w. Setting gradients… OK, but what is this doing? (XT

n Xn + λnI)w = XT n Yn.

…to zero Computations?

SLIDE 27

Interlude: Linear Systems

Ma = b,

If M is a diagonal M = diag(σ1, . . . , σD) where σi ∈ (0, ∞) for all i = 1, . . . , D, then

M −1 = diag(1/σ1, . . . , 1/σD), (M + λI)−1 = diag(1/(σ1 + λ), . . . , 1/(σD + λ)

If M is symmetric and positive definite, then considering the eigendecomposition

M −1 = V ΣV T, Σ = diag(σ1, . . . , σD), V V T = I, then M −1 = V Σ−1V T, Σ−1 = diag(1/σ1, . . . , 1/σD), and (M + λI)−1 = V Σλ = V T, Σλ = diag(1/(σ1 + λ), . . . , 1/(σD + λ)

SLIDE 28

min

w∈RD

1 n

n

j=1

(wj)2

Shrinkage - Stein Effect- Admissible Estimator

(Stein ’56, James and Stein ’61)

SLIDE 29

15-Nearest Neighbor Classifier

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Plot

SLIDE 30

v v

Why a linear decision rule?

SLIDE 31

v v

x 7! ˜ x = (φ1(x), . . . , φp(x)) 2 Rp f(x) = wT ˜ x =

p

X

j=1

φj(x)wj

Dictionaries

SLIDE 32

(XT

n Xn + λnI)w = XT n Yn.

( ˜ XT

n ˜

Xn + λnY )w = ˜ XT

n Yn

7!

What About Computational Complexity?

SLIDE 33

Complexity Vademecum

M n by p matrix and v, v0 p dimensional vectors

vT v0 7! O(p)
Mv0 7! O(np)
MM T 7! O(n2p)
(MM T )1 7! O(n3)

SLIDE 34

(XT

n Xn + λnI)w = XT n Yn.

( ˜ XT

n ˜

Xn + λnY )w = ˜ XT

n Yn

7!

What About Computational Complexity?

O(p3) + O(p2n)

(XT

n Xn + λnI)1XT n = XT n (XnXT n + λnI)1

w = XT

n (XnXT n + λnI)1Yn

| {z }

c

=

n

X

i=1

xT

i ci.

What if p is much larger than n?

SLIDE 35

(XT

n Xn + λnI)1XT n = XT n (XnXT n + λnI)1

w = XT

n (XnXT n + λnI)1Yn

| {z }

c

=

n

X

i=1

xT

i ci.

Computational Complexity: O(p3) + O(p2n)

O(n3) + O(pn2)

SLIDE 36

(XT

n Xn + λnI)1XT n = XT n (XnXT n + λnI)1

w = XT

n (XnXT n + λnI)1Yn

| {z }

c

=

n

X

i=1

xT

i ci.

(Kn + λnI)−1c = Yn, (Kn)i,j = K(xi, xj)

the linear kernel K(x, x0) = xT x0,
the polynomial kernel K(x, x0) = (xT x0 + 1)d,
the Gaussian kernel K(x, x0) = e kxx0k2

2σ2

, where the last two kernels have a tuning parameter, the

Kernels

w =

i=1

K(xi, x)ci.

Reproducing Kernel Hilbert Spaces
Gaussian Processes
Integral Equations
Sampling Theory/Inverse Problems

things I won’t tell you about

Loss functions- SVM, Logistic…
Multi - task, labels, outputs, classes

SLIDE 39

Regularization I: Linear Least Squares
Regularization II: Kernel Least Squares

End of PART II

Regularized Least Squares - Dictionaries - Kernels

SLIDE 40

a) Variable Selection: OMP
b) Dimensionality Reduction: PCA

PART III

GOAL: To introduce methods that allow to learn interpretable models from data

SLIDE 41

... ; ...

n patients p gene expression measurements

Xn =    x1

1

. . . . . . . . . xp

1

. . . . . . . . . . . . . . . x1

n

. . . . . . . . . xp

n

   Yn =    y1 . . . yn   

;

SLIDE 42

Which variables are important for prediction?

fw(x) = wT x =

D

X

j=1

xjwj

r

Torture the data until they confess Sparsity: only some of the coefficients are non zero

SLIDE 43

Brute Force Approach

min

w∈RD

1 n

n

X

i=1

(yi fw(xi))2 + kwk0,

check all individual variables, then all couple, triplets…..

kwk0 = |{j | wj 6= 0}|

SLIDE 44

(1) initialize the residual, the coefficient vector, and the index set, (2) find the variable most correlated with the residual, (3) update the index set to include the index of such variable, (4) update/compute coefficient vector, (5) update residual. The simplest such procedure is called forward stage-wise regression in statistics and

Greedy approaches/Matching Pursuit

Yn X2

X1 r1

SLIDE 45

iterated for i = 1, . . . , T 1.

k = arg max

j=1,...,D aj,

aj = (rT

i1Xj)2

kXjk2 ,

r0 = Yn, , w0 = 0, I0 = ;.

vj = rT

i1Xj

kXjk2 = arg min

v2R kri1 Xjvk2,

kri1 Xjvjk2 = kri1k2 aj

explains the the output as Ii = Ii1 [ {k},

[ { }

wi = wi1 + wk, wkk = vkek canonical basis in RDwith

th component

ri = ri1 Xwk. called Orthogonal Matching

* *

end Matching Pursuit

(Mallat Zhang ’93)

SLIDE 46

Basis Pursuit/Lasso

min

w∈RD

1 n

n

X

i=1

(yi fw(xi))2 + kwk0,

kwk1 =

D

X

j=1

|wj|

Problem is now convex and can be solved using convex optimization, in particular so called proximal methods

(Chen Donoho Saunders ~95, Tibshirani ‘96)

SLIDE 47

Solving underdetermined systems
Sampling theory
Compressed Sensing
Structured Sparsity
From vector to matrices- from sparsity to low rank

things I won’t tell you about

Xn Yn w n n p p

SLIDE 48

a) Variable Selection: OMP
b) Dimensionality Reduction: PCA

End of PART III a)

Interpretability - Sparsity - Greedy & Convex Relaxation Approaches

SLIDE 49

a) Variable Selection: OMP
b) Dimensionality Reduction: PCA

PART III b)

GOAL: To introduce methods that allow to reduce data dimensionality in absence of labels, namely unsupervised learning

SLIDE 50

Dimensionality Reduction for Data Visualization

SLIDE 51

M : X = RD ! Rk, k ⌧ D,

Dimensionality Reduction

SLIDE 52

M : X = RD ! Rk, k ⌧ D,

Dimensionality Reduction Consider first k = 1

SLIDE 53

M : X = RD ! Rk, k ⌧ D,

Dimensionality Reduction

min

w∈SD−1

1 n

n

X

i=1

kxi (wTxi)wk2,

Consider first k = 1

Computations? Statistics?

PCA

wT w = 1

SLIDE 54

min

w∈SD−1

1 n

n

X

i=1

kxi (wTxi)wk2,

Statistics?

SLIDE 55

min

w∈SD−1

1 n

n

X

i=1

kxi (wTxi)wk2,

SLIDE 58

min

w∈SD−1

1 n

n

X

i=1

kxi (wTxi)wk2,

Computations?

SLIDE 59

min

w∈SD−1

1 n

n

X

i=1

kxi (wTxi)wk2,

i=1

xixT

i )w

max

w∈SD−1 wTCnw,

Cn = 1 n

n

X

i=1

xixT

i .

P

⇔ w1 max eigenvector of Cn

SLIDE 60

M : X = RD ! Rk, k ⌧ D,

Dimensionality Reduction What about k = 2?

max

w∈SD−1 wTCnw,

Cn = 1 n

n

X

i=1

xixT

i .

P

w ⊥ w1

w2 second eigenvector of Cn

…

SLIDE 61

M : X = RD ! Rk, k ⌧ D,

Random Maps: Johnson-Linderstrauss Lemma
Non Linear Maps: Kernel PCA, Laplacian/

Diffusion maps

things I won’t tell you about

SLIDE 62

a) Variable Selection: OMP
b) Dimensionality Reduction: PCA

End of PART III b)

Interpretability - Sparsity - Greedy & Convex Relaxation Approaches