๏ฟฝ โธ โป โบ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฉ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โธ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โป โฟ โ โ โก โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โ โง โ โ โญ โค โณ โค โฌ โฎ โง โฐ โง โฎโฏ ๏ฟฝ โฉ โ โฐ โง ๏ฟฝ โ โ โซ โฃ โต โฎ โฉ โฅ โฌ โฎ โง โ โ โ โ โ โน โป โ โ โธ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โฟ โ โ โก โฟ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โบ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โฟ โบ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ p. 5/43 โโฑโฏ โฒโโผ โโโ โโโธ Translocation: โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โธ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โฉ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โบ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โผ โ โ P โ โ P โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โฟ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โบ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โป โ โฐ โ โ โฉ ๏ฟฝ โฎโฏ โง โง ๏ฟฝ โฎ โฌ โค โณ โค โญ โง โ โ โฎ โ โ โ โง โฐ โง โฌ โ โฅ โฉ โฎ โต โฃ โซ โ โ โ โฟ โ โ โธ โฟ โ โ โก โฟ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โป โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โบ โ โ โ โ โฟ โธ โ โ โป โน โ โ โ โป โ p. 5/43 โโฑโฏ โฒโโผ โโโ โโโธ Translocation: Fission: โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โป โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โถ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โธ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โบ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โบ โก โป โ โ โ โป โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฉ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โฎโฏ โ ๏ฟฝ โง โ โ โฉ ๏ฟฝ โง โซ โฐ โง โฎ โฌ โค โณ โค โญ โ โฃ โ โ โฟ โก โ โ โฟ โป โ โ โ โต โง โฐ โง โฎ โฌ โฅ โฉ โฎ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โบ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โน โ โ โ โน โ โ โฟ โธ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โฟ โก โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โธ โ โป โ โ โ โ p. 5/43 โโฑโฏ โฒโโผ โโโ โโโธ Translocation: Fission: Fusion: โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โป โ โ โก โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โก โฟ โก โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โป โ โ โ โ โน โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โฟ โ โบ โฃ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โป โ โ โป โป โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โธ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โบ โ โ โน โป โ โ โป โธ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โผ P โ โ P โ โ โโ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โน โ โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โน โธ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โโ โป โ โ โ โฟ โก โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โฟ โ โฟ โ โฟ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โฌ โฐ โฆ โฎ โง โ โ โฏ โป โ โ โธ โ โ โ โฃ โ โ โง โฉ โฏ โฐ โฉ โค โฎ โฅ โ โด โง โ โค โง โฐ โฉ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โป โ โป โฟ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โป โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โป โป โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โก โ โ โ โ โฟ โ โก โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ p. 6/43 โโฑโฏ โโโ โโโ โ โโ โโโธ โฒโโผ โ โทโ โ โทโฟ โโโ โโโ โ โโโ โโโ โโโธ d โโโธ โโโธ โ โโธ โโโบ
๏ฟฝ โ โ โป โโ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โป โน ๏ฟฝ โ โ โพ โ โฟ โ โ โ โป โ โธ โฟ โก โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โธ โ โธ โ โ โป โ โป โ โ โ โป โ โป โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โโ โ P โ โ P โผ โ โ โ โฟ โก โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฏ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โฟ โ โ โน โ โ โ โป โ โป โ โธ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โง โฎ โฆ ๏ฟฝ โฐ ๏ฟฝ โฃ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โข โค โญ โฅ โง โญ โค โต โด โณ โค โญ โฉ ๏ฟฝ โซ โฅ โช โฆ โ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โโ โป โ โ โ โฟ โ p. 7/43 โโฑโฏ โฌโโญ โ โโฉ โฒโโผ โโโ โโโ โ โ โโ โฝโโ
๏ฟฝ โ โก โ โป โ โบ โก โ โโ โ ๏ฟฝ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โป โพโ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โธ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โก โฟ โ โ โ โป โ โพ โธ โก โฏ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โก โป โฟ โ โ โ โบ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โป โ โ โ โ โ โ โฟ โป โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โโ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฆ โฅ โง โฐ โฅ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โง โฆ โฎ โฆ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฃ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โข โค โญ โ โช โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โซ โ โ โญ โต โด โณ โค โญ โฉ ๏ฟฝ โค โ โ โ โ โ โฟ โป โธ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โป โน โ โ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โโ โป โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โป โ โ โ p. 7/43 โโฑโฏ โฌโโญ โโโ โ โโฉ โฒโโผ โโโ โ โโธ โโโ โ โ โโธ โ โโธ โ โโ โฝโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โบ โป โฟ โธ โธ โ โฟ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฏ โ โ โ โ โธ โ โ โ โพโ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โพ โ โ โป โ โ โป โ โพ โ โ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ P โ โ P โ โ โโ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โป โ โป โ โ โบ โ โฟ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โป โก โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โน โป โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โโ โป โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โป โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โช โฆ โ โ โ โ โฆ โซ โง โค ๏ฟฝ โฉ โญ โค โณ โด โฅ โฐ โญ ๏ฟฝ โญ โค โข ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฃ ๏ฟฝ โฅ โ โฆ โฎ โง โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โต โ โ โ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โน โป โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ ๏ฟฝ โโ โก โ โบ โ โป โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โธ โพ โ โ โป โ โ โธ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โธ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โป โธ โก โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โฟ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โน โป โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ p. 7/43 โโฑโฏ โฌโโญ Watterson, et al. (phylogeny โโโ โ โโฉ โฒโโผ โ โโธ โโโ โ โโธ โ โโ โ โโธ โโโ โ โ โโธ reconstruction) โ โโธ โ โโ โฝโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โฃ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โบ โ โธ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โป โ โป โป โน โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โฆ โฅ โง โฐ ๏ฟฝ โฆ ๏ฟฝ โ โง โฎ โฆ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โช โญ โฉ โต โด โณ โค โญ โฉ ๏ฟฝ โฑ โฃ โซ โฐ โฅ โค โฐ โญ โ โฎโฏ โค โฟ โ โ โ โ โ โบ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โป โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ p. 8/43 โโฑโฏ โโโธ โฌโโญ โฒโโผ Hannenhalli โ โโฉ โ โโ โโโ Pevzner, Bafna โโโ โโโ โ โโธ โฝโโ
๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ ๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฆ โง โฃ โฉ โช โฅ โด โง โฅ โ โ โฏ โข โค โญ โ โฏ โค โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โน โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โ โ p. 9/43 โโฑโฏ โ โทโ โโโ โฒโโผ โโโ โโโ โโโ (inversion) โโโธ โโทโฟ
๏ฟฝ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โฟ P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ โผ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โฉ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โญ โต โฐ โฎ โ โฏ โต โค โณ โค โญ โฉ ๏ฟฝ โฆ โฅ โฆ โด โ โป ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โก โก โป โ โพ โ โ โ โ โฐ โก โป โ โ โ โป โ โ โ โญ โ โ โ โฉ โ p. 10/43 โโฑโฏ โฒโโผ Hannenhalli โโโ Pevzner, Bafna โ โโฉ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โป โ โก โ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โบ โก โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โก โบ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฉ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โธ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โโ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โก โ โค โ โ โ โญ โต โฐ โ โฎ โต โค โณ โญ โ โฉ ๏ฟฝ โฆ โฅ โฆ โด โฉ ๏ฟฝ โฏ โฐ โญ โ โ โก โ โป โ โพ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โป โ โก โ โโ โ โป โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โก โบ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ p. 10/43 0 โ โโธ โโฑโฏ [0 , N ] . โฒโโผ [1 , N ] Hannenhalli โโโ โ โทโฟ Pevzner, Bafna โ โทโ โ โทโ โ โโฉ N + 1
๏ฟฝ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โบ โ โ ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โก โบ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โฉ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โผ โโ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โก โ โธ โฟ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โก โฟ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โป โฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โต โญ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โป โ โฐ โฎ โ โฆ โญ โฐ โฏ ๏ฟฝ โฉ โด โฅ โต โฆ ๏ฟฝ โฉ โญ โค โณ โค โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โก โ โก โ โป โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โก โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โป โ โป โ โ โ โบ โป โ โ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โป โป โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โ p. 10/43 0 โ โโธ โโฑโฏ โ โโ [0 , N ] . โฒโโผ [1 , N ] Hannenhalli โโโ โ โทโ โโโธ โ โทโฟ Pevzner, Bafna โโโธ โ โทโ โ โทโ โ โโฉ DNA N + 1
๏ฟฝ โธ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โบ โก โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โก โ โ โ โฃโค โ โ โ โบ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ P โโ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โก โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โบ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ ๏ฟฝ โฅ โฎ โ โญ โฐ โค โฅ โฐ โฃ โฉ โฑ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โก โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โฟ โ โ โ โ p. 11/43 โโฑโฏ ฯ โฒ = ( ฯ 1 , . . . , ฯ j , . . . , ฯ i +1 , ฯ i , . . . , ฯ n ) ฯ = ( ฯ 1 , . . . , ฯ i , ฯ i +1 , . . . , ฯ j , . . . , ฯ n ) (Inversion) โฒโโผ โโโธ โโโ โฒ โโ โ โทโฟ ฯ ( i, j ) ๏ฟฝ โโ โ โโ โ โทโฟ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โป โ โ โ โ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โป โก โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โธ โ โฃโค โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โฟ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โบ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โก โ โก โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โฟ โป โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โฃ โ โ โฟ ๏ฟฝ โ โฑ โฉ โฐ โ โฅ โค โฐ โญ โ โฎ โฅ โ โ โฟ โ โป โ โ โบ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โก โ โ โ โโ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โธ โฟ โ โป โ โ โฟ โ โ โ โ p. 11/43 โโฑโฏ ฯ โฒ = ( ฯ 1 , . . . , โ ฯ j , . . . , โ ฯ i +1 , โ ฯ i , . . . , ฯ n ) ฯ โฒ = ( ฯ 1 , . . . , ฯ j , . . . , ฯ i +1 , ฯ i , . . . , ฯ n ) ฯ = ( ฯ 1 , . . . , ฯ i , ฯ i +1 , . . . , ฯ j , . . . , ฯ n ) (Inversion) โฒโโผ โโโธ โโโ โฒ โโ โ โทโฟ โ โทโฟ ฯ ( i, j ) ฯ ( i, j ) ๏ฟฝ โโ โ โโ โ โทโฟ
๏ฟฝ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โโ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โโ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ P โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โบ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โน โ โณ โข โง โญ โฅ โฐ โฉ โญ โข โ โ โฉ โฐ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โป โป โฆ โฅ โ โฐ โฃโค โง ๏ฟฝ โฃ โฉ ๏ฟฝ โ โฒ โฎ โง โง โด ๏ฟฝ โฉ โช โง โญ โฐ โค โฎโฏ โฐ โต ๏ฟฝ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โป โ ๏ฟฝ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โบ โ โ โ โ p. 12/43 โโฑโฏ (Inversion Distance) โฒโโผ โ NP-Hard = โโโ โ =
๏ฟฝ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โธ โพ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โผ โ โ โก โ โ โ โโ โ โป โ โป โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โก โ โ โธ โโ โฟ โ โพ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โผ โ โ โป โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โฉ โณ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โข โ โฒ โฉ ๏ฟฝ โง โฐ โง โฎ โ โง ๏ฟฝ โฉ โฃ ๏ฟฝ โง โฃโค โช โญ โญ โฆ โฉ โฐ โฅ โญ โง โข โฐ โฐ โฅ โด ๏ฟฝ โต โฐ โฎโฏ โค โ โบ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โก โ โ โผ โ โก โ โฟ ๏ฟฝ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โป โน โ โ โป โ โน โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ p. 12/43 โโฑโฏ โ โโธ (Sorting by reversals) (Inversion Distance) โฒโโผ โ NP-Hard โ โโธ = โโโ โ โโธ โ = inversion reversal โโโ โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ P โ โโ โ โ โพ โ โ โ โ โฟ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โบ โ โธ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โป โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โป โน โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โถ โ โ โ โ โ โ โป โป โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โป โ โ โก โ โ โป โ โ โป โน โป โ โ โฐ โฎโฏ โค โฐ โญ โง โช โฉ ๏ฟฝ โง โง โต โฎ โฒ โ ๏ฟฝ โฉ โฃ ๏ฟฝ โง โฃโค โฐ ๏ฟฝ โบ โ โ โ โ โ โ โ โฉ โณ โ โข โด โญ โฉ โฐ โฅ โญ โง โข โฆ โฐ โฅ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โผ โก โ โ โ โโ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โ โป โ โ โบ โ โป โ โผ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โน โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โก โ โ โ โโ โ โ โ โป โ โ p. 12/43 โโฑโฏ โโโ โ โโธ (Sorting by reversals) (Inversion Distance) โฒโโผ โ NP-Hard โ โโธ = โโโ โ โโธ โ = inversion reversal โโโ โโโ โ โโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โก โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โพ โ โป โก โ โ โ โฟ โป โน โ โ โก โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ P โ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โป โน โพ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฉ โ ๏ฟฝ โฉ โฃ ๏ฟฝ โญ โต โฐ โ โฎ โฎ โฉ โฃ โณ ๏ฟฝ โฃ ๏ฟฝ โ โง โญ โฆ โ โป โฆ โก โ โ โฎโฏ โช โฉ โฅ โฒ โฐ โ โฐ โช โฅ โง โ โช โฉ ๏ฟฝ โญ โต โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โผ โฟ โ โก โก โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โป โ โ โ โ โป โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ Pancake American Mathematical Monthly Pancake Problem Waiter: โThe chef in our place is sloppy, and when he prepares pancakes they come out all in different sizes. Therefore, when I deliver them to a customer, on the way to the table I rearrange them (so the smallest winds up on top, and so on, down to the largest at the bottom) by grabbing several from the top and flipping them over, repeating this (varying the number I flip) as many times as necessary.โ โโโ โโโ โฝโโ Gates Papadimitriou (5 N + 5) / 3 . โโโ โ โทโ NP-Complete. โโโ โฒโโผ โโฑโฏ โ p. 13/43
๏ฟฝ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โโ โ โ โก โ โธ โ โ โ โ โน โป โ โ โ โ โ โ โฎ โ โผ P โ โ P โ โ โโ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฐ โฉ ๏ฟฝ โ โฒ โฎ โง โฉ ๏ฟฝ โ โฎโฏ โง โช โฐ โ โฃ โฃ โฉ โฏ โฉ โค ๏ฟฝ โฐ โฆ โฐ โ โฉ โข โง โค โ โค โง โฑ ๏ฟฝ โ โช โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฎโฏ โง โง โญ โฐ โค โ โฐ โฎโฏ โต ๏ฟฝ โด โฅ โฉ โช โ โ p. 14/43 โโฑโฏ Pancake โฒโโผ โโโ โโโ โโโบ
๏ฟฝ โ โบ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ P โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โฎ โธ โ โฉ โฐ โฉ โ โฎโฏ โง โช โฐ โ ๏ฟฝ โช โฎ โ โง โง โญ โฐ โค โฎโฏ โฐ โต ๏ฟฝ โง โฒ โฅ โง โฉ โค ๏ฟฝ โฐ โฆ โฐ โฏ โ โข โค โ โ โค โง โฑ โฉ โฃ ๏ฟฝ โฃ โฉ ๏ฟฝ โ โด โฉ โป โ โ โก โ โธ โ โโ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โช โ โ โ โฎโฏ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ p. 14/43 โโฑโฏ Pancake โ โโธ โฒโโผ โ โโธ โโโ โโโ โโโบ
๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โก โ โ โธ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โฎ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โโ โ P โ โ P โผ โ โ โ โพ โ โ โน โ โฟ โ โ โ โบ โ โ โโ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โก โ โบ โ โ โฟ โ โฉ โ โ โ โ โฎโฏ โช โฅ โ โด ๏ฟฝ โต โฐ โฎโฏ โค โฐ โ โป โง โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โญ โง โ โข โฉ โฑ โง โค โ โค โง โ ๏ฟฝ โฏ โฐ โฆ โฐ ๏ฟฝ โค โฉ โฃ โฃ โ โฎโฏ โช โฉ ๏ฟฝ โ โฐ โช โง โ โฉ โฉ โฐ โง โฎ โฒ โ ๏ฟฝ โก โ โธ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โโ โ โป โ โธ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ p. 14/43 โโฑโฏ Pancake โ โโธ โฒโโผ โ โโธ โโโ โโโ โโโบ
โ โ โก โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โก โธ โบ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โก โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โบ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โธ โ โ โ โโ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฎโฏ โฟ โฆ ๏ฟฝ โฉ โด โฆ โฅ โฆ ๏ฟฝ โฃ โฉ ๏ฟฝ โ โฎ โ โ โฐ โต โญ ๏ฟฝ โฉ โช โ โง โณ โฉ โ โธ โ โป โ โ โก โป โ โ โ โ โก โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โก โ โธ โ โ โ โบ โ โ โ โ p. 15/43 ฯ 2 . โโฑโฏ ฯ 1 โโโธ โฒโโผ โโโ I = 1 2 . . . N โโโ โ โโฉ
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โบ โ โก โ โ โ โบ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โป โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ ๏ฟฝ โบ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โก โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โน โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โธ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ ๏ฟฝ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โ โ โ โป โก โ โ โ โฎ โณ โง โ โช โฉ ๏ฟฝ โญ โต โฐ โ โฆ โ โ ๏ฟฝ โฉ โฃ ๏ฟฝ โฆ โฅ โฆ โด โฉ ๏ฟฝ โฉ โฎโฏ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โธ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ โ โ โก โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โธ โ โ โธ โ โ โ โ โธ โก โ โ โ โก โ โ โ โ โ โบ โ โ โ p. 15/43 ฯ 2 . โโฑโฏ ฯ 1 โโโธ โฒโโผ ฯ 2 ฯ ( ฯ 2 ) , ฯ โโโ ฯ ( ฯ 1 ) ฯ ( ฯ 2 ) = I. I = 1 2 . . . N โโโ โ โโฉ
โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โฟ โก โ โ โน โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โฟ โ โ โบ โ โ โ โก โ โบ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โบ โธ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โธ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โก โ โ โผ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โ โฟ โ โป โก โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โธ โ โก โบ โ โ โ โ โบ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โก โญ โ โ โ โ โ โฎโฏ โ โฉ โณ โง โ โช โฉ ๏ฟฝ โต โฟ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฉ โด โฆ โฅ โฆ โฃ โฐ โฉ ๏ฟฝ โ โฆ โฎ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โ โฟ โธ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โบ โป โ โธ โ โ โธ โ โ โก โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โบ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โธ โ โบ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 15/43 ฯ 2 . ฯ 2 . โโฑโฏ ฯ 1 ฯ โโโธ โโโธ โโโธ โฒโโผ O ( N ) . ฯ 2 ฯ ( ฯ 2 ) , ฯ โโโ ฯ ( ฯ 1 ) ฯ ( ฯ 2 ) = I. I = 1 2 . . . N โโโ โ โโฉ โโโ ฯ โ 1 ๏ฟฝ โโ
๏ฟฝ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โป โพ โฟ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โก โผ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ P โ โ โโ โ โผ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โธ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โญ โฆ โ โฐ โฉ ๏ฟฝ โง โฃ โ โณ โฏ โค โ โฎ โฅ โง โฐ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โ โ โฉ โ โ โก โง โป โ โ โ โ โ โ โ โญ โ โ โ โ โ โก โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โฎ โ p. 16/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโโ โ โโธ โ โ โโ โฒ
๏ฟฝ โป โ โ โ โ โพ โฟ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โป โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โผ โ โ โพ โ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โธ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ P โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โโ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โญ โ โฉ โ โฎ โ โฉ โป โฐ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โค โฏ โค โ โฃ โฎ โง โฐ โง โ โญ โ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฅ โฆ โ โง โ ๏ฟฝ โธ โ โ โ โง โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โก โ โ โ ๏ฟฝ โญ โ ๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โธ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โณ โ p. 16/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโโ โ โโธ โ โ โ โ โ โ โ โโ โฒ โฒ
๏ฟฝ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฟ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โพ โ โก โ โผ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ P โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โโ โ โ ๏ฟฝ โพ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โฟ โฃ โ โง โ โ โ โ โ โ โณ โฉ โ โ โ โฎ โ โฉ โ โฐ โ โ โป โป โฅ โฎ โง โฐ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฆ โ โ โฏ โ ๏ฟฝ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โง โ ๏ฟฝ โ โญ โ โ โ โ โญ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โป โฅ โค โ p. 16/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโโ โ โโธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โฒ โฒ โฒ
๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โป โ โ โ โ โก โ โป ๏ฟฝ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โฟ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โโ โพ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โณ โ โ โ โฃ โ โง โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โธ โฏ โค โ โ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฅ โฆ โ โฎ ๏ฟฝ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โฉ โฎ โง โ โ โ โก โง โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โญ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โผ โ โ โ โ โ โฉ โ โฐ โ โญ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โป โ โ โ โฅ โ โ โ โฐ โ p. 16/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโโ โ โโธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โฒ โฒ โฒ โฒ
๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โป โ โ โธ โ โป โ โ โ ๏ฟฝ โ โพ โ โฟ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โณ โญ โง โฅ โ โญ โฐ โฉ โฎ โฉ ๏ฟฝ โง โฃ โ โฏ โ โค โ โฎ โง โฐ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฅ โฆ โธ โ โ โ โป โ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก ๏ฟฝ โก โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ ๏ฟฝ โ โ โธ ๏ฟฝ โ โ โ p. 16/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโโ โ โโธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โฒ โฒ โฒ โฒ โฒ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โพ โฟ โ โก ๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โป โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ P โโ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โธ โ โฏ โญ โง โฅ โ โญ โฐ โฉ โฎ โฉ ๏ฟฝ โง โฃ โ โณ โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โฆ โฅ โฆ โฎ โญ โ โค โ โง โฐ โง โฎ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โก โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โผ โ โ โ โพ โ โ โก โ โ โป โก โ โ โธ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 16/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโโ โ โโธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โฒ โฒ โฒ โฒ โฒ โฒ
๏ฟฝ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โพ โ โ โ โ โ โบ โ โ โโ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โฃ โ โฟ โ โโ โ โ โพ โป โ โ โก โก โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โก โบ โ โ โ P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โก ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โผ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โฎ โ โป โก โ โ โธ โ โก โบ โ โ โ โ โ โป โ โ โฅ โ โ โป โป โก โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โบ โ โ โ โฏ โง โ ๏ฟฝ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โช โ โ โโ โ โ โง โฃโค โป โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โญ โโ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โก โ โ ๏ฟฝ โโ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โฅ ๏ฟฝ โ โง โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โญ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โป โก โ โฉ โ โ โ โ โ โ โฐ โ โ โฟ โ โ โฉ โ โ โ โ โ โค โ โ โ โ โ โฟ โ โ โฟ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โ โง โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 17/43 ฯ, โโฑโฏ โ โทโ โโโ โฒโโผ โ โโธ ( ฯ i , ฯ j ) โ โ โ โ โโธ โโโ โ (3 , โ 2) โโโ (1 , โ 2) (1 , โ 2) | ฯ i | โ | ฯ j | = ยฑ 1 . โ โโธ โโโธ
๏ฟฝ โพ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โป โ โ โ โ โ โฃ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โโ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โฉ โป โ โค โ โ โ โ โ โ โ โ โฐ โง โญ โง โพ โฅ โฎ โฟ โง ๏ฟฝ โฏ โช โ โ โ โฃโค โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โญ โก โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โโ โฉ โ โป โ โ โ โ โ โ โฅ โ โก โก โ โ โป โป โ โฟ โ โ โ โ โง โ p. 18/43 โโฑโฏ ฯ i + ฯ j = โ 1 . ฯ i + ฯ j = +1 โฒโโผ โโโ โโโ , , ฯ ( i, j โ 1) ฯ ( i + 1 , j ) ๏ฃฑ ๏ฃฒ ๏ฃณ ( ฯ i , ฯ j )
๏ฟฝ โ โ โ โป โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โฟ โป โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โฃ โ โก โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โผ โ โ P โ โ P โ โก โ โ โ โป โน โโ โ โ โ โ โก โป โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โป โ โก โก โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โญ โ โ โ โ โ โ โป โป โ โก โ โ โ โ โ โโ โ ๏ฟฝ โ โ โฃโค โง โ โ โ โป โ โ โ โ โง โ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โฟ โ โ โ โฎ โฏ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โฉ โฐ โง โญ โ โป โง โ โ โ โฅ โฉ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โฅ โ โ โ โ โฟ โค โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โช โ p. 18/43 โโโธ โโฑโฏ โ โทโฟ ฯ i + ฯ j = โ 1 . ฯ i + ฯ j = +1 โฒโโผ โโโ โโโ , , ฯ ( i, j โ 1) ฯ ( i + 1 , j ) ๏ฃฑ ๏ฃฒ ๏ฃณ โโโ ( ฯ i , ฯ j )
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โธ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โป โ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โโ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โ โ โ โฉ โฅ โง โญ โง โฐ โฉ โค ๏ฟฝ โฅ โฎ โ โญ โฆ โ โ โญ โฃ โฃ โค โง โฃ โ โณ โฏ โค โ โฎ ๏ฟฝ โฉ โ โฃ โฏ โฅ โฆ โ โ โข โธ โฐ โฅ โ โธ โฟ โ โ โ โ โป โ โฐ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฃ โฉ โฑ โ ๏ฟฝ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 19/43 โโฑโฏ โโโธ โฒ โโ โฒโโผ โ โโโ
๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โก โ โฟ โง โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โธ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โป โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ P โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โก โ โฐ โฉ โ โค โฅ โฎ โ โญ โฆ โ โญ โญ โฐ โค โฅ โฐ โฃ โฉ โฑ โ ๏ฟฝ โ โง โง โ โฃ โฃ โ โณ โฏ โค โ โฎ โง ๏ฟฝ โ โฏ โฅ โฅ โฆ โ โ โข โฉ โฃ ๏ฟฝ โฃ โฉ โ โธ โ โ โ โ โป โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ p. 19/43 โโฑโฏ โโโธ โฒ โโ โฒโโผ โ โ โ โโโ โ โทโฟ โ
๏ฟฝ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โป โก โ ๏ฟฝ โก โ โ โ โง โ โ โ โ ๏ฟฝ โก โ โฟ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โผ โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โโ โ โ โก โธ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฑ โ โ โ โธ ๏ฟฝ โ โฉ โ โฃ โฐ โฅ โค โฐ โญ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โง โฆ โฅ โฏ โฃ โ ๏ฟฝ โฎ โ โ โค โฏ โณ โ โฃ โ โข โญ โฐ โ โฎ โฅ โค โ โฉ โง โฉ โญ โง โฅ โฉ โฃ ๏ฟฝ โฃ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ ๏ฟฝ โ โ โฟ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โพ โ โ โป โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ p. 19/43 โโฑโฏ โโโธ ( โ 6 , 7) . โฒ โโ โฒโโผ ( โ 5 , 4) โ โ โ โโโ โ โทโฟ โ โ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โโ โโ โป โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โฟ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โโ โ โธ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โค โ โ โ โถ โ โก โบโป โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โป โ โ โ โพ โ โป โป โ โ โพ โ โ โฅ โ โ โง โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โข โฒ โ โฐ โฃ โง โฐ โฆ โค โฆ โข โฒ โ โค โง โ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โฟ โ โก โ โธ โ โบ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ p. 20/43 โโฑโฏ โโโ โฒโโผ โโโ โ โโ โ โทโฟ โ โโฉ โ โโธ
๏ฟฝ โ โก โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โธ โฟ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โป โฟ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โผ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โค โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โพ โป โก โป โ โ โพ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โบโป โ โ โข โง โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โข โฒ โ โฐ โฃ โง โฐ โฆ โ โค โฒ โถ โ โค โง โ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฅ โฆ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โบ โ โธ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โป โฟ โ โก โ โ p. 20/43 โโฑโฏ โโโ โฒโโผ โโโ โ โโ โ โทโฟ โ โทโ โ โโฉ โ โโธ
๏ฟฝ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โค โ โ โ โ โ โ โฟ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โก โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โโ โ โฟ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โโ โ โน โ โฟ โโ โ โฟ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โ โ โ โป โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โพ โ โ โญ โค โ โง โ โง โค โ โฒ โข โค โฆ โฎ โฐ โง โฃ โฐ โ โฒ โข ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โง ๏ฟฝ โฆ โ โ โ โป โป โ โพ โ โ โ โป โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โบโป โก โ โถ โ โฆ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โก โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โฟ โป โก โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โโ โ โ p. 20/43 โโฑโฏ โโโ โฒโโผ โโโ โ โโ โ โทโฟ โ โทโ โ โโฉ โ โโธ Bergeron 90%
๏ฟฝ โป โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โโ โ โ โน โ โฟ โโ โ โฟ โป โ โ โ โ โฟ โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โป โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โก โ โฟ โ โ โค โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โธ โ โฟ โ โ โ โฟ โป โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โธ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โโ โ โป โ โ โ โ โ โ โผ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โฟ โป โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โพ ๏ฟฝ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โบ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฒ โฆ โฅ โฆ โฎ ๏ฟฝ โญ โค โ โง โ โง โค โ โข โถ โค โ โฆ โฐ โง โฃ โฐ โ โฒ โข ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โง โ โ โฟ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โพ โ โ โป โป โพ โก โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบโป โป โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โฟ โ โโ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โโ โ p. 20/43 โโฑโฏ โโโ โ โฒโโผ โ โโ d ( ฯ ) = d ( ฯ โฒ ) + k โโโ โ โทโฟ โ โโ โ โทโฟ โ โทโ โ โโฉ โ โโธ Bergeron 90%
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โผ โ โ P โ โ P โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฐ โณ โ โฃ โง ๏ฟฝ โฉ โฎโฏ โ โ โฉ โณ โง โญ โง โ โฏ โค ๏ฟฝ โ โฎ โง โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ p. 21/43 โโฑโฏ . . . โฒโโผ โโโ โ โฒ
โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โผ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ P โฐ โณ โ โฃ โง ๏ฟฝ โฉ โฎโฏ โค โ โฉ โณ โง โญ โง โ โฏ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โฎ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โผ โง โ โ p. 21/43 โโฑโฏ . . . โฒโโผ โโโ โ โ โ โ โ โ โฒ โฒ
โ ๏ฟฝ โ โ โ โโ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ P โ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โฉ โง โฃ โง โฎ โ โ โค โ โ โณ โฉ โ โ โง โญ โ โง โณ โ ๏ฟฝ โ โฎโฏ โ โฐ โ ๏ฟฝ โ โฏ โ p. 21/43 โโฑโฏ . . . โฒโโผ โโโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฒ โฒ โฒ
โ ๏ฟฝ โ P โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ P โ โ โ โผ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โโ โง โ โผ โง โฎ โ โค โฏ โณ โ โฃ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฉ โฐ โฎโฏ โ โฉ โณ โง โญ โง โ โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ p. 21/43 โโฑโฏ . . . โฒโโผ โโโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฒ โฒ โฒ โฒ
โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ โผ โโ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โค โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โง โฎ โ โฏ ๏ฟฝ โ โ โง โญ โง โณ โฉ โฎโฏ โณ โฐ โฉ ๏ฟฝ โง โฃ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ p. 21/43 โโฑโฏ . . . โฒโโผ โโโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฒ โฒ โฒ โฒ โฒ
โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โผ โโ ๏ฟฝ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โง โ โ โง โค โ โ โ โฎ โ โญ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โง โ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โฏ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โณ ๏ฟฝ โฉ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โ โฎโฏ โ โ โ โฐ โฉ โ ๏ฟฝ โง โฃ โ โ ๏ฟฝ โณ โ โ p. 21/43 โโฑโฏ . . . โฒโโผ โโโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฒ โฒ โฒ โฒ โฒ โฒ
โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โก โป โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ P โ โ โโ โ โผ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โโ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โง โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฅ โฆ โ โ โ โฆ โช โซ โค โข โง โฐ โ โ โ โก โ โ โธ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โก โป โ โ โ p. 22/43 โโฑโฏ โ โทโ Bergeron โฒโโผ โฌโโญ โโโ โ โโฉ
โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โฟ โ โ โง โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โโ โ โ โ โบ โ โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ P โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โโ โ โก โ โ โธ โ โฟ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โก โ โ โ โซ โ โค โญ ๏ฟฝ โฎ โฆ โฅ โฆ โ โ โ โฆ โช โค โ โข โง โฐ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ p. 22/43 โโฑโฏ โ โทโ Bergeron โฒโโผ โโทโ โฌโโญ โโโ โ โโฉ Hurdles Merging. Hurdles Cutting Bergeron
โ โ โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โป โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โธ โ โง โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โก โ โฟ โ โ โก โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โข โค โซ โช โฆ โ โ โ โฆ โฅ โฆ โฎ ๏ฟฝ โญ โค โ โฐ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โฟ โ โบ โก โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โก โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ p. 22/43 โโฑโฏ โ โทโ Bergeron โโทโฟ โฒโโผ โโทโ โฌโโญ Bergeron โโโ โ โโฉ O ( n 3 ) Hurdles Merging. Hurdles Cutting โโโโ Bergeron
โ โ โ โป โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โบ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โน โป โ โ โ โ โ โ โฟ โพ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โผ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โก โป โ โธ โ โ โ โฟ โ โก โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โช โ โ โธ โฏ ๏ฟฝ โถ โ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โ โ โฆ โบ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฐ โ ๏ฟฝ โง โฐ โง โ โค โง โฐ โฉ โญ โ โ โ โ โฃโค โ โ โฎ โฉ โ โง โ โค โญ ๏ฟฝ โฃ โฎ โฆ โฅ โฆ โฎ โ โฅ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ ๏ฟฝ โฟ โ โป โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โฎ โ p. 23/43 โโฑโฏ โฒโโผ Bergeron. โโโ โโโโ โ โโธ โ
โ โธ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โธ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โช โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โบ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ P โ โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โโ โ โป โ โ โบ โ โ โ โฟ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โบ โ โ โ โ โป โ โ โฐ โ โฉ โฎ โ โฃโค ๏ฟฝ โ โ โ โญ โฉ โง โ โค โ โง โฐ โง โฎ โฅ โ โฃ โฏ ๏ฟฝ โฎ โง โค โ โ โ โ โ โบ โ โธ โ โฟ โ โ โป โ โ โญ โ โ โถ โ โฆ โฐ โ โฆ โฅ โฆ โฎ ๏ฟฝ โฝ โ โ โธ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โฟ โ โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โป โ โ โ โฟ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โน โ โบ โ โ โ โ p. 23/43 โโฑโฏ โ โทโ โ โทโ โฒโโผ Bergeron. Bergeron โโโ โโโโ โ โโธ โโโโ โ โ
โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โฟ โ โโ โ โบ โ โ โป โ โป โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โช โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โบ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โธ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โธ โบ โน โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โผ โโ โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โป โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โฎ ๏ฟฝ โญ โค โ โง โ โฉ โฎ โ โฃโค ๏ฟฝ โ โ โญ โฅ โฎ โฎ ๏ฟฝ โฏ โฃ โ โฅ โง โฉ โฐ โง โ โค โง โฐ โฆ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฐ โฆ โ โถ โ โ โ โธ โ โป โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โก โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โบ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โธ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โฟ โ โ โป โ โป โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โน โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ p. 23/43 โโฑโฏ โ โทโ โโโธ โ โทโ โโโธ โฒโโผ Bergeron. Bergeron โโโโ โโโ โโโโ โ โทโ โ โโธ โ โโโโ โ โฝโโ โ โ โ
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โญ โ โพ โ โ โป โ โ โก โป โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ P โ โ โ โโ โ โผ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โป โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โฅ โฐ โง โฅ โฆ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฐ ๏ฟฝ โง โฅ โฆ โ โ โป โ โฟ โ ๏ฟฝ โ โ โ โง โ โฆ โฐ โฐ โง โ ๏ฟฝ โฃ โ โญ โฎ โง โฐ โง โ โค โง โฐ โฆ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โบ โ โน โป โ โ โ โป โพ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ p. 24/43 โโฑโฏ โฒโโผ โโโ โโโ breakpoint BreakPoint โฌโโญ โ โโธ
โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โก โ โฟ โ โ โฟ โ โ โญ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โป โ โ โ โก โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โน โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โบโป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โธ โ โ โฟ โป โ โ โค โ โง โฐ โง โฎ โ โฃ โฐ ๏ฟฝ โ โง โฐ โฐ โฆ โ โง โง โฆ โ ๏ฟฝ โ โฆ โฅ โง โฐ โฅ ๏ฟฝ โ โญ โฆ โฅ โง โฐ โฅ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โบ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โก โ โ โป โ โ โ โป โน โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ p. 24/43 โโฑโฏ breakpoints breakpoint โฒโโผ โโโ โโโ โโโ breakpoint BreakPoint โฌโโญ breakpoint โ โโธ
โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โก โก โป โ โพ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โญ โ โ โ โ โ โ โ โป โธ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โธ โ โ โ โ โ โ โป โบ โน โ โป โ โ โ โ โฟ โ โป โ โก โ โ โ โป โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โง ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โญ โฆ โฐ โง โค โ โง โฐ โฎ โฐ โ โ โฃ ๏ฟฝ โ โง โฐ โฐ โฆ โ โง โฅ โง โ โฟ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โน โ โ โฅ โป โ โ โฆ โฅ โง โฐ โฅ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โฆ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โธ โ โ โป โ โฟ โป โ โ โ โบโป โ โก โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โป โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โธ โ โ p. 24/43 โโฑโฏ (0 , 3) , (3 , 1) , (1 , 6) , 6 breakpoints breakpoint 0 + 3 + 1 + 6 + 5 โ 2 + 4 + 7 โ โทโ โฒโโผ โโโ โโโ breakpoint โโโ (4 , 7) 6 breakpoints breakpoint BreakPoint โฌโโญ breakpoint (5 , โ 2) , (2 , 4) โ โโธ
โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โก โ โ โ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ P โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โโ โ โ โญ โ โ โฅ โง โฅ โฆ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฅ โฐ โง โฆ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฐ ๏ฟฝ โป โ โง โ โฆ โฐ โฐ โง โ ๏ฟฝ โฃ โ โฎ ๏ฟฝ โง โฐ โง โ โค โง โฐ โฆ โญ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โน โป โ โฟ โ p. 25/43 โโฑโฏ โฒโโผ breakpoints โโโ BreakPoint โฌโโญ โ
โ โ โ โ โป โ โฟ โ โน โ โ โพ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โญ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โผ โ โ P โ โ P โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โน โ โ โบ โ โ โ โ โป โ โป โ โก โ โป โ โก โ โป โ โ โ โพ โ โ โ โป โ โ โ โฅ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฐ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โฅ โน โง โง โ โฆ โฐ โฐ โง โ ๏ฟฝ โฃ โ โ โฎ โง โฐ โ ๏ฟฝ โฅ ๏ฟฝ โ โฆ โฅ โง โฐ ๏ฟฝ โค ๏ฟฝ โ โญ โฆ โฐ โง โพ โ โป โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โก โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โก โ โป โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 25/43 ฯ 1 โโฑโฏ ๏ฟฝ ๏ฟฝ d BP ( ฯ 1 , ฯ 2 ) โฒโโผ 2 breakpoints โโโ d inv ( ฯ 1 , ฯ 2 ) โฅ โ โโธ BreakPoint โฌโโญ โ โโ ฯ 2 โ โ
โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โฟ โ โป โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โฟ โ โบ โก โ โก โ โ โป โ โ โพ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โญ โ โป โน โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โพ โ โธ โก โน โบ โ โ โ โ โถ โ โ โ โป โ โ โ โบ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โพ โ โ โ โ โ โ โป โบ โ โ โป โ โ โฟ โ โป โก โ โ โ โฟ โ โน โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โง ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โญ โฆ โฐ โง โค โ โง โฐ โฎ โฐ โ โ โฃ ๏ฟฝ โ โง โฐ โฐ โฆ โ โง โฅ โง โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โฆ โฅ โง โฐ โฅ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โฆ โ โ โธ โฟ โ โ โน โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โบ โฟ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ p. 25/43 Gollan ฯ 1 โ โโฑโฏ N โ 1 breakpoints ๏ฟฝ ๏ฟฝ d BP ( ฯ 1 , ฯ 2 ) โฒโโผ 2 โ โโธ breakpoints โโโ d inv ( ฯ 1 , ฯ 2 ) โฅ N โ 1 โ โโธ BreakPoint โฌโโญ โ โโ ฯ 2 โ โ โ โ
๏ฟฝ โ โธ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โผ โโ โก โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฃ โป โก โข โง โ โฎ โง โฐ โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ โฐ โฆ โฐ โง โ โ โฃ โค โ ๏ฟฝ โ โฑ โฉ โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ โค โง โ โช โฎ โด โง โ โข โ โฝ โ โบ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โบ โธ โ p. 26/43 โโฑโฏ โฒโโผ N 2 N โโโ BreakPoint Graphs โโโธ
๏ฟฝ โก โ โ โ โป ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โป โ โบ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โป โน โฃ โ โธ โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โก โ โโ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โ โ โธ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โป โก โ โบ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โข โ โง โด โฎ โช โค โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โค โฉ โฑ โ โง ๏ฟฝ โ โฐ โฝ โ โ โง โฐ โฆ ๏ฟฝ โฃ โข โค โฐ โง โฎ โ โง โ โ โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป ๏ฟฝ โ โ โ โก โ โ โ โก โธ โก โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ p. 26/43 โโฑโฏ โโโธ โโโธ โ x โฒโโผ 2 x โ 1 2 x 2 x 2 x โ 1 x N 2 N โโโ BreakPoint Graphs โโโธ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โพ โ โโ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โป โน โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โป โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โบ โ โ โธ โฃ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โป โ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โ โถ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โฟ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โน โ โพ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โก โ โก โ โบ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โป โ โก โ โบ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โก โ โ โ โ โค โฐ โง โฎ โ โง โฃ ๏ฟฝ โค โง โข โง ๏ฟฝ โด โฎ โช โ โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โค โฉ โฑ โ โข โฐ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โธ โ โ โ โ โฆ โก โ โ โ โ โ โ โฝ โ โ โง โฐ โฟ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ ๏ฟฝ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โบ โบ โ โ โธ โ โ โ โป โ โป โป โ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โ p. 26/43 โโฑโฏ โโโธ โโโธ โ x โฒโโผ 2 x โ 1 2 x 2 x 2 x โ 1 โ โโธ x N 2 N โโโ โ โทโฟ โ โทโฟ BreakPoint Graphs โโโธ Reality / Black Edges: Desire / Grey Edges: โโโ โ โโธ
๏ฟฝ โ โ โ โ โโ โ โพ โ โธ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โง โก โก โ โ โ โ โ โ โธ โ โ P โ โ โ โโ โ โผ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โป โ โ โ โ โก โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โฟ โ โ โค โง โค ๏ฟฝ โฃ โง โ โฎ โง โฐ โข โ โฐ โฆ โฐ โง โ โ โ โ โ โ โข โง โ โฃ โฃ โ โณ โฏ โค โ โฎ โง ๏ฟฝ โ โด โฑ โฉ โช ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โค โ โช โฎ โฟ ๏ฟฝ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ p. 27/43 7 โโฑโฏ 13 3 โ2 ฯ = (0 โ 1 + 3 + 5 + 4 + 6 โ 2 + 7) 4 ฯ โฒ = (0 2 1 5 6 9 10 7 8 11 12 4 3 13) 12 โฒโโผ 6 11 8 4 7 โโโ โ โทโฟ 10 5 9 6 3 5 BreakPoint 1 โ1 2 0 โ โโ 0
โ โ โ โ โ โพ โฟ โ โป โ โ โ โ โโ โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โโ โ โน โฟ โ โโ โ โฟ โป โ โ โป โ โป โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โผ โ โ P โ โ P โ โ โ โป โ โ โ โป โก โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โพ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โธ โ โโ โ โพ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โธ โ โก โ p. 28/43 โโฑโฏ โโโธ โฒโโผ โ โทโ โโโ โ โทโฟ Pevzner Fermat! Bafna โ โ
โ โป โ โ โ โ โบ โ โน โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โป โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โพ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 29/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โโธ โโโ
โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โธ โป โป โธ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โญ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โถ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โค โ โง โฐ โง โฎ โ โฃ โฐ ๏ฟฝ โ โง โฐ โฐ โฆ โ โง โง โฆ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โญ โฆ โฅ โง โฐ โฅ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โป โน โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โป โ โ โป โ โก โ โ โ โป โ โพ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ p. 29/43 โโฑโฏ d inv ( ฯ, I ) โฅ N + 1 โ c ( ฯ ) โฒโโผ โ โโธ โ โโธ N + 1 โโโ Cycle Decomposition. I โฌโโญ โโโ
โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โป โ โผ โ โ โ โ โ โ โถ โ โป โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โธ โก โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โญ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ P โ โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โน โฟ โ โโ โ โฟ โธ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โน โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โป โป โก โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฐ โฐ โฅ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โญ โฆ โฐ โง โค โ โง โง โฅ โฎ โ โ โฃ ๏ฟฝ โ โง โฐ โฐ โฆ โ โง โง โฆ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โธ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โน โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โพ ๏ฟฝ โฟ โ โ p. 29/43 โโฑโฏ d inv ( ฯ, I ) โฅ N + 1 โ c ( ฯ ) โฒโโผ โ โโธ โ โโธ โ โโธ N + 1 โโโ Cycle Decomposition. I โ โทโ โฌโโญ โโโ โ
โ โ โป โ โป โ โก โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โป โ โ โ โฟ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โ โก โป โ โ โ โป โ โ โ โญ โ โโ โ โผ โถ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โฟ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โธ โฟ โ โโ โธ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โธ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โผ โโ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โฝ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฝ โ โป โ โพ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โธ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โน โป โ โ โ โ โป โฎ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โง โ ๏ฟฝ โง โฐ โฆ โญ โ ๏ฟฝ โฅ โ โฐ โง โฅ โฆ โง โฐ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โธ โ โฟ โ โ โธ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โก โ โพ โ โ โ โ โ โ โฐ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โง โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โฆ โ โธ โ โ โป โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โพ โฃ โ ๏ฟฝ โ โป โ โ โก โ โป โ โ โ โง โ โ โป โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โฐ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โค โ p. 29/43 โโฑโฏ d inv ( ฯ, I ) โฅ N + 1 โ c ( ฯ ) โฒโโผ โ โโธ โ โโธ โ โโธ N + 1 โโโ Cycle Decomposition. I โ โโธ โ โทโ โฌโโญ โโโ โ โ โฝโโ โ โ
๏ฟฝ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โฟ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โพ โน โป โ โ โ โโ โ โพ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โโ โ โฟ โก โฐ โง โ โข โง โค ๏ฟฝ โฃ โง โ โฎ โง โค โฎ โข ๏ฟฝ โฐ โฆ โฐ โง โ โ โ โ โ โด โช โ โด โค ๏ฟฝ โ โ โฉ โญ ๏ฟฝ โฃโค โฅ โฎ โฉ โฅ โ โฏ ๏ฟฝ โฃ โ โฑ โฉ โช โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โค โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โธ โ โ โ โก โ โ โป โ โ โ โ โ p. 30/43 โโฑโฏ โฒโโผ โโโ Desire / Grey โโโ unoriented BreakPoint. oriented โ โโ
๏ฟฝ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โบ โโ โธ โ โฟ โป โ โ โป โ โ โ โก โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โโ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โถ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โฐ โฆ โฐ ๏ฟฝ โข โฟ โ โฐ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โธ โ โก โ โค โง โฟ โฎ โ โฃ ๏ฟฝ โฏ โฅ โด โฉ โฅ โฉ โฃโค ๏ฟฝ โญ โฉ โ โ ๏ฟฝ โค โฑ โช โฎ โ โ โง โฃ ๏ฟฝ โค โง โข โง โ โด โฎ โช โ โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โก โ โพ โ โ โ โ โ โผ โพ โ โ โโ โ โ โ โป โน โพ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โก โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โโ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โโ โ โ p. 30/43 โโฑโฏ โฒโโผ โโโ Desire / Grey โโโ unoriented โ โโ BreakPoint. oriented โ โโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โน โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โพ โ โ โ โป โ โ โพ โ โ โถ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ ๏ฟฝ โฟ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โก โ โ โโ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ P โ โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โก โฟ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โก โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ ๏ฟฝ โ โฟ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โ โฃโค โโ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โโ โ โฟ โป โ โ โ โน โฎ โ โง โฃ ๏ฟฝ โค โง โฉ โข โ โด โง โด โช โฎ โ โค ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โช โฉ โฑ โฅ โ โฃ โฎ โง โ โ โธ โ โก โฅ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฐ โ โ โ โ โ โ โง โฐ โฆ โฐ ๏ฟฝ โข โค โพ โป โฏ โ โฟ โค โ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โธ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โโ โ โฟ โป โ โ โป โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป ๏ฟฝ โ โ โ โฟ โก โ โ โฟ โ โ โ โ โฉ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โญ โ โพ โ โโ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ ๏ฟฝ โ p. 30/43 โโฑโฏ (protected non-hurdle) โฒโโผ โโโ Desire / Grey โโโ unoriented โ โโ hurdle โ โโ BreakPoint. oriented โ โโ โ โโ โ โโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โฅ โ โฅ โฉ โฎ โ โ โ โ โ โ โโช โ โโซ โฌ โ โ โญ โ โก โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โก โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โณ โค โง โ ๏ฟฝ โโ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โง โก โ โ โโฅ โฆ โ โก โ โก โ โ โ โ โ โก โฆ โ โค โ โ โ โ โฃ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 31/43 โโฑโฏ โโขโ โโโ โฒโโผ โโโ โ โโก โโโ โโโ โฅโโฎ โ โโก โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โฃ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โก โฆ โ โโฅ โ โ โ โค โก โ โ โ โฎ โก โ โ โ โ P โ โก โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โก โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โผ โ โ โฆ โ ๏ฟฝ โฉ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โก โ โฆ โโฅ โ โ โ โค โก โ โ โฃ โ โ โ โก โ โผ โ โ โ โ โโ โ ๏ฟฝ โ โ โง โค โณ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โก โ โก โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โฆ โก โ โ โ โฉ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โก โโช โ โญ โ โ โฌ โโซ โ โ โ p. 31/43 โโฑโฏ โโขโ โโโ โฒโโผ โโโ โโโ โ โโก โฅโโฎ โโโ โ โโก โโโ โโโ โโโ โฅโโฎ โ โโก โโขโ โโโ โโโ โโโ
๏ฟฝ โฆ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โก โ โ โค โ โ โ โโฅ โฆ โก โ โง โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โก โญ โ โ โก โ โ โฎ โ โ โ โ โ โฌ โฅ โโซ โฌ โ โฆ โก โฃ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โฌ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โฆ โก โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฌ โผ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โ โฎ โ โ โ โโ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โซ โ โ โ โ โ โฆ โ โก โ โ โ โ โ โฅ โก โ โ โ โ โฆ โ โฆ โ โก โฆ โฅ โ โฆ โ โ โ โ โค โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โก โ โ โ โฆ โ โก โ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โโช โ โ โฅ โ โ โ โ โก โ โญ โ โ โฌ โโซ โฉ โ โ โ โก โฆ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โก โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โณ โค โง โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โง โก โ โฆ โโฅ โ โ โ โค โก โ โ โฃ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ ๏ฟฝ โฉ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โฆ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โก ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โง โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โก โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โฃ โ โ โก โ โ โค โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โก โ โ โ p. 31/43 โโฑโฏ w โโขโ w v โโโ โฒโโผ โโโ u โโโ โ โโก โฅโโฎ v โโโ โโขโ โ โโก โ โโก โโโ โโโ โโขโ u โโโ โฅโโฎ โ โโก โโขโ โโโ โโโ โโโ
๏ฟฝ โก โก โฅ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โฆ โ โฆ โ โฆ โ โ โฅ โฆ โ โ โ โ โค โ โ โก โซ โ โฆ โ โก โ โ โ โฌ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โก โ โ โ โ โ โก โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โโฅ โฆ โ โก โง โ โ โ โ โ โ โก โฆ โ โ โ โ โค โโฅ โ โฆ โ โ โ โ โ โฎ โ โก โ โ โ โ โ โฃ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฌ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โฆ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โฎ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฎ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โก โฆ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฉ โโช โโซ โฌ โ โญ โ โ โก โ โ โ โ โฅ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โก โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โณ โค โง โ ๏ฟฝ โโ โก โ โ โ โ โ โ โก โ โ โก โ โ โ โก โง โ โ โ โ โ โโฅ โก โฆ โ โ โ โ โโฅ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฃ โ โ โก โค โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โก โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โก โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โฅ โ โ โฅ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โฌ โ โฅ โโซ โฌ โ โ โญ โ โก โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โฃ โ โ โก โค โ โ โ โโฅ โ โ โก โง โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โฉ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โฆ โ โ โก ๏ฟฝ โ โ โ โ โ p. 31/43 โโฑโฏ w โโขโ w โ โโก v โโโ โโโ โฒโโผ โ โโก super-hurdle โโโ u โโโ โ โโก โฅโโฎ v โ โโก โโโ โโขโ โ โโก โ โโก (simple hurdle) โโโ โ โโก โโโ โโขโ โโโ u โโโ โฅโโฎ โ โโก โ โโก โ โโก โโขโ โโโ โโโ โโโ โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โป โ โ โโ โ โพ โ โ โ โก โป โธ โ โ โ โง โ โ โ โธ โ โ โป โ โน โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ P โ โ โโ โ โผ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โโ โ โ โโก โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โฉ โ โ โด โ โ โณ โ โ โ โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โธ โต โ โ โญ โก โป โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โฐ โ โป โ โ โ โง โง โ โฎ โ โด โฏ โณ โง โฃ โก ๏ฟฝ โธ โบ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โธ โฎ โโ โ โพ โ p. 32/43 17 โโฑโฏ 2 1 15 16 = [4 7 8 11 12 9 10 13 14 5 6 15] โฒโโผ 6 5 14 13 โโโ = [8 11 12 9 10 13] ฯ 10 = [16 1 2 17 0 3] 9 12 BreakPoint 11 8 โ โโธ 7 4 3 โโโ 0 ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ
โ โ โ โป โ โ โธ โ โก โ โโ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โบ โก โธ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โผ โ โ โโ โ โ p. 33/43 Pevzner. โโฑโฏ Hannenhalli โฒโโผ โโโธ โโโ โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โฟ โ โโ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โน โป โ โ โ โ โ โ โบ โโ โ โ โฃ โ โ โบ โก โ โ โบ โ โ โพ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โป โฟ โ โป โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โโ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โก โ โธ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฉ โ โฃโค โง โ โธ โบ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โฟ โ โธ โ โ โ โธ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โโ โ โ โ p. 33/43 Pevzner. โโฑโฏ (fortress) Hannenhalli โฒโโผ โ โโโ โโโธ โโโ โโโ โโโ
๏ฟฝ โป โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โโ โบ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โก โ โ โ โ โฟ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โฃ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โพ โ โ โบ โ โโ โ โ โฟ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โก โ โ โ โ โ โบ โ โป โ โ โ โ โป โบ โ โก โ โฟ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โโ โธ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โป โ โ โ โ โ โ โโ โ โธ โ โก โ โป โ โก โป โ โ โบ โ โโ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โป โฟ โโ โ โฟ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โ โ โธ โฉ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โธ โ โฃโค โ โ โง โ โพ โ โ โบ โ โก โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 33/43 Pevzner. โโฑโฏ (fortress) Hannenhalli โฒโโผ โ โโโ โโโธ โโโ โโโ โโโ โ โโธ โ โโโ โโโธ โโโ
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โฟ โป โ โ P โ โ โโ โ โผ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โฉ โ โฟ โ โ โธ โ โโ โ โ โ โฟ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โต ๏ฟฝ โฏ โฌ โฃ โฆ โฎ โง โฐ โญ โ โข โง โค โ โ โ โพโ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โก โ p. 34/43 ฯ d inv ( ฯ, I ) = ( N + 1) โ cycles ( ฯ ) + hurdles ( ฯ ) + ( fortress ) โโฑโฏ Pevzner. โ โโธ โฒโโผ Hannenhalli โโโ โ โโธ โ
โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โน โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โ โ โฉ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โป โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โโ โ โ โฟ โ โ โ โ โพ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โป โ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โฟ โ โ โง โค โต โฐ โ โง โ โ โพโ โป โ โ โฃ โ โ โ โธ โ โโ โฎ โ โฆ โ โ โ โ โญ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ ๏ฟฝ โ โฟ โ โ โฟ โ โ โ โก โ โธ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฌ โฏ โ โ โ โ โ โธ โข โ p. 34/43 d inv ( ฯ, I ) = breakpoints ( ฯ ) โ cycles ( ฯ ) + hurdles ( ฯ ) + ( fortress ) ฯ d inv ( ฯ, I ) = ( N + 1) โ cycles ( ฯ ) + hurdles ( ฯ ) + ( fortress ) โโฑโฏ Pevzner. โ โโธ โฒโโผ Hannenhalli โโโ โ โโธ โ โฎ
โ โ โ โก โ โก โ โฆ โก โ โ โ โญ โ โ โ โ โโ โฅ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โฆ โ โฅ โซ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฅ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โค โก โ โ โฃ โ โ โ โ โ โฎ โ โโฅ โ โ โ โ โฆ โก โ โ โ โ โ โ โ โฃ โก โ โฆ โ โโฅ โ โ โ โค โฉ โก โฆ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โฆ โก โ โ โ โ โ โ โ โฃ โฅ โ โ โ โ โ โ โ โโฅ โ โ โ โ โฆ โก โ โ โ โ โ โ โ โฃ โฅ โ โ โฆ โ โฅ โก โ โ โ โ โฎ โ โ P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ โผ โโ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โฅ โก โ โ โ โ โ โฌ โ โ โ โ โ โค โก โ โ โ โฆ โก โ โ โ โฆ โ โ โ โฃ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฆ โ โ โ โซ โ โฅ โก โ โ โ โ โก โ โ โก โฃ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โธ โก โ โ โโ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โพโ โ โ โ โค โง โข โญ โต โฐ โง โฎ โฆ โฃ โฌ โฏ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โพ โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โ โ โก โ โ โ โ โฆ โ โ โฌ โ โ โ โ โก โ โ โ โฆ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โพ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โป โ p. 34/43 d inv ( ฯ, I ) = breakpoints ( ฯ ) โ cycles ( ฯ ) + hurdles ( ฯ ) + ( fortress ) ฯ d inv ( ฯ, I ) = ( N + 1) โ cycles ( ฯ ) + hurdles ( ฯ ) + ( fortress ) โโฑโฏ Pevzner. โ โโธ โโขโ โฒโโผ Hannenhalli โโขโ โโโ โ โโธ breakpoint โ โโก โ โขโ โ โโก โ โฎ โ
โ โ โป โน โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โช P โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ โผ โโ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โฏ โค โง โข โฃ โฉ โ โฐ โ โง โฎ โฒ โฃ โต โฏ ๏ฟฝ โง โฐ โง โฟ โ โฅ โ โ โ โ โ โ โก โก โ โฎ โ โ โธ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โบ โ โ โ โ โป โฎ โ p. 35/43 โโฑโฏ Hannenhalli โฒโโผ โโโ โโโ Pevzner. โโโบ
โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โป โฟ โก โ โก โก โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โป โ โ โ โก โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โช โป โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โก โ โ โ โ โพ โป โ โ โบ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โก โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โธ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ โก โก โป โพ โ โ โ โ โ โฟ โป โ โก โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โ โก โก โ โ โ โธ โ โ โ โ โน โ โบ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โฉ โฐ โง โฎ โฒ โฃ โต โฏ โง โข โฐ โง โฎ โฅ โ โฃ โฏ ๏ฟฝ โฎ โ โง โ โ โฟ โ โ โ โบ โ โ โ โป โค โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โป โ ๏ฟฝ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โก โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โธ โป โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ p. 35/43 โ โโฑโฏ O (1) Hannenhalli โโโ โฒโโผ โโโ โโโ breakpoints O ( n ) . โโโธ Pevzner. โโโ โ โทโฟ โโโบ
โ โฟ โพ โ โ โ โ โฟ โป โ โก โ โ โ โป โ โป โ โ โธ โ โ โก โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โก โบ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โช โก โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โก โก โ โป โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โป โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โพ โ โโ โ โ โธ โ โ โ โน โ โ โ โป โ โ โ โ โโ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โฝ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โป โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โฟ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โป โโ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ ๏ฟฝ โ โป โน โ โบ โ โ โ โต โ โค โง โข โ โฉ โฐ โง โฎ โฒ โฃ โฏ โ ๏ฟฝ โง โฐ โง โฎ โฅ โ โฃ โฏ ๏ฟฝ โฎ โ โ โ โฟ โ โก โก โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โก โก โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โก โ โ โ โ โพ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โก โ โ โ โฟ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โฟ โป โ โ โ โฟ โ โ โผ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ p. 35/43 โ โโฑโฏ O (1) Hannenhalli โโโ breakpoint โฒโโผ โโโ โโโ breakpoints โ โโธ O ( n ) . โโโธ Pevzner. โโโ โ โทโฟ โโโบ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โผ โ โผ P โฃ โโ โ โ โง โญ โฒ โ โ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ P โ โ โ ๏ฟฝ โฆ โ โฏ โค โ ๏ฟฝ ๏ฟฝ โง โฅ โฒ โญ โง โฎ โฃ โ โ โฉ โญ ๏ฟฝ โโ โ โข โฃโค โฉ โฑ โฉ โฃ โฆ โ ๏ฟฝ โง โณ โ โค ๏ฟฝ โฎ โช โฒ โโ [ Empodia, Emiris & Diochnos, IOI โ04 ] The ancient mathematician and philosopher Pythagoras believed that reality is mathematical in nature. Present-day biologists study properties of orderings of the sequence I = (0 , 1 , 2 , . . . , N, N + 1) where 0 is the first element in the ordering, N + 1 is the last element in the ordering, and there is no element E such that E + 1 directly follows E in the ordering. Such orderings of I are called biosequences, and consecutive subsequences of them are called segments. A segment of a biosequence is called a framed interval if it includes all integers whose values are between the value of the first element, which must be the smallest element in the segment, and the last element, which must be the largest. A framed interval is called empodio if it does not contain any shorter framed intervals. As an example, consider the biosequence (0 , 3 , 5 , 4 , 6 , 2 , 1 , 7) . The whole biosequence is a framed interval. However, it contains another framed interval (3 , 5 , 4 , 6) and therefore it is not an empodio. The framed interval (3 , 5 , 4 , 6) does not contain a shorter framed interval, so it is an empodio. It is also the only empodio in that biosequence. You are to write a program that, given a biosequence, finds all empodia (plural for empodio) in that biosequence. โโโ โฒโโผ โโฑโฏ โ p. 36/43
๏ฟฝ โ โป โ โ โธ โ โก โ โฟ โธ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โก โ โป โ โฟ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โป โ โธ โ โ โ โ โ โ โธ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โป โก โบ โ โ โ โโ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โถ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โฟ โ โ โ โ โ โธ โ โโ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โก โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โป โ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โก โป โ p. 37/43 โโฑโฏ (framed interval) reduced โฒโโผ i, i + 1 โโโ E, E + 1 โโโธ โ โโธ โโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ P โ โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ p. 38/43 โโฑโฏ โฒโโผ โ โทโฟ O ( N 3 ) โโโ โโโโ
๏ฟฝ โ โ โก โ โ โ โ โป โ โฟ โ โ โ โป โฟ โฟ โ โ โ โป โ โก โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ โ โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฐ โฅ โฏ โค โ ๏ฟฝ โฃ โฉ ๏ฟฝ โ โฒ โฎ โง โฉ ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ โ โช โฎ ๏ฟฝ โด โง โณ โง โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ p. 38/43 โโฑโฏ โโโ O ( N 2 ) โฒโโผ โ โทโฟ O ( N 3 ) โโโโ โโโ โโโธ โโโธ โโโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โป โฟ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โก โ โ โฟ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โก โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โก โ โพ โ โ โ โน โโ โ โ โ โพ โ โโ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โป โ โ โป โน โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โโ โป โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โโ โ โป โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฐ โง โณ โง โด ๏ฟฝ โฎ โช โ ๏ฟฝ โ โฉ โง โ โฎ โฒ โ ๏ฟฝ โฉ โฃ ๏ฟฝ โ โค โฏ โฅ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โฟ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โก โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โก โ โ โฟ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โป โธ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โป โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โป โ โฟ โ โ โ p. 38/43 โโฑโฏ O ( N ) โโโ O ( N 2 ) โฒโโผ โ โทโฟ O ( N 3 ) โโโโ โโโ BreakPoint. โ โโ โโโธ โโโธ โโโโ โ โทโ โโโโ
๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โก โบ โ โป โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โโ โ โพโ โป โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โธ โโ โ โพ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โผ P โ โ P โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โบ โ โ โป โ โ โ โโ โ โก โ โ โ โฟ โ โน โ โ โธ โ โฟ โ โ โ โ โธ โ โฟ โก โ โ โ โ โธ โ โ โ โฉ โฟ ๏ฟฝ โด โ โช โฅ โฆ โฐ โฉ โช ๏ฟฝ โฃ โฉ โ โญ โฒ โฎ โง โฐ โฉ โ โฅ โฏ โซ โฃ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ p. 39/43 O ( N ) . โโฑโฏ Overlap โฒโโผ โโโ Hannenhalli O ( Nฮฑ ( N )) , Berman โโทโฟ
๏ฟฝ โ โ โ โ โน โ โป โบ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โป โบ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โบ โก ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โโ โ โ โธ โ โ โโ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โบ โ โ โ โ โ โป โน โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โฐ โ โ โบ โธ โ โก โ โ โฅ โฉ โญ ๏ฟฝ โฃ โซ โฏ โ โ โฉ โฉ โฐ โง โฎ โฒ โฃ โ โธ โฟ โ โ โ โฉ โ โช โ โฟ โธ โ โ โน โ ๏ฟฝ โ โ ๏ฟฝ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โธ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โด โ โ โ โ โ โโ โ โธ โ โ โพ โ โพโ โโ โป โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โก โช โ โ โฅ โ โ โ โฆ โ โ โ โ โ โ โ p. 39/43 O ( N ) . (happy cliques) โโฑโฏ Overlap โฒโโผ โโโ Hannenhalli Tarjan O ( Nฮฑ ( N )) , Berman Kaplan, Shamir O ( N ) โโทโฟ
๏ฟฝ โบ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โป โ โ โ โ โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โธ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โป โ โบ โก โ โ โ โฟ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โบ โ โ โ โ โ โ โผ โ โ โผ โ โ โ โ โ โ P โ โ P โผ โ โโ โธ โ โน โ โบ โก โ โ โ โ โ โธ โป โ โ โ โ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โน โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โก โ โธ โ โ โป โ โ โป โ โ โ โ โบ โ โฟ โ โ โ โ โ โ โฟ โธ โ โฃ โฐ โง โฎ โฒ โ ๏ฟฝ โฉ ๏ฟฝ โ โช โฉ โฐ โฆ โฅ โช โ โด โฉ โฅ โ โน โ โ โ โฟ โ โธ โ โ โ โฏ โฟ โ โ โฉ โญ ๏ฟฝ โฃ โซ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โพ โ โโ โ โ โ โป โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โน โ โ โป โ โบ โก โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โก โ โ โ โ โ โ โ โ โธ โ โ โ โ โป โพโ โ โ โโ โก โ p. 39/43 O ( N ) . (happy cliques) โโฑโฏ Overlap โฒโโผ โโโ Hannenhalli Tarjan O ( Nฮฑ ( N )) , Yan Berman Kaplan, Shamir Bader, Moret O ( N ) โโทโฟ O ( N )
Recommend
More recommend
Sambuz
Unleash a World of Digital PossibilitiesโBrowse, Share, and Explore Content Without Boundaries
