L i n e a r i z e d s h o r t - d i s t a n c e m o d i fj c a t i o n s o f E i n s t e i n ’ s G e n e r a l R e l a t i v i t y J e n s B o o s ( s u p e r v i s o r : P r o f . V a l e r i P . F r o l o v ) b o o s @ u a l b e r t a . c a U n i v e r s i t y o f A l b e r t a S a t u r d a y , Ma r 3 , 2 0 1 8 , 1 3 : 2 0 G r a d u a t e w e e k e n d 2 0 1 8 U n i v e r s i t y o f A l b e r t a
E i n s t e i n ’ s G e n e r a l R e l a t i v i t y i s a c o m p l i c a t e d n o n - l i n e a r t h e o r y . T h e E i n s t e i n fj e l d e q u a t i o n s d e s c r i b e h o w s p a c e t i m e a n d m a t t e r a r e i n t e r t w i n e d : T h e y a r e t e n n o n - l i n e a r p a r t i a l d i fg e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e t e n f u n c t i o n s , i f o n e p r o v i d e s t h e e n e r g y - m o m e n t u m ( e n e r g y d e n s i t y , p r e s s u r e , s h e a r , . . . ) . 1 / 4
E i n s t e i n ’ s G e n e r a l R e l a t i v i t y i s a c o m p l i c a t e d n o n - l i n e a r t h e o r y . T h e E i n s t e i n fj e l d e q u a t i o n s d e s c r i b e h o w s p a c e t i m e a n d m a t t e r a r e i n t e r t w i n e d : e m i t e c a p s r e t t a y r m t e m o e g T h e y a r e t e n n o n - l i n e a r p a r t i a l d i fg e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e t e n f u n c t i o n s , i f o n e p r o v i d e s t h e e n e r g y - m o m e n t u m ( e n e r g y d e n s i t y , p r e s s u r e , s h e a r , . . . ) . 1 / 4
E i n s t e i n ’ s G e n e r a l R e l a t i v i t y i s a c o m p l i c a t e d n o n - l i n e a r t h e o r y . T h e E i n s t e i n fj e l d e q u a t i o n s d e s c r i b e h o w s p a c e t i m e a n d m a t t e r a r e i n t e r t w i n e d : e m i t e c a p s r e t t a y r m t e m o e g T h e y a r e t e n n o n - l i n e a r p a r t i a l d i fg e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e t e n f u n c t i o n s , i f o n e p r o v i d e s t h e e n e r g y - m o m e n t u m ( e n e r g y d e n s i t y , p r e s s u r e , s h e a r , . . . ) . T h e r e e x i s t m a n y e x a c t s o l u t i o n s f o r t h e E i n s t e i n e q u a t i o n s : • fm a t s p a c e t i m e : Mi n k o w s k i s p a c e ( p a r t i c l e p h y s i c s ) • b l a c k h o l e s p a c e t i m e s ( r o t a t i n g , c h a r g e d , a c c e l e r a t i n g , w i t h c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t ) • t h e e n t i r e U n i v e r s e ( c o s m o l o g y ) I n t h i s t a l k : l e t u s u n d e r s t a n d t h e g r a v i t a t i o n a l fj e l d o f a p o i n t p a r t i c l e . 1 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . 2 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . p o i n t p a r t i c l e o f m a s s m 2 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . 2 1 t e s t o b j e c t o f n e g l i g i b l e m a s s p o i n t p a r t i c l e o f m a s s m 2 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . 2 1 t e s t o b j e c t o f n e g l i g i b l e m a s s p o i n t p a r t i c l e o f m a s s m F o r c e s a t p o i n t s 1 a n d 2 : 2 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . 2 1 t e s t o b j e c t o f n e g l i g i b l e m a s s p o i n t p a r t i c l e o f m a s s m F o r c e s a t p o i n t s 1 a n d 2 : 2 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . S p a c e t i me c u r v a t u r e c a n b e t h o u g h t o f a s t h e t i d a l f o r c e ( t e n s o r ) o n a n o b j e c t : 2 1 t e s t o b j e c t o f n e g l i g i b l e m a s s p o i n t p a r t i c l e o f m a s s m F o r c e s a t p o i n t s 1 a n d 2 : 2 / 4
P r o b l e m : T i d a l f o r c e s d i v e r g e c l o s e t o p o i n t p a r t i c l e s . S p a c e t i me c u r v a t u r e c a n b e t h o u g h t o f a s t h e t i d a l f o r c e ( t e n s o r ) o n a n o b j e c t : 2 1 t e s t o b j e c t o f n e g l i g i b l e m a s s p o i n t p a r t i c l e o f m a s s m F o r c e s a t p o i n t s 1 a n d 2 : I m p o r t a n t o b s e r v a t i o n : t h e t i d a l f o r c e f o r r → 0 ! T h i s i s a s i m p l e e x a m p l e o f d i v e r g e s t h e p r e s e n c e o f u n p h y s i c a l “ s i n g u l a r i t i e s ” i n G e n e r a l R e l a t i v i t y . R o o t o f a l l e v i l ? T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l o f a p o i n t p a r t i c l e i s s i n g u l a r , . S o l u t i o n ? → N e e d t o m o d i f y G e n e r a l R e l a t i v i t y a t o n l y . s ma l l s c a l e s 2 / 4
S o l u t i o n ? S h o r t - s c a l e m o d i fj c a t i o n o f G e n e r a l R e l a t i v i t y . 3 / 4
S o l u t i o n ? S h o r t - s c a l e m o d i fj c a t i o n o f G e n e r a l R e l a t i v i t y . 3 / 4
S o l u t i o n ? S h o r t - s c a l e m o d i fj c a t i o n o f G e n e r a l R e l a t i v i t y . F o r g h o s t - f r e e g r a v i t y ( o n e p o s s i b l e m o d i fj c a t i o n ) , w e t a k e t h e E i n s t e i n e q u a t i o n s a n d i n s e r t t h e f o l l o w i n g ( a t t h e l i n e a r l e v e l ) : n o n - l o c a l o p e r a t o r s H e r e , i s t h e d ’ A l e m b e r t o p e r a t o r , a n d . 3 / 4
S o l u t i o n ? S h o r t - s c a l e m o d i fj c a t i o n o f G e n e r a l R e l a t i v i t y . F o r g h o s t - f r e e g r a v i t y ( o n e p o s s i b l e m o d i fj c a t i o n ) , w e t a k e t h e E i n s t e i n e q u a t i o n s a n d i n s e r t t h e f o l l o w i n g ( a t t h e l i n e a r l e v e l ) : n o n - l o c a l o p e r a t o r s H e r e , i s t h e d ’ A l e m b e r t o p e r a t o r , a n d . T h i s s p e c i fj c m o d i fj c a t i o n g u a r a n t e e s a w e l l - d e fj n e d s h o r t - s c a l e b e h a v i o r , w h i l e a t t h e s a m e t i m e r e p r o d u c i n g G e n e r a l R e l a t i v i t y a t l a r g e d i s t a n c e s c a l e s . 3 / 4
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