[PPT] - HOROCYCLIC PRODUCTS OF TREES AND HYPERBOLIC SPACES Wolfgang WOESS PowerPoint Presentation

SLIDE 1

HOROCYCLIC PRODUCTS OF TREES AND HYPERBOLIC SPACES Wolfgang WOESS Graz University of Technology, Austria

(No kangaroos in Austria !)

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SLIDE 2

1. Treebolic spaces

H = {x + i y : x ∈ R , y > 0}

hyperbolic upper half space,

T = Tq

homogeneous tree, degree q ≥ 2 , a 1-complex. Treebolic space: Riemannian 2-complex, horocyclic product of H and T.

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← copies of Sk−1 ← copies of Sk Strips Sk = {x + i y : x ∈ R , pk−1 ≤ y ≤ pk} in H (k ∈ Z),

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Boundary lines Lk−1 and Lk, where Lk = {x + i pk : x ∈ R} , horocycles with respect to “upper” boundary point ∞.

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SLIDE 3

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y=p−1 y=1 y=p y=p2 y=p3 L−1 L0 L1 L2 L3 S1 S2 S3

Busemann functions

hT : T → R

and

hH(p) : H → R , hH(p)(z) = logp Im(z) . HT(p, q) =

z = (z, w) ∈ H × Tq : hT(w) = hH(p)(z)
.

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SLIDE 4

Metric on HT : hyperbolic length of H extends naturally. Measure on HT : restricted to each strip, it is hyperbolic area, dz = y−2dx dy for

z = (z, w) ∈ HT

with z = x + i y ∈ H , w ∈ T. Lines Lk have measure 0. Isometries of HT : Consider first the group of affine transformations of H

Aff(H, p) = {g = (pn, b) : n ∈ Z , b ∈ R}

acting by gz = pnz + b , z ∈ H . It leaves the set of lines Lk, (where y = pk), k ∈ Z, invariant.

Aff(H, p) is locally compact, left Haar measure and modular function are

dg = p−n dn db and ∆H(g) = p−n , if g = (pn, b) , dn counting measure on Z , db Lebesgue measure on R.

4

SLIDE 5

Affine group of Tq is

Aff(Tq) = {γ ∈ Aut(Tq) : γ̟ = ̟} .

Locally compact, totally disconnected, compactly generated, acts transitively on vertex set of T. γ ∈ Aff(T) ⇐ ⇒ γ(v−) = (γv)− for every vertex v of T . ΦT : Aff(T) → Z , γ → h(γw) − h(w) is independent of w ∈ T and a homomorphism. γ(Ht) = Ht+k if ΦT(γ) = k . Modular function on

Aff(T)

is ∆T(γ) = qΦ(γ) .

5

SLIDE 6

Proposition 1. The group AHT(p, q) =

(g, γ) ∈ Aff(H, p) × Aff(Tq) : logp ∆H(g) + logq ∆T(γ) = 0
acts on

HT(p, q)

by isometries (g, γ)(z, w) = (gz, γw) . It is the semidirect product AHT = Aff(T)⋉R with respect to the action b → pΦ(γ)b , γ ∈ Aff(T) , b ∈ R . The full group of isometries of HT(p, q) is generated by A(p, q) and the reflection

s(x + i y, w) = (−x + i y, w) ,

it acts on

HT(p, q)

with compact quotient isomorphic with the circle

f length log p , and it leaves the area element of HT invariant.

AHT is locally compact, compactly generated and amenable, its modular function is ∆A(g, γ) = ∆H(g) ∆T(γ) = (q/p)Φ(γ) .

6

SLIDE 7

2. Diestel-Leader graphs

Here Tp and Tq are discrete (consist of vertices only).

DL(p, q) =

x1x2 ∈ Tq × Tp : h(x1) + h(x2) = 0
.

Neighbourhood is given by x1x2 ∼ y1y2 ⇐ ⇒ x1 ∼ y1 and x2 ∼ y2 .

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∂∗Tq ∂∗Tr . . . . . .

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SLIDE 8

Proposition 2. The group ADL(p, q) =

(γ1, γ2) ∈ Aff(Tp) × Aff(Tq) : logp ∆Tp(γ1) + logq ∆Tq(γ2)
= Φ(γ1) + Φ(γ2)

= 0

acts transitively on (the vertex set of)

DL(p, q)

by graph isometries (γ1, γ2)(x1, x2) = (γ1x1, γ2x2) . It is the full group of graph isometries of DL(p, q) when p = q. If p = q then the full isometry group is generated by ADL(p, p) and the reflection

s(x1x2) = (x2x1) .

ADL is locally compact, compactly generated and amenable, its modular function is ∆A(γ1, γ2) = ∆Tp(γ1)

∆Tq(γ2) = (p/q)Φ(γ1) .

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SLIDE 9

3. Sol-manifolds

H(p) = {x + i pz : x, z ∈ R}

hyperbolic plane, curvature −(log p)2 . Sol(p, q) is the horocyclic product of hyperbolic planes

H(p)

and

H(q) : it consists of all pairs

(x + i pz, y + i q−z) , x, y, z ∈ R . Here,

p , q > 1 . Topologically,

Sol(p, q) is R3 , length element ds2 = dp,qs2 = p−2z dx2 + q2z dy2 + dz2 . Volume element (q/p)z dx dy dz . Natural projections onto

H(p) H(p)

and

R :

π1(x, y, z) = x + i pz , π2(x, y, z) = y + i q−z ,

π(x, y, z) = z .

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SLIDE 10

The Sol-manifold is also a Lie group, usually also denoted Sol(p, q) . Here, we write ASol(p, q) =

    g =   

pz

x 1 y

q−z

   : x, y, z ∈ R      .

Can be identified with the manifold, has natural 1st and 2nd projections to affine groups acting on H(p) and H(q) , and projection on translation group R . Left Haar measure ≡ volume element. Modular function ∆(g) = (q/p)z .

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SLIDE 11

4. Discrete group actions and rough isometries

Rough isometry (quasi-isometry) between metric spaces (X1, d1) and (X1, d1) is ϕ : X1 → X2 with A−1d1(x1, y1) − B ≤ d2(ϕx1, ϕy1) ≤ Ad1(x1, y1) + B ∀ x1, x2 ∈ X1 d(y2, ϕX1) ≤ B ∀ y2 ∈ X2 . For a finitely generated group Γ with finite generating set S = S−1 , its Cayley graph has vertex set Γ , and g ∼ h ⇐ ⇒ h = gs , s ∈ S . Rough isometry of Γ refers to Cayley graph metric.

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SLIDE 12

If p = q ∈ N , the amenable Baumslag-Solitar group
a, b | ab = bpa
acts on

HT(p, p)

by isometries and with compact quotient.

If p = q , then no discrete group can act with finite point stabilizers

and compact quotient on HT(p, q) , since the full isometry group is non- unimodular. It probably follows from work & methods of [Farb and Mosher, 1998] , [Eskin, Fisher and Whyte, 2006-07] that

HT(p, q)

is not roughly isometric with any finitely generated group.

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SLIDE 13

If p = q ∈ N , then

DL(p, p)

is a Cayley graph of the lamplighter group

Zp ≀ Z ,

bservation by [R. M¨
ller and P. Neumann, 2001].
DL(2, 3)

was invented by [Diestel and Leader, 1992-2001] in the attempt to answer a question of [Woess, 1990]: Is there a vertex-transitive graph that is not roughly isometric with a (Cayley graph of a) finitely generated group ?

If p = q , then no discrete group can act with finite point stabilizers

and finitely many orbits on

DL(p, q) , since the full isometry group is

non-unimodular. [Eskin, Fisher and Whyte, 2006-07]:

DL(p, q)

is not roughly isometric with any finitely generated group.

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SLIDE 14

If p = q > 0 , then

ASol(p, p) contains a co-compact lattice. Stated by [Eskin, Fisher and Whyte, 2006-07].

If p = q , then no discrete group can act with finite point stabilizers

and compact quotien on Sol(p, q) , since the full isometry group is non- unimodular. [Eskin, Fisher and Whyte, 2006-07]: Sol(p, q) is not roughly isometric with any finitely generated group.

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SLIDE 15

5. Random walks, Brownian motion,

harmonic functions

General program: study these issues by strong use of the fact that our spaces are horocyclic products of trees an hyperbolic spaces.

Very complete body of work exists already for DL(p, q).

Rate of escape, central limit theorem : [Bertacchi, 2001] Spectrum of simple random walk (with or without drift) : [Grigorchuk and Zuk, 2001] (p = q = 2) , [Dicks and Schick, 2002] (p = q ≥ 2) , [Bartholdi and Woess, 2005] (p , q arbitrary). Precise asymptotics of return probabilities : [Revelle, 2003] (p = q) , [Bartholdi and Woess, 2005] (p , q arbitrary). Positive harmonic functions, Martin boundary : [Woess, 2005], [Brofferio and Woess, 2006, 2007]

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SLIDE 16

Ongoing work on the other two.
HT(p, q)

Rigorous construction of Laplace operator, positive har- monic functions : [Bendikov, Saloff-Coste, Salvatori and Woess]

Sol(p, q)

Positive harmonic functions : [Brofferio, Salvatori and Woess]

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SLIDE 17

6. Positive harmonic functions on Sol(p, q)

The Laplace operator with vertical drift parameter a ∈ R on Sol(p, q) is

La = LSol(p,q)

a

= p2z ∂2 ∂x2 + q−2z ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 + a ∂ ∂z . The Laplace-Beltrami operator arises for a = q − p. Under the projection π1 , the Laplacian

La

projects onto the Laplacian with drift on

H(p)

given by

LH(p)

a

= p2z ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂z2 + a ∂ ∂z . That is, for a C2-function f1

n

H(p) , La(f1 ◦ π1) = (LH(p)

a

f1) ◦ π1 . This is the Laplace-Beltrami operator on

H(p)

when

a = −p .

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SLIDE 18

Analogously, under π2 (where the sign of z is changed),

La

projects

nto the Laplacian with drift

H(q)

given by

LH(q)

−a

= e2qz ∂2 ∂y2 + + ∂2 ∂z2 − a ∂ ∂z .

Theorem. Every positive

La -eigenfunction on

Sol(p, q) has the form h(x, y, z) = h1(x, z) + h2(y, −z) , where h1 is a non-negative

LH(p)

a

eigenfunction on

H(p)

and h2 is non-negative

LH(q)

−a

eigenfunction on

H(q) , both with the same

eigenvalue as h .

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SLIDE 19

7. What else ?

Horocyclic products of more than two trees and/or hyperbolic spaces. [Bartholdi, Neuhauser and Woess, in print] Horocyclic products of affine buildings. Onging work by [Parkinson]

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