Linear-(me Approxima(ons for Domina(ng Sets and Independent - PowerPoint PPT Presentation

100 ¡meters ¡freestyle ¡world ¡record ¡ 1995 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2012 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Alexander ¡Popov ¡(RUSSIA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cesar ¡Cielo ¡(BRASIL) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡48.21 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡46.91 ¡s ¡ Alexander ¡Popov ¡(RUSSIA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡César ¡Cielo ¡(BRAZIL) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡48.21 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡46.91 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ -‑ ¡2.6% ¡

Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡  Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version (De, Das & Nandy 2011) O( n + m ) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS  O( n 225 ) graph-based 5-approximation (NHK’08) O( n 9 ) geometric 4-approximation (DDN’11) O( n 18 ) geometric 3-approximation (DDN’11) ¡ ¡ ¡ ¡ -‑ ¡2.2% ¡ ¡4.888… ¡ O( n + m ) graph-based ,888 -approximation Our ¡contribu(on: ¡ ¡4.888… ¡ O( n log n ) geometric ,888 -approximation (FFMS’12)

Coronas ¡and ¡cores ¡ Let D be a maximal independent set of graph G ( V ,E). A corona consists of exactly 5 (five) vertices of D presenting a common neighbor in V \ D , called a . corona ¡ ¡ ¡ ¡

Coronas ¡and ¡cores ¡ Let D be a maximal independent set of graph G ( V ,E). A corona consists of exactly 5 (five) vertices of D presenting a common neighbor in V \ D , called a . A corona C can be corona ¡ ¡ • reducible, if it has a core c s.t. D \ C U { c } is still a dominating set of G; ¡ ¡ or • irreducible, otherwise.

Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡

Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡

Witnesses ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡ witness ¡

Witnesses ¡ Let C be a corona of graph G ( V , E ), and let c be a core of C . A vertex w is a witness of c iff cw ∉ E , and N D [ w ] ⊆ C . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡ witness ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ 1. Obtain a maximal independent set D 2. While there is a reducible corona C in D 3. Update D by reducing C 4. Return D Input: adjacency lists (graph) Time: O( n + m ) Input: center coordinates in Real RAM Model Time: O( n log n )

4.888…-‑approxima(on ¡ 1. Obtain a maximal independent set D 2. While there is a reducible corona C in D 3. Update D by reducing C 4. Return D Input: adjacency lists (graph) Time: O( n + m ) Input: center coordinates in Real RAM Model Time: O( n log n ) Lemma: a maximal independent set D with no reducible coronas is a 4.888…-approximation for the minimum (independent) dominating set.

4.888…-‑approxima(on ¡ 1. Obtain a maximal independent set D 2. While there is a reducible corona C in D 3. Update D by reducing C 4. Return D

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output)

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1/3 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) average ¡of ¡ f (.) ¡

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4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ K 1,6 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ f ( r *) ¡> ¡4 ¡(hypothesis) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ r* ] ¡ ∩ ¡ C = ∅ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c i *) ¡= ¡ ¡5, ¡ ¡ ¡ ¡ i ¡= ¡1, ¡2, ¡… ¡? reliever ¡ C 1 * ¡ C* ¡ r* ¡ r* ¡ f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 C 2 * ¡ C 3 * ¡ C 4 * ¡ . ¡ . ¡ . ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡

Some ¡geometric ¡lemmas ¡ Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . 3 Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. 5 Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more π congruent disks in a convex region has density at most / . 12

Some ¡geometric ¡lemmas ¡ Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . 3 Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. 5 Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more π congruent disks in a convex region has density at most / . 12 Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d -neighborhood of a vertex π in a unit disk graph contains at most (2 d + 1) 2 / 12 independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4, L )-pendant unit disk graph, then L ≤ 8. ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . 3 Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. 5 Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more π congruent disks in a convex region has density at most / . 12 Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d -neighborhood of a vertex π in a unit disk graph contains at most (2 d + 1) 2 / 12 independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4, L )-pendant unit disk graph, Then L ≤ 8. ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ r* ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ⇒ ¡ ¡ ¡at ¡most ¡ 8 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡cores ¡per ¡reliever ¡

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Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡ ∈ ¡{2,3} ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡ ∈ ¡{1,2,3} ¡

Linear-(me Approxima(ons for Domina(ng Sets and Independent - PowerPoint PPT Presentation

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