Institute of Telecommunications (ITK) Joint Localiza,on - - PowerPoint PPT Presentation

T

• Ss. Cyril and Methodius University in Skopje

Faculty of Electrical Engineering and Information Technologies (FEEIT) Institute of Telecommunications (ITK)

¡

Joint ¡Localiza,on ¡Algorithms ¡for ¡Network ¡ Topology ¡Ambiguity ¡Reduc,on ¡

Marko ¡Angjelicinoski, ¡Daniel ¡Denkovski, ¡ ¡ Vladimir ¡Atanasovski ¡and ¡Liljana ¡Gavrilovska ¡

¡ {markoang; ¡danield; ¡vladimir; ¡liljana}@feit.ukim.edu.mk ¡ ¡

4th ¡COST ¡IC0902 ¡Workshop ¡ Rome, ¡Italy, ¡October ¡9-­‑11, ¡2013 ¡

Outline ¡

• IntroducPon ¡
• Problem ¡definiPon ¡
• Joint ¡Maximum ¡Likelihood ¡(JML) ¡
• Concluding ¡remarks ¡

2 ¡

3 ¡

IntroducPon ¡

• TransmiXer ¡localizaPon ¡is ¡an ¡important ¡aspect ¡in ¡commercial, ¡public ¡safety ¡and ¡

military ¡applicaPons ¡of ¡current ¡and ¡future ¡wireless ¡networks ¡ – Numerous ¡approaches ¡possible ¡

• Received ¡Signal ¡Strength ¡(RSS)-­‑based ¡localizaPon ¡is ¡a ¡viable ¡localizaPon ¡soluPon ¡

due ¡to ¡the: ¡ – Inherent ¡presence ¡of ¡the ¡RSS ¡extracPon ¡feature ¡in ¡all ¡radio ¡devices ¡ – Sufficient ¡precision ¡for ¡a ¡variety ¡of ¡pracPcal ¡applicaPons ¡

• However, ¡there ¡are ¡associated ¡challenges ¡in ¡the ¡process ¡as ¡the ¡operaPng ¡

environment ¡of ¡wireless ¡networks ¡is ¡very ¡hosPle ¡+ ¡the ¡radio ¡environmental ¡ informaPon ¡(e.g. ¡wireless ¡channel ¡model ¡parameters) ¡and ¡network ¡configuraPon ¡ informaPon ¡(sensor ¡posiPons) ¡might ¡be ¡unreliable ¡or ¡absent ¡ ¡

• This ¡presentaPon ¡analyzes ¡the ¡network ¡topology ¡ambiguity ¡problem ¡and ¡

proposes ¡novel ¡localizaPon ¡algorithms ¡that ¡improve ¡the ¡transmiXer ¡localizaPon ¡ performance ¡while ¡reducing ¡the ¡network ¡topology ¡ambiguity ¡

Outline ¡

• IntroducPon ¡
• Problem ¡definiPon ¡
• Joint ¡Maximum ¡Likelihood ¡(JML) ¡
• Concluding ¡remarks ¡

4 ¡

General ¡network ¡setup ¡ ¡

• Single ¡transmiCer ¡(agent) ¡with ¡unknown ¡

posiPon ¡ ¡

• Set ¡N, ¡|N|=n ¡of ¡measuring ¡sensors ¡

(anchors) ¡with ¡known ¡posiPons ¡ ¡ ¡

• The ¡anchors ¡measure ¡the ¡RSS ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡

the ¡signal ¡broadcasted ¡by ¡the ¡transmiXer ¡

• The ¡transmiXer ¡posiPon ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡esPmated ¡

through ¡(unbiased) ¡es,ma,on ¡using ¡the ¡ RSS ¡observaPons ¡ ¡

– Using ¡appropriate ¡path ¡loss ¡model* ¡

• The ¡localiza,on ¡error ¡quanPfied ¡through ¡

the ¡covariance ¡matrix ¡

Anchors Agent Agent position estimate Agent localization covariance

* ¡R. ¡K. ¡Mar6n, ¡and ¡R. ¡Thomas, ¡“Algorithms ¡and ¡bounds ¡for ¡es6ma6ng ¡loca6on, ¡direc6onality, ¡and ¡environmental ¡parameters ¡of ¡primary ¡spectrum ¡users,” ¡IEEE ¡Transac6on ¡on ¡ Wireless ¡Communica6ons ¡8(11), ¡pp. ¡5692-­‑5701, ¡November ¡2009. ¡ ¡

6 ¡

Anchor ¡posiPon ¡ambiguity ¡

• The ¡posiPon ¡informaPon ¡of ¡some ¡anchors ¡

is ¡obtained ¡through ¡previous ¡es,ma,on ¡

• The ¡anchor ¡posiPon ¡es,mates ¡are ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡

they ¡saPsfy ¡

– Ambiguous ¡and ¡ofen ¡very ¡unreliable ¡ network ¡topology ¡informaPon ¡

• The ¡ambiguous ¡anchor ¡posiPon ¡

informaPon ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡can ¡cause ¡severe ¡ deteriora,on ¡of ¡the ¡localizaPon ¡ algorithms’ ¡performance ¡

• New ¡localiza,on ¡algorithms ¡for ¡scenarios ¡

with ¡ambiguous ¡topologies ¡needed ¡

Anchors’ position estimates Agent localization covariance increases

Outline ¡

• IntroducPon ¡
• Problem ¡definiPon ¡
• Joint ¡Maximum ¡Likelihood ¡(JML) ¡
• Concluding ¡remarks ¡

7 ¡

Joint ¡localizaPon ¡algorithms ¡

• The ¡ambiguity ¡problem ¡can ¡be ¡alleviated ¡with ¡localizaPon ¡algorithms ¡that ¡

jointly ¡esPmate ¡the ¡agent’s ¡and ¡the ¡anchors’ ¡exact ¡posi,ons* ¡ ¡ Improve ¡the ¡transmiCer ¡localiza,on ¡performance ¡ Reduce ¡the ¡network ¡topology ¡ambiguity ¡

• The ¡joint ¡localizaPon ¡relies ¡on ¡the ¡assumpPon ¡that ¡the ¡erroneous ¡

informaPon ¡about ¡the ¡anchor ¡posiPons ¡is ¡obtained ¡by ¡some ¡previous ¡ esPmaPon ¡ Modeled ¡as ¡a ¡random ¡process ¡parameterized ¡with ¡respect ¡to ¡the ¡ exact ¡anchor ¡posiPons ¡

• This ¡work ¡presents ¡a ¡general ¡joint ¡RSS-­‑based ¡localiza,on ¡framework ¡

developed ¡using ¡non-­‑Bayesian ¡es,ma,on ¡formalism* ¡ – The ¡unknown ¡agent’s ¡and ¡ambiguous ¡anchors’ ¡posiPons ¡are ¡regarded ¡ as ¡determinis,c ¡parameters ¡→ ¡the ¡technically ¡correct ¡esPmaPon ¡ approach ¡for ¡scenarios ¡with ¡imprecise ¡anchor ¡posi,on ¡informa,on ¡

* ¡M. ¡Angjelicinoski, ¡D. ¡Denkovski, ¡V. ¡Atanasovski, ¡and ¡L. ¡Gavrilovska, ¡“SPEAR: ¡Source ¡Posi6on ¡Es6ma6on ¡for ¡Ambiguity ¡Reduc6on,” ¡IEEE ¡Communica6on ¡LeXers ¡(submiXed) ¡

Joint ¡localizaPon ¡algorithms: ¡ ¡ Non-­‑Bayesian ¡formalism ¡

• Two ¡subsets ¡of ¡anchors: ¡

– Subset ¡V, ¡|V|=v ¡-­‑> ¡anchors ¡with ¡certain ¡i.e. ¡ precisely ¡known ¡posiPon ¡(Base ¡StaPons ¡or ¡APs) ¡ – Subset ¡U, ¡|U|=u ¡-­‑> ¡ ¡anchors ¡with ¡ambiguous ¡ posiPons ¡

• The ¡data ¡vector ¡is ¡ ¡

¡

• The ¡unknown ¡parameters ¡vector ¡is ¡

¡

• Assump,ons: ¡

– PropagaPon ¡model: ¡log-­‑distance ¡path ¡loss ¡model ¡ in ¡log-­‑normal ¡uncorrelated ¡shadowing ¡ ¡ ¡ ¡ – Anchor ¡posiPon ¡esPmates: ¡i.i.d. ¡Gaussian* ¡ Ambiguity regions Ki determinisPc ¡

* ¡J. ¡Hemmes, ¡D. ¡Thain, ¡and ¡C. ¡Poellabauer, ¡“Coopera6ve ¡Localiza6on ¡in ¡GPS-­‑Limited ¡Urban ¡ Environments,” ¡First ¡Interna6onal ¡Conference ¡ADHOCNETS ¡2009, ¡Ontario, ¡CA, ¡2009, ¡pp. ¡422-­‑437. ¡ ¡

10 ¡

Joint ¡Maximum ¡Likelihood ¡

• The ¡main ¡task ¡of ¡the ¡RSS-­‑based ¡joint ¡localizaPon ¡framework ¡is ¡to ¡es,mate ¡θ ¡based ¡
• n ¡the ¡informa,on ¡contained ¡in X* ¡
• Employing ¡Maximum ¡Likelihood ¡(ML) ¡approach* ¡results ¡in ¡the ¡Joint ¡Maximum ¡

Likelihood ¡(JML) ¡localizaPon ¡algorithm ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡p(X;θ) is ¡the ¡joint ¡probability ¡density ¡func,on ¡of ¡the ¡data ¡vector ¡X

¡

• When ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡the ¡JML ¡becomes ¡the ¡Legacy ¡ML ¡(LML) ¡

localizaPon ¡algorithm ¡ ¡

* ¡S. ¡M. ¡Kay, ¡Fundamentals ¡of ¡Sta6s6cal ¡Signal ¡Processing: ¡Es6ma6on ¡Theory, ¡Pren6ce-­‑Hall, ¡1998. ¡ ¡ ¡

11 ¡

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x [m] y [m]

ID:10 ID:5 ID:4 ID:6 ID:1 ID:8 ID:7 ID:3 ID:9 ID:2 Tx:1(9,9) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

JML ¡performance ¡evaluaPon ¡(1/4) ¡ à ¡transmiXer ¡localizaPon ¡ ¡

Simula,on ¡parameters ¡ Simulated ¡area ¡ 20mX20m ¡ Transmit ¡power ¡ 0dBm ¡ Path ¡loss ¡exponent ¡ 2.5 ¡ Reference ¡distance ¡ 1m ¡ TransmiXer ¡posiPon ¡ ¡ (9,9)m ¡ Shadowing ¡std. ¡deviaPon ¡ 1:1:10 ¡dB ¡ Number ¡of ¡anchors ¡ 10 ¡ Number ¡of ¡ambiguous ¡anchors ¡ 10 ¡(U=N) ¡ Anchor ¡ambiguity ¡std. ¡deviaPon ¡ 1:3:10 ¡m ¡ Monte-­‑Carlo ¡trials ¡(L) ¡ 10000 ¡

GOAL: ¡Compare ¡the ¡Root ¡Mean ¡Squared ¡Error ¡(RMSE) ¡performance ¡of ¡the ¡JML ¡with ¡the ¡ performance ¡of ¡the ¡LML ¡in ¡terms ¡of ¡the ¡transmiCer ¡localiza,on ¡capabili,es ¡

Circular ¡ normal ¡ scenario ¡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ ¡[dB] RMSE ¡[m] LML(Δ=4m) LML(Δ=7m) LML(Δ=10m) JML(Δ=4m) JML(Δ=7m) JML(Δ=10m) The ¡joint ¡agent/ambiguous ¡ anchor ¡localizaPon ¡results ¡ in ¡RMSE ¡gain ¡for ¡the ¡ transmiCer ¡localiza,on ¡ ¡ The ¡RMSE ¡gain ¡increases ¡as ¡the ¡iniPal ¡anchor ¡ posi,on ¡ambiguity ¡increases ¡(relaPve ¡to ¡the ¡ average ¡network ¡internodes ¡distances) ¡ ¡ → ¡The ¡joint ¡localizaPon ¡framework ¡suitable ¡for ¡ scenarios ¡with ¡large ¡ini,al ¡topology ¡ ambigui,es ¡ The JML performs better than the LML → reliable transmitter localization is possible in scenarios with ambiguous anchor positions

JML ¡performance ¡evaluaPon ¡(2/4) ¡ à ¡transmiXer ¡localizaPon ¡ ¡

13 ¡

GOAL: ¡Compare ¡the ¡Root ¡Mean ¡Squared ¡Error ¡(RMSE) ¡performance ¡of ¡the ¡JML ¡in ¡ terms ¡of ¡reducing ¡the ¡ini,al ¡network ¡topology ¡ambiguity ¡

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x [m] y [m]

ID:10 ID:5 ID:4 ID:6 ID:1 ID:8 ID:7 ID:3 ID:9 ID:2 Tx:1(9,9) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

IniPal ¡Anchor ¡PosiPon ¡ Ambiguity ¡

JML ¡performance ¡evaluaPon ¡(3/4) ¡ à ¡anchor ¡ambiguity ¡reducPon ¡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

σ ¡[dB] RMSE ¡[m]

JML ¡(sensID:9, ¡Δ=7m) ¡ JML ¡(sensID:10, ¡Δ=7m) ¡ Initial ¡Anchor ¡Position ¡Ambiguity The JML improves the reliability of the anchor position estimates → reduced network topology ambiguity

JML ¡performance ¡evaluaPon ¡(4/4) ¡ à ¡anchor ¡ambiguity ¡reducPon ¡

Outline ¡

• IntroducPon ¡
• Problem ¡definiPon ¡
• Joint ¡Maximum ¡Likelihood ¡(JML) ¡
• Concluding ¡remarks ¡

15 ¡

Concluding ¡remarks ¡

• In ¡challenging ¡environments, ¡the ¡informaPon ¡about ¡the ¡sensors’ ¡posiPons ¡

might ¡be ¡unreliable ¡→ ¡the ¡problem ¡can ¡be ¡alleviated ¡using ¡joint ¡ localizaPon ¡algorithms ¡

• This ¡work ¡introduced ¡general ¡RSS-­‑based ¡localizaPon ¡framework ¡using ¡non-­‑

Bayesian ¡esPmaPon ¡formalism ¡that: ¡ – Improves ¡the ¡transmiCer ¡localiza,on ¡performances ¡ – Reduces ¡the ¡sensors’ ¡posi,onal ¡ambiguity ¡

• The ¡JML ¡is ¡introduced ¡as ¡a ¡typical ¡representaPve ¡of ¡the ¡proposed ¡

framework ¡

• The ¡JML ¡performance ¡evaluaPon ¡proves ¡that ¡substanPal ¡transmiXer ¡

localizaPon ¡improvements ¡and ¡network ¡ambiguity ¡reducPon ¡gains ¡can ¡be ¡ aXained ¡via ¡joint ¡localizaPon ¡

16 ¡

THANK ¡YOU ¡FOR ¡YOUR ¡KIND ¡ ATTENTION! ¡ ¡ ¡ QUESTIONS? ¡

¡ ¡ hXp://wingroup.feit.ukim.edu.mk ¡

17 ¡

Backup ¡slides ¡

18 ¡

TheorePcal ¡performance ¡bounds ¡

• The ¡Cramer-­‑Rao ¡Lower ¡Bound ¡(CRLB) ¡[1] ¡bounds ¡the ¡covariance ¡matrix ¡of ¡any ¡

unbiased, ¡non-­‑Bayesian ¡esPmator ¡of ¡θ ¡via ¡the ¡inverse ¡of ¡the ¡Fisher ¡Informa,on ¡ Matrix ¡ ¡(FIM) ¡ ¡

• Objec,ve: ¡prove ¡convergence ¡of ¡the ¡derived ¡bounds ¡by ¡invesPgaPng ¡the ¡

asympto,c ¡performance ¡of ¡the ¡JML ¡

– The ¡JML ¡is ¡expected ¡to ¡achieve ¡the ¡CRLB ¡in ¡terms ¡of ¡RMSE ¡for ¡small ¡environmental ¡variability ¡and ¡ small ¡anchor ¡posiPon ¡errors ¡(i.e. ¡in ¡the ¡small ¡varia,on/error ¡region) ¡ ¡

19 ¡

[1] ¡S. ¡M. ¡Kay, ¡Fundamentals ¡of ¡StaPsPcal ¡Signal ¡Processing: ¡EsPmaPon ¡Theory, ¡PrenPce-­‑Hall, ¡1998. ¡ ¡ ¡

RMSE: ¡ simulaPon ¡ PosiPon ¡Error ¡ Bound ¡(PEB): ¡ theorePcal ¡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12 5 10 Δ ¡[m] σ ¡[dB] SPEB[m]

Bound ¡convergence ¡(1/3) ¡

¡à ¡transmiXer ¡localizaPon ¡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12 5 10 Δ ¡[m] σ ¡[dB] RMSE[m]

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Δ ¡[m] σ ¡[dB]

• ­‑2
• ­‑1.5
• ­‑1
• ­‑0.5

0.5 RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡ Small ¡variaPons ¡region ¡ ¡ → ¡RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡≈ ¡0 ¡(approaches ¡ zero) ¡ ¡ → ¡The ¡JML ¡achieves ¡the ¡ derived ¡bound ¡ High ¡radio ¡environmental ¡ variability ¡region ¡ ¡ → ¡RMSE ¡– ¡PEB ¡> ¡0 ¡ Large ¡iniPal ¡network ¡ ambiguity ¡ → ¡RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡< ¡0 ¡ ¡ → ¡Typical ¡behavior ¡for ¡biased ¡ esPmaPon ¡ ¡ → ¡large ¡iniPal ¡ambiguiPes ¡ introduce ¡bias ¡in ¡the ¡ esPmaPon ¡process ¡and ¡JML ¡ performs ¡beXer ¡than ¡expected ¡ in ¡terms ¡of ¡RMSE ¡

ID:10 ID:5 ID:4 ID:6 ID:1 ID:8 ID:7 ID:3 ID:9 ID:2 Tx:1(9,9) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12 5 10 15 Δ ¡[m] σ ¡[dB] RMSE[m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12 5 10 15 Δ ¡[m] σ ¡[dB] SPEB[m]

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Δ ¡[m] σ ¡[dB]

• ­‑5
• ­‑4
• ­‑3
• ­‑2
• ­‑1

RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡ Small ¡variaPons ¡region ¡ ¡ → ¡RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡≈ ¡0 ¡(approaches ¡ zero) ¡ ¡ → ¡The ¡JML ¡achieves ¡the ¡ derived ¡bound ¡ ¡ → ¡The ¡Bound ¡converges ¡even ¡ for ¡large ¡environmental ¡ variability ¡ Large ¡iniPal ¡network ¡ambiguity ¡ → ¡RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡< ¡0 ¡ ¡ → ¡The ¡esPmaPon ¡is ¡biased ¡and ¡ the ¡bound ¡does ¡not ¡converge ¡ ¡ → ¡NoPce ¡that ¡ID:2 ¡is ¡very ¡ close ¡to ¡the ¡transmiCer ¡

Bound ¡convergence ¡(2/3) ¡

¡à ¡anchor ¡localizaPon ¡(ID:2) ¡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12 5 10 15 Δ ¡[m] σ ¡[dB] RMSE[m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12 5 10 15 Δ ¡[m] σ ¡[dB] SPEB[m]

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Δ ¡[m] σ ¡[dB]

• ­‑1.5
• ­‑1
• ­‑0.5

RMSE ¡-­‑ ¡PEB ¡ Averaging ¡over ¡sensors ¡ increases ¡the ¡region ¡of ¡ convergence ¡of ¡the ¡bound ¡and ¡ reduces ¡the ¡bias. ¡ ¡ ¡ → ¡The ¡bound ¡for ¡far ¡anchors ¡ converges ¡in ¡larger ¡region ¡ compared ¡with ¡close ¡anchors ¡ ¡

Bound ¡convergence ¡(3/3) ¡

¡à ¡anchor ¡localizaPon ¡(average) ¡

23 ¡

Joint ¡Maximum ¡Likelihood ¡

• The ¡main ¡task ¡of ¡the ¡RSS-­‑based ¡joint ¡localizaPon ¡framework ¡is ¡to ¡es,mate ¡θ ¡based ¡
• n ¡the ¡informa,on ¡contained ¡in X [1] ¡
• Employing ¡Maximum ¡Likelihood ¡(ML) ¡approach ¡[1], ¡results ¡in ¡the ¡Joint ¡Maximum ¡

Likelihood ¡(JML) ¡localizaPon ¡algorithm ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡p(X;θ) is ¡the ¡joint ¡probability ¡density ¡func,on ¡of ¡the ¡data ¡vector ¡X

• Employing ¡the ¡path ¡loss ¡and ¡the ¡anchor ¡posiPon ¡esPmate ¡distribuPon ¡assump,ons, ¡

the ¡log-­‑likelihood ¡funcPon ¡L(θ|X)=lnp(X;θ) results ¡in ¡

• When ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡the ¡JML ¡becomes ¡the ¡Legacy ¡ML ¡(LML) ¡

localizaPon ¡algorithm ¡ ¡

[1] ¡S. ¡M. ¡Kay, ¡Fundamentals ¡of ¡StaPsPcal ¡Signal ¡Processing: ¡EsPmaPon ¡Theory, ¡PrenPce-­‑Hall, ¡1998. ¡ ¡ ¡

24 ¡

Performance ¡bounds ¡(1/2) ¡

• The ¡Cramer-­‑Rao ¡Lower ¡Bound ¡(CRLB) ¡[1] ¡bounds ¡the ¡performance ¡of ¡any ¡unbiased, ¡

non-­‑Bayesian ¡esPmator ¡of ¡θ ¡via ¡the ¡inverse ¡of ¡the ¡Fisher ¡Informa,on ¡Matrix ¡(FIM) ¡

• The ¡informa,on ¡inequality ¡provides ¡the ¡CRLB ¡esPmaPon ¡bound ¡for ¡θ ¡[1] ¡ ¡

¡

– The ¡informaPon ¡inequality ¡bounds ¡the ¡covariance ¡matrix ¡of ¡any ¡unbiased ¡esPmator ¡of ¡determinisPc ¡ parameters ¡with ¡the ¡inverse ¡of ¡the ¡FIM ¡calculated ¡for ¡the ¡respecPve ¡parameters ¡

• Fisher ¡InformaPon ¡Matrix ¡for ¡the ¡parameter ¡vector ¡θ ¡

– QuanPfies ¡the ¡informa,on ¡about ¡the ¡unknown ¡parameter ¡θ vector ¡contained ¡in ¡the ¡observed ¡data ¡X ¡

[1] ¡S. ¡M. ¡Kay, ¡Fundamentals ¡of ¡StaPsPcal ¡Signal ¡Processing: ¡EsPmaPon ¡Theory, ¡PrenPce-­‑Hall, ¡1998. ¡ ¡ ¡

25 ¡

Performance ¡bounds ¡(2/2) ¡

• The ¡Equivalent ¡FIM ¡(EFIM) ¡can ¡be ¡calculated ¡as ¡Schur’s ¡complement ¡of ¡the ¡FIM ¡

– The ¡posiPonal ¡informaPon ¡can ¡be ¡studied ¡separately ¡for ¡each ¡node ¡in ¡the ¡network ¡

• The ¡CRLB ¡for ¡each ¡network ¡node ¡(transmiXer ¡and ¡sensors) ¡is ¡obtained ¡ ¡by ¡

employing ¡the ¡EFIM ¡expressions ¡in ¡the ¡informaPon ¡inequality ¡