SLIDE 1 Linear-‑(me ¡Approxima(ons ¡for ¡ Domina(ng ¡Sets ¡and ¡Independent ¡Domina(ng ¡Sets ¡ in ¡Unit ¡Disk ¡Graphs ¡
Celina ¡Miraglia ¡Herrera ¡de ¡Figueiredo ¡ Guilherme ¡Dias ¡da ¡Fonseca ¡ Raphael ¡Carlos ¡dos ¡Santos ¡Machado ¡ Vinícius ¡Gusmão ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡
SLIDE 2
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 3
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 4
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 5
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 6
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 7
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 8
Domina(ng ¡set ¡
G (V, E) D ⊆ V D dominating set ⟺ ∀w ∈ V \ D, ∃v ∈ D | vw ∈ E
SLIDE 9 Minimum ¡domina(ng ¡set ¡problem ¡
Input: graph G (V, E) Output: dominating set D of G s.t. |D| is minimum NP-hard (1+log n)-approximation algorithm (Johnson 1974) Not approximable within a (c log n) factor, for some c > 0 (Raz & Safra 1997)
SLIDE 10 Unit ¡disk ¡graph ¡
1 ¡ 2 ¡
Model of Graph congruent disks G (V, E)
¡ ¡ ¡ ¡ ¡2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡ ¡4 ¡ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡3 ¡
3 ¡ 4 ¡ 5 ¡
SLIDE 11 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Several applications, e.g. ad-hoc wireless networks (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) NP-hard nonetheless (Clark, Colbourn & Johnson 1990) Constant factor approximations (breaking the log n barrier), and even PTAS
SLIDE 12
Two ¡simple ¡facts ¡
1st ¡fact: ¡ ¡ ¡ Every ¡maximal ¡independent ¡set ¡is ¡a ¡domina(ng ¡set. ¡
SLIDE 13 Two ¡simple ¡facts ¡
3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 2 ¡ ¡6 ¡ ¡1 ¡
2 ¡ 1 ¡ 3 ¡ 6 ¡ 4 ¡ 5 ¡
K1,6 ¡
1st ¡fact: ¡ ¡ ¡ Every ¡maximal ¡independent ¡set ¡is ¡a ¡domina(ng ¡set. ¡ 2nd ¡fact: ¡ ¡ ¡ A ¡unit ¡disk ¡graph ¡contains ¡no ¡K1,6 ¡as ¡an ¡induced ¡subgraph. ¡
SLIDE 14
5-‑approxima(on ¡
1st ¡fact: ¡ ¡ ¡ Every ¡maximal ¡independent ¡set ¡is ¡a ¡domina(ng ¡set. ¡ 2nd ¡fact: ¡ ¡ ¡ A ¡unit ¡disk ¡graph ¡contains ¡no ¡K1,6 ¡as ¡an ¡induced ¡subgraph. ¡ Corollary: ¡ If ¡G ¡is ¡a ¡unit ¡disk ¡graph, ¡then ¡ ¡ every ¡maximal ¡independent ¡set ¡S ¡of ¡G ¡is ¡a ¡ 5-‑approxima*on ¡for ¡the ¡minimum ¡independent ¡set ¡of ¡G ¡ ¡
SLIDE 15
Algorithms ¡for ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Graph-based algorithms Input: a graph Geometric algorithms Input: a geometric model
SLIDE 16 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95)
SLIDE 17 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS
SLIDE 18 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS O(n225) graph-based 5-approximation (NHK’08)
SLIDE 19 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS O(n225) graph-based 5-approximation (NHK’08)
SLIDE 20 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version (De, Das & Nandy 2011) O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS O(n225) graph-based 5-approximation (NHK’08) O(n9) geometric 4-approximation (DDN’11) O(n18) geometric 3-approximation (DDN’11)
SLIDE 21 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version (De, Das & Nandy 2011) O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS O(n225) graph-based 5-approximation (NHK’08) O(n9) geometric 4-approximation (DDN’11) O(n18) geometric 3-approximation (DDN’11)
SLIDE 22 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version (De, Das & Nandy 2011) O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS O(n225) graph-based 5-approximation (NHK’08) O(n9) geometric 4-approximation (DDN’11) O(n18) geometric 3-approximation (DDN’11) O(n+m) graph-based ,888 -approximation O(n log n) geometric ,888 -approximation (FFMS’12)
¡4.888… ¡
Our ¡contribu(on: ¡
¡4.888… ¡
SLIDE 23
1995 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2012 ¡
100 ¡meters ¡world ¡record ¡
¡ ¡ ¡ ¡-‑ ¡2.7% ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Leroy ¡Burrell ¡(USA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Usain ¡Bolt ¡(JAMAICA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9.85 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9.58 ¡s ¡
SLIDE 24 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Alexander ¡Popov ¡(RUSSIA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cesar ¡Cielo ¡(BRASIL) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡48.21 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡46.91 ¡s ¡
1995 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2012 ¡
100 ¡meters ¡freestyle ¡world ¡record ¡
¡ ¡ ¡-‑ ¡2.6% ¡
Alexander ¡Popov ¡(RUSSIA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡César ¡Cielo ¡(BRAZIL) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡48.21 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡46.91 ¡s ¡
SLIDE 25 Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡
Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version (De, Das & Nandy 2011) O(n+m) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS O(n225) graph-based 5-approximation (NHK’08) O(n9) geometric 4-approximation (DDN’11) O(n18) geometric 3-approximation (DDN’11) O(n+m) graph-based ,888 -approximation O(n log n) geometric ,888 -approximation (FFMS’12)
¡4.888… ¡
Our ¡contribu(on: ¡
¡4.888… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-‑ ¡2.2% ¡
SLIDE 26
Coronas ¡and ¡cores ¡
Let D be a maximal independent set of graph G(V,E). A corona consists of exactly 5 (five) vertices of D presenting a common neighbor in V \ D, called a .
corona ¡ ¡ ¡ ¡
SLIDE 27 Coronas ¡and ¡cores ¡
Let D be a maximal independent set of graph G(V,E). A corona consists of exactly 5 (five) vertices of D presenting a common neighbor in V \ D, called a . A corona C can be
if it has a core c s.t. D \ C U {c} is still a dominating set of G;
corona ¡ ¡ ¡ ¡
SLIDE 28
Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡
SLIDE 29
Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡
SLIDE 30
Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡
SLIDE 31
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡
witness ¡
Witnesses ¡
SLIDE 32
Witnesses ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡
witness ¡
SLIDE 33
Witnesses ¡
Let C be a corona of graph G(V,E), and let c be a core of C. A vertex w is a witness of c iff cw ∉ E, and ND[w] ⊆ C. ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡
witness ¡
SLIDE 34 4.888…-‑approxima(on ¡
- 1. Obtain a maximal independent set D
- 2. While there is a reducible corona C in D
- 3. Update D by reducing C
- 4. Return D
Input: adjacency lists (graph) Time: O(n+m) Input: center coordinates in Real RAM Model Time: O(n log n)
SLIDE 35 4.888…-‑approxima(on ¡
- 1. Obtain a maximal independent set D
- 2. While there is a reducible corona C in D
- 3. Update D by reducing C
- 4. Return D
Input: adjacency lists (graph) Time: O(n+m) Input: center coordinates in Real RAM Model Time: O(n log n) Lemma: a maximal independent set D with no reducible coronas is a 4.888…-approximation for the minimum (independent) dominating set.
SLIDE 36
- 1. Obtain a maximal independent set D
- 2. While there is a reducible corona C in D
- 3. Update D by reducing C
- 4. Return D
4.888…-‑approxima(on ¡
SLIDE 37
- 1. Obtain a maximal independent set D
- 2. While there is a reducible corona C in D
- 3. Update D by reducing C
- 4. Return D
4.888…-‑approxima(on ¡
SLIDE 38
- 1. Obtain a maximal independent set D
- 2. While there is a reducible corona C in D
- 3. Update D by reducing C
- 4. Return D
4.888…-‑approxima(on ¡
SLIDE 39
- 1. Obtain a maximal independent set D
- 2. While there is a reducible corona C in D
- 3. Update D by reducing C
- 4. Return D
4.888…-‑approxima(on ¡
SLIDE 40
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output)
SLIDE 41
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
SLIDE 42
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
SLIDE 43 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 44 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 45 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 46 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 47 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 48 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 49 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡
SLIDE 50 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡
SLIDE 51 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡
SLIDE 52 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡
SLIDE 53 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡
SLIDE 54 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡
SLIDE 55 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 56 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 57 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 58 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 59 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 60 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 61 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 62 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 63 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 64 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1/3 ¡ 1/3 ¡
SLIDE 65
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
SLIDE 66 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1/3 ¡ 1/3 ¡
SLIDE 67 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡
SLIDE 68 4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1/3 ¡ 1/3 ¡
SLIDE 69
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
SLIDE 70
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
SLIDE 71
4.888…-‑approxima(on ¡
D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)
¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡
average ¡of ¡f(.) ¡
SLIDE 72
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D* ⟶ (0, 5]
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡
4.888…-‑approxima(on ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡f ¡(.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡
D D*
SLIDE 73 4,888… ¡< ¡f ¡(c*) ¡≤ ¡ ¡5 ¡
4.888…-‑approxima(on ¡
C* ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D* ⟶ (0, 5]
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡f ¡(.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡
D D*
SLIDE 74 4,888… ¡< ¡f ¡(c*) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡(r*) ¡≤ ¡4 ¡
4.888…-‑approxima(on ¡
C* ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D* ⟶ (0, 5]
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D| ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|D*| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡f ¡(.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡
D D*
r* ¡
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SLIDE 78 4.888…-‑approxima(on ¡
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4.888…-‑approxima(on ¡
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4.888…-‑approxima(on ¡
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4.888…-‑approxima(on ¡
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4.888…-‑approxima(on ¡
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4.888…-‑approxima(on ¡
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4.888…-‑approxima(on ¡
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SLIDE 87 4.888…-‑approxima(on ¡
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SLIDE 88 Some ¡geometric ¡lemmas ¡
Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more congruent disks in a convex region has density at most / .
3 5 12
π
SLIDE 89 Some ¡geometric ¡lemmas ¡
Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more congruent disks in a convex region has density at most / . Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d-neighborhood of a vertex in a unit disk graph contains at most (2d + 1)2 / independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4,L)-pendant unit disk graph, then L ≤ 8. ¡
3 5 12
π π
12
SLIDE 90 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
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SLIDE 92 Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more congruent disks in a convex region has density at most / . Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d-neighborhood of a vertex in a unit disk graph contains at most (2d + 1)2 / independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4,L)-pendant unit disk graph, Then L ≤ 8. ¡
3 5 12
π π
12
Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 93 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 96 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 97 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 98 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 99 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 100 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
ND[r*] ¡∈ ¡{1,2,3} ¡
reliever ¡
Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 101 Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more congruent disks in a convex region has density at most / . Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d-neighborhood of a vertex in a unit disk graph contains at most (2d + 1)2 / independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4,L)-pendant unit disk graph, Then L ≤ 8. ¡
3 5 12
π π
12
Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 102 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
ND[r*] ¡∈ ¡{1,2,3} ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 103 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
ND[r*] ¡∈ ¡{1,2,3} ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 104 r* ¡ C1* ¡ w1 ¡
ND[r*] ¡∈ ¡{1,2,3} ¡
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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 105 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
ND[r*] ¡∈ ¡{1,2,3} ¡
r* ¡
Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
SLIDE 106 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
ND[r*] ¡∈ ¡{1,2,3} ¡ ¡⇒ ¡ ¡at ¡most ¡14 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡cores ¡per ¡reliever ¡
Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ ¡
reliever ¡
SLIDE 107 ¡ ¡| ¡ND[r*] ¡| ¡ Maximum ¡number ¡of ¡ ¡ cores ¡ci* ¡per ¡reliever ¡ Upper ¡bound ¡for ¡|D| ¡/ ¡|D*| ¡ 1 ¡ ¡ (1 ¡x ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x ¡5) ¡ ¡ ¡ ¡/ ¡ ¡15 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4,7333… ¡ 2 ¡ ¡ (1 ¡x ¡2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x ¡5) ¡ ¡ ¡ ¡/ ¡ ¡15 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4,8 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 3 ¡ ¡ (1 ¡x ¡3 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x ¡5) ¡ ¡ ¡ ¡/ ¡ ¡15 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4,8666… ¡ 4 ¡ ¡ (1 ¡x ¡4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x ¡5) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡/ ¡ ¡ ¡9 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4,888… ¡
Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡
1 ¡reliever ¡ ¡ f(reliever) ¡ f(core) ¡
SLIDE 108 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
Lower ¡bound ¡
reliever ¡
(1 ¡x ¡4 ¡ ¡+ ¡ ¡ ¡x ¡5) ¡ ¡ ¡/ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4.8 ¡
SLIDE 109
Thank ¡you. ¡
SLIDE 110 Linear-‑(me ¡Approxima(ons ¡for ¡ Domina(ng ¡Sets ¡and ¡Independent ¡Domina(ng ¡Sets ¡ in ¡Unit ¡Disk ¡Graphs ¡
Celina ¡Miraglia ¡Herrera ¡de ¡Figueiredo ¡ Guilherme ¡Dias ¡da ¡Fonseca ¡ Raphael ¡Carlos ¡dos ¡Santos ¡Machado ¡ Vinícius ¡Gusmão ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡
SLIDE 111 Future ¡direc(ons ¡
- Improve ¡the ¡algorithms ¡(par(al ¡reduc(ons) ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Irreducible ¡corona ¡ ¡
SLIDE 112 Future ¡direc(ons ¡
- Improve ¡the ¡algorithms ¡(par(al ¡reduc(ons) ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Irreducible ¡corona ¡ ¡
SLIDE 113 Future ¡direc(ons ¡
- Improve ¡the ¡algorithms ¡(par(al ¡reduc(ons) ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Irreducible ¡corona ¡ ¡
SLIDE 114 Future ¡direc(ons ¡
- Improve ¡the ¡analysis ¡of ¡the ¡approxima(on ¡
factor ¡(geometric/computa(onal ¡proofs) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Show ¡that ¡Lemmas ¡5 ¡and ¡6 ¡are ¡not ¡(ght ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡that ¡some ¡graphs ¡that ¡sa(sfy ¡them ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡actually ¡not ¡unit ¡disk ¡graphs. ¡
SLIDE 115 r* ¡ C1* ¡ C4* ¡ C2* ¡ C3* ¡ w1 ¡ w4 ¡ w3 ¡ w2 ¡ f ¡(c1*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c2*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c3*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(c4*) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡(r*) ¡≤ ¡ ¡4 ¡
Lower ¡bound ¡
reliever ¡
(1 ¡x ¡4 ¡ ¡+ ¡ ¡ ¡x ¡5) ¡ ¡ ¡/ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡4.8 ¡
SLIDE 116
SLIDE 117
Future ¡direc(ons ¡
SLIDE 118
SLIDE 119
Thank ¡you. ¡
SLIDE 120 Linear-‑(me ¡Approxima(ons ¡for ¡ Domina(ng ¡Sets ¡and ¡Independent ¡Domina(ng ¡Sets ¡ in ¡Unit ¡Disk ¡Graphs ¡
Celina ¡Miraglia ¡Herrera ¡de ¡Figueiredo ¡ Guilherme ¡Dias ¡da ¡Fonseca ¡ Raphael ¡Carlos ¡dos ¡Santos ¡Machado ¡ Vinícius ¡Gusmão ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡
SLIDE 121 (k,l)-‑pendant ¡graphs ¡
A (k,l)-pendant graph is a graph containing a vertex v with k pendant vertices in its open neighborhood and l pendant vertices in its open 2-neighborhood.
V
a ¡(4,5)-‑pendant ¡graph ¡
