Digitaalinen kuvank asittely 10. Fourier-muunnoksen perusteet . . - - PDF document

SLIDE 1

Digitaalinen kuvank¨ asittely T-61.247 (3 ov) L

Syksy 2004 Luennot: Jorma Laaksonen Laskuharjoitukset: Jukka Iivarinen OPETUSMONISTE

Luento #1 15.9.2004 1. Yleist¨ a kurssista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Kurssin suorittaminen . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Ilmoittautuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Tiedotukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Luennot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Laskuharjoitukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Poikkeuksia luento- ja harjoitusajoista . . . . . . . 13 1.7 Kirja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Monisteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Harjoitusteht¨ av¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10 Tentti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11 Suhde vanhaan Tik-61.147-kurssiin . . . . . . . . . 16 2. Johdanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 P¨ a¨ am¨ a¨ ar¨ at ja osa-alueet (1.1) . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Historiaa (1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Yhteydet muihin aloihin (1.2) . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Sovelluksia (1.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Kuvantamismenetelmi¨ a (1.3) . . . . . . . . . . . . . 22 2 2.6 Kuvank¨ asittelyn vaiheet (1.4) . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Kuvank¨ asittelyj¨ arjestelm¨ an osat (1.5) . . . . . . . . 24 3. Ihmisen n¨ ak¨

• j¨

arjestelm¨ an perusteita . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 Ihmissilm¨ an rakenne (2.1) . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Verkkokalvon reseptorit (2.1.1) . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Kuvanmuodostus (2.1.2) . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Kirkkauden erottelu (2.1.3) . . . . . . . . . . . . . 28 3.5 Adaptoituminen valaistukseen (2.1.3) . . . . . . . . 29 3.6 Machin nauhat (2.1.3) . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.7 Valo fysikaalisena suureena (2.2) . . . . . . . . . . . 31 4. Kuvanmuodostus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1 Kuvanmuodostusv¨ alineit¨ a (2.3) . . . . . . . . . . . 32 4.2 Yksitt¨ aissensori (2.3.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Viivasensorit (2.3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Matriisisensori (2.3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Kuvamalli (2.3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. Digitaalisen kuvan esitysmuoto . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 Koordinaatit (2.4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 N¨ aytteenotto ja kvantisointi (2.4.2) . . . . . . . . . 38 3 5.3 Kuvan subjektiivinen laatu (2.4.3) . . . . . . . . . . 41 5.4 Digitaalikuvien suurentaminen ja pienent¨ aminen (2.4.5) 42 6. Kuva-alkioiden yhteyksi¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1 Naapuruus (2.5.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2 Liit¨ ann¨ aisyys (2.5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.3 Polut (2.5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.4 Et¨ aisyysmitat (2.5.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Luento #2 17.9.2004 6.5 Lineaariset operaatiot ja operaattorit (2.6) . . . . . 50 7. Kuvien ehostaminen pisteoperaatioin . . . . . . . . . . . . 51 7.1 Spatiaalialuemenetelm¨ at ehostuksessa (3.1) . . . . . 52 7.2 Harmaataso-operaatiot (3.2) . . . . . . . . . . . . . 53 7.3 Harmaa-arvohistogrammioperaatiot (3.3) . . . . . . 56 8. Kokonaisiin kuviin kohdistuva ehostus . . . . . . . . . . . . 64 8.1 Aritmeettiset ja loogiset operaatiot (3.4) . . . . . . 64 9. Kuvien ehostaminen spatiaalisuodatuksella . . . . . . . . . 67 9.1 Spatiaaliset ymp¨ arist¨

• operaatiot (3.5) . . . . . . . .

67 9.2 Spatiaalinen pehmennys ehostuksessa (3.6) . . . . . 69 4 9.3 Lineaarinen alip¨ a¨ ast¨

• suodatus (3.6.1) . . . . . . . .

71 Luento #3 24.9.2004 9.4 Kuvan ter¨ av¨

• itt¨

aminen ylip¨ a¨ ast¨

• suodatuksella (3.7) .

75 10. Fourier-muunnoksen perusteet . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10.1 Fourier-muunnospari jatkuvassa tapauksessa (4.2.1) . 85 10.2 Diskreetti Fourier-muunnos, DFT (4.2.1) . . . . . . 86 Luento #4 1.10.2004 10.3 Kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos (4.2.2) . 88 10.4 Taajuustasossa suodattaminen (4.2.3) . . . . . . . . 92 11. Kuvien ehostaminen taajuustasossa . . . . . . . . . . . . . 95 11.1 Alip¨ a¨ ast¨

• suodatus (4.3)

. . . . . . . . . . . . . . . 95 11.2 Ylip¨ a¨ ast¨

• suodatus (4.4)

. . . . . . . . . . . . . . . 104 Luento #5 8.10.2004 11.3 Homomorfinen suodatus (4.5) . . . . . . . . . . . . 108 12. Lis¨ a¨ a Fourier-muunnoksesta . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5 12.1 Jaksollisuus ja laajennetut sekvenssit (4.6.3) . . . . . 116 13. Kuvien entist¨ aminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 13.1 Yleist¨ a entist¨ amisest¨ a (5) . . . . . . . . . . . . . . 120 13.2 Huonontumismalli (5.1) . . . . . . . . . . . . . . . 121 13.3 Kohinamalleja (5.2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Luento #6 15.10.2004 13.4 Spatiaalitasossa entist¨ aminen (5.3) . . . . . . . . . 126 13.5 Adaptiivinen suodatus (5.3.3) . . . . . . . . . . . . 130 13.6 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa (5.4) . . . 133 13.7 Lineaarinen paikkainvariantti huonontumisprosessi (5.5)139 13.8 Huononnusfunktion estimointi (5.6) . . . . . . . . . 142 13.9 K¨ a¨ anteissuodatus (5.7) . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.10 Wiener-suodatus (5.8) . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Luento #7 20.10.2004 13.11 Pakotettu pienimm¨ an neli¨

• virheen entistys (5.9)

. . 152 13.12 Yhteenveto entistyksest¨ a taajuusalueessa (5.7–11) . 154 6 13.13 Geometriset muunnokset (5.11) . . . . . . . . . . . 155 14. Morfologiaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 14.1 K¨ asitteit¨ a ja operaatioita (9.1.1) . . . . . . . . . . . 161 14.2 Dilaatio ⊕ (t¨ aytt¨

• , kasvatus) (9.2.1)

. . . . . . . . 162 14.3 Eroosio ⊖ (pienennys) (9.2.2) . . . . . . . . . . . . 164 14.4 Avaus ◦ ja sulkeminen • (9.3) . . . . . . . . . . . . 166 14.5 Reunan erottaminen (9.5.1) . . . . . . . . . . . . . 169 Luento #8 29.10.2004 14.6 Alueen t¨ aytt¨ aminen (9.5.2) . . . . . . . . . . . . . . 170 14.7 Yhten¨ aisten komponenttien erottaminen (9.5.3) . . . 171 14.8 Osuma-tai-huti (hit-or-miss) ⊛ (9.4) . . . . . . . . 172 14.9 Ohennus ⊗ (9.5.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.10 Paksunnus ⊙ (9.5.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 14.11 Golay-aakkosia (9.5.5-6) . . . . . . . . . . . . . . . 174 15. Aallokkeet ja moniresoluutiok¨ asittely . . . . . . . . . . . . 177 15.1 K¨ asitteit¨ a ja apuv¨ alineit¨ a (7.1) . . . . . . . . . . . . 177 15.2 Moniresoluutiok¨ asittely (7.2) . . . . . . . . . . . . . 189 7 Luento #9 5.11.2004 15.3 Yksiulotteinen aallokemuunnos (7.3) . . . . . . . . . 197 15.4 Kaksiulotteinen aallokemuunnos (7.5) . . . . . . . . 201 Luento #10 12.11.2004 16. Kuvien tiivist¨ aminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 16.1 Tiivistyksen taustaa (8) . . . . . . . . . . . . . . . 205 16.2 Kuvantiivistyksen perusteita (8.1) . . . . . . . . . . 207 16.3 Kuvantiivistysmalli (8.2) . . . . . . . . . . . . . . . 218 16.4 Informaatioteorian k¨ asitteit¨ a (8.3) . . . . . . . . . . 221 Luento #11 19.11.2004 16.5 Virheet¨

• n tiivistys (8.4)

. . . . . . . . . . . . . . . 235 17. Virhett¨ a tuottava tiivistys . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 17.1 Muunnoskoodaus tiivistysmenetelm¨ an¨ a (8.5.2) . . . 260 17.2 T¨ arkeimpi¨ a kuvantiivistysstandardeja (8.6) . . . . . 268 Luento #12 26.11.2004

1

8

SLIDE 2

18. Kuvien segmentointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 18.1 Ep¨ ajatkuvuuksien havaitseminen (10.1) . . . . . . . 270 18.2 Reunapisteiden yhdist¨ aminen ja rajaviiva (10.2) . . . 279 18.3 Hough-muunnos (10.2.2) . . . . . . . . . . . . . . . 281 18.4 Kynnystys (10.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 18.5 Aluel¨ aht¨

• inen segmentointi (10.4) . . . . . . . . . .

295 18.6 Liikkeen k¨ aytt¨

• segmentoinnissa (10.6)

. . . . . . . 299 Luento #13 1.12.2004 19. V¨ arin k¨ aytt¨

• kuvank¨

asittelyss¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . 300 19.1 V¨ arienk¨ ayt¨

• n perusteita (6) . . . . . . . . . . . . .

300 19.2 V¨ ariteorian perusteita (6.1) . . . . . . . . . . . . . 302 19.3 V¨ arimallit (6.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 19.4 V¨ a¨ ar¨ av¨ arikuvat (6.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 19.5 V¨ arimuunnokset (6.5) . . . . . . . . . . . . . . . . 322 19.6 V¨ arikuvien pehmennys ja ter¨ av¨

• itys (6.6.1–2) . . . .

326 19.7 V¨ arisegmentointi HSI-avaruudessa (6.7.1) . . . . . . 327 19.8 Reunanetsint¨ a v¨ arikuvissa (6.7.3) . . . . . . . . . . 329 19.9 Kohina v¨ arikuvissa (6.8) . . . . . . . . . . . . . . . 332 9 20. Tenttivaatimukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 10

1. Yleist¨ a kurssista

1.1 Kurssin suorittaminen

Kurssin suorittamiseen kuuluu pakollinen harjoitusteht¨ av¨ a ja tentti.

1.2 Ilmoittautuminen

Ilmoittautuminen osoitteessa https://webtopi.hut.fi/wwwtopi/CoursePage.po?oid=1685405.

1.3 Tiedotukset

Kurssiin liittyvist¨ a asioista tiedotetaan osoitteessa http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.247/, ryhm¨ ass¨ a news://nntp.tky.hut.fi/opinnot.tik.informaatiotekniikka sek¨ a Informaatiotekniikan laboratorion ilmoitustaululla kolmannen kerroksen aulas- sa B-k¨ ayt¨ av¨ an suulla. 11

1.4 Luennot

Luennot (13 kappaletta) pidet¨ a¨ an perjantaisin kello 10–12 salissa T1. Luennot pit¨ a¨ a dosentti Jorma Laaksonen (mailto:Jorma.Laaksonen@hut.fi), vastaanotto luennon j¨ alkeen perjantaisin kello 12–13 huoneessa B304. Luentokalvot ovat viimeist¨ a¨ an luennon j¨ alkeen esill¨ a verkossa, http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.247/dkk-kalvot.pdf. Ennen luentoa voi jo tutustua syksyn 2003 luentokalvoihin osoitteessa http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.247/dkk-kalvot2003.pdf.

1.5 Laskuharjoitukset

Laskuharjoitukset (10–11 kappaletta) pidet¨ a¨ an keskiviikkoisin kello 14–16 salissa T1 alkaen 22.9.2004. Harjoitukset pit¨ a¨ a TkT Jukka Iivarinen (mailto:Jukka.Iivarinen@hut.fi). Harjoitusteht¨ av¨ at ovat ennakkoon n¨ aht¨ avill¨ a http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.247/laskarit/. Harjoitusteht¨ av¨ at ovat suomeksi ja englanniksi, vastaukset englanniksi. 12

1.6 Poikkeuksia luento- ja harjoitusajoista

Normaaleista luento- ja harjoitusajoista saattaa tulla syksyn kuluessa poikkeuk-

• sia. Nyt jo on tiedossa nelj¨

a poikkeusta ja aikataulu n¨ aytt¨ a¨ a t¨ alt¨ a:

viikko ke 12–14 pe 10–12 38 15.9. L1 17.9. L2 39 22.9. H1 24.9. L3 40 — — 1.10. L4 41 6.10. H2 8.10. L5 42 13.10. H3-4 15.10. L6 43 20.10. L7 — — 44 27.10. H4-5 29.10. L8 45 3.11. H6 5.11. L9 46 10.11. H7 12.11. L10 47 17.11. H8 19.11. L11 48 24.11. H9 26.11. L12 49 1.12. L13 3.12. H10

Muutokset ovat mahdollisia, seuratkaa ilmoittelua! 13

1.7 Kirja

Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, Digital Image Processing, Second Edition, Prentice-Hall, 2002, ISBN 0201180758, http://www.imageprocessingbook.com . Kirjasta luetaan kappaleet 1–10. Tutustumiskappale luvuista 3–10 on n¨ aht¨ avill¨ a Infor- maatiotekniikan laboratorion sihteerin Tarja Pihamaan huoneen B326 harmaassa peltisess¨ a vetolaatikostossa. Huomatkaa my¨

• s verkossa olevat luvut 1–2 sek¨

a korjaukset:

http://www.imageprocessingbook.com/DIP2E/dip2e downloads/sample book material downloads.htm http://www.imageprocessingbook.com/DIP2E/book updates/book updates.htm

Kirjasta on jo olemassa ainakin viisi eri versiota, numerot 1–5. Oman kirjansa painosnumeron saa selville sivulta iv, t¨ ass¨ a esim. 1: 14

1.8 Monisteet

Sek¨ a luentokalvot ett¨ a laskuharjoitukset ratkaisuineen ovat saatavissa verkos-

• ta. Lis¨

aksi ne toimitetaan my¨

• s Editan opetusmonisteina. Kurssitoimittajaa

ei tarvita.

1.9 Harjoitusteht¨ av¨ a

Kurssin suoritukseen kuuluu pakollinen harjoitusteht¨ av¨ a, joka arvostellaan hyv¨ aksytty/hyl¨ atty-periaatteella. Palautus paperitulosteena Informaatiotekni- ikan laboratorion postilaatikkoon T-talon 3. kerroksen aulaan. Harjoitusteht¨ av¨ a on palautettava 14.1.2005 menness¨ a! My¨

• hempiin tenttei-

hin ei saa osallistua, ellei harjoitusteht¨ av¨ a ole hyv¨ aksytysti suoritettu. Harjoitusteht¨ av¨ a tulee lokakuun aikana esille osoitteeseen http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.247/project/. 15

1.10 Tentti

Tenttej¨ a j¨ arjestet¨ a¨ an kolme: ensimm¨ ainen maanantaina 20.12., toinen kev¨ a¨ an luentokauden alkupuolella ja viimeinen syksyn 2005 tenttikaudella tai luen- tokauden alussa. Tentiss¨ a nelj¨ a teht¨ av¨ a¨ a ` a 6 pistett¨ a eli maksimi 24 pistett¨ a, 9 pisteell¨ a l¨

• api. K¨

aytt¨ a¨ a saa paperia, kyn¨ a¨ a, kumia ja ei-ohjelmoitavaa funktiolaskin-

• ta. Kaavakokoelmia ei saa k¨

aytt¨ a¨ a eik¨ a niit¨ a jaeta.

1.11 Suhde vanhaan Tik-61.147-kurssiin

Kurssi korvaa vanhan samannimisen kurssin Tik-61.147, jonka laajuus oli 2,5 ov ja joka ei sis¨ alt¨ anyt pakollista harjoitusty¨

• t¨

a, sek¨ a vanhan Tik-61.174 Digitaalisen kuvank¨ asittelyn ohjelmaty¨

• -kurssin (1ov).

Vanhoja kursseja ei en¨ a¨ a voi suorittaa.

2

16

SLIDE 3

2. Johdanto

Vanha klisee: Yksi kuva kertoo enemm¨ an kuin tuhat sanaa. Arvioilta 75% ihmisen saamasta informaatiosta perustuu n¨ ak¨

• havaintoihin.

Kuvainformaation automaattisen k¨ asittelyn tarve on suuri. Digitaalisen kuvank¨ asittelyn yleistymist¨ a on perinteisesti hidastanut se, ett¨ a k¨ aytett¨ avien datam¨ a¨ arien suurudesta on seurannut tarvittavien laitteiden kalleus ja k¨ asittelyn hitaus. T¨ ast¨ a perinteest¨ a on nyt p¨ a¨ asty eroon ja yh¨ a useammat sovellukset ovat tulleet k¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a toteuttamiskelpoisiksi.

2.1 P¨ a¨ am¨ a¨ ar¨ at ja osa-alueet (1.1)

P¨ a¨ am¨ a¨ arilt¨ a¨ an digitaalinen kuvank¨ asittely jakautuu p¨ a¨ ahaaroihin:

• Kuvainformaation parantaminen ihmisen tulkintaa varten.

– kuvank¨ asittely: kuva − → kuva – pisteoperaatiot 17 – suodatus – entist¨ aminen – geometrian korjaus – viivojen ja reunojen vahvistus – kuvien kohdistus – muutosanalyysi

• Kuvainformaation k¨

asittely koneellista tulkintaa varten. – kuva-analyysi / konen¨ ak¨

• : kuva −

→ jotain muuta – kohteentunnistus kuvasta – kuvan selitt¨ aminen, n¨ akym¨ aanalyysi – robottin¨ ak¨

• , aktiivinen konen¨

ak¨

• Kuvien tiivist¨

aminen

• Rekonstruktio projektioista

K¨ aytett¨ av¨ at menetelm¨ at riippuvat paljon sovelluksesta. 18

2.2 Historiaa (1.2)

Lehtikuvien siirto merikaapelilla Lontoon ja New Yorkin v¨ alill¨ a 1920-luvulla. 1921 1922 (5 harmaas¨ avy¨ a) Avaruusluotainten l¨ ahett¨ amien kuvien paran- telu 1960-luvulla Yhdysvalloissa. 1960- ja 70-lukujen taitteesta alkaen satel- liittikuvien k¨ asittely, l¨ a¨ aketieteelliset kuvan- tamis- ja analyysimenetelm¨ at, astronomiset kuvat, hiukkasfysiikka, teollinen laadun- valvonta. 19

2.3 Yhteydet muihin aloihin (1.2)

Havaintopsykologia Signaalinkäsittely Hahmontunnistus Digitaalinen Graafinen tekniikka Optiikka Tekoäly kuvankäsittely

20

2.4 Sovelluksia (1.3)

• sotilassovellukset
• graafinen ala
• kaukokartoitus
• l¨

a¨ aketiede

• teollinen laaduntarkastus
• robottin¨

ak¨

• kuvansiirto ja -arkistointi
• arkeologia, fysiikka, t¨

ahtitiede, biologia, rikostutkinta, . . . 21

2.5 Kuvantamismenetelmi¨ a (1.3)

• gammakuvaus (105 eV): l¨

a¨ aketiede, PET, astronomia

• r¨
• ntgenkuvaus (103 eV): l¨

a¨ aketiede, varjoaine, CAT,

• ultraviolettikuvaus (101 eV): mikroskopia, astronomia
• n¨

akyv¨ a valo (100 eV): satelliittikuvat, sormenj¨ aljet

• infrapunakuvaus (10−1 eV): satelliittikuvat
• mikroaaltokuvaus (10−4 eV): tutkakuvat
• radioaaltokuvaus (10−8 eV): l¨

a¨ aketiede, MRI, astronomia

• seismografinen kuvaus (100 Hz): maaper¨

an luonnonvarat

• kaikuluotaus: merenpohja
• ultra¨

a¨ anikuvaus (5 MHz): l¨ a¨ aketiede

• elektronimikroskopia (10.000×): TEM, SEM
• fraktaalit ja muut laskennalliset kuvat

22

2.6 Kuvank¨ asittelyn vaiheet (1.4)

• kuvanmuodostus
• esik¨

asittely: kuvan ehostus tai entist¨ aminen

• segmentointi
• j¨

alkik¨ asittely, morfologia

• representaatio, kuvatiedon esitt¨

aminen

• luokittelu, tunnistus

23

2.7 Kuvank¨ asittelyj¨ arjestelm¨ an osat (1.5)

kuvankäsittely- laitteisto kuvankäsittely-

• hjelmisto

verkkoyhteys näyttölaite tietokone massamuisti tulostuslaite kuvasensorit "reaalimaailma"

3

24

SLIDE 4

3. Ihmisen n¨ ak¨

• j¨

arjestelm¨ an perusteita

3.1 Ihmissilm¨ an rakenne (2.1)

tarkan näön alue verkkokalvo

• ptinen akseli

sokea täplä linssi iiris fovea näköhermo

25

3.2 Verkkokalvon reseptorit (2.1.1)

• Tapit (cones)

– kirkasn¨ ak¨

• (photopic vision)

– 6–7 miljoonaa keskell¨ a verkkokalvoa (5◦) – herkki¨ a v¨ areille: tappeja kolmea eri lajia – yksityiskohtien n¨ akeminen – oma hermo jokaisella

• Sauvat (rods)

– h¨ am¨ ar¨ an¨ ak¨

• (scotopic vision)

– 75–150 miljoonaa jakautuneena verkkokalvolle (160◦) – ei v¨ arin¨ ak¨

• ¨

a – yleiskuvan muodostaminen – useita samassa hermossa – herkki¨ a muutoksille n¨ akym¨ ass¨ a 26

3.3 Kuvanmuodostus (2.1.2)

2.55 mm 15 m 17 mm 100 m

Erona optisiin linsseihin on silm¨ an mukautumiskyky ja joustavuus. 27

3.4 Kirkkauden erottelu (2.1.3)

I I + ∆I

I taustan intensiteetti ∆I intensiteetin muutos keskell¨ a ∆Ic pienin muutos, joka havaittavissa 50% kokeista ∆Ic/I Weberin suhde

• ∆Ic/I pieni: pienet suhteelliset muutokset havaitaan, hyv¨

a erottelu

• ∆Ic/I suuri: vain suuret muutokset havaitaan, huono erottelu

Kirkkaassa valaistuksessa Weberin suhde on pienempi ja siten silm¨ an suh- teellinen erottelukyky parempi kuin h¨ am¨ ar¨ ass¨ a. 28

3.5 Adaptoituminen valaistukseen (2.1.3)

Silm¨ an adaptaatiokyky valtava: 1010 tasoa h¨ am¨ ar¨ akynnykselt¨ a h¨ aik¨ aisyrajalle. Samanaikaisesti silm¨ a voi kuitenkin adaptoitua vain tietylle kirkkausalueelle. Silm¨ a ei siten voi adaptoitua kirkkaudeltaan erilaisiin yksityiskohtiin vaan ainoastaan keskim¨ a¨ ar¨ aiseen kirkkauteen. Mielivaltaissa kuvapisteymp¨ arist¨

• ss¨

a havaitaan 10–20 intensiteettitasoa. Kuvan eri osissa adaptaatio muuttuu ja havaitaan eri intensiteettej¨ a ja siten suurempi kokonaiserottelualue. Tasaisissa kuvissa vaaditaan yleens¨ a yli 100 intensiteettitasoa. 29

3.6 Machin nauhat (2.1.3)

Vakiointensiteetti n¨ aytt¨ a¨ a viereisen muutoksen vuoksi vaihtelevalta. = ⇒ Kynnykset korostuvat entisest¨ a¨ an. Selitys: “meksikolainen hattu”-funktio, jolla kuva konvoloituu verkkokalvolla.

100 200 300 400 500 600 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

*

10 20 30 40 50 60 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

=

100 200 300 400 500 600 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

30

3.7 Valo fysikaalisena suureena (2.2)

Taajuus ν Aallonpituus λ = c

ν

Fotonin energia E = hν

• akromaattinen (achromatic), valoa karakterisoi vain sen intensiteetti

eli m¨ a¨ ar¨

• a. Esim. musta-valko-TV.
• kromaattinen (chromatic), huomioi energian jakautumisen s¨

ahk¨

• mag-

neettisen s¨ ateilyn kaistalla 400–700 nm. – radianssi (radiance) valol¨ ahteen kokonaisenergia, mittayksikk¨

• watti (W).

– luminanssi (luminance) mittaa havainnoijan havaitsemaa ener- giam¨ a¨ ar¨ a¨ a, esimerkiksi infrapunal¨ ahteen luminanssi on l¨ ahes nol- la, mittayksikk¨

• lumen (lm).

– kirkkaus (brightness) subjektiivinen mitta. 31

4. Kuvanmuodostus

4.1 Kuvanmuodostusv¨ alineit¨ a (2.3)

• hopeafilmi
• puolijohdesensorit

– yksitt¨ aissensorit – viivasensorit – matriisisensorit

4

32

SLIDE 5

4.2 Yksitt¨ aissensori (2.3.1)

33

4.3 Viivasensorit (2.3.2)

34

4.4 Matriisisensori (2.3.3)

35

4.5 Kuvamalli (2.3.4)

f(x, y) vastaa valoenergiaa 0 < f(x, y) < ∞ Havaittu kuva jaetaan valaistuskomponenttiin i(x, y) ja heijastuskomponent- tiin r(x, y): f(x, y) = i(x, y) r(x, y) joille p¨ atee: 0 < i(x, y) < ∞ 0 < r(x, y) < 1 Digitoidun monokromaattisen kuvan harmaataso l on usein kokonaisluku, l ∈ [0, L − 1]

• l = 0 vastaa mustaa
• l = L − 1 vastaa valkoista

36

5. Digitaalisen kuvan esitysmuoto

5.1 Koordinaatit (2.4.2)

Digitaalinen kuva esitet¨ a¨ an yleens¨ a x- ja y-koordinaattien funktiona. Koordinaattij¨ arjestelm¨ an asettaminen vaihtelee.

x y x y matemaattinen Gonzalez&Woods perinteinen x y

37

5.2 N¨ aytteenotto ja kvantisointi (2.4.2)

Digitointi xy-koordinaattien suhteen vastaa kaksiulotteista n¨ aytteenottoa, jota kutsutaan my¨

• s spatiaaliseksi kvantisoinniksi.

Valaistusamplitudin digitointia kutsutaan harmaataso- eli intensiteettikvan- tisoinniksi. Digitaalinen kuva esitet¨ a¨ an N × N matriisina: f(x, y) ≈      f(0, 0) f(0, 1) · · · f(0, N − 1) f(1, 0) f(1, 1) · · · f(1, N − 1) . . . . . . . . . f(N − 1, 0) f(N − 1, 1) · · · f(N − 1, N − 1)      Valittava spatiaaliresoluutio N ja harmaatasoresoluutio G. Yleens¨ a kahden potensseja: N = 2n , G = 2m . T¨ aten kuvan tallettamiseen tarvitaan bittej¨ a: b = N × N × m . Televisiokuvan tasoon p¨ a¨ ast¨ a¨ an, kun N = 512 ja m = 7 . 38 Digitaalinen kuva n¨ aytteenoton ja kvantisoinnin j¨ alkeen (2.4.1) 39 192 × 128 96 × 64 48 × 32 256 b = 196608 b = 49152 b = 12288 64 b = 147456 b = 36864 b = 9216 16 b = 98304 b = 24576 b = 6144

5

40

SLIDE 6

5.3 Kuvan subjektiivinen laatu (2.4.3)

Resoluutioluvut ja bittim¨ a¨ ar¨ at eiv¨ at suoraan vastaa ihmisen kokemusta kuvan laadusta. Subjektiivisia arvioita voidaan tutkia isopreferenssik¨ ayrill¨ a. Tasaisia alueita (eli alhaisia taajuuksia) sis¨ alt¨ aviss¨ a kuvissa ihmissilm¨ a halu- aa paljon intensiteettikvantisointitasoja. Sen sijaan paljon yksityiskohtia (eli korkeita taajuuksia) sis¨ alt¨ aviss¨ a kuvissa tarvitaan hyv¨ a¨ a spatiaalista resoluu- tiota. 41

5.4 Digitaalikuvien suurentaminen ja pienent¨ aminen (2.4.5)

Kuvia suurennettaessa, so. niiden spatiaaliresoluutiota parannettaessa tehd¨ a¨ an interpolaatiota uusien harmaa-arvojen laskemiseksi olemassaolevista. Yksinkertaisin interpolaation muoto on ns. nollannen kertaluvun eli l¨ ahimm¨ an naapurin irterpolointi. Jos suurennuskerroin on jokin kokonaisluku, inter- polointi yksinkertaistuu entisest¨ a¨ an pikseleiden monistamiseksi. Yleisempi ja v¨ a¨ aristymien kannalta parempi vaihtoehto on bilineaarinen in- terpolaatio: v(x′, y′) = ax′ + by′ + cx′y′ + d Se on anti-aliasoiva suodatus, joka poistaa joskus kuvaa suurennettaessa syntyvi¨ a h¨ airitsevi¨ a pyk¨ ali¨ a. Kuvia pienennett¨ aess¨ a voidaan k¨ aytt¨ a¨ a analogisesti samoja menetelmi¨ a kuin interpolointiin my¨

• s desimointiin.

42

6. Kuva-alkioiden yhteyksi¨ a

6.1 Naapuruus (2.5.1)

Kuva-alkiolla eli pikselill¨ a p, jolla on koordinaatit (x, y), on nelj¨ a naapuria vaaka- ja pystysuunnissa pisteiss¨ a (x+1, y), (x−1, y), (x, y+1) ja (x, y−1). Niit¨ a kutsutaan p:n 4-naapureiksi ja merkit¨ a¨ an N4(p). p:n nelj¨ a diagonaalinaapuria ovat (x+1, y +1), (x−1, y +1), (x+1, y −1) ja (x−1, y −1) ja niit¨ a merkit¨ a¨ an ND(p). p:n 8-naapurusto muodostuu N4(p):n ja ND(p):n yhdisteen¨ a: N8(p) = N4(p) ∪ ND(p). Kuvan reunoilla naapurustot ovat vajaita. 43

(x+1,y) (x+1,y+1)

(x+1,y-1) p

(x,y) (x,y+1) (x-1,y+1) (x-1,y) (x-1,y-1) (x,y-1)

44

6.2 Liit¨ ann¨ aisyys (2.5.2)

Pikseleiden liit¨ ann¨ aisyys eli yhtenevyys eli konnektiivisuus (connectivity)

• n t¨

arke¨ a k¨ asite kuvan kohteiden reunaviivojen m¨ a¨ arittelyss¨ a ja alueiden m¨ a¨ ar¨ a¨ amisess¨ a. Kaksi kuva-alkiota ovat liit¨ ann¨ aisi¨ a, jos ne ovat jossakin mieless¨ a naapureita ja lis¨ aksi harmaatasoarvoiltaan riitt¨ av¨ an samankaltaisia. Harmaatasojen samankaltaisuus voidaan m¨ a¨ aritell¨ a joukolla V . Esimerkiksi, jos vain kuva-alkiot, joiden intensiteetit ovat 59, 60 tai 61, ovat kiinnostavia, niin m¨ a¨ aritell¨ a¨ an V = {59, 60, 61}. M¨ a¨ aritell¨ a¨ an pikseleille p ja q kolme eri liit¨ ann¨ aisyystyyppi¨ a:

• 4-liit¨

ann¨ aisyys: p ∈ V ∧ q ∈ V ∧ q ∈ N4(p)

• 8-liit¨

ann¨ aisyys: p ∈ V ∧ q ∈ V ∧ q ∈ N8(p)

• m-liit¨

ann¨ aisyys eli sekaliit¨ ann¨ aisyys: p ∈ V ∧ q ∈ V ∧ (q ∈ N4(p) ∨ q ∈ ND(p) ∧ N4(p) ∩ N4(q) = ∅) 45 Sekaliit¨ ann¨ aisyys eliminoi 8-liit¨ ann¨ aisyydest¨ a usein seuraavat monik¨ asitteiset polut.

1 1 1

4 8 m

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Kaksi kuva-aluetta S1 ja S2 ovat vierekk¨ aisi¨ a (adjacent), joss ∃p, q : p ∈ S1 ∧ q ∈ S2 ∧ p ja q liit¨ ann¨ aisi¨ a 46

6.3 Polut (2.5.2)

Polku kuva-alkiosta p, jonka koordinaatit ovat (x, y), kuva-alkioon q, jonka koordinaatit ovat (s, t), on pikselijono: (x, y) = (x0, y0), (x1, y1), · · · , (xn, yn) = (s, t) Jonossa jokainen (xi+1, yi+1), i = 1, . . . , n, on liit¨ ann¨ ainen (xi, yi):n kanssa. n on polun pituus. Jono voidaan m¨ a¨ aritell¨ a 4-, 8- ja m-liit¨ ann¨ aisyyden mukaan. Kuvan osajoukkoon S kuuluvat alkiot p ja q ovat S:ss¨ a liit¨ ann¨ aisi¨ a, joss on

• lemassa p:st¨

a q:hun polku, jonka kaikki kuva-alkiot kuuluvat S:¨ a¨ an. Jos p on S:n kuva-alkio, p:n kanssa liit¨ ann¨ aiset S:n alkiot muodostavat S:n yhten¨ aisen komponentin (connected component). Kaikki yhten¨ aisen komponentin pikselit ovat toisiinsa n¨ ahden liit¨ ann¨ aisi¨ a. Erilliset yhten¨ aiset komponentit ovat toisiinsa n¨ ahden pistevieraita, so. niill¨ a ei ole yhteisi¨ a j¨ aseni¨ a, so. niiden leikkaus on tyhj¨ a. 47

6.4 Et¨ aisyysmitat (2.5.3)

Olkoon p, q, ja z kuva-alkioita, joiden koordinaatit ovat vastaavasti (x, y), (s, t) ja (u, v). Et¨ aisyysfunktio (metriikka) D toteuttaa seuraavat ehdot:

• D(p, q) ≥ 0 ja D(p, q) = 0 ⇔ p = q
• D(p, q) = D(q, p)
• D(p, z) ≤ D(p, q) + D(q, z)

Yleisesti k¨ aytettyj¨ a et¨ aisyysm¨ a¨ arittelyj¨ a:

• De(p, q) =
• (x − s)2 + (y − t)2

euklidinen et¨ aisyys

• D4(p, q) = |x − s| + |y − t|

D4-et¨ aisyys (city-block/Manhattan)

• D8(p, q) = max(|x − s|, |y − t|)

D8-et¨ aisyys (ˇ sakkilauta)

6

48

SLIDE 7

8 4 e

Kahden pisteen v¨ alinen D4-et¨ aisyys on lyhimm¨ an niiden v¨ alisen 4-polun pitu-

• us. Vastaavasti D8-et¨

aisyys ja 8-polku. Pisteest¨ a et¨ aisyydell¨ a D4 = 1 olevat kuva-alkiot ovat kyseisen pisteen 4-

• naapurit. Vastaavasti D8 = 1 ja 8-naapurit.

m-liit¨ ann¨ aisyytt¨ a vastaava et¨ aisyys on polun pituus ja riippuu polun varrella

• levien kuva-alkioiden arvoista ja niiden naapureista.

Et¨ aisyytt¨ a kahden pikselin v¨ alill¨ a voidaan tarkastella my¨

• s riippumatta niiden

liit¨ ann¨ aisyydest¨ a. 49

6.5 Lineaariset operaatiot ja operaattorit (2.6)

Keskeinen k¨ asite my¨

• hemmiss¨

a vaiheissa on jonkin operaation tai operaat- torin lineaarisuus. Operaattorin H sanotaan olevan lineaarinen, joss H(af + bg) = aH(f) + bH(g) Operaatio, joka ei ole lineaarinen, on m¨ a¨ aritelm¨ allisesti ep¨ alineaarinen. 50

7. Kuvien ehostaminen pisteoperaatioin

Kuvan ehostamisen (enhancement) p¨ a¨ am¨ a¨ ar¨ an¨ a on k¨ asitell¨ a kuvaa siten, ett¨ a lopputulos on alkuper¨ aist¨ a kuvaa parempi tietyss¨ a mieless¨ a tai sovelluksessa. Esimerkiksi voidaan kiinnitt¨ a¨ a huomiota kuvan visuaaliseen miellytt¨ avyyteen, kuten ter¨ avyyteen tai kohinattomuuteen. Ehostamiskeinot ovat yleisesti sovelluskohtaisia. Tekniikat ovat my¨

• s hyvin

heuristisia, koska on vaikea m¨ a¨ aritell¨ a matemaattisesti, millainen olisi esim. ihmissilmin tarkastellen ”hyv¨ a”kuva. Ehostusmenetelm¨ at voidaan jakaa kahteen–kolmeen p¨ a¨ aluokkaan:

• taajuusaluemenetelm¨

at

• spatiaalialuemenetelm¨

at – pisteoperaatiot – koko kuvan operaatiot – maskioperaatiot K¨ ayt¨ ann¨

• n sovelluksessa voidaan yhdist¨

a¨ a kaikkien lajien menetelmi¨ a. 51

7.1 Spatiaalialuemenetelm¨ at ehostuksessa (3.1)

K¨ asitell¨ a¨ an pikseleit¨ a kuvatasossa g(x, y) = T[f(x, y)] f(x, y) on alkuper¨ ainen kuva g(x, y) on k¨ asitelty kuva T[·] on kuvaan f kohdistuva operaattori pisteen (x, y) ymp¨ arist¨

• ss¨

a T-operaattori voidaan kohdistaa my¨

• s joukkoon keskin¨

aisesti riippuvia ja kohdistettuja sy¨

• tekuvia pikseleitt¨
• ain. T¨

all¨

• in pit¨

aisikin kirjoittaa skalaarin f(x, y):n sijaan vektori f(x, y). Jos T:n vaikutusalue on vain itse (x, y)-pikseli yksin, kyseess¨ a on piste-

• peraatio, muutoin maskioperaatio. Ensinmainitut voidaan tulkita my¨
• s vi-

imemainittujen yhdeksi erikoistapaukseksi. Toisaalta pisteoperaatioina voidaan toteuttaa menetelmi¨ a, joille ei l¨

• ydy suoraa vastinetta tai yleistyst¨

a maski-

• peraationa.

52

7.2 Harmaataso-operaatiot (3.2)

Harmaataso-operaatioiksi kutsutaan pisteoperaatioita, joissa l¨ ahdekuvasta f(x, y) muodostetaan tuloskuva g(x, y) k¨ aytt¨ aen muunnosfunktiota s = T(r) , miss¨ a r = f(x, y) on harmaa-arvo l¨ ahdekuvan tietyss¨ a pisteess¨ a ja s = g(x, y) harmaa-arvo vastaavassa tuloskuvan pikseliss¨ a. Harmaataso-operaatioita ovat esim. kontrastin muuttaminen binarisointi

r s = T(r) ∆r ∆s t s = T(r) r

53 kuvan negatointi dynamiikan kompressointi

s = T(r) r s = T(r) r

logaritmointi gammakorjaus s = c log(1 + r) s = crγ

r s = T(r) r s = T(r)

54 harmaatasoviipalointi

s = T(r) r s = T(r) r

bittitasoviipalointi

s = T(r) r r s = T(r) r s = T(r) r s = T(r)

55

7.3 Harmaa-arvohistogrammioperaatiot (3.3)

Histogrammioperaatiot ovat merkitt¨ av¨ a pisteoperaatioiden ryhm¨ a. Kuvan histogrammi muodostetaan laskemalla, kuinka monta kerta kukin har- maataso esiintyy kuvassa: p(rk) = rk:n esiintymistod.n¨ ak.estim. = nk n rk ∈ [0, L − 1] on k:s diskreetti harmaataso nk on k:nnen harmatason lukum¨ a¨ ar¨ a kuvassa n on pikselien lukum¨ a¨ ar¨ a koko kuvassa Histogrammin muodosta voidaan p¨ a¨ atell¨ a kuvan ominaisuuksia ja mahdollis- esti tarvittavia ehostustoimenpiteit¨ a.

7

56

SLIDE 8

Esimerkkej¨ a harmaa-arvohistogrammin muodosta (3.3)

voimakas kontrasti heikko kontrasti vaalea kuva tumma kuva p(rk) rk rk p(rk) p(rk) rk p(rk) rk

Usein on helpointa ajatella r:n saavan reaalilukuarvoja v¨ alill¨ a [0, 1], miss¨ a 0 vastaa mustaa ja 1 valkoista. 57 Harmaa-arvohistogrammin muuntaminen (3.3) Histogrammin muuntamisessa k¨ aytett¨ av¨ at harmaa-arvo-operaatiot ovat yleens¨ a muotoa s = T(r), miss¨ a T(r) on

• yksik¨

asitteinen ja monotonisesti kasvava v¨ alill¨ a 0 ≤ r ≤ 1, jolloin harmaa-arvojen j¨ arjestys s¨ ailyy

• 0 ≤ T(r) ≤ 1, kun 0 ≤ r ≤ 1, jolloin harmaa-arvot s¨

ailyv¨ at sallituissa rajoissa Samat ominaisuudet on my¨

• s k¨

a¨ anteismuunnoksella r = T −1(s). Jatkuvassa tapauksessa voidaan tutkia differentiaaleja: ps(s) =

• pr(r)dr

ds

• r=T −1(s)

Siten muunnetun kuvan harmaa-arvohistogrammi ps(s) voidaan saada halu- tuksi sopivalla T(r):n valinnalla. 58 Harmaa-arvohistogrammin tasoitus (3.3.1) Tarkastellaan muunnosfunktiota: s = T(r) = r pr(w) dw , 0 ≤ r ≤ 1 Yht¨ al¨

• n oikea puoli esitt¨

a¨ a r:n kumulatiivista jakautumafunktiota (CDF). CDF kasvaa kasvaa monotonisesti 0:sta 1:een. s:n derivaatta r:n suhteen: ds dr = pr(r) Sijoitetaan dr

ds aiempaan lausekkeeseen:

ps(s) =

• pr(r)dr

ds

• r=T −1(s)

=

• pr(r)

1 pr(r)

• r=T −1(s)

= 1 , 0 ≤ s ≤ 1 Joten muunnos s = T(r) tuottaa tasaisen histogrammin ps(s). 59 Harmaa-arvohistogrammin m¨ a¨ ar¨ ays (3.3.2) Histogrammin m¨ a¨ ar¨ ays (specification) tarkoittaa, ett¨ a kuvan harmaa-arvo- jakauma muunnetaan halutunlaiseksi. Histogrammin m¨ a¨ ar¨ a¨ aminen voidaan toteuttaa analogisesti histogrammin tasoituksen kanssa. Tasoitushan tehtiin k¨ aytt¨ am¨ all¨ a alkuper¨ aisen kuvan harmaa- arvojen kertym¨ afunktiota s = T(r) = r

0 pr(w)dw. Mielivaltaisesta harmaa-

arvojakaumasta pz(w) p¨ a¨ ast¨ a¨ an samoin tasajakaumaan k¨ aytt¨ aen muunnos- ta v = G(z) = z

0 pz(w)dw. T¨

am¨ an muunnoksen k¨ a¨ anteismuunnoksella z = G−1(v) voidaan taas muuntaa tasajakauma halutuksi jakaumaksi pz(w). Histogrammi voidaan siis m¨ a¨ ar¨ at¨ a mieleiseksi muunnoksella: z = G−1(s) = G−1(T(r)) miss¨ a T(r) alkuper¨ ainen ja G(s) haluttu todenn¨ aisyystiheyden kertym¨ afunktio. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a kuitenkin toimitaan diskreeteill¨ a jakaumilla. Se onkin itse asias- sa helpompaa, koska jatkuvassa tapauksessa G−1(s):n analyyttinen muo- dostaminen on useimmiten hankalaa. Diskreetiss¨ a tapauksessa sen sijaan voidaan taulukoida muunnosarvot kaikille harmaa-arvoille. 60 Esimerkki: Marsin kuu Phobos (3.3.2) Ongelmana liian voimakas kontrasti, keskivaiheen harmaa-arvot puuttuvat l¨ ahes kokonaan. alkuper¨ ainen tasoitettu m¨ a¨ ar¨ atty 61 Paikallinen ehostaminen histogrammin tasoituksella (3.3.3) Edell¨ a esitellyt menetelm¨ at ovat kohdistuneet koko kuva-alan harmaa-arvo-

• jakaumaan. Usein on kuitenkin tarpeen parannella yksityiskohtia kuvan pienehk¨
• iss¨

a

• sa-alueissa.

Koska jokaisen pienehk¨

• n kuva-alueen pikseleill¨

a on vain pieni vaikutus kokon- aisharmaatasojakaumaan, ei globaali muunnos v¨ altt¨ am¨ att¨ a kykene huomioimaan paikallisia parannustarpeita. Sek¨ a histogrammin tasoitus ett¨ a histogrammin m¨ a¨ ar¨ ays voidaan toteuttaa paikallisesti M × N-ikkunassa, jossa keskipisteen uusi harmaa-arvo lasketaan k¨ aytt¨ aen ymp¨ ar¨

• ivi¨

a pikseleit¨ a harmaatasohis- togrammin estimointiin. 62 Muita paikallisen ehostuksen tilastollisia menetelmi¨ a (3.3.4) Paitsi histogrammeihin, paikalliset ehostusmenetelm¨ at voivat perustua my¨

• s

paikalliseen harmaatasojen keskiarvoon ja varianssiin. Siten saadaan kuvassa kirkkaus ja kontrasti vakioitua paikallisesti. Tyypillisesti muunnos voi olla:

g(x, y) = kM σ(x, y)

• f(x, y) − m(x, y)
• + m(x, y) ,

miss¨ a g(x, y) = alkion (x, y) uusi harmaatasoarvo f(x, y) = alkion (x, y) vanha harmaatasoarvo m(x, y) = alkion (x, y) tietyn ymp¨ arist¨

• n paikallinen harmaatasokeskiarvo

σ(x, y) = alkion (x, y) saman ymp¨ arist¨

• n paikallinen harmaatasovarianssi

M = alkuper¨ aisen kuvan f(x, y) kokonaisharmaatasokeskiarvo k = vakio, 0 < k < 1

Muunnos voimistaa paikallisia vaihteluita. Keskihajonta nimitt¨ aj¨ ass¨ a saa aikaan, ett¨ a alhaisen kontrastin eli pienen varianssin alueita kuvassa muute- taan eniten. 63

8. Kokonaisiin kuviin kohdistuva ehostus

8.1 Aritmeettiset ja loogiset operaatiot (3.4)

Kuvien v¨ alill¨ a voidaan m¨ a¨ aritell¨ a tavanomaiset aritmeettiset (+,–,*,/) ja lo-

• giset (∧, ∨, ¬) operaatiot. Kuvien t¨

aytyy t¨ all¨

• in useimmiten olla kesken¨

a¨ an saman kokoisia ja jotkut m¨ a¨ arittelyt ovat mielekk¨ ait¨ a vain binaarisille kuville. Esimerkki: Kuvan osa voidaan erottaa ymp¨ aris- t¨

• st¨

a¨ an joko loogisella JA-operaatiolla (yll¨ a) tai TAI-operaatiolla (alla).

8

64

SLIDE 9

Erotuskuvat (3.4.1) Kuvien f(x, y) ja h(x, y) erotus saadaan v¨ ahent¨ am¨ all¨ a vastaavat kuvapistei- den harmaas¨ avyt toisistaan: g(x, y) = f(x, y) − h(x, y) Erotuskuvissa voidaan havaita muutokset tai liike. Sovellutuksia: 1) ehostus, 2) segmentointi Esimerkki: Liikennevirran havainnointi: v¨ ahennet¨ a¨ an per¨ akk¨ aiset kuvat toi- sistaan ja otetaan itseisarvo. T¨ all¨

• in paikoillan pysyv¨

a ja siksi arvoiltaan vakio tausta muuttuu mustaksi. Varjoaineen etenemisen seuraami- nen verenkierrossa: v¨ ahennet¨ a¨ an var- joaineen ruiskuttamisen j¨ alkeen ote- tut r¨

• ntgen- tms. kuvat ennen var-

joaineen antoa otetusta kuvasta. 65 Keskiarvo useista kuvista (3.4.2) Jos on mahdollista ottaa useita identtisi¨ a kuvia samasta kohteesta, voidaan kuvassa esiintyv¨ a¨ a kohinaa ratkaisevasti v¨ ahent¨ a¨

• a. Oletetaan kohinamalli

g(x, y) = f(x, y) + η(x, y) miss¨ a kohina η(x, y) on korreloimatonta ja nollakeskiarvoista. Lasketaan pisteitt¨ ainen keskiarvokuva K:st¨ a kuvasta {gi(x, y); i = 1, 2, . . . , K}: g(x, y) = 1 K

K

• i=1

gi(x, y) Nyt E{g(x, y)} = f(x, y) ja σ2

g(x,y) = 1 Kσ2 η(x,y). K:n kasvaessa pikseliarvojen

varianssi pienenee ja g(x, y) l¨ ahestyy f(x, y):t¨ a. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a kaikissa sovelluksissa ei voida saadaan per¨ akk¨ aisi¨ a identtisi¨ a

• toksia. My¨
• s kuvien t¨

asm¨ allinen kohdistaminen p¨ a¨ allek¨ ain on vaikeaa, jos tapahtuu pient¨ akin liikett¨ a kuvien v¨ alill¨

• a. Keskiarvoistusta voidaan kuitenkin

soveltaa valo- ja elektronimikroskopiassa sek¨ a astronomiassa. 66

9. Kuvien ehostaminen spatiaalisuodatuksella

9.1 Spatiaaliset ymp¨ arist¨

• operaatiot (3.5)

Suuri osa digitaalisen kuvank¨ asittelyn menetelmist¨ a perustuu aritmeettisten (tai loogisten) operaatioiden suorittamiseen kunkin kuva-alkion m¨ a¨ ar¨ atyss¨ a ymp¨ arist¨

• ss¨

a. Operaatioita kutsutaan eri nimill¨ a: maskioperaatiot, templaattioperaatiot, ikkunaoperaatiot, suodatusoperaatiot, konvoluutio-operaatiot, . . . Aritmeettiset ymp¨ arist¨

• operaatiot voidaan lausua pikseleiden harmaa-arvojen

zi ja maskin kertoimien wi avulla. z1 z2 z3 z6 z5 z4 z7 z8 z9 w1 w2 w3 w6 w5 w4 w7 w8 w9 Esimerkiksi 3 × 3-kokoinen maski, jolla lasketaan ymp¨ arist¨

• n keskiarvo:

z = 1 9(z1 + z2 + · · · + z9) = 1 9

9

• i=1

zi 67 Yleisemm¨ ass¨ a tapauksessa voidaan maskin avulla laskea painotettu summa: z =

9

• i=1

wizi Operaatio vastaa vektorimuotoista sis¨ a- eli pistetuloa: z = wTz , miss¨ a w ja z ovat painokertoimista ja kuva-alkion ymp¨ arist¨

• st¨

a muodostetut vektorit. Sis¨ atulomuotoiset ymp¨ arist¨

• operaatiot ovat lineaarisia.

68

9.2 Spatiaalinen pehmennys ehostuksessa (3.6)

Jo aiemmin esitellyt menetelm¨ at ovat olleet spatiaalisia, mutta niiss¨ a k¨ asittely

• n kohdistunut kuvaan pikseli kerrallaan.

Spatiaalimenetelmien yleisess¨ a tapauksessa pikselin uusi harmaa-arvo m¨ a¨ ar¨ aytyy pikselin ja sen tietyn spatiaalisen ymp¨ arist¨

• n alkuper¨

aisist¨ a harmaa-arvoista. Spatiaalisuodatuksen t¨ arkein alaluokka on lineaariset suotimet.

• siirtofunktio on impulssivasteen (pisteen levi¨

amisfunktion) Fourier- muunnos

• alip¨

a¨ ast¨

• suodin vaimentaa korkeataajuisia komponentteja ja p¨

a¨ ast¨ a¨ a l¨ avitse matalat taajuudet

• ylip¨

a¨ ast¨

• suodin vaimentaa matalataajuisia komponentteja ja p¨

a¨ ast¨ a¨ a l¨ avitse korkeat taajuudet

• kaistanp¨

a¨ ast¨

• suodin vaimentaa sek¨

a matala- ett¨ a korkeataajuisia kom- ponentteja ja p¨ a¨ ast¨ a¨ a l¨ avitse tietyll¨ a kaistalla olevat taajuudet 69 Yleens¨ a lineaariset suotimet ovat ympyr¨ asymmetrisi¨ a sek¨ a spatiaali- ett¨ a

• taajuustasossa. Impulssivasteen poikkileikkausmuoto spatiaalitasossa antaa

k¨ asityksen suotimen taajuustaso-ominaisuuksista.

1 ylipäästö alipäästö

taajuustaso spatiaalitaso

kaistanpäästö 1 1

70

9.3 Lineaarinen alip¨ a¨ ast¨

• suodatus (3.6.1)

Kohinaa voidaan siis tehokkaasti poistaa kuvista, mik¨ ali olemassa on kuvasar- ja samasta kohteesta. Koska n¨ ain ei useimmiten ole, tarvitaan muita keinoja kohinan poistamiseksi. Kuvaa voidaan pehment¨ a¨ a spatiaalisella suotimella, joka keskiarvoistaa tietyn kokoisen maskin alalla, jolloin korreloimaton additiivinen kohina vaimenee. Samalla valitettavasti kuvan yksityiskohdat h¨ am¨ artyv¨ at, tapahtuu alip¨ a¨ ast¨

• suodatus.

Mit¨ a suurempaa maskia k¨ aytet¨ a¨ an, sit¨ a voimakkaampaa on sumentuminen. Sumeutumista voidaan rajoittaa k¨ aytt¨ am¨ all¨ a ep¨ alineaarista kynnystyst¨ a: g(x, y) =

• 1

M

• (m,n)∈S f(m, n) , |f(x, y) − 1

M

• (m,n)∈S f(m, n)| < T

f(x, y) , muulloin Pisteet, joiden poikkeama ymp¨ arist¨

• ns¨

a keskiarvosta on positiivista kynnysar- voa T suurempi, j¨ a¨ av¨ at muuttumatta. Voimaakkaat muutokset, esim. reunat ja nurkat, eiv¨ at muutu. Siten sumentumiselle herk¨ at yksityiskohdat s¨ ailyv¨ at paremmin kuin puhtaasti lineaarisella suodatuksella. 71 Esimerkki lineaarisesta pehmennyksest¨ a (3.6.1) (500x500) 5x5 15x15 3x3 9x9 35x35

9

72

SLIDE 10

J¨ arjestysfunktioon perustuvat suotimet (3.6.2) Ep¨ alineaariset suotimet toimivat kuten lineaariset, mutta maskin keskipisteen uusi harmaa-arvo ei ole lineaarikombinaatio maskin pikseliarvoista. Yleisimpi¨ a ep¨ alineaarisia operaatioita ovat j¨ arjestysfunktioon perustuvat op- eraatiot:

• mediaani
• maksimi
• minimi

Ep¨ alineaarisilla menetelmill¨ a kuten mediaanisuodatuksella ei ole m¨ a¨ aritelty¨ a impulssivastetta eik¨ a my¨

• sk¨

a¨ an siirtofunktiota. Siten esim. mediaanisuodatus

• n jokaiselle kuvalle omanlaisensa.

73 Kohinanpoisto mediaanisuodatuksella (3.6.2) Naapurikeskiarvoistuksen huono puoli on reunojen ja muiden ter¨ avien yksi- tyiskohtien sumeneminen. Mediaanisuodatuksella pyrit¨ a¨ an v¨ altt¨ am¨ a¨ an t¨ at¨ a

• ngelmaa. My¨
• s mediaanisuodatus h¨

avitt¨ a¨ a yksityiskohtia, mutta useinkaan ei niin paljon kuin vastaavankokoinen lineaarinen suodatus. Mediaanisuodatusta k¨ aytet¨ a¨ an kohinan poistoon pitk¨ alti samoin kuin alip¨ a¨ as- t¨

• suodatustakin. Mediaanisuodatus on optimaalinen menetelm¨

a voimakkaan pisteitt¨ aisen impulssikohinan, ns. suola ja pippuri -kohinan, poistamiseksi. 74

9.4 Kuvan ter¨ av¨

• itt¨

aminen ylip¨ a¨ ast¨

• suodatuksella (3.7)

Kuvan ter¨ av¨

• itt¨

amisell¨ a pyrit¨ a¨ an korostamaan kuvan yksityiskohtia tai ehosta- maan sumentuneita detaljeja. Ter¨ av¨

• itt¨

aminen voidaan tulkita my¨

• s keskiar-

voistamisen k¨ a¨ anteisoperaatioksi. Ter¨ av¨

• itt¨

aminen perustuu pikseleiden v¨ alisten erojen korostamiseen. Derivaatat (tai paremminkin differenssit) sopivat havainnoimaan pikseleiden v¨ alisi¨ a muu- toksia. Ensimm¨ ainen differenssi yksiulotteisessa tapauksessa: ∂f ∂x = f(x + 1) − f(x) Toinen differenssi yksiulotteisessa tapauksessa: ∂2f ∂x2 = f(x + 1) + f(x − 1) − 2f(x) 75 Esimerkki yksityiskohdista kuvassa (3.7.1) 76 Laplace-operaattorilla derivointi (3.7.2) Jatkuvalle kaksidimensioiselle funktiolle Laplace-operaattori m¨ a¨ aritell¨ a¨ an: ∆f(x, y) = ∇2f(x, y) = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 Havaitaan, ett¨ a Laplace-operaattori on lineaarinen. Diskreettin¨ a approksimointina k¨ aytettiin jo aiemmin: ∂2f ∂x2 = f(x + 1, y) + f(x − 1, y) − 2f(x, y) ∂2f ∂y2 = f(x, y + 1) + f(x, y − 1) − 2f(x, y) ∇2f(x, y) = f(x + 1, y) + f(x − 1, y) + f(x, y + 1) + f(x, y − 1) − 4f(x, y) Maskimuodossa: 1 1 1 1 1

• 4

1 tai 1

• 8

1 1 1 1 1 77 Laplace-suodatus ehostuksessa (3.7.2) Laplace-suodatus korostaa pieni¨ a yksityiskohtia ja on nolla tasaisille ja tasais- esti muuttuville alueille. Laplace-suodatettu kuva voidaan sellaisenaan lis¨ at¨ a alkuper¨ aiseen: g(x, y) = f(x, y) − ∇2f(x, y) = 5f(x, y) − f(x + 1, y) − f(x − 1, y) − f(x, y + 1) − f(x, y − 1) 1

• 1

1 − 1

• 4

1 =

• 1

5

• 1

1

• 1

tai: 1 1 1

• 1
• 1
• 1

1 − 1

• 8

1 =

• 1

9

• 1

1 1 1

• 1
• 1
• 1

78 Laplace-suodatus ehostuksessa, esimerkki (3.7.2) 79 Ep¨ ater¨ av¨ a maskaus (3.7.2) Ep¨ ater¨ av¨ a maskaus on vanha filmivalokuvien ter¨ av¨

• intikikka. Alkuper¨

aist¨ a kuvaa ter¨ av¨ ampi ylip¨ a¨ ast¨

• suodatettu kuva voidaan muodostaa v¨

ahent¨ am¨ all¨ a alkuper¨ aisest¨ a kuvasta alip¨ a¨ ast¨

• suodatettu kuva:

fs(x, y) = f(x, y) − ¯ f(x, y) Korkeiden taajuuksien korostus (3.7.2) Yleisemm¨ ass¨ a tapauksessa voidaan kirjoittaa korkeiden taajuuksien korostus eli High-boost-suodatus kertoimella A: fhb(x, y) = Af(x, y) − ¯ f(x, y) = (A − 1)f(x, y) + fs(x, y) Sijoittamalla fs(x, y) = f(x, y) − ∇2f(x, y) :

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1

A+4

• 1

tai

• 1

A+8

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1

10

80

SLIDE 11

Korkeiden taajuuksien korostus, esimerkki (3.7.2) Sopivalla A:n arvolla saadaan aikaan haluttu korkeiden taajuuksien korostus: A = 1 A = 1.7 81 Gradienttioperaattori reunojen vahvistajana (3.7.3) Gradienttivektorin yleinen m¨ a¨ aritelm¨ a: ∇f = Gx Gy

• =

 

∂f ∂x ∂f ∂y

  Gradienttivektorin pituutta kutsutan usein gradientiksi ja se voidaan laskea: ∇f = |∇f| = [G2

x + G2 y]

1 2

≈ |Gx| + |Gy| Robertsin ristigradientti, Gx = z9−z5, Gy = z8−z6:

• 1

ja

• 1

1 1 Sobel-operaattorit:

• 1
• 2
• 1
• 1

1 Gx = ja Gy =

• 2

2 1 2 1

• 1

1 82 Spatiaalisten ehostusten yhdistely (3.8) Hyv¨ a¨ a ehostustulosta ei useinkaan voida saavuttaa vain yht¨ a operaatiota k¨ aytt¨ am¨ alll¨

• a. Kirja esitt¨

a¨ a kuvissa 3.46a–h, kuinka: 1) r¨

• ntgenkuvaa ter¨

av¨

• itet¨

a¨ an Laplace-operaattorilla 2) alkuper¨ aisen kuvan reunoja vahvistetaan Sobel-operaattoreilla 3) gradienttikuvaa pehmennet¨ a¨ an ja se kerrotaan ter¨ av¨

• itetyll¨

a kuvalla 4) tuloskuva lis¨ at¨ a¨ an alkuper¨ aiseen 5) kuvan dynamiikkaa parannetaan gammakorjauksella 83

10. Fourier-muunnoksen perusteet

Fourier-muunnokset digitaalisen kuvank¨ asittelyn kannalta t¨ arkein 2-dimensioisten kuvamuunnosten laji. Muita esim. kosini-, Walsh-, Hadamard-, Haar-, Slant- ja Hotelling- eli Karhunen-Lo` eve-muunnokset. Kuvamuunnoksia tarvitaan:

• ehostuksessa
• entist¨

amisess¨ a

• koodauksessa
• sis¨

all¨

• n kuvailussa

84

10.1 Fourier-muunnospari jatkuvassa tapauksessa (4.2.1)

F{f(x)} = F(u) = ∞

−∞

f(x) e−j2πux dx F−1{F(u)} = f(x) = ∞

−∞

F(u) ej2πux du F{f(x, y)} = F(u, v) = ∞

−∞

∞

−∞

f(x, y) e−j2π(ux+vy) dx dy F−1{F(u, v)} = f(x, y) = ∞

−∞

∞

−∞

F(u, v) ej2π(ux+vy) du dv 85

10.2 Diskreetti Fourier-muunnos, DFT (4.2.1)

Lukusekvenssille {f(0), f(1), f(2), . . . , f(M − 1)} m¨ a¨ aritell¨ a¨ an diskreetti Fourier-muunnos- ja -k¨ a¨ anteismuunnospari: F(u) = 1 M

M−1

• x=0

f(x) e−j2πux/M, u = 0, 1, . . . , M − 1 f(x) =

M−1

• u=0

F(u) ej2πux/M, x = 0, 1, . . . , M − 1 Taajuustason ominaisuuksia (4.2.1) F(u) on kompleksinen: F(u) = R(u) + jI(u) = |F(u)| ejφ(u).

• |F(u)| =
• R2(u) + I2(u)

Fourier-spektri, magnitudispektri

• φ(u) = tan−1 I(u)

R(u)

vaihekulma, vaihespektri

• P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u)

tehospektri, spektritiheys 86 Diskreetin lukusekvenssin muodostaminen (4.2.1) Diskreetin lukusekvenssin muodostamista jatkuvasta funktiosta kutsutaan n¨ aytteist¨ amiseksi. Jatkuva-argumenttinen funktio f(x) voidaan diskretoida tasav¨ aliseksi sekvenssik- si: {f(x0), f(x0 + ∆x), f(x0 + 2∆x), . . . , f(x0 + (M − 1)∆x)} Merkinn¨ at saadaan yksinkertaisemmiksi sopimalla, ett¨ a diskreetti¨ a funktiota voidaan merkit¨ a kuten aiemmin merkittiin jatkuvaa: f(x) f(x0 + x∆x), x = 0, 1, . . . , M − 1 F(u) F(u∆u) Diskretointiv¨ aleille p¨ atee t¨ all¨

• in:

∆u = 1 M∆x 87

10.3 Kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos (4.2.2)

Kaksiulotteisessa tapauksessa: F(u, v) = 1 MN

M−1

• x=0

N−1

• y=0

f(x, y) e−j2π(ux/M+vy/N), u = 0, 1, . . . , M − 1, v = 0, 1, . . . , N − 1 f(x, y) =

M−1

• u=0

N−1

• v=0

F(u, v) ej2π(ux/M+vy/N), x = 0, 1, . . . , M − 1, y = 0, 1, . . . , N − 1 Huomattava, ett¨ a muunnospari on vakiokertoimien osalta ep¨ asymmetrinen. Joskus muunnospari esitet¨ a¨ an my¨

• s symmetrisen¨

a, jolloin molemmissa on kerroin

• 1/MN. Toisaalta, jos kyseess¨

a on neli¨

• muotoinen kuva, so. M =

N, voidaan kaavat kirjoittaa symmetrisiksi kertoimilla 1/N.

11

88

SLIDE 12

2-dimensioisen Fourier-muunnoksen ominaisuuksia (4.2.2) F(u, v) on kompleksinen: F(u, v) = R(u, v) + jI(u, v) = |F(u, v)| ejφ(u,v)

• |F(u, v)| =
• R2(u, v) + I2(u, v)

Fourier-spektri

• φ(u, v) = tan−1 I(u,v)

R(u,v)

vaihekulma

• P(u, v) = |F(u, v)|2 = R2(u, v) + I2(u, v) tehospektri
• F(0, 0) =

1 MN

M−1

x=0

N−1

y=0 f(x, y)

keskiarvo

• F(u, v) = F ∗(−u, −v)

konjugaattisymmetria

• |F(u, v)| = |F(−u, −v)|

spektrin symmetria 89 2-dimensioisen kuvan Fourier-muunnos, esimerkki (4.2.2) Fourier-muunnoksen origo on visualisoinnin vuoksi siirretty keskelle kuvaa. Suurin osa muunnoksen energiasta keskittynyt origoon ja akseleille. Muunnos on muotoa asin bx

x sin cy y . “Palikan” muoto on “kiertynyt” 90◦.

90 2-dimensioisen maskin Fourier-muunnos, esimerkki Olkoon alip¨ a¨ ast¨

• suodin muotoa

1 h(x, y) = 1

5

1 1 1 1 h(x, y) =1 5

• δ(x, y) + δ(x − 1, y) + δ(x + 1, y) + δ(x, y − 1) + δ(x, y + 1)
• H(u, v) =

1 MN

M−1

• x=0

N−1

• y=0

h(x, y) e−j2π(ux/M+vy/N), u = 0, 1, . . . , M − 1, v = 0, 1, . . . , N − 1 = 1 5MN

• 1 + e−j2πu/M + ej2πu/M + e−j2πv/N + ej2πv/N

= 1 5MN

• 1 + 2 cos 2πu

M + 2 cos 2πv N

• Analyyttinen, reaalinen, l¨

ahell¨ a origoa positiivinen, (u, v)-rajoittamaton, . . . 91

10.4 Taajuustasossa suodattaminen (4.2.3)

Taajuusalueessa suodattaminen perustuu konvoluutioteoreemaan: kuvan ja maskin spatiaalista konvoluutiota vastaa taajuusaluessa Fourier-muunnosten tulo. g(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y) G(u, v) = H(u, v) F(u, v)

• lasketaan kuvan f(x, y) Fourier-muunnos F(u, v)
• valitaan siirtofunktio H(u, v), jolla F(u, v) kerrotaan
• muodostetaan ehostettu kuva g(x, y) k¨

a¨ anteisell¨ a Fourier-muunnoksella Kohinan v¨ aheneminen, sumeneminen ⇐ ⇒ korkeiden taajuuksien redusointi. Yksityiskohtien korostus, ter¨ av¨

• itys ⇐

⇒ korkeiden taajuuksien korostus. 92 Esimerkki ali- ja ylip¨ a¨ ast¨

• suodatuksista (4.2.3)

93 Konvoluutio (4.2.4) Lineaariset suodatusoperaatiot voidaan tulkita konvoluutioina. Konvoluution m¨ a¨ aritelm¨ a: f(x, y) ∗ h(x, y) = 1 MN

M−1

• m=0

N−1

• n=0

f(m, n)h(x − m, y − n) Konvoluutio on vaihdannainen: f(x, y) ∗ h(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y) Konvoluutioteoreema: f(x, y) ∗ h(x, y) ⇐ ⇒ F(u, v) H(u, v) f(x, y) h(x, y) ⇐ ⇒ F(u, v) ∗ H(u, v) 94

11. Kuvien ehostaminen taajuustasossa

Kaikki taajuustason suodattaminen perustuu taajuustasossa teht¨ av¨ a¨ an kuvan Fourier-muunnoksen kertomiseen suodatuksen siirtofunktiolla: G(u, v) = H(u, v) F(u, v)

11.1 Alip¨ a¨ ast¨

• suodatus (4.3)

Alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksella vaimennetaan korkeita taajuuksia, mik¨

a sumentaa ku- vaa, koska korkeat taajuudet vastaavat harmaatasojen nopeita muutoksia kuten ¨ a¨ ariviivoja ja kohinaa. 95 Ideaalinen alip¨ a¨ ast¨

• suodin (ILPF) (4.3.1)

Ideaalisen alip¨ a¨ ast¨

• suotimen vaste on yksi D0-s¨

ateisen taajuustason ympyr¨ an sis¨ all¨ a ja nolla sen ulkopuolella, D0 on rajataajuus: H(u, v) =

• 1 ,

D(u, v) ≤ D0 0 , D(u, v) > D0 D(u, v) =

• u2 + v2 1

2

H(u, v) on ympyr¨ asymmetrinen origon suhteen. Alip¨ a¨ ast¨

• suotimen aiheuttamaa sumentumaa voidaan tutkia tarkastelemalla

suotimen siirtofunktion k¨ a¨ anteis-Fourier-muunnosta, so. suotimen impulssi- vastetta eli pisteenlevi¨

• amisfunktiota. Ideaalisen alip¨

a¨ ast¨

• suotimen impulssi-

vaste on muodoltaan:

12

96

SLIDE 13

Jokainen alkuper¨ ainen piste levi¨ a¨ a ja sekoittuu ymp¨ ar¨

• ivien pikseleiden kanssa.

On huomattava ideaaliselle alip¨ a¨ ast¨

• suotimelle ominaiset renkaat, jotka ai-

heuttavat kuvassa rengastumista. Rengastumisen vuoksi voimakkaat pik- selit saavat ymp¨ arilleen renkaita ja vastaavasti voimakkaat rajat kuvassa monistuvat tai toistuvat heikompina “kaikuina”. h(x, y):n samankeskisten renkaiden s¨ ateet ovat k¨ a¨ ant¨ aen verrannolliset ra- jataajuuteen D0. Voimakas suodatus eli pieni D0 aiheuttaa voimakkaan ren- gastumisen. Esimerkki ideaalisesta alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksesta (4.3.1)

D0: 5 15 30 80 230 P%:

• 8
• 5.4
• 3.6
• 2
• 0.5

97 alkuper¨ ainen 500 × 500 D0 = 15, -5.4% D0 = 80, -2% D0 = 5, -8% D0 = 30, -3.6% D0 = 230, -0.5% 98 Butterworth-alip¨ a¨ ast¨

• suodin (4.3.2)

Erilaisista alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksista t¨

arkeimpi¨ a on Butterworth-suodin: H(u, v) = 1 1 +

• D(u, v)/D0

2n n = suotimen asteluku D0 = rajataajuus D(u, v) =

• u2 + v2 1

2

Rajataajuudella: H(u, v) = 0.5

1 0.5 1 2 3 H(u, v)

D(u,v) D0

Butterworth-suodin sumentaa kuvaa v¨ ahemm¨ an kuin ideaalinen suodin, koska suuritaa- juiset komponentit p¨ a¨ asev¨ at vaimennettuina vaikuttamaan tulokseen. Lis¨ aksi renkaita ei muodostu yht¨ a helposti kuin ideaalisella suo- timella. 99 Esimerkki Butterworth-alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksesta (4.3.2)

alkuper¨ ainen 500 × 500 D0 = 15, -5.4% D0 = 80, -2% D0 = 5, -8% D0 = 30, -3.6% D0 = 230, -0.5% 100 Gaussinen alip¨ a¨ ast¨

• suodin (4.3.3)

Alip¨ a¨ ast¨

• suodin voidaan toteuttaa my¨
• s Gaussin “kellok¨

ayr¨ an” mukaisesti: H(u, v) = e−D2(u,v)/2D2 D0 = rajataajuus D2(u, v) = u2 + v2 Rajataajuudella: H(u, v) = e−0.5 ≈ 0.607 Gaussisen suotimen erityisominaisuus on, ett¨ a sen impulssivaste on my¨

• s

gaussinen: h(x, y) = √ 2πD0e−2π2D2

0(x2+y2)

Siksi taajuustasossa gaussinen suodin ei voi tuottaa lainkaan rengastumisil- mi¨

• t¨

a spatiaalitasossa. Verrataessa H(u, v):t¨ a ja h(x, y):t¨ a huomataan, ett¨ a D0:n luonne on niiss¨ a k¨ a¨

• anteinen. Siten leve¨

a¨ a taajuusvastetta vastaa kapea impulssivaste ja p¨ ain- vastoin, kuten kaikilla alip¨ a¨ ast¨

• rakenteilla aina onkin.

101 Esimerkki gaussisesta alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksesta (4.3.3)

alkuper¨ ainen 500 × 500 D0 = 15, -5.4% D0 = 80, -2% D0 = 5, -8% D0 = 30, -3.6% D0 = 230, -0.5% 102 Alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksen sovelluskohteita (4.3.4)

Alip¨ a¨ ast¨

• suodatus on l¨

ahinn¨ a kosmeettinen prosessi, jolla voidaan poistaa tai ainakin v¨ ahent¨ a¨ a kohinaa tai joitakin muita kuvan v¨ a¨ aristymi¨ a kuvan ter¨ avyyden kustannuksella.

• Esim. tekstin digitoimisen j¨

alkeen voidaan kirjainten ep¨ apuhtauksia v¨ ahent¨ a¨ a alip¨ a¨ ast¨

• suodatuksella.

Kuvanmuodostuksessa syntyneit¨ a esim. vaakasuuntaisia viivoja voidaan samoin v¨ ahent¨ a¨ a taajuustason suodatuksella. Alip¨ a¨ ast¨

• suodatusta tarvitaan my¨
• s, kun halutaan v¨

ahent¨ a¨ a k¨ asitelt¨ av¨ an datan m¨ a¨ ar¨ a¨ a esim. osana kuva-analyysin piirreirrotusta. 103

11.2 Ylip¨ a¨ ast¨

• suodatus (4.4)

Korkeiden taajuuksien korostaminen vahvistaa ¨ a¨ ariviivoja ja pieni¨ a yksityisko-

• htia. Yleisesti:

Hhp(u, v) = 1 − Hlp(u, v) Ideaalinen ylip¨ a¨ ast¨

• suodin (4.4.1)

Ideaalinen ylip¨ a¨ ast¨

• suodin on ideaalisen alip¨

a¨ ast¨

• suotimen komplementti:

H(u, v) =

• 0 ,

D(u, v) ≤ D0 1 , D(u, v) > D0 Butterworth-ylip¨ a¨ ast¨

• suodin (4.4.2)

My¨

• s ylip¨

a¨ ast¨

• suodin voidaan toteuttaa Butterworth-rakenteella. T¨

all¨

• in:

H(u, v) = 1 1 +

• D0/D(u, v)

2n

13

104

SLIDE 14

Gaussinen ylip¨ a¨ ast¨

• suodin (4.4.3)

H(u, v) = 1 − e−D2(u,v)/2D2 Gaussisia ylip¨ a¨ ast¨

• suotimia voidaan my¨
• s toteuttaa my¨
• s kahden gaussisen

alip¨ a¨ ast¨

• suotimen erotuksena:

H(u, v) = e−D2(u,v)/2D2

1 − e−D2(u,v)/2D2 2

Laplace-operaattori taajuustasossa (4.4.4) Reunanetsinn¨ ass¨ a usein k¨ aytett¨ av¨ a Laplace-operaattori voidaan jatkuvana lausua kaksidimensioisen Fourier-muunnoksen avulla: ∇2f(x, y) = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 F{∇2f(x, y)} = −4π2(u2 + v2)F(u, v) Kyseess¨ a on siis ilmeinen ylip¨ a¨ ast¨

• suodin, jonka vaste origossa on nolla.

−4π2(u2+v2):n k¨ a¨ anteis-Fourier-muunnoksesta saadaan likipit¨ aen tuttu spa- tiaalinen Laplace-maski. 105 Kirjan kuvassa 4.23 virhe? (4.4) Ilmeisesti kirjan kuvassa 4.23 on virhe, koska gaussisen ylip¨ a¨ ast¨

• suotimen

impulssivaste eli pisteenlevi¨ amisfunktio n¨ aytt¨ a¨ a impulssifunktiolta. Kyseess¨ a lienee virhe kuvan kaikkien ei-positiivisten lukuarvojen esitt¨ amisess¨ a mustana. 106 Muita ylip¨ a¨ ast¨

• suodatuksen muotoja (4.4.5)

Puhdasta ylip¨ a¨ ast¨

• suodatusta tarvitaan kuva-analyysisovelluksissa, joissa et-

sit¨ a¨ an kuvista reunoja ja pyrit¨ a¨ an segmentoimaan kuvassa olevat kohteet kuvan taustasta. Ihmisen katsottavaksi tarkoitetuissa kuvissa k¨ aytet¨ a¨ an enemm¨ ankin korkei- den taajuuksien korostusta. T¨ all¨

• in esim. ylip¨

a¨ ast¨

• suotimen ulostulo lis¨

at¨ a¨ an vakiolla kerrottuna alkuper¨ aiseen kuvaan. T¨ am¨ a vastaa aiemmin esitelty¨ a High-boost-suodatusta: Hhp(u, v) = 1 − Hlp(u, v) Hhb(u, v) = (A − 1) + Hhp(u, v) Voidaan my¨

• s toteuttaa ns. korkeiden taajuuksien korostus (high-frequency

emphasis): Hhfe(u, v) = a + bHhp(u, v) 107

11.3 Homomorfinen suodatus (4.5)

Homomorfiseksi suodatukseksi kutsutaan menetelmi¨ a, joissa kuvanmuodos- tuksessa vaikuttavat ep¨ alineaariset tekij¨ at ensin linearisoidaan, sitten k¨ asitel- l¨ a¨ an kuva lineaarisesti ja lopuksi palautetaan kuva alkuper¨ aiseen ep¨ alineaari- seen esitysmuotoon. Jo aiemmin esitettiin, kuinka kuva f(x, y) voidaan ajatella muodostuneeksi valaistuskomponentista i(x, y) ja heijastuskomponentista r(x, y): f(x, y) = i(x, y) r(x, y) Kuvanmuodostus linearisoidaan logaritmoimalla yht¨ al¨

• n molemmat puolet:

ln f(x, y) = ln i(x, y) + ln r(x, y) Kuvanmuodostuksessa on luontevaa ajatella, ett¨ a valaistuksen i(x, y) vaihte- lut ovat hitaita verrattuna heijastuksen r(x, y) vaihteluihin. Siten haitallisia valaistusvaihteluja voidaan v¨ ahent¨ a¨ a ylip¨ a¨ ast¨

• suodattamalla linearisoitua ku-

vaa high-boost-suotimella. 108 Linearisoitu kuva palautetaan t¨ ass¨ a tapauksessa eksponentioimalla takaisin alkuper¨ aiseen esitysmuotoon. Koko prosessointi voidaan esitt¨ a¨ a kaaviolla:

FFT−1 ln f(x, y) exp g(x, y) H(u, v) FFT

109

12. Lis¨ a¨ a Fourier-muunnoksesta

Siirto eli translaatio (4.6.1) f(x, y)ej2π(u0x/M+v0y/N) ⇔ F(u − u0, v − v0) f(x − x0, y − y0) ⇔ F(u, v)e−j2π(ux0/M+vy0/N) Siirto toisessa tasossa vastaa vaihekulman muutosta toisessa tasossa. Translaa- tio ei vaikuta Fourier- eik¨ a tehospektriin, koska eksponenttitermin itseisarvo

• n aina yksi.

Visualisointitarkoituksessa usein siirret¨ a¨ an Fourier-tason origo muunnoskuvan vasemmasta yl¨ akulmasta keskelle, u0 = M/2, v0 = N/2: ej2π(u0x/M+v0y/N) = ejπ(x+y) = (−1)(x+y) f(x, y)(−1)(x+y) ⇔ F(u − M/2, v − N/2) (Kuva (−1)(x+y) itse asiassa vastaa kaksiulotteista Nyquist-taajuutta.) 110 111 Lineaarisuus (4.6.1) Fourier-muunnosoperaattori F{·} on lineaarinen, mik¨ a on seurausta siit¨ a, ett¨ a se on sek¨ a distributiivinen F{f1(x, y) + f2(x, y)} = F{f1(x, y)} + F{f2(x, y)} ett¨ a skaalausinvariantti F{af(x, y)} = aF{f(x, y)} joten F{af1(x, y) + bf2(x, y)} = aF{f1(x, y)} + bF{f2(x, y)} Kokoskaalaus (4.6.1) Kokoskaalaukselle p¨ atee f(ax, by) ⇔ 1 |ab|F(u/a, v/b)

14

112

SLIDE 15

Kierto eli rotaatio (4.6.1) Napakoordinaatistoesityksess¨ a x = r cos θ, y = r sin θ, u = ω cos φ, x = ω sin φ voidaan osoittaa, ett¨ a kaksidimensioinen Fourier-muunnos toteuttaa: f(r, θ + θ0) ⇔ F(ω, φ + θ0) Jaksollisuus eli periodisuus (4.6.1) F(u, v) = F(u + M, v) = F(u, v + N) = F(u + M, v + N) f(x, y) = f(x + M, y) = f(x, y + N) = f(x + M, y + N) Muunnos on siis toisen koordinaattiakselin suuntaan jaksollinen periodilla M ja toisen akselin suuntaan periodilla N. Sama (useimmiten ep¨ atosi) oletus koskee my¨

• s alkuper¨

aist¨ a kuvaa. 113 Konjugaattisymmetria (4.6.1) F(u, v) = F ∗(−u, −v) |F(u, v)| = |F(−u, −v)| Separoituvuus (4.6.1) F(u, v) = 1 MN

M−1

• x=0

N−1

• y=0

f(x, y) e−j2π(ux/M+vy/N) = 1 M

M−1

• x=0

e−j2πux/M

• 1

N

N−1

• y=0

f(x, y) e−j2πvy/N

• = 1

M

M−1

• x=0

e−j2πux/MFy{f(x, y)} = 1 M

M−1

• x=0

F(x, v) e−j2πux/M = Fx{Fy{f(x, y)}} 2D-muunnos voidaan siis hajottaa kahdeksi per¨ akk¨ aiseksi 1D-muunnokseksi. Tarvittavien operaatioiden m¨ a¨ ar¨ an muutos on luokkaa O(N 4) − → O(2N 3). 114 K¨ a¨ anteismuunnoksen laskeminen (4.6.2) Joskus on edullista, ett¨ a k¨ a¨ anteis-Fourier-muunnos voitaisiin laskea k¨ aytt¨ aen samaa kaavaa kuin eteenp¨

• ainmuunnos. Ottamalla kompleksikonjugaatti ja

jakamalla MN:ll¨ a k¨ a¨ anteismuunnoksesta f(x, y) =

M−1

• u=0

N−1

• v=0

F(u, v) ej2π(ux/M+vy/N) tulee: 1 MN f ∗(x, y) = 1 MN

M−1

• u=0

N−1

• v=0

F ∗(u, v) e−j2π(ux/M+vy/N) Kuva f(x, y) on normaalisti reaalinen, joten kompleksikonjugointi ei muu- ta sit¨

• a. Lis¨

aksi normaali k¨ ayt¨ ant¨

• on j¨

att¨ a¨ a k¨ a¨ anteismuunnoksen tuottamat usein virheelliset pienet imaginaariosat huomiotta. J¨ aljelle j¨ a¨ a siis F(u, v):n kompleksikonjugointi (tai k¨ a¨ ant¨

• origon suhteen)

ja vakiolla MN kertominen, mink¨ a j¨ alkeen taaksep¨ ainmuunnos voidaan to- teuttaa eteenp¨ ainmuunnoksella. 115

12.1 Jaksollisuus ja laajennetut sekvenssit (4.6.3)

Fourier-muunnoksen m¨ a¨ aritelm¨ a¨ an sis¨ altyy olettamus sekvenssien jaksollisu- udesta 2D-jaksolla (M, N). Koska todelliset kuvat eiv¨ at ole jaksollisia, Fourier- muunnosta k¨ aytett¨ ass¨ a tapahtuu kuvien reunoille virheellist¨ a p¨ a¨ allekk¨ aistymist¨ a. P¨ a¨ allekk¨ aistyminen voidaan est¨ a¨ a k¨ aytt¨ am¨ all¨ a laajennettuja sekvenssej¨ a fe(x, y) ja he(x, y), jotka muodostetaan jatkamalla alkuper¨ aisi¨ a A × B:n ja C × D:n pituisia sekvenssej¨ a f(x, y) ja h(x, y) nollilla siten, ett¨ a muodostuu P × Q- kokoiset kuvat, joille P ≥ A + C − 1 ja Q ≥ B + D − 1. fe(x, y) =

• f(x, y)

(x, y) ∈ [0, A − 1] × [0, B − 1] A ≤ x ≤ P ∨ B ≤ y ≤ Q he(x, y) =

• h(x, y)

(x, y) ∈ [0, C − 1] × [0, D − 1] C ≤ x ≤ P ∨ D ≤ y ≤ Q 116 Konvoluutio ja korrelaatio (4.6.4) f(x, y) ∗ h(x, y) = 1 MN

M−1

• m=0

N−1

• n=0

f(m, n) h(x − m, y − n) f(x, y) ◦ h(x, y) = 1 MN

M−1

• m=0

N−1

• n=0

f ∗(m, n) h(x + m, y + n) Konvoluutioteoreema kertoi siis, ett¨ a: f(x, y) ∗ h(x, y) ⇔ F(u, v) H(u, v) f(x, y) h(x, y) ⇔ F(u, v) ∗ H(u, v) Muutoin vastaava mutta ep¨ asymmetrinen tulos p¨ atee my¨

• s korrelaatiolle:

f(x, y) ◦ h(x, y) ⇔ F ∗(u, v) H(u, v) f ∗(x, y) h(x, y) ⇔ F(u, v) ◦ H(u, v) Jos suodatusmaski on symmetrinen ja reaalinen, konvoluutio ja korrelaatio yhtyv¨ at ja korrelaatiokin on symmetrinen. 117 Nopea Fourier-muunnos, FFT (4.6.6) 2D-Fourier-muunnos voidaan siis suorittaa tehokkaammin per¨ akk¨ aisin¨ a 1D-

• muunnoksina. Lis¨

aksi diskreetti Fourier-muunnos voidaan yksidimensioisessa tapauksessa j¨ arjest¨ a¨ a niin, ett¨ a laskennan m¨ a¨ ar¨ a v¨ ahenee M 2 − → M log2 M. Laskenta jaetaan rekursiivisesti osiin ja osia j¨ alleen yhdistett¨ aess¨ a huomioidaan, ett¨ a samaa laskentaa ei tarvitse suorittaa kahdesti. Perus-FFT toimii, kun M = 2n. FFT:n havainnollistamiseen k¨ aytet¨ a¨ an usein “perhoskaaviota”:

Fm(q) Fm+1(q) Fm+1(p)

• 1

wr

N

Fm(p)

FFT-muunnoksen j¨ alkeen tulosarvot ovat “bittik¨ a¨ anteisess¨ a” j¨ arjestyksess¨ a: 000 001 010 011 100 101 110 111 ← → 000 100 010 110 001 101 011 111 118 Spatiaalimaskin muodostus taajuusvasteesta (4.6.7) Pienten spatiaalimaskien k¨ aytt¨

• on nopeampaa ja helpompaa kuin taajuus-

alueessa prosessointi. Kuitenkin suodatus on usein intuitiivisempaa m¨ a¨ aritell¨ a

• taajuustasossa. Taajuustason suodatuksen H(u, v) toteuttamiseksi spatiaal-

itasossa tarvitaan periaatteessa koko kuvan kokoinen M × N-maski h(x, y): h(x, y) =

M−1

• u=0

N−1

• v=0

H(u, v) ej2π(ux/M+vy/N) Muodostetaan m×n-kokoinen ˆ h(x, y), joka approksimoi H(u, v):ta ˆ H(u, v):ll¨ a. ˆ h(x, y) =

M−1

• u=0

N−1

• v=0

ˆ H(u, v) ej2π(ux/M+vy/N) ˆ H(u, v) =

m−1

• x=0

n−1

• y=0

ˆ h(x, y) e−j2π(ux/M+vy/N) Teht¨ av¨ aksi j¨ a¨ a sovittaa H(u, v) ja ˆ H(u, v) toisiinsa, mik¨ a tehd¨ a¨ an neli¨

• virheen

mieless¨ a optimaalisesti vektori-matriisi-laskennalla ja pseudoinverssill¨ a. 119

13. Kuvien entist¨ aminen

13.1 Yleist¨ a entist¨ amisest¨ a (5)

Kuvien entist¨ amisess¨ a eli restauroinnissa (restoration) pyrit¨ a¨ an parantamaan kuvia mallittamalla virhett¨ a eli huonontumisprosessia, joka on pilannut ku-

• van. Huonontumisprosessin k¨

a¨ anteisprosessilla voidaan periaatteessa tuottaa l¨ ahes alkuper¨ aisen veroinen kuva.

• Entist¨

amismenetelm¨ at voivat toimia sek¨ a kuva- ett¨ a taajuustasossa.

• Optimoidaan jotain matemaattista estimointikriteeri¨

a.

• Entistysmenetelm¨

at ovat usein laskennallisesti raskaita.

• Kirjassa esitellyiss¨

a tapauksissa l¨ aht¨

• kohtana on digitoitu kuva.
• Voitaisiin korjailla my¨
• s kuvanottoa, digitointia ja n¨

aytteistyst¨ a.

• Kirjassa tarkastellaan enimm¨

akseen additiivista kohinaa. Entist¨ amistek- niikoita on my¨

• s monimutkaisemmille kohinoille.

15

120

SLIDE 16

13.2 Huonontumismalli (5.1)

Oletetaan seuraavanlainen huonontumismalli (degradation model):

f(x, y) H alkuperäinen kuva prosessi kohinalähde η(x, y) R huononnus- prosessi entistämis- entistetty kuva g(x, y) huonontunut kuva ˆ f(x, y)

Prosessi H oletetaan lineaariseksi ja paikkainvariantiksi, kohina η puolestaan korreloimattomaksi ja additiiviseksi. T¨ all¨

• in:

g(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y) + η(x, y) G(u, v) = H(u, v)F(u, v) + N(u, v) Jatkossa oletetaan aluksi, ett¨ a H = 1 ja tutkitaan vain pelk¨ an additiivisen kohinan vaikutusta. My¨

• hemmin tutkitaan my¨
• s huononnusprosessin siirto-

funktion approksimoimista ja kompensointia. 121

13.3 Kohinamalleja (5.2.2)

normaalijakauma p(z) =

1 √ 2πσe− (z−µ)2

2σ2

Erlang-jakauma p(z) = abzb−1

(b−1)! e−az

tasajakauma p(z) =

• 1

b−a

Rayleigh-jakauma p(z) =

• 2(z−a)

b

e− (z−a)2

b

eksponenttijakauma p(z) =

• ae−az

impulssikohina p(z) =      Pa Pb

122 Esimerkki erilaisista kohinoista (5.2.2) Voidaan havaita, ett¨ a vain impulssi- eli “suola ja pippuri”-kohina eroaa vi- suaalisesti muista kohinamalleista. My¨

• s eksponenttijakautunut kohina poikkeaa

muista hieman tuloskuvan yleisen tummuuden vuoksi. 123 Jaksollinen kohina (5.2.3) Kuvanotossa tai kun kuvia siirret¨ a¨ an anal-

• gisia siirtokanavia pitkin, niihin voi muo-

dostua interferenssin aiheuttamaa jaksol- lista kohinaa. Jaksollisen kohinan olemas- saolo on helpointa havaita ja sen omi- naisuuksia tutkia taajuustasossa. Esimerkkikuvaan on lis¨ atty nelj¨ a¨ a sinimuo- toista h¨ airi¨

• t¨

a, jotka n¨ akyv¨ at konjugaat- tisymmetrisin¨ a pistein¨ a Fourier-spektriss¨ a. My¨

• hemmin

esitet¨ a¨ an, kuinka t¨ am¨ an- kaltainen kohina poistetaan. 124 Kohinaparametrien estimointi (5.2.4) Joskus kohinan malli ja parametrit tunnetaan ennalta, esimerkiksi kuvanmuo- dostuslaitteen spesifikaatioista. Kohinan ominaisuuksia voidaan tutkia my¨

• s empiirisesti kuvia analysoimalla.

Parasta olisi, jos analysointia varten voitaisiin tuottaa kuvia tasaisesta ja tasaisesti valaistusta pinnasta. Jos se ei ole mahdollista, kohinan jakaumaa voidaan parhaiten analysoida mahdollisimman tasaharmaista kuva-alueista. Havaittua kohinan harmaa-arvohistogrammia voidaan sovittaa malleihin es-

• im. suurimman uskottavuuden menetelm¨

all¨ a tai momenttimenetelm¨ all¨ a ko- hinaparametrej¨ a estimoiden. 125

13.4 Spatiaalitasossa entist¨ aminen (5.3)

Jos kuvan huonontuminen johtuu pelk¨ ast¨ a additiivisesta kohinasta, entistys

• n helpointa spatiaalitasossa. Jos kohina on jaksollista tai huonontumismalli

sis¨ alt¨ a¨ a aidon huonontumisprosessin, entistys on helpointa taajuustasossa. Kohinaa voidaan spatiaalitasossa poistaa keskiarvoistamalla. Paitsi aritmeet- tista (so. lineaarista) keskiarvoa voidaan k¨ aytt¨ a¨ a my¨

• s muita muotoiluja:

aritmeettinen keskiarvo ˆ f(x, y) = 1 mn

• (s,t)∈Sxy

g(s, t) geometrinen keskiarvo ˆ f(x, y) =  

• (s,t)∈Sxy

g(s, t)  

1 mn

harmoninen keskiarvo ˆ f(x, y) = mn

• (s,t)∈Sxy

1 g(s,t)

kontraharmoninen keskiarvo ˆ f(x, y) =

• (s,t)∈Sxy g(s, t)Q+1
• (s,t)∈Sxy g(s, t)Q

126 Keskiarvoistaminen, esimerkkej¨ a (5.3.1) alkuper¨ ainen gaussista kohinaa pippurikohinaa suolakohinaa aritmeettinen ka. geometrinen ka. Q = 1.5 Q = −1.5 127 J¨ arjestysfunktioon perustuvat entistykset (5.3.2) Ep¨ alineaarisista kohinanpoistoista t¨ arkeimpi¨ a ovat erilaiset j¨ arjestysfunktioon perustuvat suodatukset.

mediaani ˆ f(x, y) = median

(s,t)∈Sxy

g(s, t) maksimiarvo ˆ f(x, y) = max

(s,t)∈Sxy

g(s, t) minimiarvo ˆ f(x, y) = min

(s,t)∈Sxy

g(s, t) keskipiste ˆ f(x, y) = 1 2

• max

(s,t)∈Sxy

g(s, t) + min

(s,t)∈Sxy

g(s, t)

• alfa-s¨

a¨ adetty keskiarvo ˆ f(x, y) = 1 mn − d

• (s,t)∈Sxy

gr(s, t)

16

128

SLIDE 17

J¨ arjestysfunktio entistyksess¨ a, esimerkkej¨ a (5.3.2) suolaa ja pippuria mediaanisuodatus

• 2. mediaanisuodatus
• 3. mediaanisuodatus

129

13.5 Adaptiivinen suodatus (5.3.3)

Kohinaa voidaan poistaa tehokkaasti adaptiivisella suodatuksella, joka mukau- tuu kuvan paikallisiin ominaisuuksiin. Siten voidaan saavuttaa hyv¨ a kohi- nanvaimennus tasaisilla pinnoilla ilman, ett¨ a yksityiskohdat sumenevat vai- htelevilla alueilla. Paikallinen kohinanpoistosuodatin (5.3.3) S¨ a¨ adet¨ a¨ an lineaarista keskiarvosuodatusta siten, ett¨ a tulosarvo on alkuper¨ aisen pikseliarvon ja sen ymp¨ arist¨

• keskiarvon v¨

alilt¨

• a. S¨

a¨ at¨

• perustuu koko kuvan

ja paikallisen alueen kohinavarianssien suhteeseen, mik¨ a suosii vaihtelevilla alueilla alkuper¨ aist¨ a ja tasaisilla keskiarvoistettua arvoa. ˆ f(x, y) = (1 − σ2

η

σ2

L

)g(x, y) + σ2

η

σ2

L

mL = g(x, y) − σ2

η

σ2

L

[g(x, y) − mL] 130 Paikallinen kohinanpoistosuodatin, esimerkki (5.3.3) gaussinen kohina aritmeettinen keskikarvo geometrinen keskiarvo adaptiivinen kohinanpoisto 131 Adaptiivinen mediaanisuodatus (5.3.3) Mediaanisuodatusmaskin kokoa s¨ a¨ adet¨ a¨ an riippuen maskin alle j¨ a¨ av¨ an ku- vanosan ominaisuuksista. Maskia kasvatetaan, jos zmed = zmin tai zmed = zmax, jotta zmed:ksi saadaan impulssikohinasta vapaa arvo. Jos lopuksi zxy = zmin tai zxy = zmax, k¨ aytet¨ a¨ an zmed tulosarvona, muutoin zxy. impulssikohinaa 7×7-mediaani adaptiivinen, Smax = 7. 132

13.6 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa (5.4)

Aiemmin todettiin, ett¨ a kuviin saattaa esim. interferenssin vaikutuksesta syn- ty¨ a jaksollista kohinaa. Jos kohinan aiheuttamat piikit sijaitsevat taajuusta- sossa origokeskisell¨ a ympyr¨ akeh¨ all¨ a, kohina voidaan poistaa kaistanestosuo- timella. ideaalinen H(u, v) =      1 jos D(u, v) < D0 − W

2

jos |D(u, v) − D0| ≤ W

2

1 jos D(u, v) > D0 + W

2

Butterworth H(u, v) = 1 1 +

• D(u,v)W

D2(u,v)−D2

2n gaussinen H(u, v) = 1 − e

− 1

2

»

D2(u,v)−D2 D(u,v)W

–2

133 Jaksollisen kohinan poisto,esimerkki (5.4) jaksollista kohinaa lis¨ atty taajuusspektri kaistanestosuodin suodatustulos 134 Kaistanp¨ a¨ ast¨

• suodatus (5.4.2)

Kutakin kaistanestosuodinta vastaava kaistanp¨ a¨ ast¨

• suodin saadaan kaavas-

ta: Hbp(u, v) = 1 − Hbr(u, v) Kaistanp¨ a¨ ast¨

• ¨

a tarvitaan harvoin. Notch-suotimet (5.4.3) Ideaalisesta, Butterworth- ja gaussisesta suotimesta voidaan kustakin muokana

• ns. notch-suotimia, joilla voidaan est¨

a¨ a tai p¨ a¨ ast¨ a¨ a tietty taajuusalue, jonka ei tarvitse sijaita Fourier-tason origossa. Notch-suotimet ovat aina origosym- metrisi¨ a. Notch-p¨ a¨ ast¨

• - ja estosuotimien v¨

alill¨ a vallitsee yhteys: Hnp(u, v) = 1 − Hnr(u, v) 135 Notch-suotimet, esimerkki (5.4.3) taajuusspektri p¨ a¨ astetty kohina notch-suodin estetty kohina

17

136

SLIDE 18

Optimaalinen notch-suodatus (5.4.4) Usein interferenssi ei kuitenkaan ole niin s¨ a¨ ann¨

• llist¨

a, ett¨ a se voitaisiin poistaa kerralla koko kuvasta. T¨ all¨

• in voidaan k¨

aytt¨ a¨ a mallia, jossa painotusfunkti-

• lla w(x, y) s¨

a¨ adell¨ a¨ an, kuinka paljon estimoitua interferenssikuvaa kussakin pikseliss¨ a v¨ ahennet¨ a¨ an huonontuneesta kuvasta: ˆ f(x, y) = g(x, y) − w(x, y)η(x, y) η(x, y) on taajuustason kohinahuipuista notch-p¨ a¨ ast¨

• suotimella estimoitu in-
• terferenssikuvio. w(x, y) valitaan pisteitt¨

ain siten, ett¨ a (x, y)-pisteiden m¨ a¨ ar¨ a- tyss¨ a ymp¨ arist¨

• ss¨

a ˆ f(x, y):n varianssi minimoituu. w(x, y) = g(x, y)η(x, y) − g(x, y)η(x, y) η2(x, y) − η2(x, y) Kerroin w(x, y) voidaan ratkaista kullekin pisteelle erikseen tai pit¨ a¨ a se vakiona toisiaan peitt¨ am¨ att¨

• miss¨

a alueissa. 137 Optimaalinen notch-suodatus, esimerkki (5.4.4) Kyseess¨ a on todellinen kuva eik¨ a keinotekoisesti lis¨ atty jaksollinen kohina kuten aiemmin. alkutilanne taajuusspektri entistystulos 138

13.7 Lineaarinen paikkainvariantti huonontumisprosessi

(5.5) Tutkitaan huonontumismallia l¨ ahemmin. g(x, y) = H[f(x, y)] + η(x, y) Oletetaan nyt ensiksi, ett¨ a kohinaa η(x, y) ei ole. Mik¨ ali H[·] on lineaarinen, niin H[af1(x, y) + bf2(x, y)] = aH[f1(x, y)] + bH[f2(x, y)] Lineaarinen operaattori on siis ensiksikin additiivinen: H[f1(x, y) + f2(x, y)] = H[f1(x, y)] + H[f2(x, y)] ja lis¨ aksi homogeeninen: H[af1(x, y)] = aH[f1(x, y)] 139 Operaattori H, jolle H[f(x, y)] = g(x, y) on paikka- eli avaruusinvariantti, jos H[f(x − α, y − β)] = g(x − α, y − β) kaikille kuville f(x, y) ja siirtymille (α, β). T¨ all¨

• in mielivaltaisen kuvapisteen

vaste riippuu vain kuvapisteiden arvoista, ei pisteen paikasta. Jatkuva-arvoinen f(x, y) voidaan lausua impulssifunktion integraalin avulla: f(x, y) = ∞

−∞

∞

−∞

f(α, β)δ(x − α, y − β) dαdβ Siten kohinattomassa tilanteessa: g(x, y) = H[f(x, y)] = H ∞

−∞

∞

−∞

f(α, β)δ(x − α, y − β) dαdβ

• =

∞

−∞

∞

−∞

H[f(α, β)δ(x − α, y − β)] dαdβ = ∞

−∞

∞

−∞

f(α, β)H[δ(x − α, y − β)] dαdβ 140 Merkitsem¨ all¨ a impulssivastetta eli pisteenlevi¨ amisfunktiota h(x, α, y, β) = H[δ(x − α, y − β)] saadaan: g(x, y) = ∞

−∞

∞

−∞

f(α, β)h(x, α, y, β) dαdβ = ∞

−∞

∞

−∞

f(α, β)h(x − α, y − β) dαdβ Ensimm¨ ainen integraali on ns. superpositio- eli Fredholm-integraali. H:n paikkainvarianssin H[δ(x − α, y − β)] = h(x − α, y − β) perusteella on saatu j¨ alkimm¨ ainen konvoluutiointegraali. Additiivinen kohina η(x, y) voidaan lis¨ at¨ a mukaan: g(x, y) = H[f(x, y)] + η(x, y) = ∞

−∞

∞

−∞

f(α, β)h(x − α, y − β) dαdβ + η(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y) + η(x, y) G(u, v) = H(u, v)F(u, v) + N(u, v) 141

13.8 Huononnusfunktion estimointi (5.6)

Huononnusfunktio H[·] voidaan estimoida g(x, y):n dekonvoluutiota varten:

• havainnoista
• kokeilemalla
• matemaattisesta mallista

Huononnusfunktion estimointi havainnoista (5.6.1) Otetaan kuvasta voimakkaan signaalin alueelta pala gs(x, y), jonka ideaalista muotoa mallitetaan ˆ fs(x, y):ll¨

• a. T¨

all¨

• in:

Hs(u, v) = Gs(u, v) ˆ Fs(u, v) Hs(u, v):t¨ a k¨ aytet¨ a¨ an sitten H(u, v):n estimaattina. 142 Huononnusfunktion estimointi kokeilemalla (5.6.2) Kuvataan mahdollisimman pient¨ a kirkasta pistett¨ a, jolloin kuvassa n¨ ahd¨ a¨ an pisteenlevi¨ amisfunktio g(x, y) suoraan ja H(u, v) = G(u, v) A Huononnusfunktion estimointi mallista (5.6.3)

• Esim. ilmakeh¨

an turbulenssin tuottamaa huonontumista voidaan mallittaa: H(u, v) = e−k(u2+v2)5/6 k ≈ 0 k = 0.00025 k = 0.001 k = 0.0025 143 Tasaisen lineaarisen liikevirheen korjaaminen (5.6.3) Yleisesti “t¨ ar¨ aht¨ aneen” kuvan g(x, y) syntyminen “puhtaasta” kuvasta f(x, y) voidaan mallintaa, kun tunnetaan aikariippuvat x- ja y-suuntaiset liikekom- ponentit x0(t) ja y0(t) ja “valotusaika” T: g(x, y) = T f

• x − x0(t), y − y0(t)
• dt

Sen Fourier-muunnos on: G(u, v) = ∞

−∞

g(x, y)e−j2π(ux+vy) dx dy = ∞

−∞

T f

• x − x0(t), y − y0(t)
• dt
• e−j2π(ux+vy) dx dy

= T ∞

−∞

f

• x − x0(t), y − y0(t)
• e−j2π(ux+vy) dx dy dt

18

144

SLIDE 19

Ja edelleen: G(u, v) = T F(u, v) e−j2π [ux0(t)+vy0(t)] dt = F(u, v) T e−j2π [ux0(t)+vy0(t)] dt kun merkit¨ a¨ an H(u, v) = T e−j2π [ux0(t)+vy0(t)] dt niin G(u, v) = H(u, v)F(u, v) Joten, jos liikefunktiot x0(t) ja y0(t) tunnetaan, siirtofunktio H(u, v) voidaan m¨ a¨ ar¨ at¨ a. 145 Liikevirheen korjaaminen, esimerkki (5.6.3) Tasainen lineaarinen liike vain x-suunnassa: x0(t) = at/T, y0(t) = 0. H(u, v) = T e−j2πuat/T dt = T πua sin(πua) e−jπua N¨ ahd¨ a¨ an, ett¨ a H(u, v) h¨ avi¨ a¨ a, kun u = n/a, miss¨ a n on kokonaisluku. 146

13.9 K¨ a¨ anteissuodatus (5.7)

K¨ a¨ anteissuodatus (inverse filtering) on tyyppiesimerkki ns. pakottamattomas- ta kuvanentistyksest¨ a. K¨ a¨ anteissuodatus kirjoitetaan Fourier-tasossa: ˆ F(u, v) = G(u, v) H(u, v) Sijoittamalla G(u, v):hen saadaan: ˆ F(u, v) = G(u, v) H(u, v) = H(u, v)F(u, v) + N(u, v) H(u, v) = F(u, v) + N(u, v) H(u, v) L¨ ahell¨ a H(u, v):n nollakohtia kohina vahvistuu huomattavasti ja N(u,v)

H(u,v)-termi

dominoi entistystuloksessa. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a H(u, v) vaimenee nopeammin kuin N(u, v) et¨ aisyyden kasvaessa (u, v)-tason origosta. Siten j¨ arkevi¨ a tuloksia saadaan k¨ a¨ anteissuotimella vain rajoitetulla alueella l¨ ahell¨ a origoa. 147 K¨ a¨ anteissuodatus, esimerkki (5.7) koko H r = 40 r = 70 r = 85 148

13.10 Wiener-suodatus (5.8)

Wiener-suodatus on tyyppiesimerkki ns. pakotetusta kuvanentistyksest¨

• a. Se

pyrkii minimoimaan f:n ja ˆ f:n v¨ alist¨ a neli¨

• llist¨

a virhett¨ a e2 = E[(f − ˆ f)2]. Wiener-suodatus lausutaan Fourier-tasossa: ˆ F(u, v) = H∗(u, v) |H(u, v)|2 + γSη(u, v)/Sf(u, v)G(u, v) = 1 H(u, v) |H(u, v)|2 |H(u, v)|2 + γSη(u, v)/Sf(u, v)G(u, v) Sη(u, v) ja Sf(u, v) ovat kohinan ja kuvan tehospektrit, vakio γ Wiener- suodatuksen parametri, jolla voidaan vaikuttaa entistystulokseen. Wiener- suodatus redusoituu k¨ a¨ anteissuodatukseksi kohinattomassa tapauksessa tai kun γ = 0. Arvolla γ = 1 Wiener-suodatus on e2:n mieless¨ a optimaalinen. Jos Sf(u, v) ja Sη(u, v) ei tunneta tarkasti, Wiener-suodatus voi olla k¨ aytt¨

• kelpoinen, kun γ ja tehospektrien suhde korvataan vakiolla K:

ˆ F(u, v) = 1 H(u, v) |H(u, v)|2 |H(u, v)|2 + K G(u, v) 149 Wiener-suodatus, esimerkki (5.7) k¨ a¨ anteissuodatus rajoitettu k¨ a¨ ant.suod. Wiener-suodatus 150 Wiener-suodatus, toinen esimerkki (5.7) kohinainen kuva k¨ a¨ anteissuod. Wiener-suodatettu 151

13.11 Pakotettu pienimm¨ an neli¨

• virheen entistys (5.9)

Wiener-suodatus perustuu kohinan korrelaatiomatriisiin ja on optimaalinen vain keskiarvon mieless¨

• a. Nyt esitett¨

av¨ a entistysmenetelm¨ a on optimaalinen annetulle kuvalle, kun kohinan keskiarvo ja varianssi oletetaan tunnetuiksi. Optimoitava kriteeri on kuvan tasaisuus, koska additiivinen kohina yleisesti tekee kuvan ep¨ atasaiseksi tai rakeiseksi. Kuvan tasaisuutta mallitetaan kuvafunktion toisen derivaatan, so. diskreetin Laplace-operaattorin, neli¨

• llisell¨

a minimoinnilla. Merkit¨ a¨ an: min! C =

M−1

• x=0

N−1

• y=0
• ∇2 ˆ

f(x, y) 2 ja p(x, y) =   −1 −1 4 −1 −1   Optimoinnin ratkaisu on t¨ all¨

• in:

ˆ F(u, v) = H∗(u, v) |H(u, v)|2 + γ|P(u, v)|2G(u, v)

19

152

SLIDE 20

Lagrangen kertoimelle γ valitaan arvo joko visuaalisesti tai iteraatiolla, joka l¨

• yt¨

a¨ a pakotteen g − H f2 = η2 toteuttavan arvon. · 2 on euklidinen normi. g, f ja η ovat MN × 1-kokoisia kuvavektore- ita, H on MN × MN-kokoinen huononnusmatriisi, joille voidaan aiempia merkint¨

• j¨

a vastaavasti lausua: G(u, v) = H(u, v)F(u, v) + N(u, v) g(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y) + η(x, y) g = Hf + η 153

13.12 Yhteenveto entistyksest¨ a taajuusalueessa (5.7–11)

Pakottamattomassa entistyksess¨ a (unconstrained restoration) ei tunneta g:n ja H:n lis¨ aksi muita muuttujia. Estimoidaan ˆ f:¨ a¨ a siten, ett¨ a tuloksena saata- va kohinan η varianssi minimoituu. Pakotetussa entistyksess¨ a (constrained restoration) ei tyydyt¨ a vain mini- moimaan kohinatermin normia vaan lis¨ aksi minimoidaan tunnetun lineaarisen

• peraattorin m¨

a¨ ar¨ a¨ am¨ a¨ a virhekriteeri¨

• a. Valitsemalla virhekriteeri eri tavoin

saadaan erilaisia huonontumismallin kanssa yhteensopivia ratkaisuja. Kaikki esitetyt ratkaisut olivat muotoa: ˆ F(u, v) = H∗(u, v) |H(u, v)|2 + X(u, v)G(u, v)

• k¨

a¨ anteissuodatuksessa X(u, v) = 0.

• Wiener-suodatuksessa X(u, v) = γSη(u, v)/Sf(u, v) tai K.
• pienimm¨

an neli¨

• virheen entistyksess¨

a X(u, v) = γ|P(u, v)|2. 154

13.13 Geometriset muunnokset (5.11)

Geometriset muunnokset eroavat perusteiltaan aiemmista entist¨ amisongelmista. Kun aiemmissa tapauksissa v¨ a¨ aristym¨ a oli tullut kuvan pikseleiden harmaa- arvoihin, geometrisia muunnoksia tarvitaan tilanteissa, joissa v¨ a¨ aristym¨ a on vaikuttanut kuvapikseleiden xy-koordinaatteihin. Geometrisista muunnoksista kutsutaan joskus nimell¨ a kumiarkkimuunnokset. Muunnos toteutetaan normaalisti kahdessa vaiheessa:

• spatiaalimuunnos koordinaattiparien v¨

alill¨ a

• harmaa-arvomuunnos pikseleiden v¨

alill¨ a Voidaan kuvitella tilanne, jossa geometrinen muunnos voitaisiin m¨ a¨ aritell¨ a analyyttisesti koko kuva-alalle. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a kuitenkin muunnos toteutetaan joidenkin kuvasta l¨

• ydett¨

avien tunnettujen solmu- eli kiintopisteiden (tie- point) rajaamissa kolmi- tai nelikulmioissa. 155 Geometrinen spatiaalimuunnos (5.11.1) f g Olkoon alkuper¨ aisen kuvan f koordinaatit (x, y) ja vastaavat v¨ a¨ aristyneen kuvan g koordinaatit (ˆ x, ˆ y). Geometrinen v¨ a¨ aristym¨ a lausutaan: ˆ x = r(x, y) ˆ y = s(x, y) r(x, y):n ja s(x, y):n parametrinen muoto t¨ aytyy valita siten, ett¨ a tarvittavat parametrit voidaan estimoida havaittavista kiintopisteist¨ a. 156 Jos sovitus perustuu nelj¨ an kiintopisteen k¨ aytt¨

• ¨
• n, muodostuu nelj¨

a samanaikaista yht¨ al¨

• ¨

a, joista voidaan ratkaista nelj¨ a tuntematonta ˆ x:n parametria ja yht¨ a monta ˆ y:n parametria. Tyypillisesti k¨ aytet¨ a¨ an bilineaarista yht¨ al¨

• muotoa:

ˆ x = r(x, y) = c1x + c2y + c3xy + c4 ˆ y = s(x, y) = c5x + c6y + c7xy + c8 Muunnos kuvaa kiintopisteet f-kuvasta g-kuvaan ja interpoloi bilineaaris- esti kiintopisteiden v¨ alisess¨ a alueessa. Muunnos ratkaistaan erikseen kaikille kiintopistenelikoille. Jokaiselle f:n diskreetille (x, y)-pisteelle l¨

• ydet¨

a¨ an g-kuvassa (ˆ x, ˆ y)-vastinpiste, miss¨ a ˆ x ja ˆ y eiv¨ at ole kokonaislukuja. 157 Geometrinen harmaa-arvomuunnos (5.11.2) Geometrisella harmaa-arvomuunnoksella tuotetaan f:n jokaiselle diskreetille (x, y)-pisteelle harmaa-arvo sen (ˆ x, ˆ y)-vastinpisteen avulla g-kuvasta. (ˆ x, ˆ y) sijaitsee aina g-kuvan nelj¨ an diskreetin pikselin v¨ alill¨

• a. Koska n¨

aiden nelj¨ an pikselin harmaa-arvot tunnetaan, voidaan (ˆ x, ˆ y):n ja siten edelleen en- tis¨

• it¨

av¨ an f-kuvan (x, y)-pisteen harmaa-arvo jollakin tavoin approksimoida. Yksinkertaisin menetelm¨ a on nollannen asteen interpolointi eli py¨

• rist¨

aminen l¨ ahimp¨ a¨ an kokonaislukupikseliin. Se on laskennallisesti kevyt, mutta johtaa helposti ruudukkoisuuteen ja muihin v¨ a¨ aristymiin tuloskuvassa. Jos halutaan k¨ aytt¨ a¨ a kaikkien nelj¨ an naapuripikselin sis¨ alt¨ am¨ a informaatio hyv¨ aksi, p¨ a¨ adyt¨ a¨ an taas bilineaariseen interpolaatioon: v(ˆ x, ˆ y) = aˆ x + bˆ y + cˆ xˆ y + d miss¨ a v(ˆ x, ˆ y) on (ˆ x, ˆ y):n harmaa-arvo. Kertoimet a, b, c ja d voidaan ratkaista nelj¨ ast¨ a samanaikaisesta yht¨ al¨

• st¨

a sijoittamalla nelj¨ an naapuripikselin tunnetut koordinaatit ja harmaa-arvot. 158 Vastaavasta menetelm¨ ast¨ a resoluutiomuutoksessa k¨ aytet¨ a¨ an usein nimityst¨ a anti-aliasing-suodatus. Paitsi nelj¨ a¨ a naapuripikseli¨ a, voitaisiin k¨ aytt¨ a¨ a my¨

• s esim. 16 naapuria. Lasken-

ta on t¨ all¨

• in luonnollisesti raskaampaa, mutta harmaa-arvojen jatkuvuus ku-

vapikselien v¨ alill¨ a vastaavasti parempi. Muita sovelluskohteita geometriselle muunnokselle:

• kuvien rekister¨
• inti: sovitetaan yhteen samaa n¨

akym¨ a¨ a eri kuvakul- mista esitt¨ avi¨ a kuvia, esim. satelliittikuvat.

• karttaprojektiot ym. kaukokartoitukseen liittyv¨

at sovellukset. 159

14. Morfologiaa

• binaarikuvien loogista k¨

asittely¨ a, yleistyksi¨ a harmaas¨ avykuviin

• kuvaa k¨

asitell¨ a¨ an pistejoukkona Morfologian k¨ aytt¨

• kohteita:
• esik¨

asittely: kohinanpoisto

• muodon korostaminen
• kohteiden kvalitatiivinen kuvaaminen

Morfologisia operaatioita:

• dilaatio & eroosio
• avaus & sulkeminen
• hit-or-miss
• ohennus & paksunnus
• ehdolliset operaatiot

20

160

SLIDE 21

14.1 K¨ asitteit¨ a ja operaatioita (9.1.1)

• perusjoukko periaatteessa euklidinen 2-ulotteinen avaruus
• diskreettien pisteiden joukko Z2
• origo / referenssipiste
• kuuluu joukkoon ∈, osajoukko ⊆, ⊇, leikkaus ∩, yhdiste ∪
• tyhj¨

a joukko ∅, komplementti ()C, erotus A − B = A ∩ BC

• symmetrinen joukko eli transpoosi eli reflektio eli peilaus
• B = {w | w = −b , kun b ∈ B}
• translaatio eli siirto

(A)z = {c | c = a + z , kun a ∈ A} 161

14.2 Dilaatio ⊕ (t¨ aytt¨

• , kasvatus) (9.2.1)
• kasvattaa kuvaa, t¨

aytt¨ a¨ a aukkoja

• A on dilatoitava joukko, B dilaation rakenne-elementti

A ⊕ B = {z | ( B)z ∩ A = ∅} = {w ∈ Z2 | w = a + b , joillekin a ∈ A ja b ∈ B} =

• b∈B

(A)b

• rinnastuu konvoluutioon, molemmissa rakenne-elementti k¨

a¨ antyy ymp¨ ari

• ❅

❅

• ❅

❅

• ❅

❅

162 Esimerkki dilaatiosta (9.2.1) 163

14.3 Eroosio ⊖ (pienennys) (9.2.2)

• pienent¨

a¨ a kuvaa, poistaa yksityiskohtia A ⊖ B = {z | (B)z ⊆ A} = {w ∈ Z2 | w + b ∈ A , kaikille b ∈ B} =

• b∈B

(A)−b

• ❅

❅

• ❅

❅

• ❅

❅

164 Dilaation ja eroosion duaalisuus (9.2.2) Oikeastaan dilaatiossa ja erosoosiossa on kyse yhdest¨ a ja samasta asiasta, vain “kohteen” ja “taustan” roolit vaihtuvat: (A ⊖ B)C = AC ⊕ B = {z | (B)z ⊆ A}C = {z | (B)z ∩ AC = ∅}C = {z | (B)z ∩ AC = ∅} = AC ⊕ B , m.o.t. 165

14.4 Avaus ◦ ja sulkeminen • (9.3)

• dilaation ja eroosion yhdistelmi¨

a

• irrallisten pisteiden poisto voidaan tehd¨

a avauksella

• reikien ja katkosten paikkaaminen voidaan tehd¨

a sulkemisella

• A ◦ B = (A ⊖ B) ⊕ B ⊆ A

A • B = (A ⊕ B) ⊖ B ⊇ A

• A ◦ B = {(B)z | (B)z ⊆ A}
• operaatiot ovat toistensa duaaleja: (A • B)C = AC ◦

B

• avauksen ja sulkemisen idempotenttisuus

A ◦ B = (A ◦ B) ◦ B A • B = (A • B) • B

• voidaan sanoa A:n olevan avoin / suljettu B:n suhteen

166 Esimerkki avauksesta (9.2) alkuper¨ ainen eroosion j¨ alkeen dilaation j¨ alkeen 167 Esimerkki per¨ akk¨ aisest¨ a avauksesta ja sulkemisesta (9.2)

21

168

SLIDE 22

14.5 Reunan erottaminen (9.5.1)

Kappaleen A reunapikselit (sopivan rakenne-elementin B mieless¨ a) voidaan erottaa: β(A) = A − (A ⊖ B) 169

14.6 Alueen t¨ aytt¨ aminen (9.5.2)

“Ontto” kappale A voidaan t¨ aytt¨ a¨ a (sopivan rakenne-elementin B mieless¨ a) l¨ ahtien sen sis¨ alt¨ a l¨

• ytyv¨

ast¨ a aloitus- eli siemenpisteest¨ a p ∈ AC: X0 = {p} Xk = (Xk−1 ⊕ B) ∩ AC , k = 1, 2, 3, . . . Xk = Xk−1 = ⇒ lopetus 170

14.7 Yhten¨ aisten komponenttien erottaminen (9.5.3)

Alueen A yhten¨ aiset komponentit Yi (sopivan rakenne-elementin B mieless¨ a) voidaan erottaa l¨ ahtien komponenttiin kuuluvasta siemenpisteest¨ a pi ∈ Yi: X0 = {p} Xk = (Xk−1 ⊕ B) ∩ A , k = 1, 2, 3, . . . Xk = Xk−1 = ⇒ lopetus 171

14.8 Osuma-tai-huti (hit-or-miss) ⊛ (9.4)

• yhdistetty rakenne-elementti on j¨

arjestetty pari B = (B1, B2)

• A ⊛ B = (A ⊖ B1) ∩ (AC ⊖ B2) = (A ⊖ B1) − (A ⊕

B2)

14.9 Ohennus ⊗ (9.5.5)

Kappaleen A ohennus yhdelt¨ a reunaltaan yhdistetyll¨ a rakenne-elementill¨ a B: A ⊗ B = A − (A ⊛ B) = A ∩ (A ⊛ B)C Kaikkiin suuntiin vaikuttava ohennus syntyy rakenne-elementtisarjalla (eli Golay-aakkostolla) {B} = {B1, B2, . . . , Bn}: A ⊗ {B} = ((· · · ((A ⊗ B1) ⊗ B2) · · · ) ⊗ Bn) 172

14.10 Paksunnus ⊙ (9.5.6)

Alueen A paksunnus yhdelt¨ a reunaltaan yhdistetyll¨ a rakenne-elementill¨ a B: A ⊙ B = A ∪ (A ⊛ B) Kaikkiin suuntiin vaikuttava paksunnus syntyy rakenne-elementtisarjalla {B}: A ⊙ {B} = ((· · · ((A ⊙ B1) ⊙ B2) · · · ) ⊙ Bn) Ohennus ja paksunnus ovat toistensa duaaleja: (A ⊙ B)C = AC ⊗ B∗, B∗ = (B2, B1) 173

14.11 Golay-aakkosia (9.5.5-6)

• ohennus L-elementill¨

a (4-naapurein)

L(1) = 2 4 ∗ 1 ∗ 1 1 1 3 5 , L(2) = 2 4 ∗ ∗ 1 1 1 1 ∗ 3 5 , · · ·

• ohennus E-elementill¨

a (4-naapurein)

E(1) = 2 4 ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ 3 5 , E(2) = 2 4 ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ 3 5 , · · ·

• ohennus M-elementill¨

a (4-naapurein)

M(1) = 2 4 ∗ ∗ ∗ 1 ∗ 1 1 1 3 5 , M(2) = 2 4 ∗ ∗ 1 1 1 1 ∗ 3 5 , · · ·

• ohennus D- ja paksunnus D∗-elementill¨

a (4-naapurein)

D(1) = 2 4 ∗ ∗ 1 1 ∗ ∗ 3 5 , D(2) = 2 4 ∗ 1 1 ∗ 1 1 3 5 , · · ·

• paksunnus C-elementill¨

a (4-naapurein)

C(1) = 2 4 1 1 ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 3 5 , C(2) = 2 4 ∗ 1 1 ∗ 1 ∗ ∗ ∗ 3 5 , · · ·

174 Esimerkki ohennuksesta (9.5.5) 175 Esimerkki paksunnuksesta (9.5.6) Paksunnus voidaan toteuttaa komplementin ohennuksen komplementilla:

22

176

SLIDE 23

15. Aallokkeet ja moniresoluutiok¨ asittely

Fourier-muunnosta joissakin tapauksissa parempi menetelm¨ a kuva-analyysiss¨ a

• vat aallokkeet (wavelets). Ne ilmaisevat paitsi taajuussis¨

alt¨

• ¨

a my¨

• s tietyn

taajuisten rakenteiden sijaintia kuvassa. Yksi aallokkeiden sovelluskohde on kuvien moniresoluutiok¨ asittely, jossa samaa kuvaa tutkitaan useissa eri ko’oissa.

15.1 K¨ asitteit¨ a ja apuv¨ alineit¨ a (7.1)

Esimerkeiss¨ a tutkitaan oheista kuvaa, jossa eri kohdissa esiintyy hyvinkin eri- laisia harmaa-arvojakaumia ja taajuus- sis¨ alt¨

• j¨

a. 177 Kuvapyramidit (7.1.1) Kuvapyramidit ovat klassinen l¨ ahestymistapa moniresoluutiok¨

• asittelyyn. Ni-

iss¨ a alkuper¨ aist¨ a kuvaa tyypillisesti alip¨ a¨ ast¨

• suodatetaan ja alin¨

aytteistet¨ a¨ an (desimoidaan) siten, ett¨ a nelj¨ ast¨ a alkuper¨ aisest¨ a pikselist¨ a muodostuu yksi pikseli alemman resoluution kuvaan. N 2-kokoisesta (N = 2J) kuvasta muo- dostetussa P +1-tasoisessa pyramidissa

• n kaikkiaan pikseleit¨

a N 2

• 1 + 1

4 + 1 42 + · · · + 1 4P

• ≤ 4

3N 2 178 Esimerkki kuvapyramidista (7.1.1) Approksimaatiopyramidi (gaussinen alip¨ a¨ ast¨

• , alin¨

aytteistys) Ennustusvirhepyramidi (ylin¨ aytteistys, interpolointi, Laplace-erotuskuva) 179 Alikaistakoodaus (7.1.2) Tutkitaan menetelm¨ a¨ a, jossa signaali jaetaan kahteen alikaistaan, joista toinen sis¨ alt¨ a¨ a signaalin pieni- ja toinen suuritaajuiset komponentit. Yksidimensioinen diskreetti sy¨

• tesig-

naali

• n

x(n) ja alikaistat muo- dostavien analyysisuodinten impulssi- vasteet h0(n) (alataajuudet) ja h1(n) (yl¨ ataajuudet). Molempia suodatustu- loksia alin¨ aytteistet¨ a¨ an siten, ett¨ a vain joka toinen n¨ ayte s¨ ailytet¨ a¨ an, jolloin saadaan signaalit y0(n) ja y1(n). Alkuper¨ ainen signaali pyrit¨ a¨ an rekons- truoimaan ylin¨ aytteist¨ am¨ all¨ a y0(n) ja y1(n) kertoimella kaksi ja suodattamal- la tulokset impulssivasteilla g0(n) ja g1(n), mink¨ a j¨ alkeen suodatustulokset summataan ˆ x(n):ksi. 180 Alikaistojen Z-muunnos (7.1.2) Alikaistakoodaus on helpointa ymm¨ art¨ a¨ a Z-muunnoksen avulla. X(z) =

∞

• n=−∞

x(n)z−n T¨ all¨

• in

xdown(n) = x(2n) ⇐ ⇒ Xdown(z) = 1 2

• X(z1/2) + X(−z1/2)
• xup(n) =
• x(n/2)

n = 0, 2, 4, . . . muulloin ⇐ ⇒ Xup(z) = X(z2)

x(n):n per¨ akk¨ ainen ali- ja ylin¨ aytteistys tuottaa Z-tasossa

• X(z) = 1

2 [X(z) + X(−z)] Koko analyysi–synteesi-prosessi on t¨ all¨

• in:
• X(z) = 1

2G0(z) [H0(z)X(z) + H0(−z)X(−z)]+ 1 2G1(z) [H1(z)X(z) + H1(−z)X(−z)]

181 Jotta X(z) = X(z) toteutuisi, on oltava: H0(−z)G0(z) + H1(−z)G1(z)= 0 H0(z)G0(z) + H1(z)G1(z) = 2 Synteesisuotimet g0(n) ja g1(n) voidaan siten ratkaista, kun analyysisuotimet h0(n) ja h1(n) tunnetaan (tai p¨ ainvastoin): g0(n) = (−1)n h1(n) g1(n) = (−1)n+1h0(n) tai g0(n) = (−1)n+1h1(n) g1(n) = (−1)n h0(n) 2K-pituisille ortonormaaleille suotimille p¨ atee lis¨ aksi: g1(n) = (−1)ng0(2K − 1 − n) hi(n) = gi(2K − 1 − n) , i = 0, 1 182 Numeerinen esimerkki (7.1.2) Olkoon alip¨ a¨ ast¨ av¨ a analyysisuodin h0 = [ 0.5 0.5 ] ja ylip¨ a¨ ast¨ av¨ a analy- ysisuodin h1 = [ 1 − 1 ]. T¨ all¨

• in siis y0(n) = (x(n) + x(n − 1))/2 ja

y1(n) = x(n) − x(n − 1). Edellisen kalvon ylempien kaavojen mukaisesti alip¨ a¨ ast¨ av¨ a synteesisuodin on g0 = [ (−1)0 · 1 (−1)1 · (−1) ] = [ 1 1 ] ja ylip¨ a¨ ast¨ av¨ a synteesisuodin g1 = [ (−1)1 · 0.5 (−1)2 · 0.5 ] = [ −0.5 0.5 ]

n → 1 2 3 4 5 6 7 8 x(n) 4 2 3 7 5 6 4 7 3 y0(n) − 3 2.5 5 6 5.5 5 5.5 5 y1(n) − −2 1 4 −2 1 −2 3 −4 y0(n) ↓ − 3 − 5 − 5.5 − 5.5 − y1(n) ↓ − −2 − 4 − 1 − 3 − y0(n) ↑ − 3 5 5.5 5.5 y1(n) ↑ − −2 4 1 3 g0 : − − 3 5 5 5.5 5.5 5.5 5.5 g1 : − − −1 −2 2 −0.5 0.5 −1.5 1.5 ˆ x(n) − − 2 3 7 5 6 4 7

183 Esimerkki todellisista analyysi–synteesi-suotimista (7.1.2) 8-tappiset Daubechies ortonormaalit suotimet:

23

184

SLIDE 24

Kaksidimensioinen alikaistakoodaus (7.1.2) Alkuper¨ ainen diskreetti kuva x(m, n) voidaan vastaavalla tavalla hajoittaa ensin riveitt¨ ain ja sitten sarakkeittain approksimaatioalikaistaksi a(m, n) ja vertikaaliseksi, horisontaaliseksi ja diagonaaliseksi yksityiskohta-alikaistaksi dV (m, n), dH(m, n) ja dD(m, n): 185 Haar-muunnos (7.1.3) Haar-muunnoksen kantafunktiot ovat vanhimmat ja yksinkertaisimmat tun- netut ortonormaalit aallokkeet. Esitett¨ ak¨

• ¨
• n N × N-kokoinen kuva f(x, y) matriisilla F. T¨

all¨

• in sen Haar-

muunnos on T = HFHT miss¨ a H on N ×N-kokoinen Haar-muunnosmatriisi, joka muodostuu Haarin kantafunktioden arvoista siten, ett¨ a sen rivill¨ a k, k = 0, 1, . . . , N − 1, on kantafunktion hk(z) arvot pisteiss¨ a z = 0, 1/N, . . . , (N − 1)/N. Rivi-indeksist¨ a k johdetaan ensin indeksit p ja q: k = 2p + q − 1 p = 0, 1, . . . , n − 1 (N = 2n) q =

• 0, 1

, jos p = 0 1, 2, . . . , 2p , jos p = 0 Siten esimerkiksi: k p q 1 1 2 1 1 3 1 2 186 Itse Haarin kantafunktiot ovat muotoa: h0(z) = h00(z) = 1 √ N , z ∈ [0, 1] hk(z) = hpq(z) = 1 √ N      2p/2 (q − 1)/2p ≤ z < (q − 0.5)/2p −2p/2 (q − 0.5)/2p ≤ z < q/2p muulloin , z ∈ [0, 1] T¨ all¨

• in saadaan esim. Haarin muunnosmatriisit:

H2 = 1 √ 2 1 1 1 −1

• ja

H4 = 1 2     1 1 1 1 1 1 −1 −1 √ 2 − √ 2 √ 2 − √ 2     187 Esimerkki Haar-funktioista aallokemuunnoksessa (7.1.3) 188

15.2 Moniresoluutiok¨ asittely (7.2)

Moniresoluutiok¨ asittelyss¨ a signaali hajoitetaan osiin, joita kutsutaan skaalaus- funktioksi ja aallokkeiksi. N¨ am¨ a vastaavat kuvapyramidien approksimaatio- ja ennustuskuvia. Erona on, ett¨ a skaalausfunktiota ja aallokkeita k¨ aytt¨ aen kuvan esitysmuodon kokonaispikselim¨ a¨ ar¨ a ei kasva. Sarjakehitelm¨ at (7.2.1) Oleteaan jatkuva-arvoisessa tapauksessa, ett¨ a funktio f(x) voidaan lausua kantafunktiojoukon {ϕk(x)} lineaarikehitelm¨ an¨ a: f(x) =

• k

αkϕk(x) Kantafunktioiden viritt¨ am¨ a¨ a suljettua funktioavaruutta merkit¨ a¨ an: V = Span

k

{ϕk(x)} 189 Skaalausfunktiot (7.2.2) Oletetaan annetuksi reaalinen, neli¨

• llisesti integroituva funktio ϕ(x), jon-

ka kokonaislukusiirroista k ja kahdenpotenssiskaaluksista j muodostetaan kantafunktiojoukko {ϕj,k(x)}: ϕj,k(x) = 2j/2ϕ(2jx − k) ϕ(x):¨ a¨ a kutsutaan skaalausfunktioksi, koska ϕj,k(x):n muoto skaalautuu j:n muuttuessa. Sopivalla ϕ(x):n valinnalla voidaan viritt¨ a¨ a koko funktioavaruus L2(R). Ti- etyll¨ a j:n arvolla virittyv¨ a L2(R):n aliavaruus on: Vj = Span

k

{ϕj,k(x)} 190 Esimerkki skaalausfunktiosta: Haar (7.2.2) Haarin skaalausfunktio on ϕ(x) =

• 1

0 ≤ x < 1 muulloin 191 Skaalausfunktioiden ominaisuudet (7.2.2) Jotta jokin funktio ϕ(x) voisi toimia hyvin aallokkeiden skaalausfunktiona, sen on toteutettava seuraavat ehdot:

• Skaalausfunktion on oltava ortogonaalinen omien kokonaislukusiirto-

jensa kanssa.

• Skaalausfunktion viritt¨

amien aliavaruuksien t¨ aytyy muodostaa kasvava sarja: V−∞ ⊂ . . . ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ V∞

• Ainoa kaikkiin Vj kuuluva funktio on f(x) = 0, so. V−∞ = {0}.
• Mik¨

a tahansa funktio voidaan esitt¨ a¨ a mielivaltaisella tarkkuudella, so. V∞ = L2(R).

24

192

SLIDE 25

Ehtojen toteutuessa kaikki Vj:n skaalausfunktiot voidaan lausua Vj+1:n funk- tioiden lineaarikombinaatioina: ϕj,k(x) =

• n

hϕ(n)ϕj+1,n(x) =

• n

hϕ(n)2(j+1)/2ϕ(2j+1x − n) ja kun j = k = 0: ϕ(x) =

• n

hϕ(n) √ 2ϕ(2x − n) hϕ(n) ovat skaalausfunktiokertoimia ja muodostavat skaalausvektorin hϕ. Edell¨ a oleva yht¨ al¨

• on moniresoluutioanalyysin keskeinen tarkennusyht¨

al¨

• eli

moniresoluutioanalyysiyht¨ al¨

• eli dilaatioyht¨

al¨

• .

193 Aallokefunktiot (7.2.3) Edell¨ a n¨ ahtiin, kuinka skaalausfunktio viritti kasvavan joukon funktioaliavaruuk-

• sia. Kahden sis¨

akk¨ aisen funktioaliavaruuden erotuksen viritt¨ a¨ a aina vastaava aallokefunktio. M¨ a¨ aritell¨ a¨ an aallokefunktio ψ(x) ja siit¨ a muodostuva aallokkejoukko {ψj,k(x)}: ψj,k(x) = 2j/2ψ(2jx − k) joka viritt¨ a¨ a aliavaruuden Wj = Spank{ψj,k(x)}. 194 Nyt siis L2(R) = V0 ⊕ W0 ⊕ W1 ⊕ · · · tai L2(R) = V1 ⊕ W1 ⊕ W2 ⊕ · · · tai L2(R) = Vj0 ⊕ Wj0 ⊕ Wj0+1 ⊕ · · · My¨

• s kaikki Wj:n aallokefunktiot voidaan lausua Vj+1:n funktioiden lin-

eaarikombinaatioina, jolloin saadaan tulos: ψ(x) =

• n

hψ(n) √ 2ϕ(2x − n) miss¨ a hψ(n):t ovat aallokefunktiokertoimia ja hψ aallokevektori. hψ(n):t ja hϕ(n):t ovat kesken¨ a¨ an suhteessa: hψ(n) = (−1)nhϕ(n)(1 − n) 195 Esimerkki aallokefunktioista: Haar (7.2.3) Haarin aallokefunktio on ψ(x) =      1 0 ≤ x < 0.5 −1 0.5 ≤ x < 1 muulloin 196

15.3 Yksiulotteinen aallokemuunnos (7.3)

Aallokesarjakehitelm¨ a (7.3.1) L2(R):¨ a¨ an kuuluva funktio f(x) voidaan lausua sarjakehitelm¨ an¨ a f(x) =

• k

cj0(k)ϕj0,k(x) +

∞

• j=j0
• k

dj(k)ψj,k(x) cj0(k):t ovat approksimaatio- eli skaalauskertoimia ja dj(k):t yksityiskohta- eli aallokekertoimia. 197 Esimerkki aallokemuunnoksesta: Haar (7.3.1) 198 Diskreetti aallokemuunnos (7.3.2) Diskreetti aallokemuunnos (DWT) eteenp¨ ain on: Wϕ(j0, k) = 1 √ M

• x

f(x)ϕj0,k(x) Wψ(j, k) = 1 √ M

• x

f(x)ψj,k(x) , kun j ≥ j0 miss¨ a f(x) saa arvoja v¨ alill¨ a x = 0, 1, . . . , M − 1 ja M = 2J. Vastaavasti j saa arvot j = 0, 1, . . . , J − 1 ja k saa arvot k = 0, 1, . . . , 2j − 1. f(x) voidaan palauttaa k¨ a¨ anteismuunnoksella: f(x) = 1 √ M

• k

Wϕ(j0, k)ϕj0,k(x) + 1 √ M

∞

• j=j0
• k

Wψ(j, k)ψj,k(x) 199 Esimerkki diskreetist¨ a aallokemuunnoksesta (7.3.2) Muunnetaan DWT:ll¨ a lukujono f(0) = 1, f(1) = 4, f(2) = −3, f(3) = 0 k¨ aytt¨ aen Haarin skaalaus- ja aallokefunktioita. Nyt siis M = 4 ja J = 2 ja valitaan j0 = 0, joten laskettaviksi tulevat (j, k)-parit (0, 0), (1, 0) ja (1, 1). Jo aiemmin laskettiin Haar-muunnosmatriisi:

H4 = 1 2     1 1 1 1 1 1 −1 −1 √ 2 − √ 2 √ 2 − √ 2    

Sen alkioista saadaan kertoimet seuraaviin laskuihin:

Wϕ(0, 0) = 1 2[1 · 1 + 4 · 1 − 3 · 1 + 0 · 1] = 1 Wψ(0, 0) = 1 2[1 · 1 + 4 · 1 − 3 · (−1) + 0 · (−1)] = 4 Wψ(1, 0) = 1 2[1 · √ 2 + 4 · (− √ 2) − 3 · 0 + 0 · 0] = −1.5 √ 2 Wψ(1, 1) = 1 2[1 · 0 + 4 · 0 − 3 · √ 2 + 0 · (− √ 2)] = −1.5 √ 2

25

200

SLIDE 26

15.4 Kaksiulotteinen aallokemuunnos (7.5)

Diskreetiss¨ a kaksiulotteisessa aallokemuunnoksessa k¨ aytet¨ a¨ an luonnollisesti kaksiulotteisia skaalaus- ja aallokefunktioita. Diskreetti kaksiulotteinen aallokemuunnos on separoituva, jolloin sen tarvit- semat funktiot voidaan lausua yksiulotteisten skaalaus- ja aallokefunktioiden tuloina: ϕ(x, y) = ϕ(x)ϕ(y) ψH(x, y) = ψ(x)ϕ(y) ψV (x, y) = ϕ(x)ψ(y) ψD(x, y) = ψ(x)ψ(y) Diskreetti kaksiulotteinen aallokemuunnos toteutetaan kahtena per¨ akk¨ aisen¨ a yksiulotteisena muunnoksena, ensin kuvan sarakkeille ja sitten riveille tai p¨ ainvastoin. 201 Kaksiulotteisen aallokemuunnoksen lohkokaavio (7.5) 202 Esimerkki kaksiulotteisesta aallokemuunnoksesta (7.5) 203 Symlet-aallokkeet (7.5) 204

16. Kuvien tiivist¨ aminen

16.1 Tiivistyksen taustaa (8)

Kuvan tiivist¨ amisell¨ a eli pakkauksella eli kompressiolla (image compression) tarkoitetaan kuvan esitt¨ amiseen vaadittavan datam¨ a¨ ar¨ an v¨ ahent¨ amist¨ a. On teht¨ av¨ a ero kuvan sis¨ alt¨ am¨ an informaation ja sen esitt¨ amisess¨ a k¨ aytett¨ av¨ an datan v¨ alill¨

• a. Ensin mainitun m¨

a¨ ar¨ an mittaaminen on ongelmallista, j¨ alkim- m¨ aist¨ a mitataan bittein¨ a. Matemaattisesti kompressio voidaan n¨ ahd¨ a pyrkimyksen¨ a muuntaa kaksidi- mensioinen kuvamatriisi tilastollisesti korreloimattomaksi datajoukoksi, koska korreloimaton data ei sis¨ all¨ a p¨ a¨ allekk¨ aisyytt¨ a ja toistoa ja on siksi tiivist¨ a. Tiivistysmuunnos tehd¨ a¨ an ennen kuvan talletusta tai siirtoa. Tiivistetty kuva voidaan my¨

• hemmin palauttaa k¨

a¨

• anteismuunnoksella. Jos tiivistyksen k¨

a¨ an- teismuunnos tuottaa t¨ aysin alkuper¨ aisen kuvan, puhutaan virheett¨

• m¨

ast¨ a (information preserving, lossless), muutoin virhett¨ a tuottavasta (lossy) ti- ivistyksest¨ a. 205 Digitaalisten kuvien tiivist¨ amist¨ a tarvitaan l¨ ahes kaikissa sovelluksissa, kos- ka kuvia tuotetaan digitaaliseen muotoon yh¨ a enemm¨ an ja yh¨ a paremmalla resoluutiolla. Toisaalta digitaalisten kuvien tallentamiseksi on olemassa yh¨ a halvempia massamuistilaitteita ja yh¨ a nopeampia siirtokanavia. N¨ aist¨ a uusista resurs- seista saadaan kuitenkin t¨ aysi hy¨

• ty vasta, kun tarpeeton data poistetaan

tiivist¨ amisell¨ a. 206

16.2 Kuvantiivistyksen perusteita (8.1)

Sama informaatio voidaan v¨ alitt¨ a¨ a vaihtelevalla m¨ a¨ ar¨ all¨ a dataa. Jos sama informaatio voitaisiin v¨ alitt¨ a¨ a v¨ ahemm¨ all¨ a datam¨ a¨ ar¨ a¨ all¨ a kuin nyt tapahtuu, nykyisess¨ a esityksess¨ a on redundanttia dataa. Olkoon n1 ja n2 saman informaation sis¨ alt¨ am¨ an datan m¨ a¨ ar¨ at bittein¨ a kahdessa eri esitysmuodossa. Tiivistys- eli kompressiosuhde siirrytt¨ aess¨ a n1-pituisesta esityksest¨ a n2-pituiseen on: CR = n1 n2 Ensimm¨ aisen esitysmuodon suhteellinen redundanssi j¨ alkimm¨ aiseen n¨ ahden: RD = 1 − 1 CR Kun n1 = n2, niin CR = 1 ja RD = 0. Kun n2 ≪ n1, niin CR → ∞ ja RD → 1, joten kompressio on merkitt¨ av¨ a¨ a ja alkuper¨ ainen data redundanttia. Kun n2 ≫ n1, niin CR → 0 ja RD → −∞, joten tiivistymisen sijaan tapahtuukin datan laajentuminen. 207 Redundanssin lajit (8.1) Digitaalisen kuvan tiivistyksess¨ a vaikuttaa kolme toisistaan riippumatonta redundanssin lajia:

• koodausredundanssi
• pikselien v¨

alinen redundanssi

• psykovisuaalinen redundanssi

Datakompressiota saavutetaan eliminoimalla kokonaan tai redusoimalla yht¨ a tai useampaa redundanssityypeist¨ a.

26

208

SLIDE 27

Koodausredundanssi (8.1.1) Kuvan koodauksen tehokkuutta voidaan arvioida tutkimalla kuvan harmaa-

• arvohistogrammia. Laskemalla kunkin harmaatason rk, k = 0, 1, . . . , L −

1, esiintymiskertojen lukum¨ a¨ ar¨ at nk voidaan laskea kyseisen harmaatason esiintymistodenn¨ ak¨

• isyys pr(rk):

pr(rk) = nk n miss¨ a n on kuvan pikselien kokonaism¨ a¨ ar¨ a. Jos harmaatason rk esitt¨ amiseen tarvitaan l(rk) bitti¨ a, keskim¨ a¨ ar¨ ainen yhden pikselin esitt¨ amiseen tarvittava bittim¨ a¨ ar¨ a on Lavg =

L−1

• k=0

l(rk)pr(rk) Jos kaikkien harmaa-arvojen esitt¨ amiseen k¨ aytet¨ a¨ an sama m bitti¨ a, keskim¨ a¨ ar¨ ainen bittim¨ a¨ ar¨ a Lavg on my¨

• s m riippumatta todenn¨

ak¨

• isyyksist¨
• a. Jos todenn¨

ak¨

• isyysjakauma
• n muuta kuin tasajakauma, t¨

allainen “suora” koodaus on redundantti, kuten seuraava esimerkki osoittaa. 209

k pr(rk) 1.koodi l1(rk) 2.koodi l2(rk) 0.19 000 3 11 2 1 0.25 001 3 01 2 2 0.21 010 3 10 2 3 0.16 011 3 001 3 4 0.08 100 3 0001 4 5 0.06 101 3 00001 5 6 0.03 110 3 000001 6 7 0.02 111 3 000000 6

J¨ alkimm¨ aiselle koodille Lavg voidaan laskea olevan 2.7 bitti¨

• a. CR on siis 1.11

ja RD 0.099. Esimerkill¨ a siis havaittiin, ett¨ a tehokkaampaan datan esitykseen p¨ a¨ astiin, kun useimmin esiintyv¨ at harmaa-arvot koodattiin lyhyemmill¨ a koodisanoilla kuin harvoin esiintyv¨ at. Koodausredundanssia esiintyy aina k¨ aytett¨ aess¨ a suoraa eli luonnollista kood- ia, jos kuvan harmaa-arvohistogrammi ei ole aivan tasainen. 210 Pikselien v¨ alinen redundanssi, esimerkki (8.1.2) Kuvat ovat kesken¨ a¨ an melko saman- laiset, etenkin histogrammeiltaan. Ni- iden tiivist¨ aminen koodausredundanssin perusteella tuottaisikin melko varmasti saman kompressiosuhteen. Kuvassa n¨ akyy my¨

• s pikseleiden harmaa-

arvojen autokorrelaatio yhdell¨ a pik- selirivill¨ a et¨ aisyyden funktiona. Voidaan havaita, ett¨ a t¨ ass¨ a suhteessa kuvat eroavat toisistaan ratkaisev- asti:

• ikeanpuoleisessa

kuvassa esi- intyv¨ a vaakasuora jaksollisuus n¨ akyy autokorrelaatiofunktion arvojen jaksol- lisuutena. 211 Pikselien v¨ alinen redundanssi (8.1.2) Normalisoidut autokorrelaatiokertoimet γ(∆n) kuvadatan riveille lasketaan: γ(∆n) = A(∆n) A(0) A(∆n) = 1 N − ∆n

N−1−∆n

• y=0

f(x, y)f(x, y + ∆n) Jos kuvassa vierekk¨ aisill¨ a pikseleill¨ a on voimakas keskin¨ ainen korrelaatio, ne eiv¨ at sis¨ all¨ a toisistaan riippumatonta informaatiota. Siten v¨ alitett¨ av¨ an datan m¨ a¨ ar¨ a¨ a voidaan v¨ ahent¨ a¨ a, jos k¨ aytet¨ a¨ an hyv¨ aksi tietoa edelt¨ aneist¨ a pikseliar- voista. Pikselimuotoinen esitys muunnetaan jollakin kuvauksella (mapping) tehokkaam- paan ei-visuaaliseen muotoon. Kuvaus on k¨ a¨ annett¨ av¨ a (reversible), jos alku- per¨ ainen kuva voidaan virheett¨

• m¨

asti palauttaa muunnetusta datasta. 212 Juoksunpituuskoodaus, esimerkki (8.1.2) rivi 100: (1,63) (0,87) (1,37) (0,5) (1,4) (0,556) (1,62) (0,210) Binaarikuvalle on tehty juoksunpituuskoodaus. Alun perin on tarvittu 1024 · 343·1 = 351232 bitti¨ a, muunnoksen j¨ alkeen 12166·(1+10) = 133826 bitti¨ a. Kompressiosuhde on siten 2.63 ja alkuper¨ aisen esitysmuodon suhteellinen redundanssi 0.62. 213 Psykovisuaalinen redundanssi (8.1.3) Ihmissilm¨ an herkkyys visuaaliselle informaatiolle vaihtelee: tietty informaatio

• n v¨

ahemm¨ an t¨ arke¨ a¨ a kuin jokin muu informaatio. Silm¨ an kannalta tarpee- ton informaatio on psykovisuaalisesti redundanttia ja sit¨ a vodaan eliminoida vaikuttamatta merkitt¨ av¨ asti kuvan havaittavaan laatuun. Ihminen ei havainnoi yksitt¨ aisten pikseleiden kirkkauksia, vaan suurempia piirteit¨ a, kuten ¨ a¨ ariviivoja ja tekstuurialueita, joita sitten yhdist¨ a¨ a tunnis- tettaviksi ryhmiksi. Tulkintaprosessissa sitten ryhmittelyj¨ a verrataan aivoissa aiemman tiet¨ amyksen ja kokemuksen perusteella. Psykovisuaalisesti redundantin datan eliminointi johtaa kvantitatiivisen in- formaation h¨ avi¨ amiseen, kyseess¨ a on siis kvantisointi. Kvantisoinnissa suuri tuloarvojen joukko kuvataan pienemm¨ alle joukolle l¨ aht¨

• arvoja. Kvantisointi

ei ole k¨ a¨ annett¨ av¨ a. 214 Harmaa-arvojen kvantisointi (8.1.3) Kuvassa on alunperin 256 harmaatasoa, jotka kvantisoidaan 16 harmaata- soksi, so. kompressiosuhde on kaksi. Selv¨ asti muodostuvat v¨ a¨ ar¨ at reunaviivat voidaan h¨ avitt¨ a¨ a k¨ aytt¨ aen parannettua harmaatasokvantisointia (IGS), joka lis¨ a¨ a n¨ aenn¨ aisesti satunnaista kohinaa kuvaan. 215 Parannettu harmaatasokvantisointi, IGS (8.1.3) Parannetulla harmaatasokvantisoinnilla (improved gray-scale quantization) h¨ avitet¨ a¨ an v¨ a¨ ar¨ at reunaviivat. IGS ottaa kvantisoinnissa pois katkaistut bitit kumulatiivisesti mukaan kvan- tisointiin, joten s¨ ailytt¨ a¨ a paremmin informaation harmaa-arvoista. Ero taval- liseen kvantisointiin voidaan tulkita my¨

• s satunnaisen kohinan lis¨

a¨ amiseksi.

pikseli harmaa-arvo summa IGS-arvo tav.kvant. i − 1 0000 0000 i 0110 1100 0110 1100 0110 0110 i + 1 1000 1011 1001 0111 1001 1000 i + 2 1000 0111 1000 1110 1000 1000 i + 3 1111 0100 1111 0100 1111 1111

Muodostetaan summa lis¨ a¨ am¨ all¨ a 8-bittiseen harmaa-arvoon edellisen sum- man 4 v¨ ahiten merkitsev¨ a¨ a bitti¨ a.

i + 1 1000 1011 1100 1001 0111

T¨ all¨

• in IGS-arvoksi tulee 1001 ja

seuraavaan summaan siirtyy 0111. IGS-kvantisointi heikent¨ a¨ a esim. juoksunpituuskoodauksen tehokkuutta.

27

216

SLIDE 28

Laatukriteerit kuvantiivistyksess¨ a (8.1.4) Kuvien laatua ja sen heikkenemist¨ a arvioitaessa voidaan k¨ aytt¨ a¨ a sek¨ a objek- tiivisia ett¨ a subjektiivisia kriteerej¨

• a. Objektiiviset laatukriteerit perustuvat

usein alkuper¨ aisen kuvan ja siit¨ a tiivistyksen ja palautuksen j¨ alkeen saadun kuvan erotuksen johonkin normiin, esimerkiksi neli¨

• lliseen keskivirheeseen.

Kuvien erotus ˆ f − f voidaan tulkita additiivisen satunnaiskohinan e aiheut- tamaksi ja laskea esim. neli¨

• llinen signaali-kohina-suhde:

e(x, y) = ˆ f(x, y) − f(x, y) erms =

• 1

MN

M−1

• x=0

N−1

• y=0

e(x, y)2 SNRms = M−1

x=0

N−1

y=0 ˆ

f(x, y)2 M−1

x=0

N−1

y=0 e(x, y)2

Subjektiiviset kriteerit perustuvat usean ihmisen tekem¨ an aistihavainnon

• keskiarvoon. Kuvia voidaan subjektiivisesti arvioida joko absoluuttisella asteikol-

la tai suhteellisena parivertailuna. 217

16.3 Kuvantiivistysmalli (8.2)

Kuvan tiivist¨ aminen ja palauttaminen tiivistetyst¨ a esitysmuodosta voidaa esitt¨ a¨ a lohkokaaviona:

dekooderi dekooderi kooderi kooderi ˆ f(x, y) lähde- kanava

kooderi dekooderi

lähde- kanava- kanava- f(x, y)

Kooderissa l¨ ahdekooderi (source encoder) poistaa redundanssit ja kanavakood- eri (channel encoder) lis¨ a¨ a kohinasietoisuutta. Dekooderissa molemmat koodaukset puretaan. Virheett¨

• m¨

ass¨ a kanavassa kanavakooderi/dekooderi-pari voidaan j¨ att¨ a¨ a pois. 218 L¨ ahdekoodaus ja -dekoodaus (8.2.1)

lähdedekooderi

symboli- kuvaaja dekooderi ˆ f(x, y) f(x, y) kanava

lähdekooderi

kvantisoija symboli- kooderi kuvaaja käänteis-

L¨ ahdekooderin teht¨ av¨ a on poistaa kaikki poistettavissa oleva redundanssi. Kuvaaja (mapper)

• muuntaa kuvan ei-visuaaliseen muotoon
• poistaa pikselien v¨

alist¨ a redundanssia

• operaatio on yleens¨

a k¨ a¨ annett¨ av¨ a

• voi redusoida datam¨

a¨ ar¨ a¨ a, (esim. juoksunpituuskoodauksessa)

• voi tehd¨

a muunnoksen, joka on helpommin tiivistett¨ aviss¨ a, (esim. kosin- imuunnos) 219 Kvantisoija (quantizer)

• v¨

ahent¨ a¨ a kuvan tarkkuutta valitun hyvyyskriteerin rajoissa

• poistaa psykovisuaalista redundanssia
• operaatio ei ole k¨

a¨ annett¨ av¨ a

• ei voida k¨

aytt¨ a¨ a virheett¨

• m¨

ass¨ a tiivistyksess¨ a Symbolikooderi (symbol coder)

• tuottaa koodisanat kuvaamaan kvantisoijan (tai kuvaajan) l¨

aht¨

• j¨

a

• koodisanat voivat olla tasa- tai vaihtelevapituisia
• poistaa koodausredundanssia
• operaatio on k¨

a¨ annett¨ av¨ a 220

16.4 Informaatioteorian k¨ asitteit¨ a (8.3)

Informaation m¨ a¨ ar¨ an mittaaminen (8.3.1) Jos satunnaistapahtuma E tapahtuu todenn¨ ak¨

• isyydell¨

a P(E), E:n sis¨ alt¨ am¨ a informaatiom¨ a¨ ar¨ a on I(E) = log 1 P(E) = − log P(E) I(E) on E:n itseisinformaatio (self-information). Tapahtuman E itseisinformaation m¨ a¨ ar¨ a on k¨ a¨ ant¨ aen verrannollinen E:n todenn¨ ak¨

• isyyteen.

Jos P(E) = 1, E tapahtuu aina eik¨ a tapahtumaan liity informaatiota, I(E) = 0. Jos P(E) = 0.99, E:n tapahtuminen sis¨ alt¨ a¨ a hieman informaatio- ta, I(E) = 0.0044. Se ett¨ a E ei tapahdu, sis¨ alt¨ a¨ a enemm¨ an informaatiota, koska tulos on harvinaisempi. 221 I(E) lausekkeessa logaritmin kantaluku m¨ a¨ ar¨ a¨ a informaation mittayksik¨

• n.

2-kantainen logaritmi vastaa informaation yksikk¨

• ¨

a bitti. Kun P(E) = 0.5 niin I(E) = − log2(1/2) = 1 eli 1 bitti informaatiota. Yksi bitti on infor- maatiom¨ a¨ ar¨ a, joka sis¨ altyy kahden yht¨ a todenn¨ ak¨

• isen tapahtuman esiin-
• tymiseen. Esimerkiksi rahanheiton tuloksen ilmoittaminen.

Informaatiokanava (8.3.2)

kanava lähde käyttäjä Q symbolit (B, v) symbolit (A, z) informaatio- informaation

Informaatiokanava toimii informaatiol¨ ahteen ja informaation k¨ aytt¨ aj¨ an v¨ alill¨ a. Kiinnostavaa on, kuinka paljon informaatiota l¨ ahde tuottaa ja kuinka paljon informaatiotata kanava kykenee v¨ alitt¨ am¨ a¨ an. Informaatiol¨ ahde tuottaa symboleja aj, j = 1, . . . , J, todenn¨ ak¨

• isyyksill¨

a P(aj), J

j=1 P(aj) = 1. Symbolit aj, j = 1, . . . , J, muodostavat joukon A.

Todenn¨ ak¨

• isyyksi¨

a P(aj), j = 1, . . . , J, merkit¨ a¨ an vektorilla z. 222 A:n ja z:n tunteminen kuvaa t¨ aydellisesti muistittoman informaatiol¨ ahteen. Symboli aj tuottaa itseisinformaation I(aj) = − log P(aj). Keskim¨ a¨ ar¨ ainen informaation m¨ a¨ ar¨ a l¨ ahdesymbolia kohden on H(z) = −

J

• j=1

P(aj) log P(aj) H(z) on informaatiol¨ ahteen entropia. Entropian kasvaessa l¨ ahteen ep¨ avarmuus ja siten informaatiom¨ a¨ ar¨ a lis¨ a¨ antyy. Informaatiokanavan siirtofunktio (8.3.2) Informaation k¨ aytt¨ aj¨ a vastaanottaa kanavasta symboleja bk, k = 1, . . . , K, todenn¨ ak¨

• isyyksill¨

a P(bk). L¨ ahdep¨ a¨ an A:ta ja z:aa vastaavat k¨ aytt¨

• p¨

a¨ an B ja v. 223 Todenn¨ ak¨

• isyyksien v¨

alill¨ a vallitsee ehdollisista odotusarvoista muodostuva lineaarinen yhteys: v = Qz Miss¨ a Q =      P(b1|a1) P(b1|a2) · · · P(b1|aJ) P(b2|a1) P(b2|a2) · · · P(b2|aJ) . . . . . . ... . . . P(bK|a1) P(bK|a2) · · · P(bK|aJ)      Kanavan siirtomatriisi Q m¨ a¨ ar¨ a¨ a kanavan siirtokapasiteetin eli sen, kuinka suuri informaatiom¨ a¨ ar¨ a kanavassa voidaan luotettavasti siirt¨ a¨ a. Ensin tarvitsee laskea l¨ ahteen z ehdollinen entropia eli ep¨ avarmuus, kun vastaanotettu symboli bk tunnetaan: H(z|bk) = −

J

• j=1

P(aj|bk) log P(aj|bk)

28

224

SLIDE 29

H(z|bk):n keskiarvo yli kaikkien symbolien bk on: H(z|v) =

K

• k=1

H(z|bk)P(bk) = −

J

• j=1

K

• k=1

P(aj|bk)P(bk) log P(aj|bk) = −

J

• j=1

K

• k=1

P(aj, bk) log P(aj|bk) H(z|v) on z:n ekvivokaatio (equivocation) suhteessa v:hen. 225 L¨ ahteen entropian ja kanavan ekvivokaation erotusta kutsutaan z:n ja v:n yhteisinformatioksi: I(z, v) = H(z) − H(z|v) =

J

• j=1

K

• k=1

P(aj, bk) log P(aj, bk) P(aj)P(bk) =

J

• j=1

K

• k=1

P(aj)P(bk|aj) log P(bk|aj) J

i=1 P(ai)P(bk|ai)

I(z, v) on siten z:n ja Q:n funktio. min I(z, v) = 0 toteutuu, kun l¨ aht¨

• - ja

tulosymbolit ovat tilastollisesti riippumattomia eli P(aj, bk) = P(aj)P(bk). T¨ allainen kanava hukkaa kaiken l¨ ahteest¨ a tulevan informaation. Kanavan Q kapasiteetti C on: C = max

z

I(z, v) 226 Esimerkki: binaarinen H(pbs), I(pbs) ja C(pe) (8.3.2) Oleteaan l¨ ahteen ja siirtokanavan

• levan:

z = [P(a1), P(a2)] = [pbs, 1 − pbs] Q = 1 − pe pe pe 1 − pe

• T¨

all¨

• in

voidaan laskea entropia H symbolitodenn¨ ak¨

• isyyden

pbs, kapasiteetti C siirtovirheto- denn¨ ak¨

• isyyden

pe ja yhteisin- formaatio I sek¨ a pbs:n ett¨ a pe:n funktioina: 227 Shannonin ensimm¨ ainen teoreema (8.3.3) Shannonin ensimm¨ ainen teoreema eli kohinaton koodausteoreema m¨ a¨ arittelee pienimm¨ an keskim¨ a¨ ar¨ aisen koodisanan pituuden l¨ ahdesymbolia kohden, kun kanava ei tuota virheit¨ a. Oletetaan muistiton informaatiol¨ ahde (A, z), joka tuottaa tilastollisesti riip- pumattomia symboleja. Tutkitaan usean per¨ akk¨ aisen symbolin yhdistelmi¨ a,

• tupleja. n-tuple muodostuu n:st¨

a per¨ akk¨ aisest¨ a symbolista. n-tuple voi saa- da Jn eri arvoa: A′ = {α1, α2, . . . , αJn} Todenn¨ ak¨

• isyysvektori z′:

z′ = [P(α1) P(α2) · · · P(αJn)]T miss¨ a αi = aj1aj2 · · · ajn P(αi) = P(aj1) P(aj2) · · · P(ajn) 228 L¨ ahteen entropia: H(z′) = −

Jn

• i=1

P(αi) log P(αi) = nH(z) Muodostetun lohkosatunnaismuuttujia tuottavan l¨ ahteen entropia on siis n-kertainen alkuper¨ aisen l¨ ahteen entropiaan verrattuna. Kyseess¨ a on (A, z)-l¨ ahteen n:s laajennus (nth extension). L¨ ahteen ensimm¨ ainen laajennos on l¨ ahde itse. Koska symbolin αi itseisinformaatio on − log P(αi), symboli voidaan koo- data koodisanalla, jonka pituus on pienin kokonaisluku, joka on yht¨ asuuri tai suurempi kuin − log P(αi). T¨ all¨

• in koodi voidaan purkaa yksik¨

asitteisesti. T¨ aten: − log P(αi) ≤ l(αi) < log P(αi) + 1 Keskim¨ a¨ ar¨ ainen sananpituus saadaan painotettuna summana: L′

avg = Jn

• i=1

P(αi)l(αi) 229 joten −

Jn

• i=1

P(αi) log P(αi) ≤

Jn

• i=1

P(αi)l(αi) < −

Jn

• i=1

P(αi) log P(αi) + 1 eli H(z′) ≤ L′

avg < H(z′) + 1

tai H(z) ≤ L′

avg

n < H(z) + 1 n Siten keskim¨ a¨ ar¨ ainen koodisanan pituus symbolia kohden voidaan saada pitkill¨ a laajennuksilla mielivaltaisen l¨ ahelle l¨ ahteen entropiaa mutta ei koskaan sen

• alle. T¨

am¨ a on Shannonin ensimm¨ ainen teoreema. M¨ a¨ aritell¨ a¨ an viel¨ a koodauksen tehokkuus (efficiency) η: η = nH(z) L′

avg

∈ [0, 1] 230 Olkoon l¨ ahde (A, z) = ({a1, a2}, [2/3 1/3]T), t¨ all¨

• in:

αi symbolit P(αi) I(αi) l(αi) koodi pituus ensimm¨ ainen laajennus α1 a1 2/3 0.59 1 1 α2 a2 1/3 1.58 2 1 1 toinen laajennus α1 a1a1 4/9 1.17 2 1 α2 a1a2 2/9 2.17 3 10 2 α3 a2a1 2/9 2.17 3 110 3 α4 a2a2 1/9 3.17 4 111 3 L¨ ahteen entropia on 0.918 bitti¨ a/symboli. Koska keskim¨ a¨ ar¨ ainen koodisanan pituus on yksi bitti/symboli, on η = 0.918. Toisen laajennuksen keskim¨ a¨ ar¨ ainen koodisanan pituus on 1.83 bitti¨ a/symboli, joten tehokkuus on t¨ ass¨ a tapauk- sessa 0.97. 231 Informaatioteorian k¨ aytt¨

• (8.3.4)

Shannonin ensimm¨ aisess¨ a teoreemassa oletettiin, ett¨ a per¨ akk¨ aiset symbolit

• vat riippumattomia. Digitaalisissa kuvissa per¨

akk¨ aiset pikselit kuitenkin ovat kesken¨ a¨ an vahvasti korreloivia. Siksi kuvan entropian laskeminen ei ole aivan

• ngelmatonta.

Olkoon kuva 21 21 21 95 169 243 243 243 21 21 21 95 169 243 243 243 21 21 21 95 169 243 243 243 21 21 21 95 169 243 243 243 Jos ajatellaan kuvan olevan 256-harmaatasoinen, entropia on 8 bitti¨ a/pikseli.

29

232

SLIDE 30

Entropian ensimm¨ aisen asteen estimaatti harmaa-arvohistogrammista:

arvo lukum¨ a¨ ar¨ a tn. 21 12 3/8 95 4 1/8 169 4 1/8 243 12 3/8

T¨ all¨

• in entropiaksi tulee 1.81 bitti¨

a pikselille. toisen asteen estimaatti entropialle saadaan per¨ akk¨ aisten pikselien muo- dostamista harmaa-arvopareista:

arvo lukum¨ a¨ ar¨ a tn. (21,21) 8 1/4 (21,95) 4 1/8 (95,169) 4 1/8 (169,243) 4 1/8 (243,243) 8 1/4 (243,21) 4 1/8

Entropian estimaatti on nyt 1.25 bitti¨ a/pikseli. 233 Koodausta varten voidaan my¨

• s tehd¨

a kuvaus, jossa pikselin harmaa-arvosta v¨ ahennet¨ a¨ an vasemmalla puolella oleva arvo:

21 74 74 74 21 74 74 74 21 74 74 74 21 74 74 74

T¨ all¨

• in arvohistogrammista saadaan entropialle estimaatti 1.41 bitti¨

a/pikseli. Esimerkki osoittaa, ett¨ a eri tavoin saadaan hyvinkin erilaisia estimaatteja en- tropian arvolle. T¨ am¨ a on samalla osoitus siit¨ a, ett¨ a “informaation m¨ a¨ ar¨ an” mittaaminen on ongelmallista, koska jo entropiankin mittaaminen on. Yleens¨ a voidaan tavoitella koodausmenetelm¨ a¨ a, joka p¨ a¨ asisi tehokkuudessa l¨ ahelle pienint¨ a estimoitua entropia-arvoa. 234

16.5 Virheet¨

• n tiivistys (8.4)

Virheett¨

• m¨

all¨ a tiivistystysmenetelm¨ all¨ a koodattu kuva voidaan dekoodata t¨ aydellisesti alkuper¨ aiseen muotoon. Virheet¨

• nt¨

a tiivist¨ amist¨ a tarvitaan mm. l¨ a¨ aketieteellisten kuvien k¨ asittelyss¨ a sek¨ a tilanteissa, joissa kuvanotto on kallista suhteessa siirtoon tai s¨ ailytykseen,

• esim. avaruusluotaimissa.

Vaihtelevamittainen koodaus (8.4.1) Vaihtelevamittaisella koodauksella voidaan v¨ ahent¨ a¨ a koodausredundanssia, kun yleisemm¨ at symbolit koodataan v¨ ahemmin bitein kuin harvinaisemmat. Tunnetuin ja tietyss¨ a mieless¨ a optimaalinen vaihtelevamittainen koodaustapa

• n Huffman-koodi. Huffman-koodi muodostetaan yhdist¨

am¨ all¨ a ensin pare- ittain pienimm¨ at symbolitodenn¨ ak¨

• isyydet, kunnes todenn¨

ak¨

• isyyspuussa on

vain kaksi haaraa. Yhdistelyvaiheen j¨ alkeen muodostetaan symboleille koodit haarautumalla juuresta alkaen ja antamalla aina haaroille eri bittiarvot. 235 Esimerkki Huffman-koodauksesta (8.4.1)

a2 a5 a3 a1 a6 01010 0100 011 011 01011 00 1 011 0100 0101 010 1 1 a4 1 00 00 01 00 1 a5 a3 a1 a2 0.1 0.3 0.4 0.1 0.3 0.2 0.6 0.4 0.4 0.3 0.1 0.04 0.1 0.4 a4 a6 0.06 0.1 0.3 0.4 0.1 0.3

L¨ ahteen entropiaksi voidaan laskea H(z) = 2.14 bitti¨ a/symboli. Keskim¨ a¨ ar¨ ainen Huffman-koodin sananpituus on 2.2 bitti¨ a/symboli, joten koodauksen tehokku- us on η = 0.973. 236 Muita vaihtelevamittaisia koodauksia (8.4.1) Huffman-koodin lis¨ aksi on olemassa joukko v¨ ahmm¨ an optimaalisia vaihtele- vamittaisia koodauksia, ainakin: Katkaistussa Huffman-koodissa vain yleisimm¨ at symbolit koodatan Huff- man-koodilla, harvinaiset etuliitesymbolilla ja vakiomittaisella loppuosalla. B-koodissa on vakiomittainen lohko ja lohkojen v¨ aliss¨ a jatkobitti C, jon- ka vaihtuminen osoittaa koodisanan vaihdoksen. Yleisimm¨ at symbolit koo- dataan v¨ ahemm¨ all¨ a m¨ a¨ ar¨ all¨ a lohkoja kuin harvinaisemmat. Siirtokoodissa k¨ aytet¨ a¨ an vakiomittaista lohkoa ja yksi koodi varataan merk- itsem¨ a¨ an sanan jatkumista. Huffman-siirtokoodissa lohko ei ole vakiomaittainen vaan Huffman-koodilla

• muodostettu. Samaa lohkokoodia k¨

aytet¨ a¨ an my¨

• s siirtokoodin j¨

alkeen harv- inaisemmille symboleille. 237 238 Aritmeettinen koodaus (8.4.1) On my¨

• s mahdollista k¨

aytt¨ a¨ a reaalilukuja symboliryhmien koodaamiseen. Muodostetaan ensin v¨ alin [0,1] jako intervalleihin, joiden pituudet vastaavat kyseisen symbolin todenn¨ ak¨

• isyytt¨
• a. Seuraavan symbolin intervalli m¨

a¨ aritet¨ a¨ an sitten suhteessa edellisen symbolin intervalliin. Koodataan 5-tuple a1a2a3a3a4, kun symbolien ai todenn¨ ak¨

• isyydet ovat 0.2,

0.2, 0.4 ja 0.2:

0.2 0.2 0.4 a1 1 0.2 a4 a3 a2 a1 a2 0.072 0.0688 0.06752 0.0688 0.068 0.08 a3 a3 a4 0.04 0.056 0.0624 0.2

239 LZW (8.4.2) Lempel-Ziv-Welch (LZW) -koodaus on patentoitu menetelm¨ a, jota kuitenkin usein k¨ aytet¨ a¨ an melko vapaasti. LZW-koodissa muodostetaan koodauksen aikana koodikrja, joka sis¨ alt¨ a¨ a kaik- ki l¨ ahteen symbolit sek¨ a koodauksessa aiemmin esiintyneet useamman sym- bolin ketjut. Uudestaan esiintyess¨ a¨ am ketjut voidaan esitt¨ a¨ a edellisell¨ a esiintymiskerralla muodostetulla koodilla. Vastaanottopuoli muodostaa identtisen koodikirjan ja k¨ aytt¨ a¨ a sit¨ a koodin purkamiseen. Koodikirjaa ei tarvitse tallettaa eik¨ a v¨ alitt¨ a¨ a vastaanottajalle! 8-bittisten l¨ ahdesymbolien koodaamiseen tarvitaan siten 9- tai useampibit- tiset koodisymbolit.

30

240

SLIDE 31

Bittitasokoodaus (8.4.3) Bittitasokoodaus on yksinkertainen tapa pyrki¨ a poistamaan pikselien v¨ alist¨ a redundanssia. 256-harmaatasoinen kuva ajatellaan jaetuksi bittitsojensa mukaan 8 binaariku- vaksi. Enitenmerkitsevien bittien kohdalla per¨ akk¨ aisten pikselien bittiarvot korreloi- vat kesken¨ a¨ an voimakkaammin kuin v¨ ahitenmerkitsevien bittien kohdalla. Bittitasot koodataan kukin erikseen, esimerkiksi juoksunpituuskoodauksella. Jos koodaus tuottaa pitemm¨ an koodin kuin tason bittim¨ a¨ ar¨ a, taso voidaan esitt¨ a¨ a bittein¨ a. Bittitasokoodauksen ulostuloon voidaan viel¨ a soveltaa koodausredundanssin poistoa. 241 Gray-koodi (8.4.3) Bittitasokoodaus on sit¨ a tehokkaampaa, mit¨ a useammalla bittitasolla vierekk¨ aisten bittien korrelaatio on voimakasta. Vierekk¨ aisten bittien korrelaatiota voidaan voimistaa muuttamalla kuvan suo- ra bittikoodaus ensiksi Gray-koodiksi. Gray-koodissa per¨ akk¨ aisten lukuarvojen koodeissa on aina yhden bitin ero. Koodisanat voidaan tuottaa ns. heijastamalla:

luku suora koodi Gray-koodi 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 100 110 5 101 111 6 110 101 7 111 100

Matemaattisesti Gray-koodin muo- dostus voidaan formuloida k¨ aytt¨ aen eksklusiivista TAI-operaattoria ⊕:

gm−1 = am−1 gi = ai ⊕ ai+1 0 ≤ i ≤ m − 2

242 243 Vakioaluekoodaus (8.4.3) Vakioaluekoodauksessa (constant area coding) bittitaso jaetaan m × n- kokoisiin alueisiin, jotka koodataan kolmella koodisanalla, esim.:

• 0 = alue on kokonaan valkoinen
• 10 = alue on kokonaan musta
• 11 = alue ei ole vakioarvoinen, annetaan koko bittikuvio

Tasaisilla alueilla mn bitti¨ a koodataan siis yhdell¨ a tai kahdella bitill¨ a, vai- htelevilla alueilla tarvitaan kaksi ylim¨ a¨ ar¨ aist¨ a bitti¨ a. Koodauksen tehokkuus riippuu vaihteleva-arvoisten lohkojen yleisyydest¨ a. Jos musta on paljon harvinaisempaa kuin valkoinen, valkoiset lohkot voidaan koodata yhdell¨ a bitill¨ a ja mustaa sis¨ alt¨ av¨ at esitt¨ a¨ a yhdell¨ a merkkibitill¨ a plus antamalla alue sellaisinaan. Jos kuvassa esiintyy kokonaisia valkoisia rivej¨ a, ne voidaan koodata ensin k¨ aytt¨ aen j¨ alleen vain yht¨ a bitti¨

• a. Muihin riveihin tulee siten alkuun yksi

ylim¨ a¨ ar¨ ainen merkkibitti. 244 Juoksunpituuskoodaus (8.4.3) Juoksunpituuskoodaus on yleisesti k¨ aytetty menetelm¨ a bittitasojen koodauk- seen. Kukin koodisana sis¨ alt¨ a¨ a tiedon per¨ akk¨ aisten bittien eli juoksun arvosta ja pituudesta. Mustat ja valkoiset juoksut vuorottelevat, joten k¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a riitt¨ a¨ a kertoa ensimm¨ aisen juoksun arvo. Juoksujen pituuksiin voidaan k¨ aytt¨ a¨ a Huffman-koodausta koodausredundanssin pienent¨ amiseksi. Jos sallitaan nollamittainen juoksu, voidaan aina aloittaa esim. valkoisella juoksulla. Kaksiulotteisessa juoksunpituuskoodauksessa koodataan nykyisen ja edellisen bittirivin v¨ alinen ero. Siten pikselien v¨ alinen redundanssi tulee hy¨

• dynnetyksi

kahteen suuntaan. 245 Kaksidimensioinen juoksunpituuskoodaus (8.4.3) Kaksidimensioisessa juoksunpituuskoodauksessa mustan ja valkoisen juoksun vaihdoskohtia verrataan per¨ akk¨ aisten rivien v¨ alill¨ a ja koodataan ne. 246 Muita bittitasokoodauksia (8.4.3) Bittitasot voidaan joissakin tapauksessa koodata tehokkaasti my¨

• s koodaa-

malla mustien alueiden reunaviivat. Toinen mahdollisuus on koodata mustan alueen alun siirtym¨ a ja aluen pitu- uden muutos kullakin rivill¨ a. 247 Virheet¨

• n ennustuskoodaus (8.4.4)

Koska pikselien v¨ alisen redundanssin vuoksi vierekk¨ aiset pikseliarvot poikkea- vat yleens¨ a vain v¨ ah¨ an, erilaisia ennustuskoodauksia voidaan k¨ aytt¨ a¨ a ku- vapikselin harmaa-arvon koodaukseen, kun edellisten pikseleiden arvot tun- netaan. Todellisen pikseliarvon fn ja ennusteen ˆ fn erotuksen k¨ ayt¨

• ll¨

a koodataan vain kunkin pikselin antama uusi informaatio.

en ˆ fn Σ − ennustus koodaus alkuperäinen kuva fn + tiivistetty kuva dekoodaus Σ + + ennustus alkuperäinen kuva fn en ˆ fn pyöristys

en = fn − ˆ fn

31

248

SLIDE 32

Virheet¨

• n ennustuskoodaus, esimerkki (8.4.4)

Ensimm¨ aisen asteen lineaari- nen ennustin ˆ f(x, y) = round[αf(x, y − 1)] α:lle voitaisiin valita optimaa- linen arvo kuvan autokorrelaa- tion avulla, mutta yksinker- taisuuden vuoksi k¨ aytet¨ a¨ an α =

• 1. Kuvaus pienent¨

a¨ a l¨ ahteen keskihajonnan 47.44 − → 4.12. Vastaavasti entropia pienenee 6.81 − → 3.96. 249

17. Virhett¨ a tuottava tiivistys

Virheett¨

• mill¨

a tiivist¨ amismenetelmill¨ a saadut tiivistyssuhteet olivat luokkaa 2–5. Virhett¨ a tuottavilla menetelmill¨ a p¨ a¨ ast¨ a¨ an helposti 10–50:n tiivistyssuhteisiin ilman, ett¨ a kuvan laatu ratkaisevasti heikkenee. Virhett¨ a tuottavaa tiivistyst¨ a ei voida k¨ aytt¨ a¨ a sovelluksissa, joissa datan aitous en ehdoton vaatimus, kuten esim. l¨ a¨ aketieteellisten kuvien arkistoin- nissa. Lis¨ aksi virhett¨ a tuottava tiivistys saattaa tuottaa sellaista systemaattista virhett¨ a tai rakennetta kuviin, ett¨ a niiden koneellinen analysointi tulee mah- dottomaksi. Usein on j¨ alkik¨ ateen hankala selvitt¨ a¨ a, onko jokin kuva jossain olemassaolon- sa vaiheessa tullut tiivistetyksi virhett¨ a tuottavalla menetelm¨ all¨ a. 250 Virhett¨ a tuottava ennustuskoodaaja (8.5.1) Ennustusvirheeseen perustuva tiivist¨ aminen saadaan paljon tehokkaammaksi, jos sallitaan v¨ ah¨ ainen tiivistysvirheen syntyminen. Lis¨ at¨ a¨ an j¨ arjestelm¨ a¨ an kvantisoija, johon py¨

• ristysoperaatio sis¨

allytet¨ a¨ an. Ennustusvirhe kvantisoidaan rajoitetulle m¨ a¨ ar¨ alle arvoja ˙

• e. Kvantisointi m¨

a¨ ar¨ a¨ a tiivistyssuhteen ja s¨ ar¨

• n.

Kooderin ennustajaosaa on kvantisoinnin takia muutettava vastaamaan dekood- eria.

+ Σ dekoodaus Σ + tiivistetty kuva ennustus purettu kuva ˙ fn ˙ en ˆ fn Σ en ˙ en ˙ fn ˆ fn kvantisointi − + + + ennustus alkuperäinen kuva fn koodaus

˙ fn = ˙ en + ˆ fn 251 Delta-modulaattori (DM) (8.5.1) Delta-modulaattori on yksinkertaisin virhett¨ a tuottava ennustuskooderi: en = fn − ˆ fn = fn − α ˙ fn−1 ˙ en =

• +ζ, kun en > 0

−ζ kun en ≤ 0 1 bit/pikseli !!! Kuvasta ilmenee DM:n kaksi tun- nettua vikaa: 1) se tuottaa kohi- naa tasaisella sy¨

• tteell¨

a ja 2) se ei pysy mukana nopeissa nousuissa ja laskuissa. Ominaisuudet tuot- tavat sumentumista tuloskuvaan. 252 Optimaalinen ennustaja (8.5.1) Kun oletetaan ennustusvirhe ja kvantisointivirhe toisistaan riippumattomiksi, ennustaja voidaan suunnitella kvantisoinnista v¨ alitt¨ am¨ att¨ a siten, ett¨ a jokin

• ptimointikriteeri toteutuu.

Tyypillisesti pyrit¨ a¨ an minimoimaan neli¨

• llist¨

a ennustusvirhett¨ a: min! E{e2

n} = E{(fn − ˆ

fn)2} pakotteella ˙ fn = ˙ en + ˆ fn ≈ en + ˆ fn = fn ja k¨ aytt¨ aen ennustajalle mallia ˆ fn =

m

• i=1

αifn−i Voidaan siis olettaa kvantisointivirheen vaikutus optimoinnin kannalta mit¨ at- t¨

• m¨

aksi (tai ainakin ennustus- ja kvantisointivirheet riippumattomiksi). 253 Menetelm¨ a¨ a kutsutaan differentiaaliseksi pulssikoodimodulaatioksi (dif- ferential pulse code modulation) DPCM. Optimointiteht¨ av¨ aksi j¨ a¨ a valita m kappaletta ennustuskertoimia αi siten, ett¨ a E{e2

n} = E{(fn − m

• i=1

αifn−i)2} minimoituu. Optimointiteht¨ av¨ a voidaan ratkaista annetulle kuvalle f, kunhan ensin las- ketaan f:n autokorrelaatiot. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a menetelm¨ a olisi liian raskas ja ep¨ ak¨ ayt¨ ann¨

• llinen suhteessa saavutet-

tavaan hy¨

• tyyn.

254 Markov-mallilla ennustaminen (8.5.1) Yleens¨ a l¨ ahdet¨ a¨ an liikkeelle kuvan algebrallisesta mallintamisesta esimerkiksi 2-ulotteisena Markov-mallina ja ratkaistaan siit¨ a ennustuskertoimet. Markov-mallissa: E{f(x, y)f(x − i, y − j)} = σ2ρi

vρj h

Lineaarisessa nelj¨ annen asteen ennustimessa: ˆ f(x, y) = α1f(x, y−1)+α2f(x−1, y−1)+α3f(x−1, y)+α4f(x−1, y+1)

x y α4 α1 α3 α2

Kun t¨ ah¨ an sovitetaan Markov-mallin parametrit, saadaan: α1 = ρh, α2 = −ρvρh, α3 = ρv, α4 = 0 255 Heuristisella mallilla ennustaminen (8.5.1) Ennustuskertoimet voidaan valita my¨

• s n¨

appitun- tumalta tai kokeellisesti. Kuva on ennustuskoodattu nelj¨ all¨ a eri mallil- la, joiden tuottamat ennustusvirhekuvat n¨ akyv¨ at. Kolme lineaarista mallia ovat:

ˆ f(x, y) = 0.97f(x, y − 1) ˆ f(x, y) = 0.5f(x, y − 1) + 0.5f(x − 1, y) ˆ f(x, y) = 0.75f(x, y − 1) + 0.75f(x − 1, y) − 0.5f(x − 1, y − 1)

Mallin asteluvun kasvaessa 1 → 2 → 3 ennus- tusvirheen varianssi pienenee 4.9 → 3.7 → 3.3. Nelj¨ as ep¨ alineaarinen ennustin (virhe 4.1) on ˆ f(x, y) =

• 0.97f(x, y − 1)

, jos ∆h ≤ ∆v 0.97f(x − 1, y) , muutoin

32

256

SLIDE 33

Optimaalinen kvantisointi (8.5.1) Kun ennustin on kiinnitetty, kvantisoija voidaan suunnitella siten, ett¨ a se toteuttaa tietyn optimointikriteerin annetulla ennustevirheen jakaumalla. Kvantisoijassa tuloarvojen v¨ ali s ∈ [si−1, si) kuvautuu l¨ aht¨

• arvolle ti. Yleens¨

a kvantisointitasoja ti on parillinen m¨ a¨ ar¨ a L ja jakauma oletetaan symmetrisek- si, jolloin my¨

• s kvantisointitasot tulevat symmetrisesti nollan molemmin puolin.

Koska ennustevirhe todenn¨ ak¨

• isemmin on pieni kuin suuri, kvantisointitasot
• vat tihe¨

amm¨ ass¨ a pienill¨ a ennustevirheen arvoilla s kuin suurilla. Kun pyrit¨ a¨ an minimoimaan kvantisointivirheen neli¨

• t¨

a, optimaalisuusehdot ovat:

si

si−1

(s − ti)p(s)ds = 0, i = 1, 2, . . . , L 2 si =      , kun i = 0

ti+ti+1 2

, kun i = 1, 2, . . . , L

2 − 1

∞ , kun i = L

2

Symmetrian vuoksi s−i = −si ja t−i = −ti 257 Edell¨ a mainitut kriteerit t¨ aytt¨ av¨ a¨ a kvantisoijaa kutsutaan L-asteiseksi Lloyd- Max-kvantisoijaksi. Toinen vaihtoehto on k¨ aytt¨ a¨ a tasav¨ alist¨ a kvantisoijaa, jolle aiempien kritee- rien lis¨ aksi on voimassa rajoitusehto ti − ti−1 = si − si−1 = θ. T¨ allaista kvantisoijaa kutsutaan optimaaliseksi tasav¨ aliseksi kvantisoijaksi. On oletettu, ett¨ a ennustusvirhe noudattaa Laplace-jakaumaa (8.4-10) var- ianssilla σ2

e = 1. Todelliset kvantisointitasot saadaan kertomalla taulukon

arvot todellisella keskihajonnalla. On my¨

• s mahdollista toteuttaa kvantisointi, jossa kvantisointiv¨

alit adap- toituvat eli mukautuvat kuvan eri alueiden ominaisuuksiin. 258 Esimerkki DPCM:n Lloyd-Max-kvantisoinnista (8.5.1) vakio adapt. 1.0 b/pix 2.0 b/pix 3.0 b/pix 1.125 b/pix 2.125 b/pix 3.125 b/pix 259

17.1 Muunnoskoodaus tiivistysmenetelm¨ an¨ a (8.5.2)

Aiemmin esitetyt tiivistysmenetelm¨ at ovat toimineet kuvan spatiaalitasossa. On my¨

• s mahdollista ja nyky¨

a¨ an hyvin suosittua toteuttaa tiivistys jossakin muunnostasossa. Tiivistysmuunnoksena voidaan k¨ aytt¨ a¨ a diskreetti¨ a Karhunen-Lo` eve-, Fourier-, kosini-, Walsh-Hadamard- tai aallokemuunnosta. JPEG-standardi k¨ aytt¨ a¨ a diskreet- ti¨ a kosinimuunnosta. Kaikissa muunnoskoodauksissa toteutetaan samaa periaatetta:

symboli- dekoodaus symboli- muunnos käänteis-

tiivistetty kuva alkuperäinen N × N-kuva

koodaus

kanava

yhdistäminen n × n-osakuvien

purettu kuva

kvantisointi muunnos jako n × n-

• sakuviin

kooderi dekooderi Alkuper¨ ainen kuva jaetaan n × n-kokoisiin osakuviin, joissa pyrit¨ a¨ an poista- maan pikselien v¨ alist¨ a redundanssia muunnoksen avulla. Muunnoksen tuot- tamat arvot kvantisoidaan ja koodataan. Kvantisoinnissa suurin osa muun- nosarvoista kvantisoidaan nollaksi eli eliminoidaan. 260 Muunnoskoodauksia (8.5.2) Kuvamuunnoksen T(u, v) yleinen muoto N × N-kokoiselle kuvalle f(x, y): T(u, v) =

N−1

• x=0

N−1

• y=0

f(x, y) g(x, y, u, v) f(x, y) =

N−1

• u=0

N−1

• v=0

T(u, v) h(x, y, u, v) g(x, y, u, v) on muunnoksen ja h(x, y, u, v) on k¨ a¨ anteismuunnoksen ydin. Ydin m¨ a¨ ar¨ a¨ a muunnoksen luonteen. Muunnosydin on separoituva, joss g(x, y, u, v) = g1(x, u) g2(y, v) Muunnosydin on symmetrinen, joss g on separoituva ja g1 on funktionaalis- esti sama kuin g2: g(x, y, u, v) = g1(x, u) g1(y, v) 261 Separoituva muunnos voidaan laskea kahdessa vaiheessa kuten aiemmin diskreet- ti Fourier-muunnos: 1) Lasketan yksidimensioinen muunnos f(x, y):n rivien suhteen T(x, v) =

N−1

• y=0

f(x, y) g2(y, v) x, v = 0, 1, . . . , N − 1 2) Lasketan yksidimensioinen muunnos T(x, v):n sarakkeiden suhteen T(u, v) =

N−1

• x=0

T(x, v) g1(x, u) u, v = 0, 1, . . . , N − 1 Yht¨ a hyvin voidaan my¨

• s laskea ensin sarakkeiden ja sitten rivien suhteen.

Separoituvan muunnoksen k¨ a¨ anteismuunnos voidaan vastaavasti laskea kahdessa vaiheessa. 262 Kosini- ja Walsh-Hadamard-muunnokset (8.5.2) Kosinimuunnos: g(x, y, u, v) = h(x, y, u, v) = α(u)α(v) cos (2x + 1)uπ 2N cos (2y + 1)vπ 2N α(u) =   

• 1

N ,

kun u = 0

• 2

N ,

kun u = 0 Walsh-Hadamard-muunnos: g(x, y, u, v) = h(x, y, u, v) = 1 N (−1)

Pm−1

i=0 [bi(x)pi(u)+bi(y)pi(v)]

bk(z) on z:n k:s bitti oikealta pk(w) on w:n Gray-koodin k:s bitti vasemmalta 263 Kosini- ja Walsh-Hadamard-muunnosten 2D-ytimet (8.5.2) kosini Walsh-Hadamard

33

264

SLIDE 34

Esimerkki Fourier-, Hadamard- ja kosinikoodauksesta (8.5.2) Fourier Hadamard kosini 265 Osakuvien koon valinta (8.5.2) Huomataan, ett¨ a diskreetti kosinimuunnos tuottaa alhaisemman neli¨

• virheen

kuin Fourier- ja Hadamard-muunnokset. 16×16 n¨ aytt¨ a¨ a olevan riitt¨ av¨ an suuri koko, koska kosinimuunnoksen virhe ei sit¨ a suuremmalla koolla en¨ a¨ a pienene. 266 Osakuvien koon valinta, esimerkki (8.5.2) Liian pienill¨ a osakuvilla tuloskuva ruuduttuu, kuten voidaan n¨ ahd¨ a. alkup. alkup. 4 × 4 8 × 8 2 × 2 8 × 8 267 Bittiallokointi (8.5.2) Lopuksi on ratkaistava bittiallokointi eli kuinka k¨ aytett¨ aviss¨ a olevat bitit k¨ aytet¨ a¨ an koodaamaan muunnoskertoimia. Koodataanko muutama t¨ arkein kerroin tarkasti vai useampia kertoimia ep¨ atarkasti? Useita erilaisia strategioi- ta on olemassa, joista kirjassa esitell¨ a¨ an zonal coding ja threshold coding.

17.2 T¨ arkeimpi¨ a kuvantiivistysstandardeja (8.6)

Binaarikuvat: CCITT Group 3 ja 4; 1- tai 2-dimensioinen juoksunpituuskoodaus yhdistettyn¨ a kiinte¨ a¨ an Huffman-koodaukseen. Harmaas¨ avy- ja v¨ arikuvat: JPEG; DCT-koodaus 8 × 8-lohkoissa, maksimis- saan 11-bittiset kertoimet koodattuna kiinte¨ all¨ a Huffman-koodauksella, DC- kertoimet koodattu erotuksena edellisest¨ a lohkosta. JPEG 2000 on uusi aallokepohjainen tiivistysstandardi. 268

18. Kuvien segmentointi

Segmentointi = osiin jakaminen Segmentoinnilla kuvasta etsit¨ a¨ an esim. esineit¨ a tai muita osa-alueita. Osa-alueet voidaan sitten kuvailla tai tunnistaa. Segmentointimenetelm¨ at perustuvat yleens¨ a joko

• ep¨

ajatkuvuuksien, so. kappaleiden v¨ alisten reunojen, l¨

• yt¨

amiseen tai

• samankaltaisuuksien, so. kappaleisiin kuuluvien vierekk¨

aisten pikselei- den, l¨

• yt¨

amiseen. 269

18.1 Ep¨ ajatkuvuuksien havaitseminen (10.1)

Kuvassa olevat ep¨ ajatkuvuudet – kuten yksitt¨ aiset ymp¨ arist¨

• st¨

a erottuvat pisteet, viivat tai reunat – voidaan l¨

• yt¨

a¨ a sopivalla maskilla konvoloimalla. Pisteen havaitseminen (10.1.1)

• 1
• 1
• 1
• 1

8

• 1
• 1
• 1
• 1

Pisteen havaitseminen voidaan toteuttaa konvoloimalla kuva Laplace-operaattorin kaltaisella maskilla. Tasaisella alueella maskin vaste on nolla. Vaste pit¨ a¨ a kynnyst¨ a¨ a sopi- valla arvolla, jotta vain merkitt¨ av¨ at poikkeamat erottuvat. 270 Viivan havaitseminen (10.1.2) Yhden pikselin levyisen viivan havaitseminen voidaan puolestaan toteuttaa nelj¨ ass¨ a p¨ a¨ asuunnassa seuraavilla maskeilla:

• 1
• 1
• 1

2 2 2

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1

2

• 1

2

• 1

2

• 1
• 1
• 1

2

• 1
• 1

2

• 1
• 1

2

• 1

2

• 1
• 1
• 1

2

• 1
• 1
• 1

2 271 Reunan havaitseminen (10.1.3) Reunan havaitseminen on ep¨ ajatkuvuuksien havaitsemisista t¨ arkein, koska yksitt¨ aisi¨ a pisteit¨ a ja yhden pikselin levyisi¨ a viivoja ei tavanomaisissa harmaa- arvokuvissa juurikaan esiinny. Idealisoidut reunamallit (10.1.3) kynnysreuna ramppireuna

34

272

SLIDE 35

Ramppireunan derivaatat ideaalitapauksessa (10.1.3) N¨ ahd¨ a¨ an, kuinka yksidi- mensioisessa jatkuvassa tapauk- sessa reuna tumman ja kirkkaan alueen v¨ alill¨ a n¨ akyy harmaa-arvossa ja sen en- simm¨ aisess¨ a ja toisessa derivaatas- sa. Voidaan havaita, ett¨ a reuna ilmenee erityisen selv¨ asti toisen derivaatan merkin- vaihtona eli nollanylityk- sen¨

• a. Vastaavasti samalle

kohdalle sattuu ensimm¨ aisen derivaatan paikallinen ¨ a¨ ariarvo. 273 Ramppireunan derivaatat kohinassa (10.1.3) Kohinan lis¨ a¨ antyess¨ a derivaattojen ideaaliset muodot alkavat sekoittua vahvistuvaan kohinaan. Etenkin toinen derivaatta tulee no- peasti k¨ aytt¨

• kelvottomaksi.

Tilannetta voidaan helpottaa alip¨ a¨ ast¨

• suodattamalla kohinaista kuvaa ennen

derivointeja tai niiden j¨ alkeen. 274 Gradienttioperaattorit (10.1.3) Reunan havaitseminen diskreetist¨ a kaksiulotteisesta kuvasta on paljon vaikeam- paa, mutta siiihenkin voidaan k¨ aytt¨ a¨ a derivointia. T¨ arkeimm¨ at diskreetit derivaatat ovat gradienttioperaattorit ja diskreetti Laplace-operaattori. Kuvank¨ asittelyss¨ a k¨ aytett¨ avi¨ a t¨ arkeimpi¨ a gradienttioperaattoreita

• vat

Roberts-, Prewitt- ja Sobel-maskit. Diskreetin gradientin arvo on kaksidimen- sioinen vektori, jonka komponentit kuvaa- vat harmaa-arvojen muutoksen voimakku- utta pysty- ja vaakasuunnissa. Gradientti voidaan my¨

• s yhdist¨

a¨ a skalaarik- si, joka kertoo muutoksen itseisarvon, mutta ei sen suuntaa: ∇f =

• G2

x + G2 y ≈ |Gx| + |Gy|

275 Gradienttioperaattorit, esimerkki (10.1.3) alkuper¨ ainen alip¨ a¨ ast¨

• suodatettu

= ⇒ 276 Laplace-operaattori (10.1.3) Diskreetti Laplace-operaattori approksimoi 2-dimensioista toista derivaattaa: ∇2 ≈

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1

4

• 1

tai

• 1

8

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1

Laplace-operaattori voi

• lla

my¨

• s suurempi, jolloin siihen

yhdistyy alip¨ a¨ ast¨

• suodatus. T¨

al- laista kutsutaan Laplace of Gaussian- eli LoG-suodatukseksi. h(r) = −e− r2

2σ2

∇2h(r) = −r2−σ2

σ4 e− r2

2σ2

277 LoG-suodatus ja nollanylitykset, esimerkki (10.1.3) alkup. alip¨ a¨ ast¨

• LoG

Sobel- gradientti Laplace- maski nollan- ylitykset 278

18.2 Reunapisteiden yhdist¨ aminen ja rajaviiva (10.2)

Yksitt¨ aisten reunapisteiden l¨

• yt¨

aminen kuvasta on verraten helppoa. Sit¨ akin vaikeampaa on muodostaa yhten¨ aisi¨ a ja ohuita rajaviivoja, jotka rajaisivat kuvassa n¨ akyv¨ at kohteet toisistaan ja taustasta. T¨ ass¨ a reunalla tarkoitetaan kuvassa havaittavaa jyrk¨ ahk¨

• ¨

a harmaa-arvojen muutosta, joka ilmenee ainakin jonkin matkaa jatkuvana, muutossuuntaa vastaan kohtisuorasti kulkevana muotona. Rajaviivalla vastaavasti tarkoitetaan kuvassa n¨ akyvien kahden erillisen ko- hteen v¨ alist¨ a yhten¨ aist¨ a viivaa, jonka toisella puolella on vain toiseen ko- hteeseen kuuluvia pikseleit¨ a ja toisella puolella vain toiseen kuuluvia. L¨

• ydettyjen reunapisteiden yhdistely merkitseviksi rajaviivoiksi voidaan to-

teuttaa joko paikallisin tai koko kuva-alaa koskevin globaalein operaatioin. 279 Reunapisteiden paikallinen k¨ asittely (10.2.1) Kun kuvasta on ensin jollakin menetelm¨ all¨ a l¨

• ydetty kaikki kelvolliset re-

unapikselit, voidaan soveltaa seuraavaa samankaltaisuuteen perustuvaa hakua rajaviivojen kokoamiseksi. K¨ ayd¨ a¨ an l¨ api kaikki reunapikselit ja verrataan ku- takin pikseli¨ a sen tietyss¨ a ymp¨ arist¨

• ss¨

a olevien muiden reunapikselien kanssa. Naapurinsa kanssa riitt¨ av¨ an samankaltaiset pikselit yhdistet¨ a¨ an toisiinsa. K¨ aytetty ymp¨ arist¨

• voi
• lla

es-

• im. 3 × 3- tai 5 × 5-kokoinen.

Samankaltaisuuden arvioinnissa voidaan verrata pikseleiss¨ a lasketun gradi- entin suuruutta ja suuntaa. Pikse- leit¨ a yhdistett¨ aess¨ a pidet¨ a¨ an kirjaa samaan yhten¨ aiseen komponenttiin kuuluvista rajapisteist¨ a. Menetelm¨ a yhdist¨ a¨ a katkeilleita ra- joja, mutta ei viel¨ a ohenna reunoja yhden pikselin levyisiksi rajaviivoiksi.

35

280

SLIDE 36

18.3 Hough-muunnos (10.2.2)

Globaaleista rajaviivojen hakumenetelmist¨ a t¨ arkein on Hough- [haff-] muun- nos lukuisine variaatioineen. Hough-muunnos soveltaa reunapikseleille yhdist¨ amis- kriteeri¨ a: ovatko pisteet m¨ a¨ ar¨ atyn muotoisella k¨ ayr¨ all¨ a vai eiv¨ at. Muunnoksessa tarkastellaan kaikkia l¨

• ydettyj¨

a reunapikseleit¨ a kerralla ja so- vitetaan niit¨ a tietyn k¨ ayr¨ amuodon eri parametriarvoihin. Reunapikseleiden ei tarvitse olla kiinni toisissaan kunhan ne vain ovat samalla k¨ ayr¨ all¨ a, tyypillis- esti samalla suoralla.

(xi, yi) y x b a b = −xia + yi

Tunnetaan reunapikseli (xi, yi). Kaik- ki sen kautta kulkevat suorat toteut- tavat: yi = axi + b Eli: b = −xia + yi N¨ ain saatiin suora ab-parametritasoon. Jokainen suoran piste vastaa yht¨ a mahdollista (xi, yi):n kautta kulke- vaa suoraa. 281

b a b = −xia + yi x (a′, b′) b = −xja + yj (xj, yj) (xi, yi) y

Vastaavasti toiselle reunapikselille (xj, yj) saadaan parametriesitys: b = −xja + yj N¨ aiden kahden ab-tason suoran leikkauspiste (a′, b′) voidaan laskea. T¨ all¨

• in a′ ja b′ ovat ko. kahden pis-

teen v¨ alisen suoran parametrit. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a ab-parametriavaruus t¨ aytyy jotenkin kvantisoida kaksiulotteiseksi kertym¨ asolukoksi (ac- cumulator cells). K¨ aym¨ all¨ a l¨ api kaikki parametrin a kvantisoidut arvot ja ratkaisemalla vastaava b-arvo voidaan (xi, yi):n m¨ a¨ ar¨ a¨ am¨ a suora piirt¨ a¨ a kertym¨ asolukkoon lis¨ a¨ am¨ all¨ a kutakin (a, b) pistett¨ a vastaavaa solun arvoa yhdell¨ a. Kun sama on tehty kaikille reunapisteille, haetaan kertym¨ asolukon suurimmat arvot ja piirret¨ a¨ an kuvaan niit¨ a vastaavat suorat. 282

ρ θ (xi, yi) y x

Lineaarisen parametrisoinnin ongelma ovat suorat, joille kulmakerroin on ¨ a¨ aret¨

• n. T¨

alt¨ a

• ngelmalta v¨

altyt¨ a¨ an, kun parametrisoidaan suorat ab-tason sijasta ρθ-tasoon: x cos θ + y sin θ = ρ T¨ all¨

• in

kutakin kuvatason pikseli¨ a vas- taa parametritasossa pala sinik¨ ayr¨ a¨

• a. Suorat

l¨

• ydet¨

a¨ an j¨ alleen kertym¨ asolukon avulla. 283 Hough-muunnoksen k¨ ayt¨ ann¨

• n sovelluksissa t¨

aytyy asettaa kertym¨ asolujen arvoille jokin kynnys, jota suuremmat arvot tulkitaan havaituiksi suoriksi. Suoria piirrett¨ aess¨ a t¨ aytyy viel¨ a hakea niiden alku- ja loppupisteet, jotta suorista ei tulisi liian pitki¨ a. alkuper¨ ainen kertym¨ asolukko kynnystetty gradientti l¨

• ydetyt suorat

Paitsi suoria, Hough-muunnoksella voidaan hakea my¨

• s muita parametrisoitavis-

sa olevia k¨ ayr¨ amuotoja, esim. ympyr¨

• it¨

a. 284

18.4 Kynnystys (10.3)

Segmentointi voidaan toteuttaa my¨

• s suoraan kuvan harmaatasojen avulla,

jos taustan ja kohteen tai kohteiden harmaa-arvot poikkeavat toisistaan ri- itt¨ av¨

• asti. Kynnystyksess¨

a asetetaan tietty harmaa-arvo T kynnykseksi, jota suuremmat/pienemm¨ at harmaa-arvot kuuluvat kohteeseen ja muut taustaan. Kynnyksi¨ a voi olla my¨

• s useampia kuin yksi. T¨

all¨

• in kuva tulee jaetuksi

yht¨ a useampaan osaan kuin kynnyksi¨ a on. Osat eiv¨ at v¨ altt¨ am¨ att¨ a ole yht- en¨ aisi¨

• a. Kynnys/kynnykset voidaan asettaa joko globaalisti koko kuva-alalle

tai paikallisesti. Globaalit kynnykset voidaan asettaa joko harmaa-arvohistogrammia tarkastellen tai nojautuen oletukseen harmaa-arvojakaumien muodoista. Paikalliset kynnykset perustuvat johonkin kuvan paikalliseen ominaisuu- teen kuten harmaa-arvojen keskiarvoon ja varianssiin. Dynaamiset kynnykset perustuvat paitsi kuvan paikallisiin ominaisuuksiin my¨

• s kyseisen pikselin sijaintiin kuvassa.

285 On huomattava, ett¨ a etenk¨ a¨ an globaali kynnystys ei takaa segmentoitujen ko- hteiden yhten¨ aisyytt¨ a, koska menetelm¨ at perustuvat vain pikseleiden harmaa- arvoihin eiv¨ atk¨ a ota huomioon pikseleiden j¨ arjestyst¨ a ja ymp¨ arist¨

• j¨

a. Jos globaali kynnystys tuottaa yhten¨ aisi¨ a alueita, se on osoitus kohteiden ja taustan harmaa-arvojen selke¨ ast¨ a eroavuudesta. kaksihuippuinen jakauma kolmihuippuinen jakauma 286 Valaistuksen vaikutus kynnystykseen (10.3.2) Ep¨ atasainen valaistus sotkee harmaa-arvo- histogrammin minimikohdan hakemiseen perustuneen globaalin kynnystyksen. Histogrammin piikkien sekoittuminen voidaan selitt¨ a¨ a valaistus-heijastus-mallilla: f(x, y) = i(x, y)r(x, y) Logaritmoimalla: ln f(x, y) = ln i(x, y) + ln r(x, y) Voidaan tulkita, ett¨ a ln f(x, y):n his- togrammi

• n

ln r(x, y):n histogrammi ln i(x, y):n histogrammilla konvoloituna. Mit¨ a laveampi valaistuksen histogrammi on, sit¨ a enemm¨ an kuvan histogram- mi v¨ a¨ aristyy. 287 Jos ep¨ atasainen valaistus pysyy samana kuvasta toiseen, sen vaikutusta voidaan koettaa poistaa normalisoimalla valaistus k¨ aytt¨ aen tasaisesta valkeasta pin- nasta otettua referenssikuvaa, jolla kukin kuva jaetaan pikseleitt¨ ain. Yksinkertainen globaali kynnystys (10.3.3) Harmaa-arvohistogrammi n¨ aytt¨ a¨ a, ett¨ a alkuper¨ ainen kuva on l¨ ahes bi-

• naarinen. Siten on varsin helppoa

asettaa kynnys T siten, ett¨ a kap- paleiden varjot eliminoituvat. K¨ ayt¨ ann¨

• ss¨

a segmentointiteht¨ av¨ at

• vat harvoin n¨

ain helppoja.

36

288

SLIDE 37

Iteratiivinen globaali kynnystys (10.3.3) Globaali kynnys T voidaan asettaa my¨

• s iteratiivisesti.

Valitaan T:lle alkuarvo. Jaetaan pikselit kahteen ryhm¨ a¨ an: T:t¨ a pienempiin ja sit¨ a suurempiin. Lasketaan ryhmien keskiarvot µ1 ja µ2. Lasketaan uusi arvo: T = 1

2(µ1 + µ2).

• Iteroidaan. . .

289 Yksinkertainen adaptiivinen kynnystys (10.3.4) Ep¨ atasaisen valaistuksen aiheuttamaa alueellista vaihtelua kohteen ja taustan harmaa-arvoissa voidaan kompensoida adaptiivisella kynnystyksell¨ a. Yksinkertainen adaptiivinen kynnystys voidaan toteuttaa jakamalla kuva os- akuviksi, joissa testataan harmaa-arvojakauman yksi-/kaksihuippuisuus ja valitaan k¨ aytt¨

• ¨
• n globaali/paikallinen kynnystys ja kynnysarvo.

Optimaalinen kynnystys (10.3.5) Bayesilaiseen optimiluokitteluteoriaan perustuen voidaan toteuttaa luokit- teluvirheen todenn¨ ak¨

• isyyden mieless¨

a optimaalinen kynnystys, kunhan ko- hteen ja taustan harmaa-arvojen tiheysfunktioiden muodot tunnetaan tai

• letetaan ja niiden parametrien arvot joko tiedet¨

a¨ an, oletetaan tai estimoidaan datasta. Bayesilaisessa luokittelussa oletetaan yleens¨ a gaussisesti jakautuneet toden- n¨ ak¨

• isyystiheydet, koska niit¨

a on helpointa k¨ asitell¨ a. 290 Optimaalinen luokittelu on k¨ asitelty hahmontunnistuksen kurssilla. T¨ ass¨ a ri- itt¨ a¨ a todeta, ett¨ a optimaalinen kynnysarvo sijaitsee pisteess¨ a T, jossa P1p1(T) = P2p2(T) miss¨ a P1 ja P2 ovat kohteen ja taustan a priori todenn¨ ak¨

• isyydet ja p1(z) ja

p2(z) vastaavat harmaa-arvojen todenn¨ ak¨

• isyystiheysfunktiot.

Jos on oletettu normaalijakautuneet ja tunnetut tiheysfunktiot, raja-arvo T voidaan ratkaista analyyttisesti. Jos jakaumien parametrej¨ a ei oleteta vaan estimoidaan, p¨ a¨ adyt¨ a¨ an iteratiiviseen hakuun. Tiheysfunktioiden parametrit voidaan sovittaa havaittuun harmaa-arvohistogrammiin minimoimalla sovi- tusvirheen neli¨

• summaa.

291 Optimaalinen kynnystys, esimerkki (10.3.5) R¨

• ntgenkuvasta on segmentoitu syd¨

amen vasenta kammiota. Ensin p¨ a¨ atettiin, miss¨ a kuvan 49 osakuvasta on kaksihuippuinen jakauma, eli sek¨ a kohdetta ett¨ a taustaa, ja miss¨ a ei. Kaksihuippuisissa osakuvissa estimoitiin iteratiivis- esti kaksihuippuisen gaussisen jakauman parametrit ja ratkaistiin optimaaliset

• kynnykset. Kynnysarvot interpoloitiin osakuvien v¨

alill¨ a pikseli pikselilt¨ a. 292 Kynnyksen asettaminen reunan ominaisuuksien perusteella (10.3.6) Kynnystykseen perustuvassa segmentoinnissa on yleens¨ a tarpeen histogram- min huippujen ja laaksojen luotettava automaattinen havaitseminen. Teht¨ av¨ a

• n helppo, jos huiput ovat kapeita, korkeita, symmetrisi¨

a ja selv¨ asti erill¨ a¨ an. Todellisuudessa n¨ ain ei useimmiten ole. Tilannetta v¨ a¨ arist¨ a¨ a usein lis¨ aksi se, ett¨ a taustaa on huomattavasti paljon enemm¨ an kuin kohdetta. Asiaa voidaan auttaa, jos tarkastellaan ainoastaan pikseleit¨ a reunojen l¨ ahelt¨ a. T¨ all¨

• in kohteen ja taustan pikseleill¨

a on sama todenn¨ ak¨

• isyys ja saatu his-

togrammi kuvaa parhaiten reunojen harmaa-arvojakaumaa, joka tavanomaises- sa histogrammissa on tiheysfunktion laaksossa. Reunan l¨ aheisyys saadaan selville gradientin itseisarvon avulla. Ollaanko reunan kirkkaalla vai tummalla puolella, selvi¨ a¨ a Laplace-operaattorin merkist¨ a. Reunaa voidaan k¨ asitell¨ a my¨

• s kolmiarvoisena kuvana, joka muodostetaan:

s(x, y) =      jos ∇f < T + jos ∇f ≥ T ja ∇2f ≥ 0 − jos ∇f ≥ T ja ∇2f < 0 293 T¨ all¨

• in kullakin vaaka- ja pystyrivill¨

a siirtyminen vaalealta taustalta tummaan kohteeseen ja takaisin n¨ akyy sekvenssin¨ a: (· · · )(−, +)[0 tai +](+, −)(...). Hakasulkeiden sis¨ all¨ a oleva osa rivi¨ a voi koostua mielivaltaisen monesta merk- ist¨ a ja muodostaa kohteen, muut pikselit kuuluvat taustaan. Eri T:n arvoilla seuraa hieman erilainen segmentointitulos. Tarkkailemalla ∇f:n jakaumaa havaitaan, ett¨ a se on kaksihuippuinen ja siihen voidaan huip- pujen v¨ aliin asettaa T, joka segmentoi kuvan hyvin. 294

18.5 Aluel¨ aht¨

• inen segmentointi (10.4)

Kynnystykseen perustuneet menetelm¨ at eiv¨ at juurikaan v¨ alitt¨ aneet syntynei- den segmenttien yhten¨ aisyydest¨

• a. Aluel¨

aht¨

• isess¨

a (region-based) segmen- tointimenetelmiss¨ a pidet¨ a¨ an ensisijaisesti koko ajan huoli siit¨ a, ett¨ a syntyneet alueet ovat yhten¨ aisi¨ a ja homogeenisia. Aluel¨ aht¨

• iset menetelm¨

at voidaan formuloida: Olkoon R koko kuva-alue, joka tulee jakaa n:¨ a¨ an osa-alueeseen R1, R2, . . . , Rn, joille p¨ atee:

• ∪n

i=1Ri = R, joten segmentoinnin on oltava t¨

aydellinen

• Ri:t ovat yhten¨

aisi¨ a alueita

• Ri ∩ Rj = ∅ ∀i = j, joten osa-alueet ovat kesken¨

a¨ an pistevieraita

• P(Ri) = TOSI, i = 1, 2, · · · , n, joten alueet toteuttavat homogeenisu-

usehdon

• P(Ri ∪Rj) = EP¨

ATOSI ∀i = j, joten alueiden yhdisteet eiv¨ at toteuta homogeenisuusehtoa 295 Lis¨ aksi tarvitaan mahdollisesti a priori tietoa esimerkiksi alueiden koosta, muodosta ja harmaa-arvojen varianssista. Aluel¨ aht¨

• iset segmentointimenetelm¨

at k¨ aynnistyv¨ at joko tilanteesta, jossa toistensa naapureina olevia pikseleit¨ a aletaan yhdistell¨ a suuremmiksi seg- menteiksi, tai tilanteesta, jossa koko kuva on yksi ep¨ ahomogeeninen seg- mentti, jota aletaan pilkkoa pienemmiksi osiksi. Alueiden kasvatus (10.4.2) Alueiden kasvatuksessa ryhmitell¨ a¨ an pikseleit¨ a tai niiden ryhmi¨ a suuremmiksi

• alueiksi. Yksinkertainen tekniikka on pikseleiden yhteenker¨

a¨ aminen (pixel aggregation). Siin¨ a l¨ ahdet¨ a¨ an liikkeelle siemenpisteist¨ a, joihin liitet¨ a¨ an niiden naapuripikselit, jos naapurit ovat riitt¨ av¨ an samankaltaisia alueen muiden pik- seleiden kanssa. Pikseleiden ja alueiden v¨ alinen samankaltaisuus perustuu tyypillisesti harmaa- tason keskiarvoon ja varianssiin alueen sis¨ all¨ a, v¨ ariin tai tekstuuriin. Ongelma

• n, kuinka valita siemenpisteet ja kuinka m¨

a¨ aritell¨ a samankaltaisuus.

37

296

SLIDE 38

Siemenpisteiden asettamisessa voidaan hy¨

• dynt¨

a¨ a a priori-tietoa esim. ko- hteiden ja taustan harmaa-arvoista tai k¨ aytt¨ a¨ a kasautusta. Alueiden kasvatus, esimerkki (10.4.2) Tiedet¨ a¨ an, ett¨ a harmaa-arvolla 255 olevat pikselit kuuluvat melko varmasti kohteeseen: k¨ aytet¨ a¨ an niit¨ a siemenpistein¨ a. alkup. siemenpisteet segmentointi segmenttien rajat 297 Alueiden jakaminen ja yhdist¨ aminen (10.4.3) L¨ ahtem¨ all¨ a liikkeelle tulkinnasta, ett¨ a koko kuva on alunperin yksi yhten¨ ainen mutta ep¨ ahomogeeninen segmentti, voidaan johtaa joukko alueiden jakamiseen ja uudelleen yhdist¨ amiseen johtavia segmentointimenetelmi¨ a. Jako-ja-yhdistys-menetelmiss¨ a (split and merge), kuvan osat esitet¨ a¨ an tyypil- lisesti nelipuuna (quadtree), jonka ep¨ ahomogeenisia solmuja pilkotan nelj¨ aksi pienemm¨ aksi solmuksi, kunnes kaikki solmut ovat homogeenisia. T¨ am¨ an j¨ alkeen vierekk¨ aiset alueet, jotka muodostavat homogeenisen alueen, voidaan taas yhdist¨ a¨ a toisiinsa. 298

18.6 Liikkeen k¨ aytt¨

• segmentoinnissa (10.6)

Jos k¨ aytett¨ aviss¨ a on per¨ akk¨ aisi¨ a kuvia liikkuvasta kohteesta, liikett¨ a voidaan k¨ aytt¨ a¨ a segmentointiperusteena. Ensimm¨ ainen kuva otetaan referenssikuvak- si, johon seuraavia kuvia verrataan. Kuvien v¨ alille lasketaan erotuskuva: dij(x, y) =

• 1

jos |f(x, y, ti) − f(x, y, tj)| > θ muulloin miss¨ a θ on kohinan m¨ a¨ ar¨ ast¨ a riippuva kynnys. Useita erotuskuvia summaamalla saadaan n¨ akyviin liikkuvan kohteen j¨ alki

• kuvassa. Kun otetaan huomioon erotuskuvien etumerkki, absoluuttinen ker-

tym¨ aerotuskuva (AADI) jakautuu positiiviseksi ja negatiiviseksi kertym¨ aero- tuskuvaksi (PADI ja NADI), joista PADI n¨ aytt¨ a¨ a liikkuvan kappaleen muodon ja NADI sen reitin kuvassa. 299

19. V¨ arin k¨ aytt¨

• kuvank¨

asittelyss¨ a

19.1 V¨ arienk¨ ayt¨

• n perusteita (6)

V¨ ari on ihmissilm¨ alle eritt¨ ain t¨ arke¨ a informaation l¨ ahde. Ihmissilm¨ a voi erottaa tuhansia v¨ aris¨ avyj¨ a ja niiden intensiteettej¨

• a. Harmaas¨

avyj¨ a silm¨ a kykene erottamaan vain joitakin kymmeni¨ a tai noin sata. Automaattisessa kuva-analyysiss¨ a v¨ arit helpottavat havaittavuutta esim. esinei- den identifioinnissa, n¨ akym¨ aanalyysissa ja -erottelussa. V¨ arien k¨ aytt¨

• kuvank¨

asittelyss¨ a voidaan jakaa karkeasti kahteen p¨ a¨ alajiin:

• t¨

aysv¨ arikuvat, kuvat muodostettu v¨ arisensorilla, k¨ asitell¨ a¨ an todellisia v¨ arikuvia

• v¨

a¨ ar¨ av¨ arikuvat, muodostettu alunperin monokromaattisista kuvista v¨ arj¨ a¨ am¨ all¨ a tietyt harmaatasot 300 Valon karakterisointi (6.1)

• akromaattinen (achromatic), valoa karakterisoi vain sen intensiteetti

eli m¨ a¨ ar¨

• a. Esim. musta-valko-TV.
• kromaattinen (chromatic), huomioi energian jakautumisen s¨

ahk¨

• mag-

neettisen s¨ ateilyn kaistalla 400–700 nm. – radianssi (radiance) valol¨ ahteen kokonaisenergia, mittayksikk¨

• watti (W).

– luminanssi (luminance) mittaa havainnoijan havaitsemaa ener- giam¨ a¨ ar¨ a¨ a, esimerkiksi infrapunal¨ ahteen luminanssi on l¨ ahes nol- la, mittayksikk¨

• lumen (lm).

– kirkkaus (brightness) subjektiivinen mitta. 301

19.2 V¨ ariteorian perusteita (6.1)

V¨ arispektri muodostuu puhtaista v¨ areist¨ a, so. vain yhdest¨ a aallonpituudesta kutakin havaittua v¨ ari¨ a kohden. Spektri jakautuu kuuteen leve¨ a¨ an kaistaan: violetti 380–450 nm sininen 450–480 nm vihre¨ a 480–570 nm keltainen 570–600 nm

• ranssi

600–670 nm punainen 670–760 nm 302 V¨ ariaistimus (6.1) Ihmissilm¨ an keskusaluella sijaitsevia tappisoluja on kolmea lajia, jotka ovat eri tavoin herkki¨ a eri aallonpituuksille. Siten spektrin puhtaat v¨ arit havaitaan n¨ aiden kolmen samanaikaisen, rinnakkaisen aistimuksen yhteisvaikutuksena. My¨

• s

muut kuin spektrin puhtaan v¨ arit voivat tuottaa aistinsoluille t¨ aysin vastaavan ¨ arsytyksen. Siksi ihmis- silm¨ a havaitsee spektrin v¨ arej¨ a vas- taavat v¨ arit my¨

• s eri aallonpituuksien

sekoituksista. Esineen tuottama v¨ ariaistimus perustuu sen heijastaman (tai s¨ ateilem¨ an) valon aallonpituuksiin. Kaikkia aallonpituuksia yht¨ alaisesti heijastava pinta n¨ aytt¨ a¨ a valkoiselta. 303 P¨ a¨ av¨ arit (6.1) Tiettyj¨ a aallonpituuksia punaista (R), vihre¨ a¨ a (G) ja sinist¨ a (B) pidet¨ a¨ an val-

• n p¨

a¨ av¨ arein¨ a, koska niiden yhdistelm¨ an¨ a voidaan tuottaa suurempi v¨ ariskaala kuin mill¨ a¨ an muulla kolmen v¨ arin kombinaatiolla. RGB-p¨ a¨ av¨ areist¨ a ei kuitenkaan voida muodostaa kaikkia v¨ arej¨ a. P¨ a¨ av¨ arit on standardoitu: sininen 435.8 nm, vihre¨ a 546.1 nm ja punainen 700 nm. Standardi ei t¨ aysin vastaa ihmissilm¨ an fysiologiaa. V¨ aritelevision toistokyky perustuu valon kolmen p¨ a¨ av¨ arin yhteenlaskuun. Ku- vapinnalla on kolmenlaista loisteainetta, joita aktivoidaan kutakin omalla elektronitykill¨

• a. Elektronisuihkun intensiteetti¨

a moduloimalla muodostetaan eri v¨ arikombinaatiot. (Loisteaineet fosforin ja mm. harvinaisten maametallien seoksia, esim. punainen=Y2O3:Eu3+, sininen=BaMg2Al16O27Eu2+, vihre¨ a=Ce0.67Tb0.33MgAl11O19.)

38

304

SLIDE 39

Sekund¨ a¨ ariv¨ arit (6.1) Sekund¨ a¨ ariv¨ areill¨ a tarkoitetaan pigmenttiv¨ arej¨ a magenta (purppura, vio- letti), syaani (sinivihre¨ a, turkoosi) ja keltainen. Kukin sekund¨ a¨ ariv¨ ari muodostuu kahden p¨ a¨ av¨ arin summana: punainen + sininen = magenta vihre¨ a + sininen = syaani punainen + vihre¨ a = keltainen Sekund¨ a¨ ariv¨ arit m¨ a¨ aritell¨ a¨ an niiden absorboiman p¨ a¨ av¨ arin mukaan. Kaikkien sekund¨ a¨ ariv¨ arien yhdistelm¨ an¨ a muodostuu musta. Painotekniikassa v¨ arit m¨ a¨ aritell¨ a¨ an sekund¨ a¨ ariv¨ arien ja mustan avulla. 305 V¨ arien erottaminen (6.1) V¨ arien erottaminen toisistaan perustuu kolmeen fysiologiseen suureeseen:

• kirkkaus (brightness)
• hue edustaa v¨

ari¨ a vastaavan spektri komponentin aallonpituutta, karak- terisoi puhtaasti v¨ ari¨ a

• saturaatio edustaa v¨

arin suhteellista puhtautta, so. paljonko valkoista tai mustaa on sekoittunut puhtaaseen v¨

• ariin. Spektrin puhtaat v¨

arit

• vat t¨

aysin kyll¨ astyneit¨ a, so. eiv¨ at sis¨ all¨ a valkoista. V¨ arin kromaattisuudella tarkoitetaan hueta ja saturaatiota yhdess¨ a. 306 Tristimulusarvot (6.1) Punaisen, vihre¨ an ja sinisen m¨ a¨ ar¨ at, jotka tarvitaan tietyn spektrin puhtaan v¨ arin tuottamiseen, muodostavat tristimulusarvot X, Y ja Z. Trikromaattisuuskertoimet (6.1) Normalisoidut tristimulusarvot tuottavat trikromaattisuuskertoimet x = X X + Y + Z y = Y X + Y + Z z = Z X + Y + Z x + y + z = 1 Havaittavan puhtaan v¨ arin aallonpituuden ja trikromaattisuuskertoimien vas- taavuudet on ratkaistu kokeellisesti ja taulukoitu. 307 Kromaattisuusdiagrammi (6.1) Trikromaattisuuskertoimilla on itse asiassa vain kaksi vapausastetta: kun x ja y on annettu, z voidaan ratkaista, z = 1 − x − y. Eri v¨ arit voidaan t¨ all¨

• in

esitt¨ a¨ a punaisen x:n ja vihre¨ an y:n funktiona kromaattisuusdiagrammina. Spektrin puhtaat v¨ arit n¨ akyv¨ at kie- lenmuotoisen diagrammin reunoilla. Sekoittuneet v¨ arit sijaitsevat diagram- min sis¨ aosissa. Kuvion keskell¨ a

• n

tasaenergiapiste, joka vastaa standard- ivalkoista. V¨ aris¨ avyjen saturaatio eli kyll¨ asty- neisyys

• n

kromaattisussdiagrammin keh¨ all¨ a aina yksi. L¨ ahestytt¨ aess¨ a tasaen- ergiapistett¨ a saturaatio menee nollaan. 308 Mit¨ a tahansa kolmea v¨ ari¨ a yhdist¨ am¨ all¨ a voidaan tuottaa s¨ avyt, jotka sijaitsevat diagrammissa kyseisten kolmen v¨ arin m¨ a¨ ar¨ a¨ am¨ an kolmion sis¨

• apuolella. Di-

agrammin kuperuuden vuoksi kaikkia puhtaita spektrin v¨ arej¨ a ei voida tuot- taa mill¨ a¨ an v¨

• arikolmikolla. N¨

aytt¨

• jen ja

paperitulostimien tuottamien mahdol- listen v¨ arien joukkoa kutsutaan ko. lait- teen gamutiksi.

19.3 V¨ arimallit (6.2)

Kaikki yleisesti k¨ aytett¨ av¨ at v¨ arij¨ arjestelm¨ at ovat kolmekomponenttisia, mik¨ a

• nkin luonnollista ihmisen v¨

arin¨ a¨

• n kannalta. Akselij¨

arjestelmien m¨ a¨ aritelm¨ at vaihtelevat. 309 RGB-v¨ arimalli (6.2.1) RGB-j¨ arjestelm¨ ass¨ a punainen, vihre¨ a ja sininen modostavat kesken¨ a¨ an ortog-

• naaliset v¨
• ariakselit. Kukin komponentti saa arvoja nollan ja yhden v¨

alilt¨ a. Origossa sijaitsee musta ja siit¨ a l¨ ahtev¨ all¨ a v¨ arikuution avaruusdiagonaalilla kaikki harmaan s¨ avyt valkoiseen asti.

(1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1) R (0,1,0) (0,0,1) (1,0,0) h a r m a a

• a

s t e i k k

• valkoinen

syaani vihreä musta magenta (0,0,0) keltainen punainen sininen G B

Voidaan ajatella, ett¨ a v¨ arikuva muodos- tuu kolmesta riippumattomasta kuvata- sosta tai -komponentista. RGB-j¨ arjestelm¨ a on luonnollinen valin- ta esitett¨ aess¨ a v¨ arej¨ a videomonitorilla ja muilla vastaavilla. RGB ei ole oikea j¨ arjestelm¨ a, kun halu- taan k¨ asitell¨ a kuvia digitaalisesti, koska se ei erottele kromaattista informaatio- ta kirkkaudesta. (Esimerkiksi histogram- min tasoitus.) 310 RGB-v¨ arimallin v¨ arikuutio (6.2.2) Edellinen kuva n¨ aytti RGB-j¨ arjestelm¨ an akselit rautalankamallina. Joskus on kiinnostavampaa katsoa RGB-v¨ arikuution pintoja, jolloin oikeast- aan vain kuution musta k¨ arki ja harmaa-asteikko j¨ a¨ av¨ at n¨ akym¨ att¨

• miin.

311 CMY(K)-v¨ arimalli (6.2.2)

(0,0,1) h a r m a a

• a

s t e i k k

• (1,1,1)

C (1,0,0) (1,1,0) (0,1,1) (0,0,0) (0,1,0) Y valkoinen syaani vihreä musta magenta M keltainen punainen sininen (1,0,1)

RGB-j¨ arjestelm¨ an vastine painotekniikas- sa on CMY-v¨ arimalli, jossa kesken¨ a¨ an

• rtogonaaliset

akselit vastaavat syaa- nia, magentaa ja keltaista. Origossa on nyt valkoinen ja harmaas¨ avyasteikon vas- takkaisessa p¨ a¨ ass¨ a musta.   C M Y   =   1 1 1   −   R G B   Painotekniikassa k¨ aytet¨ a¨ an my¨

• s CMYK-j¨

arjestelm¨ a¨ a, jossa nelj¨ as kompo- nentti on musta. T¨ all¨

• in tasam¨

a¨ ar¨ at kolmea muuta v¨ ari¨ a voidaan korvata vastaavalla m¨ a¨ ar¨ all¨ a mustaa.

39

312

SLIDE 40

YIQ-v¨ arimalli YIQ-j¨ arjestelm¨ a¨ a k¨ aytet¨ a¨ an v¨ ari-TV-l¨ aheteyksiss¨

• a. Y-komponentti vastaa musta-

valko-TV:n v¨ alitt¨ am¨ a¨ a kuvaa ja I- ja Q-komponentit lis¨ a¨ av¨ at siihen v¨ ari- informaation. YIQ muodostetaan lineaarimuunnoksella RGB:st¨ a:   Y I Q   =   0.299 0.587 0.114 0.596 −0.275 −0.321 0.212 −0.523 0.311     R G B   I ja Q voivat siis saada my¨

• s negatiivisia arvoja. Puhtailla harmaas¨

avyill¨ a R = G = B, joten niill¨ a I = Q = 0. YIQ-malli on suunniteltu siten, ett¨ a ilman havaittavaa v¨ a¨ aristym¨ a¨ a voidaan v¨ ahent¨ a¨ a siirrett¨ av¨ an datan m¨ a¨ ar¨ a¨ a koodaamalla I- ja Q-kanavat v¨ ahemm¨ all¨ a bittim¨ a¨ ar¨ all¨ a kuin Y-kanava. 313 HSI-v¨ arimalli (6.2.3)

intensiteetti harmaa-asteikko syaani vihreä punainen keltainen magenta H S sininen valkoinen musta

Kuvank¨ asittelyn kannalta oikein v¨ arimalli

• n HSI-j¨

arjestelm¨ a, koska

• intensiteetti I on erotettu kro-

maattisuudesta HS

• hue H on jaksollinen, so. spektrin

p¨ a¨ at punainen ja violetti sijaitse- vat vierekk¨ ain

• saturaatio S kuvaa puhtaan v¨

arin sekoittumista valkoiseen HSI-nimityksen ohella k¨ aytet¨ a¨ an my¨

• s lyhennett¨

a HSV, miss¨ a V=value. Muunnokset RGB- ja HSI-mallien v¨ alill¨ a ep¨ alineaarisia ja hankalampia kuin muilla j¨ arjestelmill¨

• a. Lis¨

aksi on huomattava H:n jaksollisuuden mahdollisesti tuottamat ongelmat. 314 HSI-j¨ arjestelm¨ an akselit ja v¨ ariympyr¨ a (6.2.3) HSI-akseliston poikkileikkaus vakiointensiteetill¨ a voidaan piirt¨ a¨ a joko kolmiok- si, ympyr¨ aksi tai kuusikulmioksi. Ohessa kaksi mallia. hue saturaatio intensiteetti 315 CIE L∗a∗b∗-v¨ arimalli (6.5.4) Tristimulusarvoista X, Y ja Z johdettu CIE L∗a∗b∗-v¨ arimalli on my¨

• s erino-

mainen vaihtoehto, koska

• se erottelee intensiteetin kromaattisuudesta,
• se on kolorimetrinen, so. samankaltaisilla v¨

areill¨ a on samankaltaiset arvot, jolloin v¨ arien v¨ alist¨ a et¨ aisyytt¨ a voidaan mitata euklidisesti,

• se on perseptuaalisesti tasainen, so. eri hue-arvojen v¨

aliset erot havaitaan tasaisesti. L∗ = 116 h Y YW

• − 16

(XW, YW, ZW) = referenssivalkoinen a∗ = 500

• h

X XW

• − h

Y YW

• b∗ = 200
• h

Y YW

• − h

Z ZW

• h(q) =
• 3

√q q > 0.008856 7.787q + 16/116 q ≤ 0.008856 316

19.4 V¨ a¨ ar¨ av¨ arikuvat (6.3)

V¨ arikuvia voidaan my¨

• s tuottaa alunperin harmaa-arvoisista kuvista joidenkin

asioiden korostamiseksi. Intensiteettiviipalointi (6.3.1) Valitaan jokin taso, jonka yli menev¨ at harmaa-arvot esitet¨ a¨ an v¨ arill¨ a, muut sellaisenaan. Voidaan my¨

• s valita useita harmaa-arvov¨

alej¨ a ja v¨ arj¨ at¨ a niihin kuuluvat pik- selit omilla v¨ a¨ ar¨ av¨ areill¨ a¨ an. alkuper¨ ainen 8 v¨ a¨ ar¨ av¨ ari¨ a 317 Harmaa-arvojen muunnos hue-arvoiksi (6.3.1) Esimerkiksi sadem¨ a¨ arien jakaumaa maan pinnalla on helpompi tarkastella, kun harmaa-arvokuva muunnetaan v¨ a¨ ar¨ av¨ arikuvaksi. 318 Harmaa-arvo–v¨ ari-muunnokset (6.3.2) Jokainen kolmesta v¨ ariarvosta IR, IG ja IB voidaan m¨ a¨ aritell¨ a harmaa-arvon f jatkuvina funktioina. T¨ all¨

• in jokaisella harmaa-arvolla on oma v¨

arins¨ a ja l¨ ahekk¨ aiset harmaa-arvot kuvautuvat l¨ ahekk¨ aisiksi v¨ areiksi. V¨ arit voidaan tuottaa esimerkiksi erivaiheisten absoluuttisten sini-funktioiden

• avulla. Kun sini-funktion aallonpituutta varioidaan, saadaan eri harmaa-arvo-

alueille kulloinkin erilainen vaste. 319 Esimerkki harmaa-arvo–v¨ ari-muunnoksesta (6.3.2) Ylh¨ a¨ all¨ a/vasemmalla v¨ a¨ ar¨ av¨ arimuunnos onnnistuu erottamaan r¨ aj¨ ahdett¨ a vas- taavan harmaa-arvov¨ alin vaatteista, kun taas alhaalla/oikealla ne eiv¨ at erotu toisistaan.

40

320

SLIDE 41

Rinnakkaisten harmaa-arvokuvien k¨ asittely (6.3.2) Satelliitit tuottavat usein monia rinnakkaisia kuvia eri aallonpituusalueilta. Niist¨ a voidaan yhdistelem¨ all¨ a tuottaa v¨ a¨ ar¨ av¨ arikuvia.

sininen vihre¨ a 450–520 nm 520–600 nm punainen l¨ ahi-infrapuna 630–690 nm 760–900 nm R+G+B Ir+G+B

Washington D.C., Potomac-joki Jupiterin kuu Io 321

19.5 V¨ arimuunnokset (6.5)

V¨ arimuunnosten yleinen muotoilu on sama kuin harmaa-arvoisilla spatiaali- aluemenetelmill¨ a, so. g(x, y) = T[f(x, y)] Nyt g(x, y) on vektoriarvoinen. Yleisen ymp¨ arist¨

• operattori T[·]:n sijaan ra-

joitutaan aiempia harmaataso-operaatioita vastaavaan tilanteeseen, jossa si = Ti(r1, r2, . . . , rn), i = 1, 2, . . . , n si:t ja ri:t viittaavaat k¨ aytettyyn v¨ arikoordinaatistoj¨ arjestelm¨ a¨ an, esim. RGB, CMYK tai HSI. HSI:t¨ a k¨ aytett¨ aess¨ a on huomioitava H:n jaksollisuus. Esimerkki: Kuvan intensiteetin kertominen vakiolla k. g(x, y) = k f(x, y) HSI RGB CMY s1 = r1 si = k ri , i = 1, 2, 3 si = k ri + (1 − k) , i = 1, 2, 3 s2 = r2 s3 = k r3 322 V¨ ariviipalointi (6.5.3) V¨ ariviipaloinnissa pyrit¨ a¨ an korostamaan tietty¨ a v¨ aris¨ avy¨ a tai h¨ aivytt¨ am¨ a¨ an kaikki muut kuin se. Haluttu v¨ aris¨ avy m¨ a¨ aritell¨ a¨ an esim. RGB-avaruudessa keskipisteen (a1, a2, a3) ja kuution sivupituuden tai pallon s¨ ateen R0 avulla: si =

• 0.5

jos n

j=1(rj − aj)2 > R2

ri muutoin kuutio pallo 323 V¨ arikorjaukset (6.5.4) Virheellisesti toistuvia v¨ aris¨ avyj¨ a voidaan korjata muuttamalla kuvan pikseleiden intensiteetti¨ a korjausk¨ ayr¨ an avulla. Intensiteetin korjaus vastaa R-, G- ja B- arvojen kaikkien yht¨ alaista muutosta. N¨ ain on menetelty kolmessa esimerkiss¨ a, joissa alkuper¨ aiset kuvat ovat olleet li- ian tasainen, vaalea ja tumma. Tarkemmassa s¨ a¨ ad¨

• ss¨

a voidaan muoka- ta kuvien painotulosta kohdistamal- la CMYK-koordinatistossa kuhunkin komponenttiin oma korjausfunktionsa. Oikeiden v¨ arikorjausten etsiminen on ty¨

• l¨

ast¨ a ja taitoa vaativaa. 324 Histogrammin k¨ asittely (6.5.5) V¨ arikuvia voidaan ehostaa paitsi k¨ asity¨

• n¨

a my¨

• s automaattisesti.

Tyypillinen operaatio on t¨ all¨

• in

intensiteettihistogrammin muokkaus, yksinkertaisimmillaan sen tasoit- taminen. Histogrammin tasoittamista ei milloinkaan pid¨ a kohdistaa R-, G-, ja B-komponentteihin erik- seen, vaan se tulee tehd¨ a HSI- j¨ arjestelm¨ an I-komponentille. Kuvan esimerkiss¨ a on histogram- min tasoituksen j¨ alkeen viel¨ a vahvistettu v¨ arien saturaatiota. 325

19.6 V¨ arikuvien pehmennys ja ter¨ av¨

• itys (6.6.1–2)

Samoja spatiaalitason ali- ja ylip¨ a¨ ast¨

• suotimia, joilla pehmennettiin ja ter¨

a- v¨

• itettiin harmaa-arvokuvia, voidaan k¨

aytt¨ a¨ a my¨

• s v¨
• arikuville. Suodatus teh-

d¨ a¨ an joko yht¨ al¨ aisesti R-, G- ja B-komponenteille tai – mielummin – yksist¨ a¨ an I-komponentille, jolloin pikselien H- ja S-komponentit eiv¨ at sotkeennu. RGB I RGB-I alip¨ a¨ ast¨

• ylip¨

a¨ ast¨

• 326

19.7 V¨ arisegmentointi HSI-avaruudessa (6.7.1)

Aiemmin jo puhuttiin v¨

• ariviipaloinnista. Ky-

seess¨ a

• li

itse asiassa RGB-avaruudessa tapahtunut v¨ arisegmentointi. V¨ arisegmentointia voidaan tehd¨ a my¨

• s HSI-
• avaruudessa. T¨

all¨

• in asetetaan haluttu hue-

arvov¨ ali ja saturaation v¨ ahimm¨ aisarvo, joiden mukainen HSI-v¨ ariavaruuden sektori segmen- toidaan kohteeksi. Esimerkkikuvasta n¨ ahd¨ a¨ an ensin H-, S- ja I-

• arvot. Sitten S on kynnystetty maksimiar-

von

1 10:n kohdalta ja saadulla binaarikuvalla

• n kerrottu H-kuva. Tulon histogrammista on

segmentoitu yli 0.9:n arvot punaisiksi. 327 RGB-avaruudessa segmentointi (6.7.2) RGB-avaruudessa segmentoinnista saadaan usein parempia tuloksia kuin HSI-avaruudessa. Aiem- paa v¨ ariviipalointia yleisempi malli on tutkia v¨ arin z et¨ aisyytt¨ a segmentin keskiarvov¨ arist¨ a a: D(z, a) =

• (z − a)TC−1(z − a)

miss¨ a C on segmentoitavan a-keskiarvoisen v¨ arin autokovarianssimatriisi. C voidaan my¨

• s olettaa yksikk¨
• matriisiksi, jol-

loin malli redusoituu aiempaan v¨ ariviipalointiin. Euklidisen et¨ aisyyden sijasta voidaan k¨ aytt¨ a¨ a my¨

• s maksiminormia, jolloin p¨

a¨ adyt¨ a¨ an kuution muotoisiin segmenttirajoihin RGB-avaruudessa.

41

328

SLIDE 42

19.8 Reunanetsint¨ a v¨ arikuvissa (6.7.3)

Reunoja voidaan v¨ arikuvista etsi¨ a yksinkertaisimmillaan kustakin v¨ arikompo- nentista erikseen ja summata gradienttien itseisarvot. T¨ am¨ a menetelm¨ a ei kuitenkaan ole kovin tarkka, koska komponenttikuvissa gradienttien suunnat saattavat olla erilaiset. Oikeampaan tulokseen p¨ a¨ ast¨ a¨ an laskemalla gradientin x- ja y-suuntaiset komponentit vektoreina rgb-vektoriavaruudessa: u = ∂R ∂x r + ∂G ∂x g + ∂B ∂x b v = ∂R ∂y r + ∂G ∂y g + ∂B ∂y b 329 u:n ja v:n avulla voidaan laskea kolme suuretta: gxx = u · u = |∂R ∂x |2 + |∂G ∂x |2 + |∂B ∂x |2 gyy = v · v = |∂R ∂y |2 + |∂G ∂y |2 + |∂B ∂y |2 gxy = u · v = ∂R ∂x ∂R ∂y + ∂G ∂x ∂G ∂y + ∂B ∂x ∂B ∂y Ja niist¨ a edelleen gradientin suunta ja suuruus kussakin suunnassa: θ = 1 2 tan−1 2gxy gxx − gyy F(θ) =

• 1

2[gxx + gyy + (gxx − gyy) cos 2θ + 2gxy sin 2θ] 330 Reunanetsint¨ a v¨ arikuvissa, esimerkki (6.7.3) alkuper¨ ainen u&v ∇R + ∇G + ∇B tulosten erotus 331

19.9 Kohina v¨ arikuvissa (6.8)

Kohinaa voi muodostua v¨ arikuviin kuten harmaatasokuviinkin. Useimmiten kohina on luonteeltaan samanlaista kaikilla RGB-kanavilla, mut- ta optisen suodatuksen vaikutuksesta se voi olla korostunutta jollakin kanaval- la. Siirrytt¨ aess¨ a RGB-avaruudesta HSI-avaruuteen kohinan vaikutus voimistuu, etenkin H- ja S-kanavilla. 332

20. Tenttivaatimukset

Tentiss¨ a tulee hallita syksyn 2004 luennoilla k¨ asitellyt asiat (ks. seuraava

• hje) ja laskuharjoitusten sis¨

alt¨

• .

Tentti sis¨ alt¨ a¨ a nelj¨ a (4) teht¨ av¨ a¨ a, joista kustakin voi saada maksimissaan ku- usi (6) pistett¨

• a. Yksi teht¨

av¨ a tulee suoraan laskuharjoitusteht¨ avien joukosta. Yhdess¨ a teht¨ av¨ ass¨ a pyydet¨ a¨ an selitt¨ am¨ a¨ an joitakin k¨ asitteit¨ a tai lyhenteit¨ a. Loput kaksi teht¨ av¨ a¨ a koskevat luennoilla k¨ asitelty¨ a materiaalia. Tentiss¨ a t¨ aytyy olla mukana seuraavat v¨ alineet: paperia, kirjoitusv¨ alineet, trigonometrisiin funktioihin ja logaritmeihin kykenev¨ a laskin. Muuta materi- aalia tentiss¨ a ei saa olla mukana. Seuraavalla sivulla on ohje tenttiin lukemiseksi Gonzalez-Woodsin kappale- jaon mukaan. K¨ aytettyjen merkint¨

• jen selitykset:

*** keskeisin sis¨ alt¨

• **

muutoin muttei aivan yksityiskohtia * kursorinen k¨ asittely – ei k¨ asitelty lainkaan

• paitsi

333

luku t¨ arkeys 1.1 *** 1.2 ** 1.3 ** 1.4 *** 1.5 *** 2.1 *** 2.2 *** 2.3 **

• 2.3.4

*** 2.4 *** 2.5 *** 2.6 *** 3.1 *** 3.2 *** 3.3 *** 3.4 *** 3.5 *** 3.6 *** 3.7 *** 3.8 *** 4.1 *** 4.2 *** 4.3 *** 4.4 *** 4.5 *** 4.6 ***

• 4.6.5

** luku t¨ arkeys

• 4.6.6

* 5.1 *** 5.2 ***

• 5.2.2

** 5.3 *** 5.4 ***

• 5.4.4

** 5.5 *** 5.6 *** 5.7 *** 5.8 *** 5.9 *** 5.10 – 5.11 *** 6.1 *** 6.2 ** 6.3 *** 6.4 *** 6.5 *** 6.6 *** 6.7 *** 6.8 *** 6.9 – 7.1 ** 7.2 ** 7.3 **

• 7.3.3

– luku t¨ arkeys 7.4 – 7.5 ** 7.6 – 8.1 *** 8.2 ***

• 8.2.2

– 8.3 ** 8.4 *** 8.5 ***

• s.480–

* 8.6 * 9.1 *** 9.2 *** 9.3 *** 9.4 *** 9.5 ***

• 9.5.4

–

• 9.5.7–

– 9.6 – 10.1 *** 10.2 ***

• 10.2.3

– 10.3 *** 10.4 *** 10.5 – 10.6 **

• 10.6.2

–

334

42