Declara've Programming Project: Stable Matching Problems VUB - - PowerPoint PPT Presentation

Declara've ¡Programming ¡Project: ¡ Stable ¡Matching ¡Problems ¡

VUB ¡// ¡21-­‑11-­‑2012 ¡

Nobel ¡Prize ¡in ¡Economics ¡2012 ¡

Stable ¡Marriage ¡Problem ¡(SMP) ¡

• N ¡men: ¡{m1, ¡…, ¡mN}; ¡ ¡N ¡women: ¡{w1, ¡…, ¡wN} ¡ ¡ ¡
• Each ¡man ¡has ¡preferences ¡over ¡the ¡women. ¡ ¡

– ¡m1: ¡w1 ¡> ¡w2 ¡> ¡…. ¡> ¡wN ¡ ¡ ¡ – …. ¡

• Each ¡woman ¡has ¡preferences ¡over ¡the ¡men. ¡ ¡

– ¡w1: ¡mN ¡> ¡mN-­‑1 ¡> ¡… ¡> ¡m1 ¡ ¡ – …. ¡

Stable ¡Marriage ¡ ¡

• Marry ¡the ¡men ¡and ¡women ¡so ¡that ¡there ¡are ¡

no ¡two ¡people ¡of ¡the ¡opposite ¡gender ¡who ¡ would ¡both ¡rather ¡have ¡each ¡other ¡than ¡their ¡ current ¡partner ¡(blocking ¡pair). ¡ ¡

• Example: ¡men ¡= ¡{m1, ¡m2}; ¡women ¡= ¡{w1, ¡w2} ¡ ¡

– m1: ¡w1 ¡> ¡w2; ¡ ¡ ¡ ¡m2: ¡w1 ¡> ¡w2 ¡ – w1: ¡m1 ¡> ¡m2; ¡ ¡ ¡w2: ¡m1 ¡> ¡m2 ¡ ¡ – Stable ¡marriage: ¡(m1, ¡w1), ¡(m2, ¡w2) ¡ ¡ ¡

Solu'ons ¡ ¡

• If ¡preference ¡lists ¡are ¡complete, ¡and ¡strictly ¡
• rdered, ¡there ¡always ¡exist ¡at ¡least ¡one ¡

solu'on. ¡ ¡

• There ¡may ¡exist ¡several ¡solu'ons. ¡
• Gale-­‑Shapley ¡algorithm ¡to ¡find ¡female-­‑ ¡and ¡

male-­‑op'mal ¡solu'ons. ¡ ¡

– Every ¡woman ¡(man) ¡gets ¡her ¡(his) ¡best ¡possible ¡ partner ¡among ¡all ¡stable ¡matchings. ¡ ¡

Incomplete ¡list ¡of ¡preferences ¡ ¡

• A ¡person ¡can ¡exclude ¡some ¡members ¡whom ¡he/

she ¡does ¡not ¡want ¡to ¡marry. ¡ ¡

• With ¡solu'ons: ¡ ¡

– m1: ¡w1 ¡> ¡w2; ¡ ¡ ¡ ¡m2: ¡w1 ¡> ¡w2 ¡ – w1: ¡m1 ¡> ¡m2; ¡ ¡ ¡w2: ¡m1 ¡> ¡m2 ¡ ¡ – Stable ¡marriage: ¡(m1, ¡w2), ¡(m2, ¡w1) ¡ ¡ ¡

• Without ¡solu'ons: ¡ ¡

– m1: ¡w1 ¡> ¡w2; ¡ ¡ ¡ ¡m2: ¡w2 ¡> ¡w1 ¡ – w1: ¡m1 ¡> ¡m2; ¡ ¡ ¡w2: ¡m2 ¡> ¡m1 ¡ ¡

Ties ¡in ¡preferences ¡

• A ¡person ¡may ¡have ¡two ¡or ¡more ¡persons ¡with ¡

the ¡same ¡preference ¡in ¡a ¡'e. ¡ ¡

• m1: ¡{w1, ¡w2} ¡> ¡w3. ¡ ¡

– m1 ¡is ¡indifferent ¡between ¡w1 ¡and ¡w2, ¡but ¡prefers ¡ both ¡to ¡w3. ¡ ¡ ¡

• Several ¡no'ons ¡of ¡stability ¡

– Super, ¡Strong, ¡Weak ¡ ¡

Extensions ¡ ¡

• Student-­‑Project ¡Alloca@on ¡problem ¡(SPA) ¡

– Lecturers ¡provide ¡projects. ¡ ¡ – Students ¡have ¡preferences ¡over ¡projects. ¡ ¡ – Each ¡project ¡has ¡its ¡own ¡quota. ¡ ¡ – Each ¡lecturer ¡has ¡his/her ¡own ¡quota. ¡ ¡ – Lecturers ¡have ¡preferences ¡over ¡students. ¡ ¡

• Assign ¡students ¡to ¡projects, ¡taking ¡into ¡

account ¡preferences ¡and ¡quotas. ¡ ¡

Basic ¡program ¡ ¡

• Preprocessing ¡data. ¡ ¡
• Find ¡stable ¡matchings. ¡ ¡

– Incomplete ¡lists ¡of ¡preferences. ¡ – Ties ¡in ¡preferences ¡(three ¡no'ons ¡of ¡stability). ¡ ¡

• Find ¡op'mal ¡stable ¡matchings. ¡ ¡
• Gale-­‑Shapley ¡algorithm ¡(for ¡SMP ¡with ¡complete ¡

preference ¡lists ¡without ¡4es). ¡ ¡ ¡ ¡

Non-­‑Func'onal ¡Requirements ¡ ¡

• Must ¡run ¡on ¡SWI-­‑prolog ¡on ¡the ¡computers ¡at ¡
• Infogroep. ¡ ¡
• Unix ¡text ¡files. ¡ ¡
• Comment ¡your ¡source ¡code. ¡
• Write ¡a ¡report ¡about ¡your ¡project ¡(main ¡data ¡

structures, ¡algorithm, ¡etc.) ¡ ¡

• Deadline: ¡6 ¡January ¡2013, ¡at ¡midnight. ¡

– Source ¡code ¡ – Report ¡ ¡ – Brief ¡manual ¡& ¡Sample ¡run. ¡ ¡ – Mail ¡to: ¡h.anh@ai.vub.ac.be. ¡ ¡

• Project ¡webpage: ¡hdps://ai.vub.ac.be/node/1040 ¡ ¡
• Reference. ¡ ¡